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2009年全国各地高考与模拟数学创新题评析
福建省厦门外国语学校高中毕业班
执笔：吴育文
中图分类号：O12-44 文献标识码：A 文献编号：
2009年是许多省市展示新课程成果的一年,因此也涌现出了一大批的创新类试题,它们或是设问创新,或是情景创新,给人以不一样的感觉.现在我在这里对09年各考区的创新试题及模拟题进行详细地归类分析,共分为七类,涉及了集合、函数、数列、程序框图、向量、排列组合、概率.其中不仅详细分析了题目的解题方法,部分题目还给予了自编题,供读者参悟.当然这份整编也不可能面面具到,况且本人的水平有有限,不足之处,笔者希望大家能够谅解并且互相学习!
1．集合
例1(2009年北京海淀)对于数列,若存在常数M,使得,与中至少有一个不小于M,则记:
,那么下列命题正确的是
A．若,则数列的各项均大于或等于M
B．若,,则
C．若,则
D．若,则
解析：显然A错误,
如{an}={0,M,0,M,0,M,…}
B也是错误的，
如{an}={0,M,0,M,0,M,…}
{bn}={M,0,M,0,M,0,…}
则可以得到{an+bn}
={M,M,M,M,…} 2M
对于C也是错误的，如
{an}={M,－2M,M,－2M,M,－2M,…}
有 M2
所以选择D.
例2(2008年福建高考) 设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a、b∈P,都有a+b、a－b、ab、∈P,(除数b≠0),则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域；数集F={a+b|a、b∈Q}也是数域.有下列命题:
①整数集是数域;
②若有理数集QM,则数集M必为数域;
③数域必为无限集;
④存在无穷多个数域.
其中正确的命题序号是: .
(把你认为正确的命题的序号都填上)
解析:这类型的题目看似无路可破，但是实际上是十分简单的，它考查的是学生实际分析问题并解决问题的能力！
进行逐一排除:如取a=1,b=2，显然违背了∈P,故整数集不一定是数域,①错.
若a=1,b=,显然违背了ab∈P,所以②为假命题;
相减或作商必定可以延伸出无限多个元素,所以数域必为无限集，③是正确的,
④显然是成立的.所以③④正确.
答案:③④
从这道题目中我们可以得出以下应考的常见结论：
(i)注重题目所给的提示信息，如本题中的“F={a+b|a、b∈Q}也是数域.”，读懂它就可以排除②
(ii)答案一般是双选
了解了这些基本的常识，在遇到题目的时候就可以不谎不忙，从容不迫，大大增加的正确率.
例3(2008年自编题) 定义:已知两数a、b,按规则c=ab+a+b扩充得到一个数c便称c为“新数”，现有数1和4
①按上述规则操作三次后得到的最大新数c*=49;
②2008不是新数;
③c+1总能被2整除;
④c+1不一定能被10整除;
⑤499不可能是新数.
其中正确的说法是 .
解析：这道题目我想从两个角度向大家介绍，首先是传统的解法：
逐一进行判断:
①c1=1×4+4+1=9 c2=9×4+4+9=49
c3=9×49+49+9=499,从而c*=499;
故①错⑤错;
接下来就要求同学们能够细心观察了
c=ab+a+b+1－1=(a+1)(b+1)－1=,从而c+1=(a+1)(b+1),取c与a组成新数
d= ac+a+c=(a+1)(c+1)－1=(a+1)(a+1)(b+1)－1=(a+1)2(b+1)－1,d+1=(a+1)2(b+1)
取c与b组成新数
e= bc+b+c=(b+1)(c+1)－1=(b+1)(b+1)(a+1)－1=(b+1)2(a+1)－1,e+1=(b+1)2(a+1)
从而经过扩充后新数可以表示为x+1=2m5n,故2008不是新数, c+1总能被2整除且c+1总能被10整除，故②③均正确
答案: ②③
下面我来介绍猜的方法：
①c1=1×4+4+1=9 c2=9×4+4+9=49
c3=9×49+49+9=499,从而c*=499;
故①错⑤错;
从上面分析可以猜测新数必然是奇数且c+1能被10整除，所以排除④，选②③
例4(2008年厦门质检) 定义：若平面点集中的任一个点，总存在正实数，
使得集合
，
则称为一个开集．给出下列集合：
①；
② ；
③；
④ ．
其中是开集的是 ．
（请写出所有符合条件的序号）
解析：本题将大学拓扑学的基本概念引入
高中，考查了学生分析和解决问题的能力！
下面画图进行判断：
对于①
显然不存在一个面集点集，该集合不符合题目要求。
对于②
显然存在面集面集，该集合符合题目要求。
对于③
在边界上的，怎么取也难以得到符合题目要求的圆，所以该集合不符合。
