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水不撩不知深浅
圆锥曲线
1 (新课标全国Ⅱ卷)已知曲线C：x2+y2= 16(y> 0)，从C上任意一点P向 x轴作垂线段PP ，P 为垂足，
则线段PP 的中点M的轨迹方程为 ( )
2 2 2 2
A. x
2 2 2 2
+ y = 1(y> 0) y y yB. x + = 1(y> 0) C. + x = 1(y> 0) D. + x = 1(y> 0)
16 4 16 8 16 4 16 8
( y
2
x2
2 全国甲卷数学 (理))已知双曲线C: - = 1(a> 0,b> 0)的上、下焦点分别为F1 0,4 ,F2 2 2 0,-4 ，a b
点P -6,4 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为 ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 2
2 2
3 ( x y新高考天津卷)双曲线 - = 1(a> 0，b> 0)的左、右焦点分别为F
2 2 1
、F2.P是双曲线右支上一点，
a b
且直线PF2的斜率为 2．△PF1F2是面积为 8的直角三角形，则双曲线的方程为 ( )
2 y2 2 y2 2 y2 2 y2
A. x - = 1 B. x - = 1 C. x - = 1 D. x - = 1
8 2 8 4 2 8 4 8
4 (新课标全国Ⅰ卷) (多选)造型 可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过
坐标原点O.且C上的点满足横坐标大于-2，到点F(2,0)的距离与到定直线 x= a(a< 0)的距离之积为 4，
则 ( )
A. a=-2 B.点 (2 2,0)在C上
C. C在第一象限的点的纵坐标的最大值为 1 D. 4当点 x0,y0 在C上时，y0≤ x0+2
5 (新课标全国Ⅱ卷) (多选)抛物线C：y2= 4x的准线为 l，P为C上的动点，过P作⊙A:x2+ (y- 4)2= 1
的一条切线，Q为切点，过P作 l的垂线，垂足为B，则 ( )
A. l与⊙A相切 B.当P，A，B三点共线时，|PQ| = 15
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C.当 |PB| = 2时，PA⊥AB D.满足 |PA| = |PB|的点P有且仅有 2个
2
( x
2 y
6 新课标全国Ⅰ卷)设双曲线C: - = 1(a> 0,b> 0)的左右焦点分别为F、F，过F作平行于 y轴
a2 2
1 2 2
b
的直线交C于A，B两点，若 |F1A| = 13,|AB| = 10，则C的离心率为 ．
7 (新高考北京卷)已知抛物线 y2= 16x，则焦点坐标为 ．
x2
8 (新高考北京卷)已知双曲线 - y2= 1，则过 3,0 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为
4
．
9 (新高考天津卷) (x- 1)2+y2= 25的圆心与抛物线 y2= 2px(p> 0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，
则原点到直线AF的距离为 ．
10 (新高考上海卷)已知抛物线 y2= 4x上有一点P到准线的距离为 9，那么点P到 x轴的距离为
．
2 2
11 ( y新课标全国Ⅰ卷)已知A(0,3)和P 3, 3 C: x为椭圆 + = 1(a> b> 0)上两点.2 a2 b2
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线 l交C于另一点B，且△ABP的面积为 9，求 l的方程．
12 (新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C:x2-y2=m m> 0 ，点P1 5,4 在C上，k为常数，0< k< 1．按照如
下方式依次构造点Pn n= 2,3,... ，过Pn-1作斜率为 k的直线与C的左支交于点Qn-1，令Pn为Qn-1关于 y轴
的对称点，记Pn的坐标为 xn,yn .
(1)若 k= 1 ，求 x2,y2；2
(2) 1+ k证明：数列 xn-yn 是公比为 - 的等比数列；1 k
(3)设Sn为△PnPn+1Pn+2的面积，证明：对任意的正整数 n，Sn=Sn+1.
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x2
2
( ( ) ( )) C: + y = 1(a> b> 0) F M 1, 313 全国甲卷数学 理 文 设椭圆 的右焦点为 ，点 在C上，且a2 b2 2
MF⊥ x轴．
(1)求C的方程；
(2)过点P 4,0 的直线与C交于A,B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥ y
轴．
2
( ) C x
2
+ y14 新高考北京卷 已知椭圆方程 ： = 1 a> b> 0 ，焦点和短轴端点构成边长为 2的正方形，
a2 b2
过 0,t t> 2 的直线 l与椭圆交于A，B，C 0,1 ，连接AC交椭圆于D．
(1)求椭圆方程和离心率；
(2)若直线BD的斜率为 0，求 t．
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x2 y
2
15 (新高考天津卷)已知椭圆 + = 1(a> b> 0) e= 1椭圆的离心率 ．左顶点为A，下顶点为B，C
a2 b2 2
是线段OB的中点，其中S△ABC=
3 3
．
2
(1)求椭圆方程．

(2)过点 0,- 3 的动直线与椭圆有两个交点P，Q．在 y轴上是否存在点T使得TP TQ≤ 0恒成立．若存2
在求出这个T点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
2
16 ( y新高考上海卷)已知双曲线Γ:x2- = 1,(b> 0),左右顶点分别为A1,A2，过点M -2,0 的直线 l交
b2
双曲线Γ于P,Q两点.
(1)若离心率 e= 2时，求 b的值．
(2)若 b= 2 6 ,△MA2P为等腰三角形时，且点P在第一象限，求点P的坐标．3

(3)连接OQ并延长，交双曲线Γ于点R，若A1R A2P= 1，求 b的取值范围．
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一、单选题
2 y2
1 (2024· x福建泉州·二模)若椭圆 + = 1(a> 0) 2的离心率为 ，则该椭圆的焦距为 ( )
a2 3 2
A. 3 B. 6 C. 2 6或 3 D. 2 3或 6
x2 y
2
2 (2024·河北衡水·三模)已知双曲线C： - = 1(a> 0，b> 0)，圆O1:(x- 2)2+y2= 4与圆O :x22 + (y
a2 b2
- 1)2= 1的公共弦所在的直线是C的一条渐近线，则C的离心率为 ( )
A. 3 B. 2 C. 5 D. 6
3 (2024·北京·三模)已知双曲线E:3mx2-my2= 3的一个焦点坐标是 0,2 ，则m的值及E的离心率分别
为 ( )
A. -1, 2 3 B. -1,2 C. 1 10，2 D. , 10
3 2
4 (2024·贵州贵阳·三模)过点A(-3,-4)的直线 l与圆C:(x- 3)2+ (y- 4)2= 9相交于不同的两点M，N，
则线段MN的中点P的轨迹是 ( )
A.一个半径为 10的圆的一部分 B.一个焦距为 10的椭圆的一部分
C.一条过原点的线段 D.一个半径为 5的圆的一部分
5 (2024·湖南·模拟预测)已知点A 1,0 ，点B -1,0 ，动点M满足直线AM，BM的斜率之积为 4，则动点
M的轨迹方程为 ( )
2 2 2 2
A. x - y2= 1 B. x - y2= 1(x≠±1) 2- yC. x = 1 D. x2- y = 1(x≠±1)
4 4 4 4
6 (2024·陕西榆林·三模)在平面直角坐标系 xOy中，把到定点F1 -a,0 ,F2 a,0 距离之积等于 a2(a> 0)
的点的轨迹称为双纽线.若 a= 2，点P x0,y0 为双纽线C上任意一点，则下列结论正确的个数是 ( )
①C关于 x轴不对称
②C关于 y轴对称
③直线 y= x与C只有一个交点
④C上存在点P，使得 PF1 = PF2
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2 2
7 ( y2024· x福建泉州·二模)双曲线C: - = 1(a> 0,b> 0)，左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，如
a2 b2
图，已知动直线 l与双曲线C左、右两支分别交于P，Q两点，与其两条渐近线分别交于R，S两点，则下列命
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题正确的是 ( )
A.存在直线 l，使得BQ OS
B.当且仅当直线 l平行于 x轴时，|PR| = |SQ|
C.存在过 (0,b)的直线 l，使得S△ORB取到最大值
2 D.若直线 l的方程为 y=- (x- a),BR= 3BS，则双曲线C的离心率为 3
2
2 2
8 (2024· · ) : x - y河南 二模 已知双曲线C = 1(a> 0,b> 0)的左，右焦点分别为F ,F ,O为坐标原点，焦
a2 b2
1 2
距为 8 2，点P在双曲线C上， OP = OF2 ，且△POF2的面积为 8，则双曲线的离心率为 ( )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 4
2
9 (2024·重庆·三模)已知抛物线 y2= 4x的焦点为F，过点F的直线 l交抛物线于A，B两点，点A在第一
象限，点O为坐标原点，且S△AOF= 2S△BOF，则直线 l的斜率为 ( )
A. 2 2 B. 3 C. 1 D. -1
10 (2024·黑龙江齐齐哈尔·三模)设F为抛物线C:y= ax2的焦点，若点P(1,2)在C上，则 |PF| = ( )
A. 3 B. 5 C. 9 D. 17
2 4 8
11 (2024·山东泰安·二模)设抛物线 x2= 4y的焦点为F，过抛物线上点P作准线的垂线，设垂足为Q，若
∠PQF= 30°，则 PQ = ( )
A. 4 B. 4 3 C. 3 D. 2 3
3 3 3
二、多选题
12 (2024·江西·模拟预测)已知A -2,0 ，B 2,0 ，C 1,0 ，动点M满足MA与MB 3的斜率之积为- ，动
4
点M的轨迹记为Γ，过点C的直线交Γ于P，Q两点，且P，Q的中点为R，则 ( )
x2 y
2
A. M的轨迹方程为 + = 1
4 3
B. MC 的最小值为 1
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C. 3若O为坐标原点，则△OPQ面积的最大值为
2
D.若线段PQ的垂直平分线交 x轴于点D，则R点的横坐标是D点的横坐标的 4倍
13 (2024·江苏常州·二模)双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其
2
x2 y
反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线E: - = 1的左、右焦点分别为F
4 6 1
,F2，从

F2发出的两条光线经过E的右支上的A,B两点反射后，分别经过点C和D，其中AF2,BF2共线，则 ( )
A. 6 6若直线AB的斜率 k存在，则 k的取值范围为 -∞,- ∪ ,+∞2 2
B.当点C的坐标为 2 10, 10 时，光线由F2经过点A到达点C所经过的路程为 6

C.当AB AD=AB2时，△BF1F2的面积为 12

D.当AB AD=AB2时，cos∠F1FA=- 102 10
2
x2 y
14 (2024·重庆·三模)已知双曲线C: - = 1(a> 0)的左，右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上点，且
a2 16
△PF1F2的内切圆圆心为 I(3,1)，则下列说法正确的是 ( )
A. a= 3 B.直线PF 11的斜率为 4
C. △PFF 64 651 z的周长为 D. △PF3 1F2的外接圆半径为 12
15 (2024·湖北襄阳·二模)抛物线C:x2= 2py的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到 (t,1)时，|PF| =
2，直线 l与抛物线相交于A、B两点，下列结论正确的是 ( )
A.抛物线的方程为：x2= 8y
B.抛物线的准线方程为：y=-1
C.当直线 l过焦点F时，以AF为直径的圆与 x轴相切
D. AF + BF ≥ 4
16 (2024·浙江杭州·三模)如图，平面直角坐标系上的一条动直线 l和 x，y轴的非负半轴交于A，B两点，
若 OA + OB = 1恒成立，则 l始终和曲线C： x+ y= 1相切，关于曲线C的说法正确的有 ( )
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A.曲线C关于直线 y= x和 y=-x都对称
B.曲线C上的点到 1 , 1 和到直线 y=-x的距离相等2 2
C. 2曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是 ,1

4
D. π曲线C和坐标轴围成的曲边三角形面积小于 1-
4
2 y2
17 (2024· x河南·三模)已知椭圆C: + = 1(a> b> 0)经过点P( 2,1) 2，且离心率为 ．记C在P
a2 b2 2
处的切线为 l，平行于OP的直线 l 与C交于A，B两点，则 ( )
x2 y
2
A. C的方程 + = 1
4 2
B.直线OP与 l的斜率之积为-1
C.直线OP，l与坐标轴围成的三角形是等腰三角形
D.直线PA，PB与坐标轴围成的三角形是等腰三角形
18 (2024·辽宁·模拟预测)已知抛物线C:y2= 4x的焦点为F，过F的直线 l与C交于A，B两点，点P在C
的准线上，那么 ( )
A.若PA与C相切，则PB也与C相切
B. ∠APB≤ π
2

C.若点P在 x轴上，则PA PB为定值
D.若点P在 x轴上，且满足 |PA| = 4|PB| 4，则直线 l的斜率绝对值为
3
19 (2024·广东汕头·二模)用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，
可以得到不同的截口曲线，也即圆锥曲线.探究发现：当圆锥轴截面的顶角为 2α时，若截面与轴所成的角为
cosβ
β，则截口曲线的离心率 e= .例如，当 α= β时，e= 1，由此知截口曲线是抛物线.如图，圆锥SO中，M、
cosα
N分别为SD、SO的中点，AB、CD为底面的两条直径，且AB⊥CD、AB= 4，SO= 2.现用平面 γ(不过圆锥
顶点)截该圆锥，则 ( )
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A.若MN γ，则截口曲线为圆
B.若 γ与SO所成的角为 60°，则截口曲线为椭圆或椭圆的一部分
C.若M、A、B∈ γ，则截口曲线为抛物线的一部分
D.若截口曲线是离心率为 2的双曲线的一部分，则O γ
三、填空题
2
20 ( y2024·北京·三模)已知双曲线C: - x2= 1．则C的离心率是 ；若C的一条渐近线与圆D:
4
x- 1 2+y2= 1交于A，B两点，则 AB = ．
2 y2
21 (2024·河北衡水·三模)已知椭圆C: x + = 1(a> b> 0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为 6，点M
a2 b2
(1,1)，直线MF2与C交于A，B两点，且M为AB中点，则△AF1B的周长为 ．
x2 y
2
22 (2024·山东聊城·三模)已知双曲线C: - = 1(b> a> 0)的一个焦点为F,O为坐标原点，点A,B
a2 b2

在双曲线上运动，以A,B为直径的圆过点O，且 OA+OB OF ≤ OA OB 恒成立，则C的离心率的取值范
围为 ．
2 2
23 (2024· x y湖南衡阳·三模)如图所示，已知双曲线C: - = 1 a> 0,b> 0 的右焦点F，过点F作直线
a2 b2

l交双曲线C于A，B两点，过点F作直线 l的垂线交双曲线C于点G，AB= 2BF，且三点A，O，G共线 (其
中O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为 ．

