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蔺阳中学校2023-2024学年高一下学期期末考试
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题得，所以，
2．已知，，若，则（ ）
A． B．－1 C． D．
【答案】C
【详解】因为，且，所以，解得.
3．若α为锐角，且，则sin 2α＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
4．已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，
因为圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，
可得，解得，所以圆锥的高为.
5．已知直线平面，直线平面，则（ ）
A．若与垂直，则与一定垂直
B．若与所成的角为，则与所成的角也为
C．是的充分不必要条件
D．若与相交，则为一定是异面直线
【答案】C
【解答】对于，当与垂直时，由线面垂直判定定理可得与不一定垂直，错误；
对于选项，由线面角的定义可知，与所成的角是直线与平面内所有直线所成角中最小的角，若与所成的角为，则与所成的角满足，错；
对于选项，若，，，则，即，
若，因为，则与平行或异面，即，
所以，是的充分不必要条件，对；
对于选项，若与相交，则与相交或异面，错．
6. 在中，是的中点，直线分别与交于点，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由，得.
因为共线，所以，解得.
7．函数在上的零点个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【详解】令，解得，由于，
则，共5个零点.
8．如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器绕边倾斜.随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是（ ）
A．没有水的部分始终呈棱柱形
B．棱始终与水面所在平面平行
C．水面所在四边形的面积为定值
D．当容器倾斜如图所示时，是定值
【答案】C
【详解】对于A：将容器绕边倾斜，随着倾斜度的不同，平面平面，
平面，平面，平面，平面都是平行四边形，
所以没有水的部分始终呈棱柱形，故A正确；
对于B：面，面，
所以面，即棱始终与水面所在平面平行，故B正确；
对于C：如下图：
水面所在四边形的面积等于长方形的面积，
如下图：
水面所在四边形的面积大于长方形的面积，故C错误；
对于D：当容器倾斜如图所示时，有水的部分形成一个直三棱柱，
三棱柱的底面为三角形，高为，根据水的体积为定值，
可得底面三角形的面积为定值，故是定值，故D正确.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知复数，下列命题正确的有（ ）
A．复数的虚部为 B．复数的共轭复数为
C． D．复数在复平面内对应的点在第一象限
【答案】BCD
【详解】由复数的运算法则，可得，
对于A中，由复数的虚部为，所以A错误；
对于B中，由复数的共轭复数为，所以B正确；
对于C中，由复数，可得，所以C正确；
对于D中，由复数在复平面内对应的点为位于第一象限，所以D正确.
10．在正方体中，下列选项中，正确的是（ ）
A． B．与所成的角为
C．二面角的平面角为 D．与平面所成的角为
【答案】AB
【详解】对于A中，在正方体，可得，
在正方形中，可得，所以，所以A正确；
对于B中，在正方体，可得，
所以异面直线与所成的角，即为与所成的角，即，
因为为等边三角形，所以，所以B正确；
对于C中，在正方体中，可得平面，
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，在等腰直角中，可得，
即二面角的大小为，所以C错误；
对于D中，在正方体中，可得平面，
所以为直线与平面所成的角，
在直角中，，所以，所以D错误.
11．已知函数，且在上有且仅有5个零点，则（ ）
A．的取值范围是
B．的图象在上最多有5条对称轴
C．的图象在上有3个最大值点
D．在上单调递增
【答案】ACD
【详解】A：由，得，
要使在上有且仅有5个零点，则，
解得，故A正确；
B：由A知，，
所以的图象在上有5或6条对称轴，故B错误；
C：由A知，，
所以的图象在上有3个最大值点，故C正确；
D：由，得，又，
所以，所以在上单调递增，故D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量，，则在上的投影向量为 ．(用坐标表示)
【答案】
【详解】因为，，所以， ，
所以在上的投影向量为.
13. 在中，角的对边分别为，其中,,,若点在边上，且为的角平分线 ,则 .
14．已知是球表面上的点，平面若球的体积为，则 .
【答案】1
【详解】因为平面，所以可以将四面体补形为长方体，因为球的体积为，设球的半径为，所以，所以，，解得.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．本小题分
已知向量，若与的夹角为．
求；
(2)若，且、、三点共线，求的值.
(3)当为何值时，向量与向量互相垂直？
【详解】（1），
.
（2）由题意可得，、、三点共线，则可得，
即，解得，；
（3）当向量与向量互相垂直时，，
即，即，解得，
所以当时，向量与向量互相垂直.