对于④

显然存在面集面集，该集合符合题目要求。
所以综合上面的分析有答案为②④
例5(2009年福建省质检)设M为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数和向量,都有,则称M为锥.现有下列平面向量的集合:


上述为锥的集合的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：不可能是曲边界的区域，排除①④
给出图象，易知②③ 选B
总结：在集合中设置创新题，破题的方法为：
（1）认真读懂题目，不要看错题目
（2）在理解题目的基础上进行思维（往往有举反例，猜想，归纳的思想）
（3）在解决完后可以依据自己的解题经验检验自己解答的正确与否。
2．函数
例1(2009年北京高考) 点在直线
上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是
A．直线上的所有点都是“点”
B．直线上仅有有限个点是“点”
C．直线上的所有点都不是“点”
D．直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”
解析：取,,
若,则
,
所以有,因为
即对任意的点P,均存在A、B符合题目要求,所以直线上的所有点都是“点”选A
例2(2009年福建高考) 函数f(x)=a+bx +c (a0) 的图象关于直线x=－对称.据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程 m[f(x)]+nf(x) +p=0的解集都不可能是
A. B
C D
解析：根据方程m[f(x)]+nf(x) +p=0的性质可以知道，无论根有多少个，他们一定要关于某条直线对称，显然，所以答案选择D
评析：本题要求学生抓住问题的本质去分析，要求学生灵活地运用知识去分析并解决问题，这是新课程改革后值得提倡的题目！
例3(2009年北京海淀) 已知函数
.
(i)那么方程在区间上的根的个数是 ;
(ii)对于下列命题:
①函数是周期函数;
②函数既有最大值又有最小值;
③函数的定义域是R,且其图象有对称轴;
④对于任意,函数的导函数.
其中真命题的序号是 .（填写出所有真命题的序号）
解析：这道题目是我认为非常精彩的题目，它的逻辑分析值得学习！
(i)所谓“数学”便是要学生去学会观察数字间的关系，去分析，猜想，最终得到解决问题。先观察所给出的这个函数
，显然对于
恒成.所以等不等于零看
根据图象可以知道：
内一个周期有2根,50个周期有100根.由对称性知道内也有100个根，再加上原点的一个共有个实数根
(ii)下面这道题目也是需要具备一定的逻辑分析能力：
随着分母的增大，逐渐变小，故不可能是周期函数，①错。
的大致图象可绘制如图所示（暂时还不知道是关于某直线对称），可以分析出其具有最大值和最小值。
定义域为R容易判断，由于其的增减性，要是对称轴存在，应该是或
猜想是，下面进行证明：
猜想成立。所以存在对称轴，③正确。
④ 因为 所以不可能在上递减。所以④错
所以综合上面的分析推理，正确答案为②③
评析：由于这道题目思维的巧妙性，它足以改编作为压轴大题，现在笔者在此将其改编为压轴大题：
(2009年自编题)(14分)
已知函数,.
(1)请判断方程在区间上的根的个数，并说明理由；
（2）请分析推理判断是否具有对称性，如果具有对称性，请求出对称轴；若不具有对称性，请说明理由；
（3）求证：.
参考答案及评分标准：
解：（1）因为对于
恒成.
所以与具有相同的根 (2分)
有的周期为2
所以内有个根，又对称性知道内有1005个根，所以在上具有
个根. (4分)
(2) 具有对称性 (6分)
猜想的对称轴是，
下面进行验证：
猜想成立。所以存在对称轴
. (8分)
(3)
（10分）
(12分)
所以
(14分)
例4(2009年北京海淀)下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为，如图3.图3中直线与x轴交于点，则m的象就是n，记作.
(ⅰ)方程的解是 ;
(ⅱ)下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号)
①；
②是奇函数;
③在定义域上单调递增; ④的图象关于点 对称．
解析：(i) 则;
(ii) 当时，∠ACM=,此时
故 ①错
的定义域为不关于原
点对称 ②错
显然随着m的增大,n也增大;
所以在定义域上单调递
增 ③对
又整个过程是对称的,所以
④对
所以经过分析可以得到答案为
③④
评析：本题落脚非常新颖,但是其实设题很容易,只要把握住审题加分析(当然分析并没有定势的思维,而是要具体问题具体分析).