24 (2024·北京·三模)已知抛物线C:y2= 4x的焦点为F，则F的坐标为 ；过点F的直线交抛物线
C于A,B两点，若 AF = 4，则△OAF的面积为 ．
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x2 y
2
1
25 (2024·湖南长沙·三模)已知椭圆C: + = 1(a> b> 0)的离心率为 ，过C的左焦点且斜率为 1
a2 b2 2
的直线与C交于A,B两点.若 AB = 12，则C的焦距为 .
2
26 ( y2024·河北保定·三模)若双曲线C：x2- = 1的左、右焦点为F1，F2，P是其右支上的动点.若存在3
P，使得 |PF2|，t|F1F2|，|PF1|(t> 0)依次成等比数列，则 t的取值范围为 .
四、解答题
2
x2 y 1
27 (2024·北京·三模)已知椭圆E: + = 1 b2< 4 的离心率为 ．4 b2 2
(1)求椭圆E的方程和短轴长；
(2)设直线 l1:y= kx+m与椭圆E相切于第一象限内的点P，不过原点O且平行于 l1的直线 l2与椭圆E交于
k
不同的两点A，B，点A关于原点O的对称点为C．记直线OP的斜率为 k ，直线BC的斜率为 k ，求 11 2 的k2
值．
x2 y
2
28 (2024·江西·模拟预测)已知双曲线C: - = 1 a> 0,b> 0 的离心率为 2，顶点到渐近线的距离
a2 b2
6
为 ．
2
(1)求C的方程；
(2)若直线 l:y= kx+ 2交C于A,B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为 2 6，求 k的值．
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29 (2024·山东·模拟预测)已知抛物线E：y2= 2px p> 0 经过点P 1,2 .
(1)求抛物线E的方程；
(2)设直线 y= kx+m与E的交点为A，B，直线PA与PB倾斜角互补.
(i)求 k的值；
(ii)若m< 3，求△PAB面积的最大值.
2 2
30 ( y2024·山东济宁·三模) x已知椭圆E: + = 1(a> b> 0)的左焦点为F，上顶点为B，离心率 e=
a2 b2
2
，直线FB过点P(1,2).
2
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点F的直线 l与椭圆E相交于M，N两点 (M、N都不在坐标轴上)，若∠MPF=∠NPF，求直线 l的方
程.
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31 (2024·重庆·三模)已知M为圆 x2+y2= 9上一个动点，MN垂直 x轴，垂足为N，O为坐标原点，
△OMN的重心为G.
(1)求点G的轨迹方程;
(2)记 (1)中的轨迹为曲线C，直线 l与曲线C相交于A、B两点，点Q(0,1)，若点H( 3,0)恰好是△ABQ的垂
心，求直线 l的方程.
32 (2024·云南曲靖·模拟预测)已知抛物线C:y2= 4x，焦点为F，点P为曲线C的准线与对称轴的交点，
过F的直线 l与抛物线C交于A，B两点.
(1)证明：当∠APB= 90°时，PA、PB与抛物线相切；
(2)当∠APB= 45°时，求 AB .
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·12·
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33 (2024·四川·模拟预测)已知抛物线C：y2= 2px(p> 0)的焦点为F，A为抛物线上一点，B p,0 ，若
AB 的最小值为 2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)直线 l过点P 5,-4 且交抛物线C于M，N两点，求 FM FN 的最小值．
34 (2024·湖南长沙·二模)已知椭圆E中心在原点，左焦点为F(-1,0)，其四个顶点的连线围成的四边形
面积为 2 2.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过椭圆E的左焦点F作斜率存在的两直线AB、CD分别交椭圆于A、B、C、D，且AB⊥CD，线段AB、
CD的中点分别为M、N .求四边形BCMN面积的最小值.
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·13·
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35 (2024·福建厦门·三模)平面直角坐标系 xOy中，动点P在圆 x2+y2= 4上，动点Q(异于原点)在 x轴
上，且 |PQ| = 2，记PQ的中点M的轨迹为Γ.
(1)求Γ的方程；
(2)过点 (3,1)的动直线 l与Γ交于A，B两点.问：是否存在定点N，使得 k1k2为定值，其中 k1,k2分别为直线
NA，NB的斜率.若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由.
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·14·水不撩不知深浅
圆锥曲线
1 (新课标全国Ⅱ卷)已知曲线C：x2+y2= 16(y> 0)，从C上任意一点P向 x轴作垂线段PP ，P 为垂足，
则线段PP 的中点M的轨迹方程为 ( )
x2 + y
2 2 2 2 2
A. = 1(y> 0) B. x + y = ( > ) y1 y 0 C. + x
2
= 1(y> ) y0 D. + x
2
= 1(y> 0)
16 4 16 8 16 4 16 8
【答案】A
【分析】设点M (x,y)，由题意，根据中点的坐标表示可得P(x,2y)，代入圆的方程即可求解.
【详解】设点M (x,y)，则P(x,y 0),P (x,0)，
因为M为PP 的中点，所以 y0= 2y，即P(x,2y)，
又P在圆 x2+y2= 16(y> 0)上，
2 2
所以 x2+4y2= y16(y> 0) x，即 + = 1(y> 0)，
16 4
2
x2 y
即点M的轨迹方程为 + = 1(y> 0).
16 4
故选：A
y2 x2
2 (全国甲卷数学 (理))已知双曲线C: - = 1(a> 0,b> 0)的上、下焦点分别为F
2 2 1 0,4 ,F2 0,-4 ，a b
点P -6,4 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为 ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 2
【答案】C
【分析】由焦点坐标可得焦距 2c，结合双曲线定义计算可得 2a，即可得离心率.
【详解】由题意，F1 0,-4 、F2 0,4 、P -6,4 ，
则 F1F2 = 2c= 8， PF = 621 + 4+ 4 2= 10， PF = 622 + 4- 4 2= 6，
则 2a= PF1 - PF 2c 82 = 10- 6= 4，则 e= = = 2.2a 4
故选：C.
x2 y
2
3 (新高考天津卷)双曲线 - = 1(a> 0，b> 0)的左、右焦点分别为F1、F2.P是双曲线右支上一点，
a2 b2
且直线PF2的斜率为 2．△PF1F2是面积为 8的直角三角形，则双曲线的方程为 ( )
x2
2 2 2 2 2 2 2
A. - y = y y y1 B. x - = 1 C. x - = 1 D. x - = 1
8 2 8 4 2 8 4 8
【答案】C
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·1·
水不撩不知深浅
【分析】可利用△PF1F2三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设 PF2 =m，由面积公式求出m，由勾股
定理得出 c，结合第一定义再求出 a.
【详解】如下图：由题可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2= 90°，设 PF2 =m，
∠PF2F1= θ1,∠PF1F2= θ2，由 kPF= tanθ = 2
2
1 ，求得 sinθ2 1= ，5
因为∠F1PF2= 90°，所以 kPF kPF=-1
1 1
，求得 k
1 2 PF=- ，即 tanθ = ，1 2 2 2
sinθ 12= ，由正弦定理可得： PF1 : PF2 : F1F2 = sinθ1:sinθ2:sin90° = 2:1: 5，
5
则由 PF2 =m得 PF1 = 2m, F1F2 = 2c= 5m，
S 1 1由 △PFF= PF1 PF2 = m 2m= 8得m= 2 2，1 2 2 2
则 PF2 = 2 2, PF1 = 4 2, F1F2 = 2c= 2 10,c= 10，
由双曲线第一定义可得： PF1 - PF2 = 2a= 2 2，a= 2,b= c2-a2= 8，
2 y2x
所以双曲线的方程为 - = 1.
2 8
故选：C
4 (新课标全国Ⅰ卷) (多选)造型 可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过
坐标原点O.且C上的点满足横坐标大于-2，到点F(2,0)的距离与到定直线 x= a(a< 0)的距离之积为 4，
则 ( )
A. a=-2 B.点 (2 2,0)在C上
C. C 4在第一象限的点的纵坐标的最大值为 1 D.当点 x0,y0 在C上时，y0≤ x0+2
【答案】ABD
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·2·
水不撩不知深浅
【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求 a，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利用特例
法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误.
【详解】对于A：设曲线上的动点P x,y ，则 x>-2且 x- 2 2+y2 × x- a = 4，
因为曲线过坐标原点，故 0- 2 2+02 × 0- a = 4，解得 a=-2，故A正确.
对于B：又曲线方程为 x- 2 2+y2 × x+ 2 = 4，而 x>-2，
故 x- 2 2+y2 × x+ 2 = 4.
当 x= 2 2,y= 0时， 2 2- 2 2 × 2 2+ 2 = 8- 4= 4，
故 2 2,0 在曲线上，故B正确.
C 16 3对于 ：由曲线的方程可得 y2= - x- 2 2，取 x= ，
x+ 2 2 2
y2= 64 - 1 64 1则 ，而 - - 1= 64 - 5 = 256- 245 > 0，故此时 y2> 1，
49 4 49 4 49 4 49× 4
故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于 1，故C错误.
16 16
对于D：当点 x0,y0 在曲线上时，由C的分析可得 y2 20= - x0-22 ≤ ， x0+2 x0+2 2
- 4故 + ≤ y0≤
4
+ ，故D正确.x0 2 x0 2
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处
理.
5 (新课标全国Ⅱ卷) (多选)抛物线C：y2= 4x的准线为 l，P为C上的动点，过P作⊙A:x2+ (y- 4)2= 1
的一条切线，Q为切点，过P作 l的垂线，垂足为B，则 ( )
A. l与⊙A相切 B.当P，A，B三点共线时，|PQ| = 15
C.当 |PB| = 2时，PA⊥AB D.满足 |PA| = |PB|的点P有且仅有 2个
【答案】ABD
【分析】A选项，抛物线准线为 x=-1，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，P,A,B三点共线时，先求出P
的坐标，进而得出切线长；C选项，根据 PB = 2先算出P的坐标，然后验证 kPAkAB=-1是否成立；D选项，根
据抛物线的定义， PB = PF ，于是问题转化成 PA = PF 的P点的存在性问题，此时考察AF的中垂线和
抛物线的交点个数即可，亦可直接设P点坐标进行求解.
【详解】A选项，抛物线 y2= 4x的准线为 x=-1，
⊙A的圆心 (0,4)到直线 x=-1的距离显然是 1，等于圆的半径，
故准线 l和⊙A相切，A选项正确；
B选项，P,A,B三点共线时，即PA⊥ l，则P的纵坐标 yP= 4，
由 y2P= 4xP，得到 xP= 4，故P(4,4)，
此时切线长 PQ = PA 2-r2= 42-12= 15，B选项正确；
C选项，当 PB = 2时，xP= 1，此时 y2P= 4xP= 4，故P(1,2)或P(1,-2)，
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·3·
水不撩不知深浅
当P(1,2)时，A(0,4),B(-1,2) k 4- 2 4- 2， PA= - =-2，kAB= = 2，0 1 0- (-1)
不满足 kPAkAB=-1；
当P(1,-2)时，A(0,4), 4- (-2) 4- (-2)B(-1,2)，kPA= 0- =-6，k1 AB= = 6，0- (-1)
不满足 kPAkAB=-1；
于是PA⊥AB不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义， PB = PF ，这里F(1,0)，
于是 PA = PB 时P点的存在性问题转化成 PA = PF 时P点的存在性问题，
A(0,4),F(1,0)，AF中点 1 ,2 ，AF 1 1中垂线的斜率为- = ，2 kAF 4
AF 2x+ 15于是 的中垂线方程为：y= ，与抛物线 y2= 4x联立可得 y2-16y+ 30= 0，
8
Δ= 162-4× 30= 136> 0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个P点，使得 PA = PF ，D选项正确.
方法二：(设点直接求解)
2
设P t ,t ，由PB⊥ l可得B -1,t ，又A(0,4)，又 PA = PB ，4
t4 t2根据两点间的距离公式， + (t- 4)2= + 1，整理得 t2-16t+ 30= 0，
16 4
Δ= 162-4× 30= 136> 0，则关于 t的方程有两个解，
即存在两个这样的P点，D选项正确.
故选：ABD
2
( ) : x - y
2
6 新课标全国Ⅰ卷 设双曲线C = 1(a> 0,b> 0)的左右焦点分别为F1、F2，过F2 2 2作平行于 y轴a b
的直线交C于A，B两点，若 |F1A| = 13,|AB| = 10，则C的离心率为 ．
3
【答案】
2
【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出 AF2 ，结合双曲线第一定义求出 AF1 ，即可得到 a,b,c的值，从而求
出离心率.
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·4·
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x2 y
2
【详解】由题可知A,B,F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将 x= c代入 - = 1
a2 b2
2 2 2 2 2
得 y=± b A c, b，即 ,B c,- b 2b b，故 AB = = 10， AF = = 5，a a a a 2 a
2
又 AF1 - AF2 = 2a，得 AF1 = AF2 + 2a= 2a+ 5= 13，解得 a= 4 b，代入 = 5得 b2= 20，a
c 6 3
故 c2= a2+b2= 36,，即 c= 6，所以 e= = = .
a 4 2
3
故答案为：
2
7 (新高考北京卷)已知抛物线 y2= 16x，则焦点坐标为 ．
【答案】 4,0
p
【分析】形如 y2= 2px, p≠ 0 的抛物线的焦点坐标为 ,0 ，由此即可得解.2
【详解】由题意抛物线的标准方程为 y2= 16x，所以其焦点坐标为 4,0 .
故答案为： 4,0 .
x2
8 (新高考北京卷)已知双曲线 - y2= 1，则过 3,0 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为
4
．
1
【答案】±
2
【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求
解.
x2 5
【详解】联立 x= 3与 - y2= 1，解得 y=± ，这表明满足题意的直线斜率一定存在，
4 2
设所求直线斜率为 k，则过点 3,0 且斜率为 k的直线方程为 y= k x- 3 ，
x2 4 - y2= 1联立 ，化简并整理得： 1- 4k2 x2+24k2 x- 36k
2-4= 0，
y= k x- 3
由题意得 1- 4k2= 0或Δ= 24k2 2+4 36k2+4 1- 4k2 = 0，
1
解得 k=± 或无解，即 k=± 1 ，经检验，符合题意.
2 2
1
故答案为：± .
2
9 (新高考天津卷) (x- 1)2+y2= 25的圆心与抛物线 y2= 2px(p> 0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，
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·5·
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则原点到直线AF的距离为 ．
4
【答案】 /0.8
5
【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A及AF的方程，从而可求原点到直线
AF的距离.
p
【详解】圆 (x- 1)2+y2= 25的圆心为F 1,0 ，故 = 1即 p= 2，
2
x- 1 2 +y
2= 25
由 2 可得 x
2+2x- 24= 0，故 x= 4或 x=-6(舍)，
y = 4x
A 4,±4 4故 ，故直线AF:y=± x- 1 即 4x- 3y- 4= 0或 4x+ 3y- 4= 0，
3
4 4
故原点到直线AF的距离为 d= = ，
5 5
4
故答案为：
5
10 (新高考上海卷)已知抛物线 y2= 4x上有一点P到准线的距离为 9，那么点P到 x轴的距离为
．
【答案】4 2
【分析】根据抛物线的定义知 xP= 8，将其再代入抛物线方程即可.
【详解】由 y2= 4x知抛物线的准线方程为 x=-1，设点P x0,y0 ，由题意得 x0+1= 9，解得 x0= 8，
代入抛物线方程 y2= 4x，得 y20= 32，解得 y0=±4 2，
则点P到 x轴的距离为 4 2．
故答案为：4 2．
2 2
11 (新课标全国Ⅰ卷)已知A(0,3) P 3, 3 C: x
y
和 为椭圆 + = 1(a> b> 0)上两点.
2 a2 b2
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线 l交C于另一点B，且△ABP的面积为 9，求 l的方程．
1
【答案】(1)
2
(2)直线 l的方程为 3x- 2y- 6= 0或 x- 2y= 0.
【分析】(1)代入两点得到关于 a,b的方程，解出即可；
(2)方法一：以 AP 为底，求出三角形的高，即点B到直线AP的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的
直线方程，联立椭圆方程得到B点坐标，则得到直线 l的方程；方法二：同法一得到点B到直线AP的距离，再
设B x0,y0 ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B到直线AP的距
离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB斜率不存在的情况，再设直线 y= kx+ 3，联立椭
圆方程，得到点B坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB斜率不存在的情况，再设PB:
y- 3 = k(x- 3)，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽
2
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·6·
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1
乘铅锤高乘 表达面积即可.
2
b= 3 b2= 9
【详解】(1)由题意得 99 ，解得 ，+ 4 = 1 a2= 12a2 b2
2
所以 e= 1- b = 1- 9 = 12 .a 12 2
3- 3
(2) 1 1法一：k 2AP= - =- ，则直线AP的方程为 y=- x+ 3，即 x+ 2y- 6= 0，0 3 2 2
2 22
AP = 0- 3 2+ 3- 3 = 3 5
y
，由 (1) C: x知 + = 1，
2 2 12 9
2× 9 12 5
设点B到直线AP的距离为 d，则 d= = ，
3 5 5
2
12 5
则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移 单位即可，
5
此时该平行线与椭圆的交点即为点B，
设该平行线的方程为：x+ 2y+C= 0，
C+ 6
则 = 12 5 ，解得C= 6或C=-18，
5 5
2
x2 + y = 1 x= 0 x=-3
当C= 6时，联立 12 9 ，解得 或 3 ，x+ 2y+ 6= 0 y=-3 y=- 2
3
即B 0,-3 或 -3,- 2 ，
3 3
当B 0,-3 时，此时 kl= ，直线 l的方程为 y= x- 3，即 3x- 2y- 6= 0，2 2
当B -3,- 3 时，此时 k= 1 1l ，直线 l的方程为 y= x，即 x- 2y= 0，2 2 2
2 y2x
当C=-18时，联立 12
+ 9 = 1 得 2y2-27y+ 117= 0，
x+ 2y- 18= 0
Δ= 272-4× 2× 117=-207< 0，此时该直线与椭圆无交点.
综上直线 l的方程为 3x- 2y- 6= 0或 x- 2y= 0.
法二：同法一得到直线AP的方程为 x+ 2y- 6= 0，
点B到直线AP 12 5的距离 d= ，
5
x0+2y0-6 = 12 55 x0=-3 x = 0
设B x 50,y0 ，则 2 2 ，解得 =- 3 或
0 ，
x0 + y012 9 =
y0 1 2 y0=-3
即B 0,-3 或 -3,- 32 ，以下同法一.
法三：同法一得到直线AP的方程为 x+ 2y- 6= 0，
点B 12 5到直线AP的距离 d= ，
5
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·7·
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2 3cosθ+ 6sinθ- 6, ∈ , B 2 3cosθ 3sinθ θ 0 2π = 12 5设 ，其中 ，则有 ，
5 5
cosθ=- 3
联立 cos2θ+ 2 = 2 cosθ= 0sin θ 1，解得 或sinθ=- 1 sinθ=- ，12
即B 0,-3 或 -3,- 3 ，以下同法一；2
法四：当直线AB的斜率不存在时，此时B 0,-3 ，
S 1 3 3△PAB= × 6× 3= 9，符合题意，此时 kl= ，直线 l的方程为 y= x- 3，即 3x- 2y- 6= 0，2 2 2
当线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为 y= kx+ 3，
y= kx+ 3 1
联立椭圆方程有 2 2 2 x2 y ，则 4k +3 x +24kx= 0，其中 k≠ kAP，即 k≠- ，12 + 29 = 1
x= 0 x= -24k 1解得 或 ，k≠ 0，k≠- ，
4k2+3 2
x= -24k
2
y= -12k +9 B -24k -12k
2+9
令 ，则 ，则 ,
4k2+3 4k2+3 4k2+3 4k2+3
同法一得到直线AP的方程为 x+ 2y- 6= 0，
B AP d= 12 5点 到直线 的距离 ，
5
-24k + 2× -12k
2+9
2 - 6
则 4k +3 4k
2+3 = 12 5 3，解得 k= ，
5 5 2
3 1 1
此时B -3,- ，则得到此时 k2 l= ，直线 l的方程为 y= x，即 x- 2y= 0，2 2
综上直线 l的方程为 3x- 2y- 6= 0或 x- 2y= 0.
3
法五：当 l的斜率不存在时，l:x= 3,B 3,- 2 , PB = 3,A到PB距离 d= 3，
此时S 1 9△ABP= × 3× 3= ≠ 9不满足条件.2 2
3
当 l的斜率存在时，设PB:y- = k(x- 3)，令P x
2 1
,y1 ,B x2,y2 ，
y= k(x- 3) + 3

