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集 合 学 习 的 八 项 注 意
集合是中学数学中的最基本的概念之一，然而由于其知识新、符号多、信息量大，初学者往往顾此失彼．本文总结了集合学习中的八项注意，希望能够帮助同学们进一步理解集合的概念，从本质上把握集合的内涵，少走弯路、提高学习效率．
1．注意集合的“三性”
集合的“三性”指的是：确定性、互异性、无序性，它们是集合的最基本特征．要注意弄清它们的含义，才能在解题时正确运用．
例1 以方程和方程的解为元素构成集合，则中元素的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：对于涉及集合元素的问题，首先应想到其确定性、互异性、无序性．由集合元素的互异性可知，两个相同的对象中能算作集合中的一个元素．方程的解为；方程的解为，所以，故选（Ｃ）．
例2　已知集合A={a，a+b，a+2b}，B={a，ac，ac2}，若A=B，求实数c的值．
分析：集合A=B，说明A，B中元素相同但顺序可以不同，因此要分两种情况讨论．
解：（1）若∴a=0或c=1
当a=0时，集合B中三元素都是0，舍去；
当c=1时，集合B中三元素也都相同，舍去．
（2）若
∵a≠0，∴2c2-c-1=0，∴(c-1)(2c-1)=0
又∵c≠1，∴c=．经检验，符合题意．
综上，c=．
2．注意0，{0}，Φ，{Φ}的关系
数0是元素，{0}是含一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合，{Φ}是以Φ作为元素的集合．要注意它们的区别与联系．
例3下列关系错误的是…………………………（ ）
A Φ B 0∈{0} C 0∈Φ D 0{Φ}
解：A、B、D均正确，C是错误的．
3．注意空集的特殊性21世纪教育网21世纪教育网
空集是不含有任何元素的集合，它是一种非常特殊的集合．我们要注意“空集是任何集合的子集”这一重要结论的运用．
例4设集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若BA，求实数m的取值范围．
误解：依题意，BA，∴∴即．
剖析：以上解法忽视了B=Φ的情形，此时m+1>2m-1，∴m<2，也符合BA．因此所求实数m的范围应为m<2或2≤m≤3，即m≤3．
例5已知A={x|x2-3x+2=0}，B={x|ax-2=0}，并且A∪B=A，求实数a组成的集合C．
分析：因为A∪B=A，可据此求a的值，但要注意B=Φ的情形．
解：（1）当a=0时，B=Φ符合题意；
（2）当a≠0时，B={}，而A={1，2}，
∵A∪B=A ∴=1或=2 ，∴a=2或a=1．
综上，C={0，1，2} ．
4．注意符号“∈”与“”的区别21世纪教育网21世纪教育网
符号“∈”用在元素和集合间表示从属关系；符号“”用在两集合间表示包含关系．特别需要指出的是，“a，b∈A”与“{a，b}”之间既有区别又有联系．
例6设M={x∈R|x≤}，a=3，则下列关系正确的是………（ ）
A a∈M B aM C {a}∈M D {a}M
解：a是元素，{a}与M是集合，由于3，故选（D）．
例7（1）若a，b∈{3，4，5}，则函数f(x)=ax2+bx有多少条不同的对称轴？
（2）若{a，b}{3，4，5}，则函数f(x)=ax2+bx有多少条不同的对称轴？
分析：二次函数图象的对称轴为x=- ，故只要研究有多少个不同的的值即可，但要注意两小题的区别．第（1）小题中a，b∈{3，4，5}，当a，b不同时有6个不同的的值，当a，b相同时=1，因此共有7条不同的对称轴；第（2）小题中{a，b}{3，4，5}，说明a，b只能不相等，因此只有6条不同的对称轴．
5．注意数集与点集的区别21世纪教育网21世纪教育网
容易出现两方面的错误．一是书写上的错误，如把点集{（2，3）}误写为{2，3}或{x=2，y=3}等；二是理解上的错误，如把数集{y|y=x2+1，x∈R}误为{（x，y）|y=x2+1，x∈R}或{x|y=x2+1，x∈R}等．
例8（1）已知A={(x，y)|y=x2-1，x∈R}，B={(x，y)|y=7-x2，x∈R}， 则A∩B=______；
（2）已知A={y|y=x2-1，x∈R}，B={y|y=7-x2，x∈R}， 则A∩B=________．
分析：解方程组得，或 ，曲线y=x2-1和y=7-x2的两交点为（-2，3）和（2，3），第（1）题中A、B为点集，A∩B={（-2，3），（2，3）}．而第（2）题如果理解为A∩B={3}那就错了，因为A、B都表示数集，它们分别表示函数y=x2-1，x∈R和y=7-x2，x∈R的值域，从整体上把握，应该有A={y|y≥-1}，B={y|y≤7}，因此A∩B={y|-1≤y≤7}．
6．注意求补集的前提——全集
在求补集时，不能忽略全集，因为同一集合在不同全集中补集是不相同的．
例9全集U是函数的定义域，A={x|x≥10}，求CUA ．
误解：CUA={x|x<10}
剖析：误解将全集默认为实数集R，显然不对．其实U={x|x≥7}，故CUA={x|7≤x<10}．
７．注意选取集合的表示法
当集合为有限集时，一般用列举法．当集合为无限集时，一般不采用列举法，因为不能将其一一列出，这时宜用描述法．对于同一集合，有时既可用列举法又可用描述法，这时应择优选用．
例10　已知集合，求集合．
解析：对于本题集合中元素应是，而不是，满足的条件是且．
，，又，．
，即．
8．注意用好容斥原理和Venn图21世纪教育网21世纪教育网
与集合元素有关的计数问题牵涉因素较多，看上去错综复杂．若能利用容斥原理和韦恩图，则可使问题具体化而顺利解决．
例11高一（1）班有45人．其中有30人订阅了《起跑线》
这种杂志，有25人订阅了《数学专页》这种报纸．问这个班至少
有多少人这种杂志和这种报纸全订阅了？
分析：集合A中元素的个数常记作card(A)．本题中设高一（1）班全体同学组成全集U，订阅了《起跑线》杂志的人组成集合A，订阅了《数学专页》的人组成集合B．这样杂志和报纸都订阅的人就组成了A∩B．可借助容斥原理和韦恩图来解题．
解：依题意，card(A)=30，card(B)=25，而card(U)=45，
∴card(A∩B)≥30+25-45=10
即至少有10人杂志和报纸都订阅了．
注：本题中card(U)=45，∴card(A∪B)≤45．根据容斥原理card(A∪B)=card(A)
+card(B)-card(A∩B)和韦恩图可得， 至少有10人杂志和报纸都订阅了．
注：容斥原理card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)和韦恩图是解决“至多”、“至少”问题的有力工具．

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