例5(2009年福建省新课程模拟题) 设函数的定义域为R,若存在常数M>0,使||≤M|x|对一切实数x均成立,则称为“倍约束函数”.现给出下列函数:
①; ②;
③;
④;
⑤是定义在实数集R上的奇函数,
且对一切,均有.
其中是“倍约束函数”的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：①显然存在M符合题目要求,所以它是“倍约束函数”;
②当时, ,此时不可能存在M符合题目要求,所以
不是“倍约束函数”
③此时不可能存在M符合题目要求,所以
不是“倍约束函数”
④且经过分析可以确定其图象大致如下:
可以肯定存在M符合题目要求,所以
是“倍约束函数”
⑤是奇函数,过原点,所以
不成立
又曲线上的任意两点连线的斜率小于2,故存在M符合题目要求.
所以①④⑤均符合题目要求,选择C
例6(2009年泉州市质检) 函数,,其中a为常数,且函数和的图像
在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．
(1)求此平行线的距离；
(2)若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围；
(3)对于函数和公共定义域中的任意实数，我们把的值称为两函数在处的偏差.求证:函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2．
解析：(1)(2)问较为简单在此不予赘述.
(1) (2)m<0
(3)构造,
所以
,所以
再构造函数
,所以
所以
所以
(评分标准中写道根据函数图象可以得到,但是本人认为还是作叙述为好)
设,
(i)当x≥1时, ,有
(ii)当0此时
所以综上有函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2．
例7(2009年福建省质检) 已知函数.
求函数的极值;
对于曲线上的不同两点,
,如果存在曲线上的点,且,使得曲线在点Q处的切线∥P1P2,则称l为弦P1P2的伴随切线.
特别地,当
时,又称l为弦P1P2的伴随切线.
(i)求证:曲线任意一条弦均有伴随切线,并且伴随切线是唯一的;
(ii)是否存在曲线C,使得曲线C的任意一条弦均有伴随切线?若存在,给出一条这样的曲线,并证明你的结论;若不存在,说明理由.
解析：(1)略
(2)(i)依题意得
若存在符合题意,则
若存在使P1P2具有伴随切线,则
有解,
又,所以
必定成立,
即且
分别构造函数和运用单调性就可以得到且必成立
所以曲线任意一条弦均有伴随切线,并且伴随切线
下面用反证法证明该伴随切线具有唯一性:
假设P1P2在内存在
使得P1P2至少存在两条伴随切线,则
,,…
可以得到
而这与矛盾
所以该伴随切线具有唯一性.
(ii)存在这样符合题目要求的曲线C,
,下面进行论证:
,
符合
所以符合题目要求.
例8(2009年北京)设是定义在D上的函数，若对任何实数以及D中的任意两数，恒有
，则称为定义在D上的C函数.
(1)试判断函数，中哪些是各自定义域上的C函数，并说明理由；
(2)已知是R上的C函数，m是给定的正整数，设，且，记. 对于满足条件的任意函数，试求的最大值；
(3)若是定义域为R的函数，且最小正周期为，试证明不是R上的C函数.
解析：（1）是C函数，证明如下：
对任意实数及，
有
.
即.
∴是C函数.
不是C函数，证明如下：
取，，，
则．
即.
∴不是C函数.
（2） 对任意，取，，.
是R上的C函数， ，且
∴.
那么
.可证是C函数，且使得
都成立，此时．
综上所述，的最大值为．
（3）假设是R上的C函数．
若存在且，使得.
若，
记，，，则，且．
那么

这与矛盾.
若，
记，，也可得到矛盾．
∴在上是常数函数，又因为是周期为T的函数，所以在R上是常数函数，这与的最小正周期为T矛盾.
所以不是R上的C函数．
例9(2009年江苏南通) 如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”.
（1）判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论：
① f(x)＝ ； ② g(x)＝sinx (x∈(0，π)).
（2）若函数h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))是保三角形函数，求M的最小值.
解析：（1）f(x)＝ 是保三角形函数，g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数.
【证明】① f(x)＝ 是保三角形函数.
对任意一个三角形的三边长a，b，c，则a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，
f(a)＝ ，f(b)＝ ，f(c)＝ .
因为(＋)2＝a＋2＋b＞c＋2＞()2，所以＋＞.
同理可以证明：＋＞，＋＞.
所以f(a)、f(b)、f(c)也是某个三角形的三边长，故 f(x)＝ 是保三角形函数.
②g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数. 取，显然这三个数能作为一个
三角形的三条边的长. 而sin＝1，sin＝，不能作为一个三角形的三边长.