2
2 y2 ，消 y可得 4k
2+3 x2- 24k2-12k x+ 36k2-36k- 27= 0，x
12 + 9 = 1
Δ= 24k2-12k 2-4 4k2+3 36k2-36k- 27 > 0 1，且 k≠ kAP，即 k≠- ，2
2 x
24k -12k
1+x2= 2 2 27
4k2+3 4 3 k +1 3k +9k+
2 , PB = k
2+1 x 21+x2 -4x 4- - 1
x2= ，
x x 36k 36k 27 4k
2+3
1 2= 4k2+3
3k+ 32 4 3 k
2+1 3k2+9k+ 271 3k+ 3A到直线PB距离 d= ,S = 4 2 = 9，
k2
△PAB
+1 2 4k2+3 k2+1
∴ k= 1 3 1 3或 ，均满足题意，∴ l:y= x或 y= x- 3，即 3x- 2y- 6= 0或 x- 2y= 0.
2 2 2 2
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·8·
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3
法六：当 l的斜率不存在时，l:x= 3,B 3,- 2 , PB = 3,A到PB距离 d= 3，
1 9
此时S△ABP= × 3× 3= ≠ 9不满足条件.2 2
当直线 l斜率存在时，设 l:y= k(x- 3) + 3 ，
2
设 l与 y轴的交点为Q，令 x= 0，则Q 0,-3k+ 3 ，2
y= kx- 3k+ 3联立 2 ，则有 3+ 4k
2 x2-8k 3k- 3 x+ 36k2-36k- 27= 0，3x2+4y2= 36 2
3+ 4k2 x2-8k 3k- 3 x+ 36k2-36k- 27= 0，2
2
其中Δ= 8k2 3k- 3 -4 3+ 4k2 36k2-36k- 27 > 0，且 k≠- 1 ，2 2
3x = 36k
2-36k- 27 12k2-12k- 9
则 B ,xB= ，
3+ 4k2 3+ 4k2
S= 1 1 3 12k+ 18 1 3则 AQ xP-xB = 3k+ = 9，解的 k= 或 k= ，经代入判别式验证均满足题意.2 2 2 3+ 4k2 2 2
则直线 l y= 1为 x y= 3或 x- 3，即 3x- 2y- 6= 0或 x- 2y= 0.
2 2
12 (新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C:x2-y2=m m> 0 ，点P1 5,4 在C上，k为常数，0< k< 1．按照如
下方式依次构造点Pn n= 2,3,... ，过Pn-1作斜率为 k的直线与C的左支交于点Qn-1，令Pn为Qn-1关于 y轴
的对称点，记Pn的坐标为 xn,yn .
(1) k= 1若 ，求 x ,y ；
2 2 2
(2) 1+ k证明：数列 xn-yn 是公比为 - 的等比数列；1 k
(3)设Sn为△PnPn+1Pn+2的面积，证明：对任意的正整数 n，Sn=Sn+1.
【答案】(1)x2= 3，y2= 0
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】(1)直接根据题目中的构造方式计算出P2的坐标即可；
(2)根据等比数列的定义即可验证结论；
(3)思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明 Sn的取值为与 n无关的定值即可.思路二：使用等差
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数列工具，证明Sn的取值为与 n无关的定值即可.
【详解】(1)
由已知有m= 52-42= 9，故C的方程为 x2-y2= 9.
2
当 k= 1 时，过P1 5,4 1 x+ 3 且斜率为 的直线为 y= ，与 x2-y2= 9 x+ 3联立得到 x2-2 2 2 2 = 9.
解得 x=-3或 x= 5，所以该直线与C的不同于P1的交点为Q1 -3,0 ，该点显然在C的左支上.
故P2 3,0 ，从而 x2= 3，y2= 0.
(2)由于过Pn xn,yn 且斜率为 k的直线为 y= k x- xn + yn，与 x2-y2= 9联立，得到方程 x2
- k x- xn + yn 2= 9.
展开即得 1- k2 x2-2k yn-kxn x- y -kx 2n n -9= 0，由于Pn xn,yn 已经是直线 y= k x- x 2n + yn和 x
-y2= 9的公共点，故方程必有一根 x= xn.
2k y -kx 2ky -x -k2n n n xn
从而根据韦达定理，另一根 x= - x nn= ，相应的 y= k x- x + y =
1- k2 - 2 n
n
1 k
y 2n+k yn-2kxn .
1- k2
2ky -x 2 2n-k xn y +k y -2kxn
所以该直线与C的不同于P 的交点为Q n , n nn n ，而注意到Q 的横坐标亦可通过1- k2 1- 2 nk
- yn-kxn 2-9
韦达定理表示为 ，故Qn一定在C的左支上.
1- k2 xn
x +k2x -2ky y +k2y -2kx
所以P n n n n n nn+1 , .1- k2 1- k2
x +k2= n xn-2kyn = yn+k
2yn-2kxn这就得到 xn+1 ，yn+1 .
1- k2 1- k2
2 2
所以 xn+1-
xn+k xn-2ky y +k yy n n n-2kxnn+1= -
1- k2 1- k2
2
= xn+k xn+2kxn - yn+k
2yn+2ky 2n = 1+ k +2k x -y = 1+ k x -y .
1- k2 1- k2 1- k2
n n 1- k n n
再由 x21-y21= 9，就知道 x1-y1≠ 0 1+ k，所以数列 xn-yn 是公比为 - 的等比数列.1 k

(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U,V,W，若UV= a,b ，UW = c,d 1 ，则S△UVW= ad- bc .2
(若U,V,W在同一条直线上，约定S△UVW= 0)
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证明：S 1△UVW= UV UW sinUV,UW = 1 UV UW 1- cos2UV,UW2 2
2
= 1 UV UW 1- UV U W 1 = UV 2 UW 2- UV UW 22 UV UW 2
= 1 a2+b2 c2+d2 - ac+ bd 22
= 1 a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-b2d2-2abcd
2
= 1 a2d2+b2c2-2abcd= 1 ad- bc 2= 1 ad- bc .
2 2 2
证毕，回到原题.
xn+k2x 2n-2ky y +k y -2kxn
由于上一小问已经得到 x n n nn+1= ，y = ，
1- 2 n+1k 1- k2
+ = xn+k
2xn-2kyn + y +k
2
n y 2故 x y n
-2kxn 1+ k -2k 1- k
n+1 n+1 = x +y = x +y .
1- k2 1- k2 2
n n - 1+

k n n

1 k
再由 x21-y21= 9，就知道 x1+y1≠ 0 1- k，所以数列 xn+yn 是公比为 + 的等比数列.1 k
所以对任意的正整数m，都有
xnyn+m-ynxn+m
= 1 xnxn+m-yny 12 n+m + xnyn+m-ynxn+m - xnxn+m-ynyn+m - xnyn+m-y2 nxn+m
= 1 xn-y 1n xn+m+yn+m - xn+yn xn+m-yn+m 2 2
= 1 1- k
m m
+ xn-yn xn+y -
1
n 2 1 k 2
1+ k
- xn+yn xn-y 1 k n
= 1
m m
2
1- k
1+ k -
1+ k
1- k x
2 2
n-yn
= 9 1- k
m m
+ -
1+ k
2 1 k 1- k .

而又有Pn+1Pn= - xn+1-xn ,- yn+1-yn ，Pn+1Pn+2= xn+2-xn+1,yn+2-yn+1 ，
故利用前面已经证明的结论即得
Sn=S 1△P = - x -x y -y + y -y x -xnP n+1Pn+2 2 n+1 n n+2 n+1 n+1 n n+2 n+1
= 1 xn+1-xn yn+2-yn+1 - yn+1-yn xn+2-x2 n+1
= 1 xn+1yn+2-yn+1xn+2 + xnyn+1-ynxn+1 - xnyn+2-ynxn+2 2
= 1 9 1- k - 1+ k + 9 1- k - 1+ k
2
- 9 1- k - 1+ k
2
.
2 2 1+ k 1- k 2 1+ k 1- k 2 1+ k 1- k
这就表明Sn的取值是与 n无关的定值，所以Sn=Sn+1.
xn+k2xn-2ky y +k2y -2kxn
方法二：由于上一小问已经得到 xn+1= n，yn+1= n n ，
1- k2 1- k2
xn+k2xn-2ky y 2n n+k yn-2kx 1+ k2x n -2k 1- k故 n+1+yn+1= + = xn+y2 2 2 n = + x +y .1- k 1- k 1- k 1 k n n
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·11·
水不撩不知深浅
x2-y2 1- k再由 1 1= 9，就知道 x1+y1≠ 0，所以数列 xn+yn 是公比为 + 的等比数列.1 k
所以对任意的正整数m，都有
xnyn+m-ynxn+m
= 1 xnxn+m-ynyn+m + xnyn+m-y 1nxn+m - xnxn+m-ynyn+m - xnyn+m-ynxn+m 2 2
= 1 xn-yn x 1n+m+yn+m - xn+yn xn+m-yn+m 2 2
= 1 1- k
m
x 1 1+ k
m
2 1+ k n-yn xn+yn - x +y x -y 2 1- k n n n n
= 1 1- k
m 1+ k m 2 2
2 + - - xn-yn 1 k 1 k
9 m m=
2
1- k - 1+ k1+ .k 1- k
x y -y x = 9 1- k - 1+ k这就得到 n+2 n+3 n+2 n+3 + - = xnyn+1-ynx2 1 k 1 k n+1，
2 2
以及 xn+1yn+3-y 9 1- k 1+ kn+1xn+3= + - - = xnyn+2-ynxn+2.2 1 k 1 k
两式相减，即得 xn+2yn+3-yn+2xn+3 - xn+1yn+3-yn+1xn+3 = xnyn+1-ynxn+1 - xnyn+2-ynxn+2 .
移项得到 xn+2yn+3-ynxn+2-xn+1yn+3+ynxn+1= yn+2xn+3-xnyn+2-yn+1xn+3+xnyn+1.
故 yn+3-yn xn+2-xn+1 = yn+2-yn+1 xn+3-xn .

而PnPn+3= xn+3-xn,yn+3-yn ，Pn+1Pn+2= xn+2-xn+1,yn+2-yn+1 .