本小题分
已知的内角所对的边分别是.
(1)求角；
(2)若外接圆的直径为，求周长的取值范围.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，即，
又由余弦定理得，又因为，所以.
（2）方法一：因为外接圆的直径为，
由正弦定理得，则，
由余弦定理得，
因为，所以，即，
由三角形性质知，当且仅当时，等号成立，
所以，故周长的取值范围为.
方法二：因为外接圆的直径为，
由正弦定理得，则，
因为，可得，所以，
所以，故周长的取值范围为.
本小题分
如图1，在矩形中，点在边上，，将沿进行翻折，翻折后点到达点位置，且满足平面平面，如图2．
(1)若点在棱上，平面，求证：；
(2)求点到平面的距离．
【详解】（1）因为，平面，平面，
所以平面，
又平面，平面，所以平面平面，
平面，所以.
（2）取的中点，连接，依题意，所以且，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
连接、，则，所以，
又，，，，
所以
，
又平面，平面，所以，
所以，
则，
则，
所以，
设点到平面的距离为，则，
解得，即点到平面的距离为.
本小题分
已知函数
(1)求函数的最小正周期及对称中心；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值；
(3)若不等式对，上恒成立，求实数m的取值范围．
【详解】（1），
所以函数的最小正周期为，
令，，解得
所以函数的对称中心为 ,
（2）将向右平移个单位，得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，由，可得，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
可得，；
（3）因为对，不等式恒成立，所以，
由（2）知，函数在区间的值域为，
所以，即能成立，所以，
又因为，当且仅当，即时取等号，
所以.故实数的取值范围为.
本小题分
已知函数.
（1）若函数的定义域为，值域为，求的值；
（2）若关于的方程的解集中有且只有一个元素，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题意可得，的定义域为，
对任意且满足，则，
则，故在定义域上单调递减.
因为在上的值域为，所以，所以；
（2）因为，即，
所以，且，①
所以，即，②
当时，方程②的解为，代入①成立；
当时，
①当，即时，方程②的解为，代入①不成立：
②当，且时，方程②的解为或，
将代入①得：，且，
所以且，将代入①得：，且，
所以且，要使方程有且仅有一个解，则.
综上，的取值范围为.蔺阳中学校2023-2024学年高一下学期期末考试
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，，则为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，若，则（ ）
A． B．－1 C． D．
3．若α为锐角，且，则sin 2α＝（ ）
A． B． C． D．
4．已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线平面，直线平面，则（ ）
A．若与垂直，则与一定垂直
B．若与所成的角为，则与所成的角也为
C．是的充分不必要条件
D．若与相交，则为一定是异面直线
6. 在中，是的中点，直线分别与交于点，且，，则（ ）
A. B. C. D.
7．函数在上的零点个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器绕边倾斜.随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是（ ）
A．没有水的部分始终呈棱柱形
B．棱始终与水面所在平面平行
C．水面所在四边形的面积为定值
D．当容器倾斜如图所示时，是定值
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知复数，下列命题正确的有（ ）
A．复数的虚部为 B．复数的共轭复数为
C． D．复数在复平面内对应的点在第一象限
10．在正方体中，下列选项中，正确的是（ ）
A． B．与所成的角为
C．二面角的平面角为 D．与平面所成的角为
11．已知函数，且在上有且仅有5个零点，则（ ）
A．的取值范围是
B．的图象在上最多有5条对称轴
C．的图象在上有3个最大值点
D．在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量，，则在上的投影向量为 ．(用坐标表示)
13. 在中，角的对边分别为，其中,,,若点在边上，且为的角平分线 ,则 .
14．已知是球表面上的点，平面若球的体积为，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．本小题分
已知向量，若与的夹角为．
（1）求；
（2）若，且、、三点共线，求的值.
（3）当为何值时，向量与向量互相垂直？
本小题分
已知的内角所对的边分别是.
（1）求角；
（2）若外接圆的直径为，求周长的取值范围.
本小题分
如图1，在矩形中，点在边上，，将沿进行翻折，翻折后点到达点位置，且满足平面平面，如图2．
（1）若点在棱上，平面，求证：；
（2）求点到平面的距离．
本小题分
已知函数
（1）求函数的最小正周期及对称中心；
（2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值；
（3）不等式对，上恒成立，求实数m的取值范围．
本小题分
已知函数.
（1）若函数的定义域为，值域为，求的值；
（2）若关于的方程的解集中有且只有一个元素，求实数的取值范围.

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