所以g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数
(2)【解】M的最小值为2.
(i)首先证明当M≥2时，函数h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))是保三角形函数.
对任意一个三角形三边长a，b，c∈［M，＋∞)，且a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，
则h(a)＝lna，h(b)＝lnb，h(c)＝lnc.
因为a≥2，b≥2，a＋b＞c，所以(a－1)(b－1)≥1，所以ab≥a＋b＞c，所以lnab＞lnc，
即lna＋lnb＞lnc.
同理可证明lnb＋lnc＞lna，lnc＋lna＞lnb.
所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长.
故函数h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞)，M≥2)，是保三角形函数.
(ii)其次证明当0当0因为0＜M＜2，所以M＋M＝2M＞M2，所以M，M，M2是某个三角形的三条边长，
而lnM＋lnM＝2lnM＝lnM2，所以lnM，lnM，lnM2不能为某个三角形的三边长，
所以h(x)＝lnx 不是保三角形函数.
所以，当M＜2时，h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))不是保三角形函数.
综上所述：M的最小值为2.
【另外的解法】不妨设三角形的三边为，其中，则有
①
若是保三角形函数，则是某个三角形的三边长，且
有，有，因为
所以有当M≥2时是保三角形函，且M>1
下面考虑1因为0＜M＜2，所以M＋M＝2M＞M2，所以M，M，M2是某个三角形的三条边长，
而lnM＋lnM＝2lnM＝lnM2，所以lnM，lnM，lnM2不能为某个三角形的三边长，
所以h(x)＝lnx 不是保三角形函数
所以综上有M的最小值为2.
3．数列
例1(2009年福建高考) 五位同学围成一圈依序循环报数,规定:
①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；
②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次
已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________.
解析：本题要求学生大胆分析,猜想能力!
观察学生报数,就可以发现规律,因为具备周期性:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,
610,987,
所以报到100个数时,因为,所以一共出现了33次3的倍数
甲总共报了20个数,
经观察可知道甲每20组数拍了一次手,所以甲总共拍了5次手
答案:5
评价:当然,只要善于分析并解决问题,这样的题目不拘泥于通解通法!
例2(2009年龙岩质检) 如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差.设数列是首项为2，公方差为2的等方差数列，若将这种顺序的排列作为某种密码，则这种密码的个数为
A. 18个 B. 256个
C. 512个 D. 1024个
解析：除外,其余每项均有正负两种情况,所以有个,选C
例3(2009年三明质检) 如果两个位数相同的自然数恰好只有某一位上的数字不同,则称这两个数为相邻数.
例如:123与103, 5555与5565分别是两个相邻数
若集合A中的元素均为两位数,且任意两数均不为相邻数,则A中元素最多有
A. 8个 B. 9个
C. 11个 D. 12个
解析：11 22 33 44 55 66 77 88 90(99) 共9个,选B
例4(2009年福建省新课程模拟试题) 已知n次多项式.
如果在一种算法中，计算的值需要次乘法,计算的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法）.
那么,运用上面的算法与不运用上面的算法计算的值共需要的运算次数分别为
A．20092，2009×1006
B．2009×1006，2009×1006
C．20092，4018
D．2009×1006，4018
解析：(1)根据定义:计算的值需次运算.
故的值共需n次运算,所以计算需要次运算,所以按此种运算计算需要次
(2)如果不运用此种定义运算,则:
计算需要次运算
计算需要次运算
则,,则计算需要2n次运算
所以计算需要4018次
所以经过上面的分析可以知道答案为D
例5(2009年福建省新课程高考模拟题)已知函数f(x)由下表给出：
0
1
2
3
4
其中等于在
中k所出现的次数.
则___________.
解析：本题要用假设性分析法
找准讨论对象是
(i)若,那么中必有三项等于4的
若,则1出现4次与最多1个1出现不符,舍去
(ii)若,那么中必有三项等于4的与(i)一样可以推得矛盾
(iii)若,那么中必有两项等于4的,若,也不符合题目要求.
(iv)若,那么中必有一项等于4的,
若,只能是这种情况:
1
4
1
1
1
不符合题目要求
②若中任一为4也难以满足要求,所以舍去.
(v)若,那么
2
1
2
0
0
符合题目要求,所以有
5
3．程序框图
例1(2009年厦门市适应性练习)右图
的程序框图中是产生随机数的函数,它能随机产生区间内的任何一个数,如果输入N值为4000,输出的m值为1840,则利用随机模拟方法计算由与及轴所围成面积的近似值为 .