所以PnPn+3和Pn+1Pn+2平行，这就得到S△P P P =S△P P P ，即S =Sn n+1 n+2 n+1 n+2 n+3 n n+1.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.
x2( y
2
3
13 全国甲卷数学 (理) (文))设椭圆C: + = 1(a> b> 0)的右焦点为F，点M 1, 在C上，且a2 b2 2
MF⊥ x轴．
(1)求C的方程；
(2)过点P 4,0 的直线与C交于A,B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥ y
轴．
x2 y
2
【答案】(1) + = 1
4 3
(2)证明见解析
【分析】(1)设F c,0 ，根据M的坐标及MF⊥ x轴可求基本量，故可求椭圆方程.
(2)设AB:y= k(x- 4)，A x1,y1 ，B x2,y2 ，联立直线方程和椭圆方程，用A,B的坐标表示 y1-yQ，结合韦达
定理化简前者可得 y1-yQ= 0，故可证AQ⊥ y轴.
b2 3 a2-1 3
【详解】(1)设F c,0 ，由题设有 c= 1且 = ，故 = ，故 a= 2，故 b= 3，
a 2 a 2
2 y2x
故椭圆方程为 + = 1.
4 3
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·12·
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(2)直线AB的斜率必定存在，设AB:y= k(x- 4)，A x1,y1 ，B x2,y2 ，
3x2+4y2 = 12由 = ( - ) 可得 3+ 4k
2 x2-32k2x+ 64k2-12= 0，y k x 4
故Δ= 1024k4-4 3+ 4k2 64k2-12 1 1 > 0，故- < k< ，2 2
32k2 2
又 x1+x2= ,x x = 64k -12+ 2 1 2
，
3 4k 3+ 4k2
y - 3 y2 -3y
而N 5 ,0 ，故直线BN :y= 2 x- 5 ，故 yQ= 2 = 2 ，2 x - 5 2 x - 5 2x2 2 2-52 2
3y y × 2x -5 + 3y
所以 y 21-yQ= y1+ - =
1 2 2
2x2 5 2x2-5
k x1-4 × 2x2-5 + 3k=
x2-4
2x2-5
64k2-12 32k2
2x x 2× - 5× + 8
= k 1 2
-5 x1+x2 + 8 = k 3+ 4k
2 3+ 4k2
2x2-5 2x2-5
128k2-24- 160k2+24+ 32k2
3+ 4k2= k
2x2-
= 0，
5
故 y1= yQ，即AQ⊥ y轴.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
(1)设直线方程，设交点坐标为 x1,y1 , x2,y2 ；
(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 x(或 y)的一元二次方程，注意Δ的判断；
(3)列出韦达定理；
(4)将所求问题或题中的关系转化为 x1+x2、x1x2(或 y1+y2、y1y2)的形式；
(5)代入韦达定理求解.
2 y2
14 ( x新高考北京卷)已知椭圆方程C： + = 1 a> b> 0 ，焦点和短轴端点构成边长为 2的正方形，
a2 b2
过 0,t t> 2 的直线 l与椭圆交于A，B，C 0,1 ，连接AC交椭圆于D．
(1)求椭圆方程和离心率；
(2)若直线BD的斜率为 0，求 t．
2 2
【答案】(1) x + y = 1,e= 2
4 2 2
(2)t= 2
【分析】(1)由题意得 b= c= 2，进一步得 a，由此即可得解；
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·13·
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(2)说明直线AB斜率存在，设AB:y= kx+ t, t> 2 ，A x1,y1 ,B x2,y2 ，联立椭圆方程，由韦达定理有 x1
2
+x2= -4kt ,x 2t -4
y1-y2
+ 2 1
x2= ，而AD:y= x- x1 + y1，令 x= 0，即可得解.
1 2k 2k2+1 x1+x2
2
【详解】(1)由题意 b= c= = 2，从而 a= b2+c2= 2，
2
x2 y
2
2
所以椭圆方程为 + = 1，离心率为 e= ；
4 2 2
(2)显然直线AB斜率存在，否则B,D重合，直线BD斜率不存在与题意不符，
同样直线AB斜率不为 0，否则直线AB与椭圆无交点，矛盾，
从而设AB:y= kx+ t, t> 2 ，A x1,y1 ,B x2,y2 ，
x2
2
联立 + y = 1 2 2 2 4 2 ，化简并整理得 1+ 2k x +4ktx+ 2t -4= 0，y= kx+ t
由题意Δ= 16k2t2-8 2k2+1 t2-2 = 8 4k2+2- t2 > 0，即 k,t应满足 4k2+2- t2> 0，
-4kt 2t2-4
所以 x1+x2= ,x x = ，
1+ 2 1 22k 2k2+1
若直线BD斜率为 0，由椭圆的对称性可设D -x2,y2 ，
y -y
所以AD:y= 1 2+ x- x1 + y1，在直线AD方程中令 x= 0，x1 x2
= x1y2+x2y1
x1 kx2+t + x2 kx1+t 2kx1x2+t x 21+x2 4k t -2 2
得 yC x1+
= + = + = - + t= = 1，x2 x1 x2 x1 x2 4kt t
所以 t= 2，
4k
2+2- t2= 4k2-2> 0 2 2
此时 k应满足 ≠ ，即 k应满足 k<- 或 k> ，k 0 2 2
综上所述，t= 2满足题意，此时 k<- 2 2或 k> .
2 2
2 2
( x y 115 新高考天津卷)已知椭圆 + = 1(a> b> 0)椭圆的离心率 e= ．左顶点为A，下顶点为B，C
a2 b2 2
3 3
是线段OB的中点，其中S△ABC= ．2
(1)求椭圆方程．

(2) 3过点 0,- 的动直线与椭圆有两个交点P，Q．在 y轴上是否存在点T使得TP TQ≤ 0恒成立．若存2
在求出这个T点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
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2 y2
【答案】(1) x + = 1
12 9
3 (2)存在T 0,t -3≤ t≤ ，使得TP TQ≤ 0恒成立.2
1
【详解】(1)因为椭圆的离心率为 e= ，故 a= 2c，b= 3c，其中 c为半焦距，
2
A -2c,0 ,B 0,- 3c ,C 0,- 3c S = 1 × 2c× 3 c= 3 3所以 ，故 △ABC ，2 2 2 2
2 y2
故 c= 3 x，所以 a= 2 3，b= 3，故椭圆方程为： + = 1.
12 9
(2)
若过点 0,- 3 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y= kx- 3 ，2 2
设P x1,y1 ,Q x2,y2 ,T 0,t ，
3x
2+4y2= 36
由 = - 3 可得 3+ 4k
2 x2-12kx- 27= 0，y kx 2
故Δ= 144k2+108 3+ 4k2 = 324+ 576k2> 0 12k且 x1+x2= ,x1x2=- 27 ,
3+ 4k2 3+ 4k2

而TP= x1,y1-t ,TQ= x2,y2-t ，

故TP TQ= x1x2+ y1-t y2-t = x1x2+ kx1- 3 - t2 kx2-
3 - t
2
= 1+ k2
2
x1x2-k 3 + t x +x + 3 + t2 1 2 2
2
= 1+ k2 27 × - - k3+ 4k2
3 + t × 12k + 3 + t2 3+ 4k2 2
- 227k2-27- 18k2-12k2t+ 3 32 + t + 3+ 2t
2k2
=
3+ 4k2
2
3+ 2t 2-12t- 45 k2+3 32 + t -27= ，
3+ 4k2
3+ 2t
2-12t- 45≤ 0
因为TP TQ≤ 0 3恒成立，故 3 3 + 2- ≤ ，解得-3≤ t≤ .2 t 27 0 2
3
若过点 0,- 的动直线的斜率不存在，则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ，2
此时需-3≤ t≤ 3 3，两者结合可得-3≤ t≤ .
2

综上，存在T 0,t -3≤ t≤ 3 ，使得TP TQ≤ 0恒成立.2
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水不撩不知深浅
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达
定理，此时注意直线方程的合理假设.
y2
16 (新高考上海卷)已知双曲线Γ:x2- = 1,(b> 0),左右顶点分别为A
2 1
,A2，过点M -2,0 的直线 l交
b
双曲线Γ于P,Q两点.
(1)若离心率 e= 2时，求 b的值．
(2) b= 2 6若 ,△MA2P为等腰三角形时，且点P在第一象限，求点P的坐标．3

(3)连接OQ并延长，交双曲线Γ于点R，若A1R A2P= 1，求 b的取值范围．
【答案】(1)b= 3
(2)P 2,2 2
(3) 0, 3 ∪ 3, 30 3
c c
【详解】(1)由题意得 e= = = 2，则 c= 2，b= 22-1= 3．
a 1
2
(2) 2 6 y当 b= 时，双曲线Γ:x2- = 1，其中M -2,0 ，A2 1,0 ，3 8
3
因为△MA2P为等腰三角形，则
1
①当以MA2为底时，显然点P在直线 x=- 上，这与点P在第一象限矛盾，故舍去；2
②当以A2P为底时， MP = MA2 = 3，
2 23 23
P x,y x2- 3y = 1 x=- 11 x=- 11 x= 1设 ，则 8 , 联立解得 或 或 ，(x+ 2)2+y2= 9 y=- 8 17 y= 8 17 y= 011 11
因为点P在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；
(或者由双曲线性质知 MP > MA2 ，矛盾，舍去)；
③当以MP为底时， A2P = MA2 = 3，设P x0,y0 ，其中 x0> 0,y0> 0，
x0-1 2+y20= 9 x = 2
则有 0
2
x2- y0 = 1 ，解得 ，即P 2,2 2y ．0 8 0= 2 2
3
综上所述：P 2,2 2 .
(3)由题知A1 -1,0 ,A2 1,0 ，

当直线 l的斜率为 0时，此时A1R A2P= 0，不合题意，则 kl≠ 0，
则设直线 l:x=my- 2，
设点P x1,y1 ,Q x2,y2 ，根据OQ延长线交双曲线Γ于点R，
根据双曲线对称性知R -x2,-y2 ，
x=my- 2联立有 2 2 2 2 2 22- y = b m -1 y -4b my+ 3b = 0，x 1b2
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·16·
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显然二次项系数 b2m2-1≠ 0，
其中Δ= -4mb2 2-4 b2m2-1 3b2= 4b4m2+12b2> 0，
y +y = 4b
2m 2
1 2 ①，y1y2= 3b ②，
b2m2-1 b2m2-1

A1R= -x2+1,-y2 ,A2P= x1-1,y1 ，

则A1R A2P= -x2+1 x1-1 - y1y2= 1，因为P x1,y1 ,Q x2,y2 在直线 l上，
则 x1=my1-2，x=my2-2，
2
即- my2-3 my1-3 - y1y2= 1，即 y1y2 m2+1 - y1+y2 3m+ 10= 0，
3b2 4b2m
将①②代入有 m2+1 - 3m + 10= 0，
b2m2-1 b2m2-1
即 3b2 m2+1 - 3m 4b2m+ 10 b2m2-1 = 0
化简得 b2m2+3b2-10= 0，
m2= 10所以 - 3, 代入到 b2m2-1≠ 0, 得 b2= 10- 3b2≠ 1, 所以 b2≠ 3,
b2
10
且m2= - 3≥ 0，解得 b2≤ 10 10，又因为 b> 0，则 0< b2≤ ，
b2 3 3
综上知，b2∈ 0,3 ∪ 3, 10 ∴ b∈ 30 ， 0, 3 ∪ 3, ．3 3
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设 l:x=my- 2，将其与双曲线方程联
立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为 0.
一、单选题
2 2
1 (2024· x y福建泉州·二模)若椭圆 + = 1(a> 0) 2的离心率为 ，则该椭圆的焦距为 ( )
a2 3 2
A. 3 B. 6 C. 2 6或 3 D. 2 3或 6
【答案】D
【分析】分焦点在 x轴或 y轴两种情况，求椭圆的离心率，求解参数 a，再求椭圆的焦距.
a2-3 2
【详解】若椭圆的焦点在 x轴，则离心率 e= = ，得 a2= 6，此时焦距 2c= 2 6- 3= 2 3，
a 2
y 3- a
2 2 3
若椭圆的焦点在 轴，则离心率 e= = ，得 a2= ，此时焦距 2c= 2 3- 3 = 6，
3 2 2 2
所以该椭圆的焦距为 2 3或 6.
故选：D
2 y2
2 (2024· x河北衡水·三模)已知双曲线C： - = 1(a> 0，b> 0)，圆O1:(x- 2)2+y2= 4与圆O :x22 + (y
a2 b2
- 1)2= 1的公共弦所在的直线是C的一条渐近线，则C的离心率为 ( )
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A. 3 B. 2 C. 5 D. 6
【答案】C
【详解】因为O1:(x- 2)2+y2= 4，O 2 22:x + (y- 1) = 1，所以两圆方程相减可得 y= 2x，
b
由题意知C的一条渐近线为 y= 2x，即 = 2，
a
c 2 2 2 2
双曲线C的离心率 e= = c = a +b2 = 1+
b = 5．
a a a2 a2
故选：C．
3 (2024·北京·三模)已知双曲线E:3mx2-my2= 3的一个焦点坐标是 0,2 ，则m的值及E的离心率分别
为 ( )
A. -1, 2 3 B. -1,2 C. 1，2 D. 10 , 10
3 2
【答案】A
2 2
【详解】依题意，双曲线E:3mx2-my2= y3 x化为： - = 1，
- 3 - 1m m
2
- 3 + - 1
y
= 22 m=-1 - x2= 1 e= 2 = 2 3则 ，解得 ，双曲线 的离心率 .m m 3 3 3
故选：A
4 (2024·贵州贵阳·三模)过点A(-3,-4)的直线 l与圆C:(x- 3)2+ (y- 4)2= 9相交于不同的两点M，N，
则线段MN的中点P的轨迹是 ( )
A.一个半径为 10的圆的一部分 B.一个焦距为 10的椭圆的一部分
C.一条过原点的线段 D.一个半径为 5的圆的一部分
【答案】D
【详解】设P(x,y)，根据线段MN的中点为P，则CP⊥MN，即CP⊥AP，

所以CP AP= 0，又A(-3,-4),C(3,4),AP= (x+ 3,y+ 4),CP= (x- 3,y- 4)，
所以 (x+ 3) (x- 3) + (y+ 4) (y- 4) = 0，即 x2+y2= 25，
所以点P的轨迹是以 (0,0)为圆心，半径为 5的圆在圆C内的一部分，
故选：D.
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水不撩不知深浅
5 (2024·湖南·模拟预测)已知点A 1,0 ，点B -1,0 ，动点M满足直线AM，BM的斜率之积为 4，则动点
M的轨迹方程为 ( )
2 2 2 2
A. x - y2= 1 B. x - y2= 1(x≠±1) y yC. x2- = 1 D. x2- = 1(x≠±1)
4 4 4 4
【答案】D
【详解】设动点M (x,y)
由于A 1,0 ，B -1,0 ，根据直线AM与BM的斜率之积为 4．
y 2
整理得 +
y = 4，化简得：x2- y = 1(x≠±1)．
x 1 x- 1 4
故选：D
6 (2024·陕西榆林·三模)在平面直角坐标系 xOy中，把到定点F1 -a,0 ,F2 a,0 距离之积等于 a2(a> 0)
的点的轨迹称为双纽线.若 a= 2，点P x0,y0 为双纽线C上任意一点，则下列结论正确的个数是 ( )
①C关于 x轴不对称
②C关于 y轴对称
③直线 y= x与C只有一个交点
④C上存在点P，使得 PF1 = PF2
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【详解】①设M x,y 到定点F1 -2,0 ,F2 2,0 的距离之积为 4，
可得 (x+ 2)2+y2. (x- 2)2+y2= 4，整理得 x2+y2 2= 8 x2-y2 ，
即曲线C的方程为 x2+y2 2= 8 x2-y2 ，
由 x用-x代换，方程没变，可知曲线C关于 y轴对称，
由 y用-y代换，方程没变，可知曲线C关于 x轴对称，
由 x用-x代换，y用-y同时代换，方程没变，可知曲线C关于原点对称，
图象如图所示：
所以①不正确，②正确；
2 2 2 2 2
③联立方程组 x +y = 8 x -y = ，可得 x
4= 0，即 x= 0，所以 y= 0，
y x
所以直线 y= x与曲线C只有一个交点O(0,0)，所以③正确.
④原点O 0,0 满足曲线C的方程，即原点O在曲线C上，则 OF1 = OF2 ，
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水不撩不知深浅
即曲线C上存在点P与原点O重合时，满足 PF1 = PF2 ，所以④正确.
故选:C.
2 y2
7 (2024·福建泉州·二模) C: x双曲线 - = 1(a> 0,b> 0)，左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，如
a2 b2
图，已知动直线 l与双曲线C左、右两支分别交于P，Q两点，与其两条渐近线分别交于R，S两点，则下列命
题正确的是 ( )
A.存在直线 l，使得BQ OS
B.当且仅当直线 l平行于 x轴时，|PR| = |SQ|
C.存在过 (0,b)的直线 l，使得S△ORB取到最大值

