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江苏省宿迁市2023-2024学年高一下期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算的值为
A. B. C. D.
2.已知复数满足为虚数单位，则的共轭复数对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.从两个班级各随机抽取名学生测量身高单位：，甲班的数据为，，，，，乙班的数据为，，，，据此估计甲、乙两班学生的平均身高，及方差，的关系为
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为
A. B. C. D.
5.史记中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”若双方各自拥有上、中、下等马各匹，从中随机选匹进行场比赛，则齐王的马获胜的概率为
A. B. C. D.
6.已知点，下列说法正确的是
A. B.
C. 点到直线的距离为 D.
7.已知表示三条不同的直线，表示不同的平面，则
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
8.已知正四棱台的上下底面边长分别为和，若该正四棱台的侧面积为，则侧棱与底面所成的角为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一只不透明的口袋内装有张卡片，上面分别标有数字，，，，从袋中任意抽取张卡片，记“抽出的卡片号为，，”为事件，“抽出的卡片号小于”为事件，“抽出的卡片号大于”记为事件下列说法正确的是
A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是互斥事件
C. 事件与事件相互独立 D. 事件与事件是对立事件
10.已知且复平面内对应的点为，则下面说法正确的有
A.
B. 若，则中至少有个是
C. 满足的点形成的图形的面积为
D. 若，则的最小值为
11.如图，在正方体中，若为棱的中点，点在侧面包括边界上运动，且平面，下面结论正确的是
A. 点的运动轨迹为一条线段
B. 直线与所成角可以为
C. 三棱锥的体积是定值
D. 若正方体的棱长为，则平面与正方体的截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，用，，这类不同的元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件，，正常工作的概率分别为，，，则系统正常工作的概率是_____．
13.粽，即粽籺，俗称粽子，据考证，粽早在春秋之前就已出现，最初是用来祭祀祖先和神灵；到了晋代，粽子成为端午节的节庆食物．端午食粽的风俗，传播甚远．包粽子是端午节的一种传统风俗，同学们在劳动课上学习包粽子，将包的四角蛋黄粽近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为，则其内可包裹的蛋黄的最大体积为_____．
14.记的三个内角，且，若是的外心，是角的平分线，在线段上，则_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，，，分别是的边，，上的点，且，，，设．
用向量，表示；
求．
16.本小题分
如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点，是上一点．
若，求证：；
若点在上，且满足，求证：直线，，相交于一点．
17.本小题分
已知向量，设．
求的最小正周期；
若，求的值．
18.本小题分
某企业准备购进新型机器以提高生产效益．根据调查得知，使用该新型机器生产产品的质量是用质量指标值来衡量的，按质量指标值划分产品等级的标准如图表．
图表
质量指标值 或 或
等级 一等品 二等品 三等品
现从该新型机器生产的产品中随机抽取件作为样本，检测其质量指标值，得到如图表所示的频率分布直方图．
用分层抽样的方法从样本质量指标值在区间和内的产品中随机抽取件，再从这件中任取件作进一步研究，求这件产品都取自区间的概率；
根据市场调查得到该新型机器生产的产品的销量数据如图表
图表
产品等级 一等品 二等品 三等品
销售率
单件产品原售价 元 元 元
未按原价售出的产品统一按原售价的全部售出
产品各等级的销售率为等级产品销量与其对应产量的比值
已知该企业购进新型机器的前提条件是，该机器生产的产品同时满足下列两个条件：
质量指标值的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表不低于．
单件产品平均利润不低于元．
已知该新型机器生产的产品的成本为元件，月产量为件，根据图表、图表、图表信息，分析该新机器是否达到企业的购进条件．
19.本小题分
在锐角中，角，，的对边为，若，．
求角的大小；
若为的中点，且，求的面积；
如图，过点在所在平面内作，且满足求线段的最大值．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以，
又因为，
所以，
因为，，
所以
因为，所以，
由得，
所以
，
因为，，，
所以，，向量与向量的夹角为，
．
16.证明：因为，
所以，
又因为平面平面，平面，平面平面，
所以平面，
又因为平面，
所以．
连接，，因为，分别是，的中点，
所以，，
因为，
所以，，
所以，
所以，确定一个平面，即，，，四点共面，
因为，，
所以四边形是梯形，、的延长线必相交于一点，
设，所以，
因为平面，所以平面，
同理可证平面，
所以是平面与平面的公共点，
又因为平面平面，
所以，
所以直线，，相交于一点．
17.解：
，
故最小正周期为
，
则，
因为，所以，
所以，
故
．
18.解：设“所取件产品都取自区间”为事件，
因为区间和上的频数之比为，
所以应从区间上抽取件，记为，，
从区间上抽取件，记为，，，，
则从中任取两件的情况有，，，，，，，，，
，，，，，共种，即样本空间中样本点的总数为，
事件所含的基本事件共有，，，，种
所以所求事件概率为．
先分析该产品质量标准值的平均数，
由题意得
故满足认购条件，
再分析该产品的单价平均利润值：
由频率分布直方图可知，新型机器生产的产品为一、二、三等品的概率估计值分别为，，，
故件产品中，一、二、三等品的件数估计值为：，，件，
设一、二、三等品利润分别为，，，
元，
元，
元，
则件产品的总利润为：元，
故件产品的单件品平均利润估计值为，
故不满足认购条件，
综上，该新型机器没有达到该企业的认购条件．
19.解：因为，
由正弦定理可得，
即，
因为，所以，
，
因为，所以
由得 ，
因为为的中点，所以，
则，
化简得 ，
由解得，所以
设，
当与外接圆相切时，可得，则，
则，，
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
因为，
所以，
所以
，
又，所以，
所以当，即时，有最大值，最大值为．
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