解析：观察并理解程序框图的意义是解题的关键,1840是落在阴影外的,落在阴影内4000－1840=2160
因为 所以S=2.16
答案: 2.16
4．向量
例1在空间直角坐标系中，对其中任何一向量，定义范数，它满足以下性质：
，当且仅当为零向量时，不等式取等号；
（2）对任意的实数，
（注：此处点乘号为普通的乘号）。
（3）。
试求解以下问题：在平面直角坐标系中，有向量，下面给出的几个表达式中，可能表示向量的范数的是____（把所有正确答案的序号都填上）
（1） （2）
（3）（4）
解析：由(1)知当且仅当为零向量时，=0 因此可以排除(2),(3).按照解题经验，本题答案应该是（1）（4）
下面进行验证：
现在探索一下（1）是否满足性质（3）
？
？
这是显然成立的，所以（1）满足性质（3）
又（1）显然满足性质（2）；所以（1）能表示X的范数
同理可以知道（4）也可以表示
所以经过验证后可以知道正确的是（1）（4）
答案:（1）（4）
例1(2009年四川省高考题) 设V是已知平面M上所有向量的集合.对于映射,记的象为.若映射满足:对所有及任意的实数都有,则称为平面M上的线性变换,现有下列命题:
①设为平面M上的线性变换,则;
②对,设,则为平面M上的线性变换;
③若是平面M上的单位向量,对,设,则为平面M上的线性变换;
④设是平面M上的线性变换,,若共线,则也共线.
其中正确的命题序号是: .
(把你认为正确的命题的序号都填上)
解析：题目虽然创新,但是比较容易.
容易判断该命题正确;
,所以该命题是正确的;
运用上面判断②的方法可以判断该命题是错误的;
,,所以该命题正确
所以答案为①②④
5．排列组合
例1(2009年自编题)定义:
则称
为集合A的n阶拆分,则满足条件的A的2009阶拆分有
组.(用最简计算式作答)
解析：观察规律:
两个圆相交最多有3个区域
三个圆相交最多有7个区域
四个圆相交最多有13个区域
五个圆相交最多有21个区域
…
n个圆相交最多有个区域
所以A的n阶拆分有组
将n=2009代入有A的2009阶拆分有
组.
答案为:
例2(2009年福建省新课程模拟试卷) 若自然数n使得作竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象，则称n为“良数”.例如：32是“良数”，因32+33+34不产生进位现象；23不是“良数”，因23+24+25产生进位现象．那么，小于1000的“良数”的个数为
A．27 B．36
C．39 D．48
解析：首先考虑个位
所以个位仅能取
再考虑百位和十位

所以百位和十位可以取
所以良数有种,选D
6．概率
例1(2009年改编题) 阅读下面材料,并回答问题:
设D和D1是两个平面区域,且.在区域D内任取一点M，记“点M落在区域D1内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)=.
在东西方向直线延伸的湖岸上有一港口A,一艘机艇以40km/h的速度从A港出发,30 分钟后因故障而停在湖里.已知机艇出发后,先按东偏北某个方向直线前进,以后又改成正北,但不知最初的方向和何时改变方向,如果去营救,则营救到机艇的概率是 .
解析：本题需要分析和处理问题的能力.
设P(x,y),∠QOx=
根据函数关系有
有 设该条直线为l
可以知道该直线表示的是截距为20斜率为
的直线,其中
又由的几何意义可以知道:
它表示的是(0,1)和(,)直线的斜率，知－1<<0
再结合右图取交集后便可以得到答案应该是如图所示的弓形
弓形面积：
所以概率为
例2(2008年福建省质检) 设D和D1是两个平面区域,且.在区域D内任取一点M，记“点M落在区域D1内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)=.
已知有序实数对(a,b)满足a∈[0,3],b∈[0,2],则关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根的概率
是 .
解析： b≤a,
由右图可以知道
P(A)=
答案: 
【结束语】2009年许多省参与了新课程改革,因此也涌现出了许多创新试题,经过对这些创新试题的分类解析,我们可以得出一个共性:它们只是形式新颖,难度上往往较为简单,多去针对性地分析,审清题目要求,便可以破题自如了!
【参考文献】
[1]2009年福建省高考试卷
[2]2009年北京市高考试卷
[3]2008年福建省高考试卷
[4]2009年北京海淀区练习
[5]2009年泉州市质检
[6]2009年福建省质检
[7]2009年福州一中高考适应性考试
[8]2009年南通质检
[9]2008年厦门市适应性考试

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