D. 2若直线 l的方程为 y=- (x- a),BR= 3BS，则双曲线C的离心率为 3
2
【答案】D
【详解】解：对于A项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A项错误；
y= kx+ t
对于B项：设直线 l:y= kx+ t，与双曲线联立 2 y2x - = ，得：2 2 1a b
b2-a2k2 x2-2a2ktx- a2t2+a2b2 = 0，其中 b2-a2k2≠ 0，
2 2 2 2 2
设P x1,y1 ,Q x2,y2 ，由根与系数关系得：x1+x = 2a kt ,x x =- a b +a t2 1 2 ，
b2-a2k2 b2-a2k2
x +x y +y 2 2 2
所以线段PQ中点N 1 2 , 1 2 = a kt , a k t + t ，2 2 b2-a2k2 b2-a2k2
将直线 l:y= kx+ t b at bt，与渐近线 y= x联立得点S坐标为S
a , ，b- ak b- ak
l:y= kx+ t y=- b -at bt将直线 与渐近线 x联立得点R坐标为R , ，
a b+ ak b+ ak
RS M a
2kt a2, k
2t
所以线段 中点 + t ，
b2-a2k2 b2-a2k2
所以线段PQ与线段RS的中点重合．所以，对任意的直线 l，都有 |PR| = |PQ| -|RS| = |SQ|，故B项不正
2
确；
对于C项：因为 |OB| b b为定值，当 k越来越接近渐近线 y=- x的斜率- 时，S△ORB趋向于无穷，a a
所以S△ORB会趋向于无穷，不可能有最大值，故C项错误；
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·20·
水不撩不知深浅
D l b a
2 ab
对于 项：联立直线 与渐近线 y= x，解得S , ，
a 2b+ a 2b+ a
b a2 ab
联立直线 l与渐近线 y=- x，解得R , 由题可知，BR= 3BS，a - 2b+ a 2b- a
3y = y +2y , 3ab = ab
2
= = + b = + ( 2a)
2
S R B ，解得 b 2a，所以 e 1 1 = 3，故D项正确．
2b+ a 2b- a a2 a2
故选：D．
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
①定义法：通过已知条件列出方程组，求得 a,c得值，根据离心率的定义求解离心率 e；
②齐次式法：由已知条件得出关于 a,c的二元齐次方程，然后转化为关于 e的一元二次方程求解；
③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
2 2
8 ( y2024· · x河南 二模)已知双曲线C: - = 1(a> 0,b> 0)的左，右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点，焦
a2 b2
距为 8 2，点P在双曲线C上， OP = OF2 ，且△POF2的面积为 8，则双曲线的离心率为 ( )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 4
2
【答案】C
【详解】因为△POF2的面积为 8，所以△PF1F2的面积为 16.
又 OP = OF2 ，所以 OP = OF2 = OF 11 = F1F2 ，所以△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF .2 2
设 PF1 =m， PF2 =n，所以 m-n = 2a,m2+n2= 4c2，
m2+n2 - (m-n)2 2 2
所以mn= = 4c -4a = 2b2，
2 2
所以S△PFF=
1 mn= b2= 16，又 b> 0，所以 b= 4.
1 2 2
焦距为 2c= 8 2，所以 c= 4 2，则 a2= c2-b2= (4 2)2-16= 16，
4 2
所以 a= 4，则离心率 e= = 2.
4

故选：C.
9 (2024·重庆·三模)已知抛物线 y2= 4x的焦点为F，过点F的直线 l交抛物线于A，B两点，点A在第一
象限，点O为坐标原点，且S△AOF= 2S△BOF，则直线 l的斜率为 ( )
A. 2 2 B. 3 C. 1 D. -1
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·21·
水不撩不知深浅
【答案】A
【详解】如图：
设直线倾斜角为 α，抛物线的准线 l：x=-1
作AM⊥ l于M，根据抛物线的定义， AM = AF = DF + AF cosα= 2+ AF cosα，
2
所以 |AF| = - ，类似的 |BF| =
2
+ .1 cosα 1 cosα
S 1由 △AOF= 2S△BOF知 |AF| = 2|BF|，得 cosα= ，故 k= tanα= 2 2.3
故选：A
10 (2024·黑龙江齐齐哈尔·三模)设F为抛物线C:y= ax2的焦点，若点P(1,2)在C上，则 |PF| = ( )
A. 3 B. 5 C. 9 D. 17
2 4 8
【答案】D
y
【详解】依题意，2= a× 12，解得 a= 2，所以C:x2= 的准线为 y=- 1 ，所以 |PF| = 2+ 1 = 17，
2 8 8 8
故选:D．
11 (2024·山东泰安·二模)设抛物线 x2= 4y的焦点为F，过抛物线上点P作准线的垂线，设垂足为Q，若
∠PQF= 30°，则 PQ = ( )
A. 4 B. 4 3 C. 3 D. 2 3
3 3 3
【答案】A
【详解】如图所示：
设 M为准线与 x轴的交点，
因为∠PQF= 30°，且 PF = PQ ，所以∠PFQ= 30°,∠QPF= 120°，
因为FM PQ，所以∠QFM= 30°，
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·22·
水不撩不知深浅
FM
而在Rt△QMF中， QF = = 2 = 4 3 ，
cos30° 3 3
2
QF 2 3 3 4
所以 PF = PQ = ÷ cos30° = ÷ = .
2 3 2 3
故选：A.
二、多选题
3
12 (2024·江西·模拟预测)已知A -2,0 ，B 2,0 ，C 1,0 ，动点M满足MA与MB的斜率之积为- ，动
4
点M的轨迹记为Γ，过点C的直线交Γ于P，Q两点，且P，Q的中点为R，则 ( )
2 y2
A. M x的轨迹方程为 + = 1
4 3
B. MC 的最小值为 1
C. 3若O为坐标原点，则△OPQ面积的最大值为
2
D.若线段PQ的垂直平分线交 x轴于点D，则R点的横坐标是D点的横坐标的 4倍
【答案】BCD
y 2 2
【详解】对于选项A，设M x,y ，因为A -2,0 ，B 2,0 ，所以 kMA kMB= +
y =- 3 x y- ，化简得 +x 2 x 2 4 4 3
= 1 x≠±2 ，故A错误；
2
B x
2 y
对于选项 ，因为 + = 1 x≠±2 ，则 a= 2，b= 3，则 c= a2-b2= 1，
4 3
所以C 1,0 为椭圆的右焦点，则 MC min= a- c= 2- 1= 1，故B正确；
对于选项C，设PQ的方程 x=my+ 1，代入椭圆方程，得 3m2+4 y2+6my- 9= 0，
-6m -9
设P x1,y1 ,Q x2,y2 ，则 y1+y2= ,y y = ，Δ= 36m2+36 3m2+4 > 0，
3m2+ 1 24 3m2

+4
1 1 1 2 6 m2+1
所以S 2 -6m 36△OPQ= OC y1-y2 = y1+y2 -4y1y =2 2 2 2 3m2+4 + = ，3m2+4 3m2+4
m2+1= t≥ 1 S = 6t 6令 ，则 △OPQ = ，
3t2+1 3t+ 1t
2
令 g t = 3t+ 1 t≥ 1 6 1 3t -1 ，则S△OPQ= ， t≥ 1 ,g t = 3- = > 0，g t 在 1,+∞ 为增函数，t g t t2 t2
g t ≥ g 1 = 4，g t min= 4，
所以 S△OPQ
6
max= =
3
，当且仅当 t= 1时即m= 0等号成立，故C正确；
4 2
x +x 2
对于选项D，因为R 1 2
m y +y
, y1+y2 y +y x +x 1 2 -3m 4 -3m， 1 2 = + 1= + 1= ， 1 2 = ，2 2 2 2 3m2+4 3m2+4 2 3m2+4
所以R 4 , -3m ，则 x = 4 ，3m2+ R4 3m2+4 3m2+4
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·23·
水不撩不知深浅
3m
D x ,0 k k = 1
2
设 ，则 3m +4 D PQ RD =-1，则 x =
1
，
m x - 4
D
D 3m
2+4
3m2+4
4
x 2
所以 R = 3m +4 = 4，则R点的横坐标是D点的横坐标的 4倍，故D正确.
xD 1
3m2+4
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用面积公式得出面积表达式，结合导数得出最值；二是根
据垂直平分得出点之间的关系.
13 (2024·江苏常州·二模)双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其
x2 y
2
反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线E: - = 1的左、右焦点分别为F
4 6 1
,F2，从

F2发出的两条光线经过E的右支上的A,B两点反射后，分别经过点C和D，其中AF2,BF2共线，则 ( )
A.若直线AB的斜率 k存在，则 k的取值范围为 -∞,- 62 ∪
6 ,+∞
2
B.当点C的坐标为 2 10, 10 时，光线由F2经过点A到达点C所经过的路程为 6

C.当AB AD=AB2时，△BF1F2的面积为 12

D.当AB AD=AB2时，cos∠F 101F2A=- 10
【答案】ABD
6 6
【详解】如图所示，过点F2分别作E的两条渐近线的平行线 l1,l2，则 l1,l2的斜率分别为 和- ，2 2
A 6 6对于 中，由图可知，当点A,B均在E的右支时，k<- 或 k> ，所以A正确；
2 2
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·24·
水不撩不知深浅
对于B中，光线由F2经过点A到达点C所经过的路程为 F2A + AC = F1A - 2a+ AC
= F1C - 2a= (2 10+ 10)2+ ( 10- 0)2- 4= 6，所以B正确；

对于C中，由AB AD=AB2，得AB AD-AB = 0，即AB BD= 0，所以AB⊥BD，
设 BF1 =n，则 BF2 =n- 2a=n- 4，
因为∠ABD= π，所以n2+ (n- 4)2= (2c)2= 40，整理得n2-4n- 12= 0，
2
解得n= 6或n=-2(舍去)，所以 BF1 = 6， BF2 = 2，
所以△BF1F2的面积S= 1 BF1 BF2 2 = 6，所以C错误；
BF
对于D项，在直角△F1BF2中，cos∠F1F2B=
2 = 2 = 10 ，
F1F2 2 10 10
所以 cos∠F 101F2A=-cos∠F1F2B=- ，所以D正确．10
故选：ABD．
2
(2024· x
2 y
14 重庆·三模)已知双曲线C: - = 1(a> 0)的左，右焦点分别为F
2 16 1
,F2,P为双曲线C上点，且
a
△PF1F2的内切圆圆心为 I(3,1)，则下列说法正确的是 ( )
A. a= 3 B.直线PF 11的斜率为 4
C. △PFF 64 D. △PFF 651 z的周长为 1 2的外接圆半径为3 12
【答案】ACD
【详解】如图 1，由条件，点P应在双曲线C的右支上，
设圆 I分别与△PF1F2的三边切于点M N A，则由题A 3,0 ，
且 PM = PN , F1M = F1A ， F2N = F2A ，
又∵ PF1 - PF2 = F1M - F2N = AF1 - F2A = xA+c - c- xA = 2xA= 2a
∴ a= xA= 3，A选项正确；
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·25·
水不撩不知深浅
IA
由选项A得F1 -5,0 ,

F 12 5,0 ，连接 IF1、IF2、IA，则 tan∠IF1A= = ，
AF1 8
= ∠ = ∠ = 2tan∠IFA所以 kPF tan PF1A tan2 IFA 1 =
16
1 ，B选项错误；1 1- tan2∠IF1A 63
同理，tan∠PF2A= tan2∠IF2A= 4 ，3
∴ tan∠F1PF2=-tan ∠PF1A+∠PF2A =- 12，5
∴ ∠F1PFtan 2 = 3 ，
2 2
b2 32
所以由焦三角面积公式得S△F = = ，1PF2
tan∠F1PF2 32
=
PF+PF+FF
S 1 2 1 2
r 64
又 △FPF ，故得 PF1 + PF2 + F1F1 2 2 2 = ，3
∴△PFF 641 2的周长为 ，C选项正确；3
由 tan∠F1PF2=- 12 sin∠FPF 125 1 2= ，13
F1F2 65
由正弦定理 ∠ = 2R得R= ，D选项正确.sin F1PF2 12
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：求直线PF1的斜率、△PF1Fz的周长、△PF1F2的外接圆半径的关键是根据已知条件F1A、F2
A、IA以及与各个所需量的关系即可求出∠PF1A= 2∠IF1A、∠PF2A= 2∠IF2A和∠F2PF1.
15 (2024·湖北襄阳·二模)抛物线C:x2= 2py的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到 (t,1)时，|PF| =
2，直线 l与抛物线相交于A、B两点，下列结论正确的是 ( )
A.抛物线的方程为：x2= 8y
B.抛物线的准线方程为：y=-1
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·26·
水不撩不知深浅
C.当直线 l过焦点F时，以AF为直径的圆与 x轴相切
D. AF + BF ≥ 4
【答案】BC
p
【详解】对于A：当P运动到 t,1 时， PF = 1+ = 2，故 p= 2，即抛物线为 x2= 4y，故A错误；
2
对于B：由 x2= 4y，故抛物线的准线方程为：y=-1，故B正确；
p
对于C：当直线 l过焦点F时，设A为 x0,y0 ，则 FA = y0+ = y0+1，2
y0+1 , x
y +1
故以AF为直径的圆的半径为 ，又F 0 1 ，故以AF为直径的圆的圆心坐标为 0 , 0 ，2 2 2
圆心到 x轴的距离与该圆半径相等，即该圆与 x轴相切，故C正确；
y= kx+m
对于D：由题意直线 l斜率存在，设 l的方程为 y= kx+m，联立 2= ，x 4y
整理得 x2-4kx- 4m= 0，Δ= -4k 2+16m> 0，即 k2+m> 0，
所以 xA+xB= 4k,xAxB=-4m，
x2 2
所以 yA+yB= k(xA+xB) +
x
2m= 4k2+2m，yAyB=
A B =m2，
4 4
所以 AF + BF = yA+1+ yB+1= yA+yB+2= 4k2+2m+ 2，
不能确定什么时候最小，则D错误.
故选：BC
16 (2024·浙江杭州·三模)如图，平面直角坐标系上的一条动直线 l和 x，y轴的非负半轴交于A，B两点，
若 OA + OB = 1恒成立，则 l始终和曲线C： x+ y= 1相切，关于曲线C的说法正确的有 ( )
A.曲线C关于直线 y= x和 y=-x都对称
B. 1 1曲线C上的点到 , 和到直线 y=-x的距离相等2 2
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·27·
水不撩不知深浅
C. C 2曲线 上任意一点到原点距离的取值范围是 ,1

4
D.曲线C π和坐标轴围成的曲边三角形面积小于 1-
4
【答案】BCD
【详解】对于A，曲线C： x+ y= 1中，x≥ 0,y≥ 0，所以不关于直线 y=-x对称，故错误；
2 2 x+ y
对于B，设C上一点P x,y ，则 x- 1 + y- 1 =
x2+y2-2x- 2y- 2xy+ 1= 0，而 x+
2 2 2
y= 1 x+ y+ 2 xy= 1 4xy= 1- x- y 2 x2+y2-2x- 2y- 2xy+ 1= 0，故正确；
2 2 2 2 2 x+ y
2
= + ≤ + = + ≥ ≥ 1 x+ y
2 2
对于C，OP x y x y 1，x y = 1 ，2 2 2 8
所以 x2+y2∈ 1 ,1
2
，所以曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是

,1
，故正确；
8 4
对于D，P x,y 到点A 1,1 的距离 AP 2= x- 1 2+ y- 1 2= x2+y2-2x- 2y+ 2= 2xy+ 1≥ 1，
π
故曲线C位于圆 x- 1 2+ y- 1 2= 1的左下部分四分之一圆弧的下方，故围成面积小于 1- ．
4
故选：BCD.
x2 y
2
17 (2024·河南·三模)已知椭圆C: + = 1(a> b> 0) 2经过点P( 2,1)，且离心率为 ．记C在P
a2 b2 2
处的切线为 l，平行于OP的直线 l 与C交于A，B两点，则 ( )
2 y2
A. C x的方程 + = 1
4 2
B.直线OP与 l的斜率之积为-1
C.直线OP，l与坐标轴围成的三角形是等腰三角形
D.直线PA，PB与坐标轴围成的三角形是等腰三角形
【答案】ACD
c = 2
a 2 a= 2 2x2 y
【详解】 2 + 1 = 1,∴ b= 2 ∴ 椭圆方程为： + = 1，故A正确；
a2 b2 4 2
c= 2 ab2= b2+c2
2
如图，因为点P在第一象限，取椭圆方程的右半部分得：y= 2- x ，
2
2
1 x -
1 2
则 y= 2- 2 · 2- x = -x ，2 2 2 8- 2x2
2
所以 k PM= y =- 2 k b 1，所以x= 2 2 OP kPM=- =- ，故B错误；a2 2
kPM+kOP= 0，则△POM为等腰三角形，故C正确；
2
2 y= x+mAB:y= x+m, 2
2 x2 y2 ，4 + 2 = 1
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·28·
水不撩不知深浅
消 y可得 x2+ 2mx+m2-2= 0，
x1+ 2
y1-1 y2-1x2=- 2m,x1x2=m -2,kPA+kPB= +
x1- 2 x2- 2
2 2
2 x1+m- 1 2 x2+m- 1 2x1x2+ (m- 2) x +x= + = 1 2
- 2 2m+ 2 2
= 0
x1- 2 x2- 2 x1- 2 x2- 2
PA,PB与坐标轴围成的三角形是等腰三角形，故D正确.
故选：D
18 (2024·辽宁·模拟预测)已知抛物线C:y2= 4x的焦点为F，过F的直线 l与C交于A，B两点，点P在C
的准线上，那么 ( )
A.若PA与C相切，则PB也与C相切
B. ∠APB≤ π
2

C.若点P在 x轴上，则PA PB为定值
D. 4若点P在 x轴上，且满足 |PA| = 4|PB|，则直线 l的斜率绝对值为
3
【答案】ABD
【详解】依题意，不妨设点A在第一象限，
抛物线C:y2= 4x的焦点为F 1,0 ，准线方程为 x=-1，
对于A：设A x1,y1 ，B x2,y2 ，
依题意可得过A，B两点的抛物线的切线不与坐标轴垂直，
不妨设过A x1,y1 的抛物线的切线方程为：x- x1=m y- y1 ，
即 x=my+ x1-my1，
x=my+ x1-my由 1 2 2= ，有 y -4my- 4x1+4my1= 0，y 4x
所以Δ= 16m2+16x1-16my1= 0，
2 y
2 y
又 y1= 4x 21，整理得m -my 11+ = 0，解得m= 1 ，4 2
, - y
2 x+ x
所以过A x1 y1 的抛物线的切线方程为：x x1= 1 y- y
1
1 ，整理得 y= ，2 y1
2 x+ x2
同理可得过B x2,y2 的抛物线的切线方程为：y= ，y2
y= 2 x+ x1 y
设两切线的交点为Q x ,y 10 0 ，由 + ，y= 2 x x2 y2
= y2x1-x2y1 = 4y2x1-4x2y1 = y2y
2-y y2
可得 x 1 1 2 = y1y20 - ，y1 y2 4 y1-y2 4 y1-y2 4
x= ty+ 1
设直线AB的方程为：x= ty+ 1 t≠ 0 ，由 2= 有 y
2-4ty- 4= 0，
y 4x
所以 y1y2=-4，y1+y2= 4t，则 x1x2= ty1+1 ty2+1 = t2y1y2+t y1+y2 + 1= 1，
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·29·
水不撩不知深浅
所以 x0=-1，
即两切线的交点Q在抛物线的准线上，
所以若PA与C相切，则PB也与C相切，故A正确；
x +x
对于B：设AB的中点为D，由 y1+y2= 4t，则 x1+x2= ty1+ty2+2= 4t2+2，则 x 1 2 2D= = 2t +1，2
AB
又 AB = x1+x2+2= 4t2+4，所以D到准线的距离 d= x 2D- -1 = 2t +2= ，2
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，
又点P在C的准线上，所以∠APB≤ π，故B正确；
2

对于C：依题意可得P -1,0 ，所以PA= x1+1,y1 ，PB= x2+1,y2 ，

所以PA PB= x1+1 x2+1 + y1y2= x1x2+ x1+x2 + 1+ y1y2

= 1+ 4t2+2+ 1- 4= 4t2，显然PA PB不是定值，故C错误；
+ = y1 + y2 = 4y 4y对于D：因为 k k 1 2PA PB +x1+1 x2+1 y21+4 y22+4
4y1 y
2+4
= 2
+ 4y 22 y1+4
y21+4 y22+4
4 y1y2 y1+y2 + 4 y1+y2 4 -4 y1+y2 + 4 y1+y= = 2 = 0，
y2 2 21+4 y2+4 y1+4 y22+4
所以 x轴为∠APB的平分线，
AF AP
根据角平分线定理可得 = = 4，
BF BP
设直线 l π的倾斜角为 θ 0< θ< ，2
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·30·
水不撩不知深浅
= pAF = 1 p则 ， BF = = 1 ，
1- cosθ 1- cosθ 1+ cosθ 1+ cosθ
1
所以 1- cosθ = 4 3 4，解得 cosθ= ，所以 sinθ= ，
1 5 5
1+ cosθ
则直线 l的斜率为 tanθ= 4 ，故D正确.
3
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
(1)设直线方程，设交点坐标为 x1,y1 、 x2,y2 ；
(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 x(或 y)的一元二次方程，必要时计算Δ；
(3)列出韦达定理；
(4)将所求问题或题中的关系转化为 x1+x2、x1x2的形式；
(5)代入韦达定理求解.
19 (2024·广东汕头·二模)用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，
可以得到不同的截口曲线，也即圆锥曲线.探究发现：当圆锥轴截面的顶角为 2α时，若截面与轴所成的角为
= cosββ，则截口曲线的离心率 e .例如，当 α= β时，e= 1，由此知截口曲线是抛物线.如图，圆锥SO中，M、
cosα
N分别为SD、SO的中点，AB、CD为底面的两条直径，且AB⊥CD、AB= 4，SO= 2.现用平面 γ(不过圆锥
顶点)截该圆锥，则 ( )

A.若MN γ，则截口曲线为圆
B.若 γ与SO所成的角为 60°，则截口曲线为椭圆或椭圆的一部分
C.若M、A、B∈ γ，则截口曲线为抛物线的一部分
D.若截口曲线是离心率为 2的双曲线的一部分，则O γ
【答案】BCD
π
【分析】根据情境，由题可知 cosα= cos ，再对每个选项，求出过点M的平面与旋转轴OS所成角的余弦，即
4
cosβ
cosβ的值，代入 e= 求值，从而利用离心率的范围判断截口曲线类型即可．
cosα
【详解】对于A，由题意知过MN的平面与底面不平行，则截口曲线不为圆，故A错误；
π
对于B，γ与SO所成的角为 60°，所以 β= ，
3
π π
因为OD=OS= 2，所以∠OSD= ，即 α= ，
4 4
人不拼怎知输赢
·31·
水不撩不知深浅
1
cosβ 1
所以 e= = 2 = < 1，所以平面 γ截该圆锥得的截口曲线为椭圆或椭圆的一部分，
cosα 2 2
2
故B正确；
对于C，因为SO⊥平面ABD，AB 平面ABD，所以SO⊥AB，
因为AB⊥CD，CD∩SO=O，CD,SO SOD，
所以AB⊥平面SOD，又因为SD 平面SOD，所以SD⊥AB,
又SO=OD,M为SD、SO的中点，所以SD⊥OM，
AB∩OM=O,AB,OM 平面MAB，
所以SD⊥平面MAB，所以 γ与SO π π所成的角为∠SOM= ,∠OSD= ，
4 4
所以 β= π , = π cosβα ，e= = 1，故C正确；
4 4 cosα
对于D， 截口曲线是离心率为 2的双曲线的一部分，
cosβ cosβ
则 = = 2,∴ cosβ= 1,∵ β∈ 0,
π ,∴ β= 0，
cosα 2 2
2
所以平面 γ OS，故平面 γ不经过原点O，故D正确．
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解截口曲线 (圆锥曲线)的离心率的定义，根据情境，由题可知 cosα=
cosβ
cos π，再对每个选项，求出过点M的平面与旋转轴OS所成角的余弦，即 cosβ的值，代入 e= 求值，从
4 cosα
而利用离心率的范围判断截口曲线类型即可．
三、填空题
y2
20 (2024·北京·三模)已知双曲线C: - x2= 1．则C的离心率是 ；若C的一条渐近线与圆D:
4
x- 1 2+y2= 1交于A，B两点，则 AB = ．
5 2 5
【答案】
2 5
【分析】根据双曲线的标准方程，得到 a,b,c的值，结合双曲线的几何性质，求得双曲线的离心率和渐近线方
程，再利用圆的弦长公式，即可求解.
2
【详解】由双曲线C: y - x2= 1，可得 a= 2,b= 1，则 c= a2+b2= 5，
4
C e= c = 5所以双曲线 的离心率为 ；
a 2
a
又由双曲线C的其中一条渐近线方程为 y= = 2x，即 2x- y= 0，
b
因为圆D: x- 1 2+y2= 1的圆心为D(1,0)，半径 r= 1，
2× 1- 0
所以圆心D 2 5到渐近线的距离为 d= = ，
22+ (-1)2 5
人不拼怎知输赢
·32·
水不撩不知深浅
2 2 5
由圆的弦长公式，可得 AB = 2 r2-d2= 2 1- 2 5 = .5 5
5 2 5
故答案为： ； .
2 5
2 2
21 (2024·河北衡水·三模) y已知椭圆C: x + = 1(a> b> 0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为 6，点M
a2 b2
(1,1)，直线MF2与C交于A，B两点，且M为AB中点，则△AF1B的周长为 ．
【答案】12 2
【详解】由题意知F1(-3,0),F2(3,0)，
x2 y2 x2 y2
设A，B两点坐标分别为 x ,y , x ,y ,∴ 1 + 1 2 21 1 2 2 = 1, + = 1，
a2 b2 a2 b2
x1+x2 x1-x2 y1+y2 y -y
两式相减得 + 1 2 = 0，
a2 b2
由题意M为AB中点，
y -y b2
则 x1+x2= 2,y1+y2= 2，代入整理得 1 2- =- ．x x a21 2
1 1
即由题意知 kAB= kMF=2 1- =- ，3 2
b2- =- 1因此 ，所以 a2= 2b2,c2= b2，由焦距为 6，解得 a= 3 2．
a2 2
由椭圆定义知△AF1B的周长为 AF1 + BF1 + AB = AF1 + AF2 + BF1 + BF2 = 4a= 12 2．
故答案为：12 2
x2 y
2
22 (2024·山东聊城·三模)已知双曲线C: - = 1(b> a> 0)的一个焦点为F,O为坐标原点，点A,B
a2 b2

在双曲线上运动，以A,B为直径的圆过点O，且 OA+OB OF ≤ OA OB 恒成立，则C的离心率的取值范
围为 ．
【答案】 2, 1+ 5 / 2< e≤ 1+ 52 2
【分析】先根据题意得到OA⊥OB，即 x1x2+y1y2= 0，再联立直线方程和双曲线方程利用韦达定理化简得到
m2 a2b2= ，再结合等面积法和向量运算，即可求解离心率.
k2+1 b2-a2
【详解】设A x1,y1 ,B x2,y2 ，直线AB:y= kx+m，

因为以A,B为直径的圆过点O，所以OA⊥OB，即OA OB= x1x2+y1y2= 0，
y= kx+m
联立 2 ，整理得 b2-a2k2 2 x2 - y = x -2kma
2x- a2m2-a2b2= 0，
a2
1
b2
且Δ= 4k2m2a4+4 b2-a2k2 a2m2+a2b2 > 0，
2 -a2 m2+b2
x 2kma

1+x2= ，x1x2= ，
b2-a2k2 b2-a2k2
2 2 2 2 2
则 y1y2= kx 21+m kx2+m = k x1x1+km x +x +m2= m b -a b k 1 2 ，
b2-a2k2
人不拼怎知输赢
·33·
水不撩不知深浅
-a2 m2+b2+
2 2 2
x x y y = + m b -a b
2k2
所以 1 2 1 2 = 0
b2-a2k2 b2-a2k2
m2 a2b2
整理得 = ，
k2+1 b2-a2
即由O 0,0 到直线AB: = + =
|m|
y kx m ab的距离 d = ，
1+ k2 b2-a2

又S△ABC=
1 |OA| |OB| = 1 |AB| d，
2 2

即 |OA| |OB| = |AB| d，

而 OA+OB OF = AB c，

因为 OA+OB OF ≤ OA OB c≤ ab，即 ，
b2-a2
e4-3e2+1≤ 0 1< e≤ 1+ 5所以 ，
2
又 b> a 2< e，
2< e≤ 1+ 5所以 .
2
2, 1+ 5故答案为： 2
【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的离心率，难点是联立方程后的化简过程，对计算的要求较高，其中利用

等面积法转化 |OA| |OB| = |AB| d为关键.
2
x2 y
23 (2024·湖南衡阳·三模)如图所示，已知双曲线C: - = 1 a> 0,b> 0 的右焦点F，过点F作直线
a2 b2

l交双曲线C于A，B两点，过点F作直线 l的垂线交双曲线C于点G，AB= 2BF，且三点A，O，G共线 (其
中O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为 ．

【答案】 5
【详解】

人不拼怎知输赢
·34·
水不撩不知深浅
设另一个焦点F1，连接F1A,FB,F1G，设 BF =m,则 AB = 2m,
再根据双曲线的定义可知： BF1 = BF + 2a=m+ 2a, AF1 = AF - 2a= 3m- 2a,
由双曲线的对称性可知，O是AG的中点，O也是F1F的中点，
所以四边形AF1GF是平行四边形，又因为AF⊥GF，所以可得AF1⊥AB，
所以由勾股定理得： BF 21 = AF 21 + AB 2 m+ 2a 2= 3m- 2a 2+4m2，
化简得：m= 4 a，
3
再由勾股定理得： FF 2 21 = AF1 + AF 2 4c2= 3m- 2a 2+9m2，
m= 4代入 a得：c2= 5a2 e= c = 5，
3 a
故答案为： 5.
24 (2024·北京·三模)已知抛物线C:y2= 4x的焦点为F，则F的坐标为 ；过点F的直线交抛物线
C于A,B两点，若 AF = 4，则△OAF的面积为 ．
【答案】 (1,0) 3
【详解】抛物线C:y2= 4x的焦点为F(1,0)，准线方程为 x=-1，
设A(x0,y0)，则 |AF| = x0+1= 4，解得 x0= 3，于是 y20= 4x0= 12，|y0| = 2 3，
所以△OAF 1的面积为S= |OF| |y 1
2 0
| = × 1× 2 3= 3.
2
故答案为：(1,0)； 3
2 y2
25 (2024· · x湖南长沙 三模)已知椭圆C: + = 1(a> b> 0) 1的离心率为 ，过C的左焦点且斜率为 1
a2 b2 2
的直线与C交于A,B两点.若 AB = 12，则C的焦距为 .
【答案】7
C e= 1【详解】由椭圆 的离心率为 ，可得 a= 2c，则 b= a2-c2= 3c，
2
2 2x
所以椭圆C的方程为 + y = 1，即 3x2+4y2-12c2= 0，
4c2 3c2
由直线AB过椭圆C的右焦点F(c,0)且斜率为 1，可得AB的方程为 y= x+ c，
y= x+ c
联立方程组 2 2 3x2+ 2- ，整理得 7x +8cx- 8c = 0，4y 12c2= 0
则Δ= 64c2+4× 7× 8c2= 288c2> 0，
8 8
设A x1,y ,B x 21 2,y2 ，则 x1+x2=- c,x x =- c ，7 1 2 7
人不拼怎知输赢
·35·
水不撩不知深浅
2× 64c22 2 2 +4× 7× 8c
2
= + + - = AB 1 1 x x 4x x = 24c所以 1 2 1 2 = 12，7 7
7
解得 c= ，所以椭圆C的焦距为 2c= 7.
2
故答案为：7.
2
26 ( y2024·河北保定·三模)若双曲线C：x2- = 1的左、右焦点为F1，F2，P是其右支上的动点.若存在3
P，使得 |PF2|，t|F1F2|，|PF1|(t> 0)依次成等比数列，则 t的取值范围为 .
3
【答案】 ,+∞4
【详解】由题意可知，a2= 1，b2= 3，c2= 4，且 |PF1| |PF | = t22 |F1F2|2= 16t2，t> 0，
设 |PF2| =m∈ [1,+∞)，则 |PF1| =m+ 2，所以m(m+ 2) = 16t2在m∈ [1,+∞)上有解，
又 y=m m+ 2 =m2+2m在m∈ [1,+∞)上单调递增，所以m2+2m≥ 3，
所以 3≤ 16t2，且 t> 0 3，解得 t∈ ,+∞ .4
3
故答案为： ,+∞ .4
四、解答题
2 y2
27 (2024·北京·三模)已知椭圆E: x + = 1 b2< 4 1 的离心率为 ．4 b2 2
(1)求椭圆E的方程和短轴长；
(2)设直线 l1:y= kx+m与椭圆E相切于第一象限内的点P，不过原点O且平行于 l1的直线 l2与椭圆E交于
k
不同的两点A，B，点A关于原点O的对称点为C．记直线OP的斜率为 k1，直线BC的斜率为 k2，求
1 的
k2
值．
2 2
【答案】(1) x y椭圆E的方程为 + = 1，短轴长为 2 3
4 3
(2)1
4- b2 1
【详解】(1)由题意可得 = ，解得 b2= 3，
2 2
x2 y
2
所以椭圆E的方程为 + = 1，短轴长为 2 3；
4 3
y= kx+m
(2)由 2x2 y 消 y得 4k
2+3 x2+8kmx+ 4m2-12= 0①，
4 + 3 = 1
由Δ= 8km 2-4 4k2+3 4m2-12 = 0，得m2= 4k2+3，
此时方程①可化：m2x2+8kmx+ 16k2= 0，
4k
解得：x=- (由条件可知：k,m异号)，
m
2 2
设P x0,y 4k0 ，则 x0=- ，y0= kx 4km 0+m= k· - m +m=
m -4k = 3 ，
m m
人不拼怎知输赢
·36·
水不撩不知深浅
3
P - 4k , 3即 ，所以 k = m1 =- 3 ，m m - 4k 4km
因为 l1 l2，所以可设直线 l2：y= kx+n(n≠ 0，n≠m)，
y= kx+n由 2 y2x 消 y得 4k
2+3 x2+8knx+ 4n2-12= 0，
4 + 3 = 1
当Δ> 0时，方程有两个不相等的实根，
设A x1,y1 ，B x2,y2 ，
x +x -8kn
2
则 1 2= ，x x = 4n -121 2 ，
4k2+3 4k2+3
因为A,C两点关于原点对称，所以C -x1,-y1 ，
= y2+y1 = kx2+n+ kx1+nk = k+ 2n 2n 4k
2+3 3
所以 2 x2+x1 x2+x1 x2+
= k+ - = k- =- ，x1 8kn 4k 4k
4k2+3
所以 k1= k2
k1 = 1.
k2
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
2 2
28 ( y2024·江西·模拟预测)已知双曲线C: x - = 1 a> 0,b> 0 的离心率为 2，顶点到渐近线的距离
a2 b2
6
为 ．
2
(1)求C的方程；
(2)若直线 l:y= kx+ 2交C于A,B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为 2 6，求 k的值．
2 2
【答案】(1) x - y = 1
2 6
(2)k=±1或 k=±2
c
【详解】(1)记C的半焦距为 c，由题得C的离心率 e= = 2，①
a
由对称性不妨设C的顶点为 a,0 ，渐近线方程为 bx- ay= 0 ab 6，则 = ，②
c 2
又 a2+b2= c2，③
联立①②③解得 a= 2，b= 6，c= 2 2，
2
x2 y
所以C的方程为 - = 1．
2 6
(2)设A x1,y1 ,B x2,y2 ，
y= kx+ 2由 2 2 x2 y2 得 3- k x -4kx- 10= 0，2 - 6 = 1
人不拼怎知输赢
·37·
水不撩不知深浅
2
3- k ≠ 0所以 = 2+ - 2 = - 2> ，Δ 16k 40 3 k 120 24k 0
解得- 5< k< 5，且 k≠± 3 * ，
4k -10
所以 x1+x2= ，x1x2= ，
3- k2 3- k2
2 2 6 1+ k2 5- k2
所以 AB = 1+ k2 x +x 21 2 -4x1x2= 1+ k2 4k 2 +4× 10 = ．3- k 3- k2 3- k2
又点O 2到直线 l的距离 d= ，
1+ k2
1 2△AOB S= AB d= 1 × 2 6 1+ k 5- k
2
2 = 2 6 5- k
2
所以 的面积 = 2 6，
2 2 3- k2 1+ k2 3- k2
解得 k=±1或 k=±2，符合 * 式，
所以 k=±1或 k=±2．
29 (2024·山东·模拟预测)已知抛物线E：y2= 2px p> 0 经过点P 1,2 .
(1)求抛物线E的方程；
(2)设直线 y= kx+m与E的交点为A，B，直线PA与PB倾斜角互补.
(i)求 k的值；
(ii)若m< 3，求△PAB面积的最大值.
【答案】(1)y2= 4x
(2) (i)k=-1 8 6；(ii) .
9
【详解】(1)由题意可知，4= 2p，所以 p= 2，
所以 抛物线E的方程为 y2= 4x.
(2) (i)如图：
设A x1,y1 ，B x2,y2 ，将直线AB的方程代入 y2= 4x得：
k2x2+ (2km- 4)x+m2= 0 x +x = 4- 2km m
2
，所以 1 2 ，x1x2= ，
k2 k2
因为直线PA与PB倾斜角互补，
+ = y2-2 y1-2 kx +m- 2 kx所以 k k 2 1+m- 2PA PB x2-
+ = + = 0，
1 x1-1 x2-1 x1-1
+ ( + x +x -2即 2k k m- 2) 1 + 1 = 2k+ (k+m- 2) 1 2 = 0，x2-1 x1-1 (x2-1) (x1-1)
2k+ (k+m- 2) 4- 2km- 2k
2
所以 = 0，
(k+m- 2) (k+m+ 2)
2k+ 4- 2km- 2k
2
即 + + = 0，所以 k=-1.k m 2
(ii)由 (i)可知 x2- (2m+ 4)x+m2= 0，所以 x1+x2= 4+ 2m，x1x 22=m ，
则 AB = 1+ 1 x1+x2 2-4x1x2= 4 2 1+m，
因为Δ= (2m+ 4)2-4m2> 0，所以m>-1，即-1人不拼怎知输赢
·38·
水不撩不知深浅
|3-m|
又点P到直线AB的距离为 ，
2
= 1 × + |3-m|所以S 4 2 1 m = 2 (3-m)2(m+ 1)，
2 2
(3-m)2(m+ 1) = 1 (3-m) (3-m) (2m+ 2)≤ 1 3-m+ 3-m+ 2m- 2
3 32
因为 = ，
2 2 3 27
所以S≤ 8 6 1，当且仅当 3-m= 2m+ 2，即m= 时，等号成立，
9 3
所以△PAB 8 6面积最大值为 .
9
2 2
30 ( y2024·山东济宁·三模)已知椭圆E: x + = 1(a> b> 0)的左焦点为F，上顶点为B，离心率 e=
a2 b2
2
，直线FB过点P(1,2).
2
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点F的直线 l与椭圆E相交于M，N两点 (M、N都不在坐标轴上)，若∠MPF=∠NPF，求直线 l的方
程.
x2
【答案】(1) + y2= 1；
2
(2)5x+ y+ 5= 0.
【详解】(1)令F(-c,0) e= c = 2，由 ，得 a= 2c,b= c，则直线FB的斜率 k= 1，
a 2
由直线FB过点P(1,2)，得直线FB的方程为 y= x+ 1，因此 b= c= 1,a= 2，
x2
所以椭圆C的标准方程为 + y2= 1.
2
(2)设∠MPF=∠NPF= θ，直线MP的倾斜角为 β，
直线NP π的倾斜角为 α，由直线FP的斜率 k= 1知直线FP的倾斜角为 ，
4
α= π + θ, π于是 = β+ θ，即有 α+ β= π π，显然 α,β均不等于 ，
4 4 2 2
sin π - α
则 tanαtanβ= sinα 2 = 1，即直线MP,NP的斜率满足 k k = 1，
cosα π MP NPcos 2 - α
由题设知，直线 l的斜率不为 0，设直线 l的方程为 x=my- 1,m≠ 1，
x=my- 1由 2 2+ 2= ，消去 x并整理得，(m +2)y
2-2my- 1= 0，显然Δ> 0，
x 2y 2
设M (x1,y1),N (x2,y 2m2)，则 y1+y2= ,y1y =- 1 ，
m2+ 22 m2+2
= y由 k 1-2MP kNP 1，得 -
y2-2
- = 1，即 (x1-1) (x2-1) - (y1-2) (y2-2) = 0，x1 1 x2 1
则 (my1-2) (my2-2) - (y1-2) (y2-2) = 0，整理得 (m2-1)y1y2- (2m- 2) (y1+y2) = 0，
m2- -1 - (2m- 2) 2m即 = 0，于是 5m2-4m- 1= 0，而m≠ 1，解得，m=- 1 ，
m2+2 m2+2 5
人不拼怎知输赢
·39·
水不撩不知深浅
l 1所以直线 的方程为 x=- y- 1，即 5x+ y+ 5= 0.
5
【点睛】关键点点睛：本题第 2问，由∠MPF=∠NPF，结合直线倾斜角及斜率的意义求得 kMP kNP= 1是解题
之关键.
31 (2024·重庆·三模)已知M为圆 x2+y2= 9上一个动点，MN垂直 x轴，垂足为N，O为坐标原点，
△OMN的重心为G.
(1)求点G的轨迹方程;
(2)记 (1)中的轨迹为曲线C，直线 l与曲线C相交于A、B两点，点Q(0,1)，若点H( 3,0)恰好是△ABQ的垂
心，求直线 l的方程.
x2
【答案】(1) + y2= 1 xy≠ 0
4
(2)y= 3x- 16
5
【详解】(1)设G x,y ,M x0,y0 ，则N x0,0 ，因G为△OMN的重心，
x= 2x0 3 x 3x 2 2 x2故有： 2 y ，解得 0= ,y = 3y，代入 x +y = 9，化简得 + y = 1，y= 0 2 0 0 0 43
2
又 x y ≠ 0 x0 0 ，故 xy≠ 0，所以G的轨迹方程为 + y2= 1 xy≠ 0 .4
(2)因H为△ABQ的垂心，故有AB⊥HQ,AH⊥BQ，
k = 1- 0 3又 HQ =- ，所以 k- 3 l
= 3，故设直线 l的方程为 y= 3x+m m≠ 1 ，
0 3
x2
与 + y2= 1联立消去 y得：13x2+8 3mx+ 4m2-4= 0，
4
由Δ= 208- 16m2> 0得m2< 13，
2
设A x1,y1 ,B x2,y2 ，则 x1+x2= -8 3m ,x x = 4m -4，13 1 2 13
⊥ y1 y -1由AH BQ，得 2 =-1，所以 x2 x1- 3 + 3x1+m 3x2+m- 1 = 0，
x1- 3 x2
所以 4x1x
2
2+ 3 m- 1 x1+x2 +m -m= 0，
所以 4 4m2-4 - 24m m- 1 + 13 m2-m = 0，化简得 5m2+11m- 16= 0，
解得m= 1(舍去) 16 16或m=- (满足Δ> 0)，故直线 l的方程为 y= 3x- .
5 5
32 (2024·云南曲靖·模拟预测)已知抛物线C:y2= 4x，焦点为F，点P为曲线C的准线与对称轴的交点，
过F的直线 l与抛物线C交于A，B两点.
(1)证明：当∠APB= 90°时，PA、PB与抛物线相切；
(2)当∠APB= 45°时，求 AB .
【答案】(1)证明见解析
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(2)12+ 8 2
2 2
【分析】(1) y y由题意设直线 l为 x=my+ 1，A 1 ,y1 ,B 2 ,y2 ，将直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系4 4
数的关系，再结合∠APB= 90°可求出m= 0，从而可求出A,B的坐标，则可求出直线PA、PB方程，分别与
抛物线方程联立可证得结论；
(2)由 (1)可得PF平分∠APB，则 kPA= tan22.5°，利用三角函数恒等变换公式可求出 tan22.5° = 2- 1，从而
得 kPA=
4y1 = 2- 4y1，k = 2 = 1- 2，两式相乘化简可求得m2+1= 1 ，再利用弦长公式可
y2+ PB1 4 y22+4 ( 2- 1)2
求得结果.
2 2
【详解】(1)由题意得P(-1,0), ( , ) = + y yF 1 0 ，设直线 l为 x my 1，A 1 ,y ,B 2 ,y ，4 1 4 2
2
由
y = 4x 2
x= + ，得 y -4my- 4= 0，my 1
Δ= 16m2+16> 0，
所以 y1+y2= 4m,y1y2=-4，
y 4y
k = 1 = 1 y 4yPA 2 ，k
2 2
y 2+ PB
= 2 = ，2
1
4 + 1
y1 4 y2 y2+4
4 + 1
因为∠APB= 90°，所以 kPA =
4y
k 1 4y2 = 16y1y2PB =-1，
y2 2 21+4 y2+4 (y1+4) (y22+4)
所以 (y21+4) (y22+4) =-16y1y2= 64，
所以 (y 2 2 21y2) +4(y1+y2) + 16= 64，
所以 y21+y22= 8，(y1+y )22 -2y1y2= 16m2+8= 8，得m= 0，
所以直线 l为 x= 1，则A(1,2),B(1,-2)，
此时直线PA,PB关于 x对称，
kPA=
4y1 = 8 = = 4y1，k 2 = -8 = 1，
y2
PB 2
1+4 8 y2+4 8
所以PA为 y= x+ 1，直线PB为 y=-x- 1，
y
2= 4x
由 = + ，得 x
2-2x+ 1= 0，Δ= 4- 4= 0，
y x 1
所以方程组只有一组解，所以直线PA与抛物线相切，
y
2= 4x
由 ，得 x2 =- - -2x+ 1= 0，Δ= 4- 4= 0，y x 1
所以方程组只有一组解，所以直线PB与抛物线相切，
综上，当∠APB= 90°时，PA、PB与抛物线相切；
(2)由 (1)可知 y1+y2= 4m,y1y2=-
4y 4y
4，k = 1 ，k = 2PA ，
y21+
PB
4 y22+4
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4 -4y -4y
所以 kPB= 1 =
1 =-kPA，-4 2 +4 y
2
1+4
y1
所以PF平分∠APB，
因为∠APB= 45°，所以∠APF=∠BPF= 22.5°，
因为 tan22.5° = 1- cos45° = 2- 2 = 2- 1+ ° = 2- 1，1 cos45 2+ 2 2+ 1
4y
所以 k 1
4y2
PA= = 2- 1，k2+ PB
= = 1- 2，
y 21 4 y2+4
= 4y1 4y所以 k k 2 16y1y2 2PA PB = =- ( 2- 1) ，
y21+4 y2 22+4 (y1+4) (y22+4)
16y1y2 =- ( 2- 1)2，
(y1y2)2+4(y2 21+y2) + 16
16y1y2 =- ( 2- 1)2，
(y y )21 2 +4[(y1+y2)2-2y1y2]+ 16
-64
所以 =- ( 2- 1)2，
16+ 4(16m2+8) + 16
1 = ( 2- 1)2，得m2+1= 1 ，
m2+1 ( 2- 1)2
所以 AB = 1+m2 (y 21+y2) -4y1y2
= 1+m2 16m2+16
= 4(1+m2)
= 4 = 4 = 12+ 8 2
( 2- 1)2 3- 2 2
【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线与直线的位置关系，考查根与系数的关系的应用，考查弦长公式的应用，
考查抛物线的焦点弦问题，解题的关键是将直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，再结合斜率
公式得到PF平分∠APB，考查数形结合思想和计算能力，属于较难题.
33 (2024·四川·模拟预测)已知抛物线C：y2= 2px(p> 0)的焦点为F，A为抛物线上一点，B p,0 ，若
AB 的最小值为 2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)直线 l过点P 5,-4 且交抛物线C于M，N两点，求 FM FN 的最小值．
【答案】(1)y2= 4x
(2) 36
5
【分析】(1)设A x,y ，根据 AB ≥ 2可求 p的值，得到抛物线方程.
(2)设直线 l的点斜式方程 (注意讨论)，与抛物线方程联立，设M x1,y1 ，N x2,y2 ，由一元二次方程根与系数
的关系，得到 x1+x2，x1x2，再根据抛物线的概念，用 x1+x2，x1x2表示出 FM FN ，利用二次函数求它的范
围.
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2 2 4
【详解】(1)设A x,y ，则 AB = (x- p)2+y2= y - p + yy2= + p22 ≥ p，等号成立当且仅当 y=2p 4p
0，
所以 p= 2，
所以抛物线C的方程为 y2= 4x．
(2)设M x1,y1 ，N x2,y2 ，当直线的斜率存在时，由题易知直线的斜率不为 0，
设直线 l的方程为 y= k x- 5 - 4= kx- 5k- 4(k≠ 0)，
y2= 4x,
与抛物线C的方程联立 y= kx- 5k- 4,
消去 y得 k2x2- 10k2+8k+ 4 x+ (5k+ 4)2= 0，
2 5k+ 4 2
由P 5,-4 10k +8k+ 4 在抛物线内部，故Δ> 0，所以 x1+x2= ，x1x2= ．
k2 k2
由 (1)知，F 1,0 为抛物线C的焦点，由抛物线定义得，
5k+ 4 2 10k2+8k+ 4
FM FN = x1+1 x2+1 = x1x2+x1+x2+1= + + 1
k2 k2
48k+ 20 2= + 36= 20 1 + 6 + 36 ≥ 36，k2 k 5 5 5
1 6 5 36
所以当 =- ，k=- 时， FM FN 的最小值为 ；
k 5 6 5
当直线的斜率不存在时，x1= x2= 5．
由抛物线定义知 FM FN = x1+1 x2+1 = 36．
综上， FM 36 FN 的最小值为 ．
5
34 (2024·湖南长沙·二模)已知椭圆E中心在原点，左焦点为F(-1,0)，其四个顶点的连线围成的四边形
面积为 2 2.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过椭圆E的左焦点F作斜率存在的两直线AB、CD分别交椭圆于A、B、C、D，且AB⊥CD，线段AB、
CD的中点分别为M、N .求四边形BCMN面积的最小值.
2
【答案】(1) x + y2= 1
2
(2) 4
9
2 y2x
【分析】(1)由题可知椭圆的焦点在 x轴上，标准方程可设为 + = 1 a> b> 0 ，由椭圆的性质可得四边
a2 b2
1
形面积为 × 2a× 2b= 2 2，由焦点坐标可知 c= 1，联立方程即可求出 a、b
2
(2)由点斜式设出直线AB、CD的方程，联立直线AB与椭圆E的方程，写出判别式和韦达定理，由弦长公式
AB 1 1 1得到 ，同理可得 CD ，四边形BCMN面积为 BM CN ，而 BM = AB 、 CN = CD ，利用
2 2 2
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AB 和 CD 进行转化，即可求出面积的最小值.
x2 y
2
【详解】(1)根据题意可知椭圆的焦点在 x轴上，设椭圆E的标准方程为 + = 1 a> b> 02 2 ， a b
椭圆四个顶点的连线围成的四边形是菱形，两条对角线互相垂直，而两条对角线长分别为 2a，2b，
1
由已知得 × 2a× 2b= 2 2，即 ab= 2，
2
因为左焦点为F(-1,0)，所以 c= 1，可得 a2-b2= 1，
ab= 2 a= 2
联立 a2-b2= ，解得 ，1 b= 1
E x
2
故椭圆 的标准方程为 + y2= 1.
2
(2)作出椭圆E的图象，如下图所示：
根据题意可知直线AB、CD的斜率存在，且AB⊥CD，
所以两直线AB、CD的斜率存在且不为 0，
1
因此设直线AB、CD的斜率分别为 k、- ，
k
又F(-1,0)，设直线AB方程为 y= k(x+ 1) 1，直线CD方程为 y=- (x+ 1)，
k
设A、B、C、D的坐标分别为 x1,y1 、 x2,y2 、 x3,y3 、 x4,y4 ，
设四边形BCMN面积为S.
y= k(x+ 1)联立 2 2 2 2 x2 + 2= ，得 2k +1 x +4k x+ 2k -2y 1 = 0，2
Δ= 4k2 2-4× 2k2+1 2k2-2 = 8 k2+1 > 0，
2
x1+x2=- 4k2
因为 x1、x2是该方程两根，由韦达定理可得 2k +1 2- ，x x = 2k 21 2 2k2+1
由弦长公式可得 AB = x2-x1 2+ y2-y 21 = k2+1 x1-x 22 = k +1 x1+x2 - 4x1x2，
2 2
AB = k2+1 8k +8
2 2 k +1
则 = ，
2k2+1 2k2+1
2 2 12 + 1 2 2 k2+1
同理可得， CD = k = .
2 + 1 k2+2
k2
因为M、N分别是线段AB、CD的中点，且AB⊥CD，
所以BM⊥CN 1 1， BM = AB ， CN = CD ，
2 2
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1 2 2 k
2+1 2 2 k2+1=
k2+1 2
S BM CN = 1 AB CD = = ，
2 8 8 2k2+1 k2+2 2k2+1 k2+2
k4+2k2+1 1 k2
所以S= = 1- = 1 1- 1 ≥ 1 1- 1 = 4 ，
2k4+5k2+2 2 2k4+5k2+2 2 2 k2+ 1 + 5 2 2× 2+ 5 9 k2
当且仅当 k2= 1 ，即 k=±1时，等号成立.
k2
4
故四边形BCMN面积的最小值为 .
9
35 (2024·福建厦门·三模)平面直角坐标系 xOy中，动点P在圆 x2+y2= 4上，动点Q(异于原点)在 x轴
上，且 |PQ| = 2，记PQ的中点M的轨迹为Γ.
(1)求Γ的方程；
(2)过点 (3,1)的动直线 l与Γ交于A，B两点.问：是否存在定点N，使得 k1k2为定值，其中 k1,k2分别为直线
NA，NB的斜率.若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由.
(1) x
2
【答案】 + y2= 1(x≠ 0)
9
(2) N 3 , 1 N 3 2 ,- 2 N - 3 2 , 2存在， 或 或2 2 2 2 2 2
2x
【分析】(1)设点P x ,y ，M (x,
x=
y)，由题意可得 3
2 2
代入 x +y = 4即可得结果；y= 2y
(2)方法一： 设 l的方程：y= k(x- 3) + 1 k> 0 ，联立方程，结合韦达定理可得 k1k2=
9y2 2 2 2 20k +6 y0-1 k+ y0-1 y y -1
，由题意可得 0 = y0-1 = 0 ，分析求解即可；方法二：设 l的方
9 x0-3 2k2+18 x -3 k+ x20 0 x0-3 2 3 x0-3 x20
9y20k
2+6 y0-1 k+ y0-1 2
程：y= k(x- 3) + 1，联立方程，结合二次式的零点式分析可得 k1k2= ，由题意可
9 x0-3 2k2+18 x 20-3 k+ x0
y20 = y
2
得 0
-1 =
y0-1
，分析求解即可.
x0-3 2 3 x0-3 x20
【详解】(1)设点P x ,y ，M (x,y)，
因为 OP = PQ ，则Q 2x ,0 , x ≠ 0 ，

x= x+2x x = 2x
由M 2为PO中点得 ，则 3y ，y= y= 2y2
2
代入 x 2+y 2= 4 x，得 + y2= 1.
9
x2
所以动点M的轨迹Γ的方程为 + y2= 1(x≠ 0).
9
(2)方法一：存在N满足题意，证明如下：
依题意直线 l的斜率存在且不为 0，
设 l的方程：y= k(x- 3) + 1 k> 0 ，A x1,y1 ，B x2,y2 ，N x0,y0 ，
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y= k x- 3 + 1联立方程 2 2 x2 + 2= ，消去 y得 1+ 9k x +18k(1- 3k)x+ 81k
2-54k= 0，
9 y 1
18k(1- 3k) 2
则 x 81k -54k1+x2=- ，x1x2= ，
1+ 9k2 1+ 9k2
= + y- 1直线 l方程化为 x 3 ，
k
x= 3+ y- 1
联立方程 k 2 2 x2 ，消去 x得 1+ 9k y + (6k- 2)y- 6k+ 1= 0，9 + y2= 1
y 6k- 2 1- 6k则 1+y2=- ,y y = ，
1+ 9k2 1 2 1+ 9k2
y20+ 6k- 22y + 1- 6k0 2
可得 k1k2=
y0-y1 y0-y2 = 1+ 9k 1+ 9k
x0-
.
x 21 x0-x2 x2+ 18k(1- 3k)0 + 2 x0+
81k -54k
1 9k 1+ 9k2
1+ 9k2 y20+ (6k- 2)y0+1- 6k 9y2 2 2= = 0
k +6 y0-1 k+ y0-1
，
1+ 9k2 x20+18k(1- 3k)x0+81k2-54k 9 x0-3 2k2+18 x0-3 k+ x20
依题意直线NA，NB与坐标轴不平行，且 k1k2为定值，
y20 y0-1 y 2= = 0
-1
可得 ，
x -3 2 20 3 x0-3 x0
y2
由 0 = y0-1 ，整理得 3y20= x0-3 y0-1 ，
x0-3 2 3 x0-3
y0-1 y0-1=
2
由 ，整理得 x20= 3 x0-3 y0-1 ，
3 x0-3 x20
解得得 x0= 3y0或 x0=-3y0，
x 3 3 2 3 20= x0= x0=-
代入 x20= 3 x0-3 y0-1 ，解得 2 1 或
2 或 2 ，y = y =- 2 20 2 0 2 y0= 2
N 3 , 1所以 或N 3 2 ,- 2 或N - 3 2 , 2 满足题意；2 2 2 2 2 2
方法二：存在N满足题意，证明如下：
依题意直线 l的斜率存在且不为 0，
设 l的方程：y= k(x- 3) + 1，A x1,y1 ，B x2,y2 ，N x0,y0 ，
y= k x- 3 + 1
联立方程 2 2 2 x2 + 2= ，消去 y得 1+ 9k x +18k(1- 3k)x+ 81k -54k= 0.9 y 1
因为 x1,x2为上式的两根，
则 1+ 9k2 x2+18k(1- 3k)x+ 81k2-54k= 1+ 9k2 x- x1 x- x2 ，
y- 1
直线 l方程化为 x= 3+ .
k
x= 3+ y- 1
联立方程 k 2 2 2 ，消去 x得 1+ 9k y + (6k- 2)y- 6k+ 1= 0，x9 + y2= 1
因为 y1,y2为上式的两根，
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则 1+ 9k2 y2+ (6k- 2)y- 6k+ 1= 1+ 9k2 y- y1 y- y2 .(2)
= y0-y
2
由题意可得：k k 1
y0-y2 1+ 9k y0-y1 y0-y2
1 2 =x0-x1 x0-x 1+ 9k22 x0-x1 x0-x2
1+ 9k2 y2 2 2 2= 0
+ (6k- 2)y0+1- 6k 9y0k +6=
y0-1 k+ y0-1
，
1+ 9k2 x20+18k(1- 3k)x0+81k2-54k 9 x 2 2 20-3 k +18 x0-3 k+ x0
依题意直线NA，NB与坐标轴不平行，且 k1k2为定值，
y20 = y0-1
y 2
= 0
-1
可得 ，
x0-3 2 3 x0-3 x20
y20 = y0-1由 ，整理得 3y20= x0-32 y0-1 ， x0-3 3 x0-3
y0-1 y -1 2由 = 0 ，整理得 x20= 3 x- 2 0
-3 y0-1 ，
3 x0 3 x0
解得得 x0= 3y0或 x0=-3y0，
x 3 0= 2 x =
3 2 3 2
0
代入 x2= 3 x -3 y -1 ，解得 或 2 x0=- 20 0 0 或 ，y0= 1 2 22 y0=- 2 y0= 2
N 3所以 , 1 或N 3 2 ,- 2 3 2 2或N - ,2 2 2 2 2 2 满足题意.
【点睛】方法点睛：存在性问题求解的思路及策略
(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．
(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；
②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．
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