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武汉市常青联合体2023一2024学年度第二学期期末考试
高一数学试卷
考试时间：2024年6月28日15：00-17：00
试卷满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1.己知i是虚数单位，i·z=2+i,则复数Z的模为()
A.5
B.3
C.5
D.3
2.已知平面向量a,万的夹角为60，a=(V5,,=1,则la+26=()
A.2
B.√万
C.25
D.2√7
3.在一次数学测试中，高一某班40名学生成绩的平均分为82，方差为10.2，则下列四
个数中不可能是该班数学成绩的是()
A.100
B.85
C.65
D.55
4.《,B为两个不同的平面，m,n为两条不同的直线，下列说法中正确的个数是()
①若a∥B,mca,则m/1B②若m/1a,nCa,则m∥n
③若m⊥a,m∥n,则n⊥a④若a上B,a∩B=n,m⊥n,则m⊥B
A.1
B.2
C.3
D.4
5,已知棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，P、Q分别为CD和AD的中点，则
PQ到平面ACB的距离为()
A.
3
B.
V6
c.v
D.6
3
3
2
2
6.已知在△ABC中，满足c tan B=（2a-c)tanC,点D在AC边上，且BD平分∠ABC,
b=2V3,则BD的最大值为()
A.3
B.1
C.5
D.4
高一数学试卷第1页共4页
7.己知0为三角形ABC内一点，且满足OA.OB=OB.OC=OC.OA和
BO=2OA+3OC,则角B为()
A.
6
c
D.2
8.在正三棱锥A-BCD中，M、N分别为AC、BC的中点，P为棱CD上的一点，且PC=2PD,
MN⊥MP,若BD=√6，则此正三棱锥ABCD的外接球的表面积为()
A.3π
B.6π
C.8π
D.9π
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中有多
项符合要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分。
9.已知i为虚数单位，以下说法正确的是()
A,复数z=(1+i)'在复平面对应的点在第一象限
B.若复数，2满足=2，则2，=22
c.若z=a2+a-2+(a2-3a+2)i为纯虚数，则实数a=-2
D.复数z满足224(2+z)=2-i,则z=i
10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,下列说法正确的是()
A.若a=b
cosBcos'则aMBC是等腰三角形
B.若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosB
C.若AB=2V2,∠B=45°，AC=3,则满足条件的三角形有2个
D.若△ABC不是直角三角形，则tanA+tanB+tanC=tan Atan Btan C
11.己知正方体ABCD-ABCD的棱长为2，M,N分别为AB,CC,的中点，且MW
与正方体的内切球O(O为球心)交于E,F两点，则下列说法正确的是()
A.线段EF的长为√2
B.三棱锥O-DEF的体积为VS
6
C.过O,M,N三点的平面截正方体AC所得的截面面积为2√5
D.设P为球O上任意一点，则PM,PN的范围为[-√2，√2]
高一数学试卷第2页共4页武汉市常青联合体 2023－2024 学年度第二学期期末考试
高一数学答案
一，单选题
1. A 2.C 3.D 4.B 5．C 6．A 7．B 8．D
二，多选题
9．CD 10．BD 11．ABD
三，填空题
12．8.5 13． x 1,0 14． 6 3
四，解答题
15．【详解】 (1)∵a＝(3，2)，b＝(2，-1)，
∴ka－b＝k(3，2)－(2，-1)＝(3k－2，2k+1)，
a＋3b＝(3，2)＋3(2，-1)＝(9，-1)．
19
∵ka－b 与 a＋3b 垂直，∴9(3k－2)+(－1) (2k+1)＝0，∴k＝ .
25
(2)由(1)知，9(2k+1)-( 1－1) (3k－2)＝0，得 k＝- .
3
∴3k a + b=3 (- 1× )(3，2)+ (2，-1)= (-1，-3)
3
∴|3k a + b |= ( 1)2 ( 3)2 = 10
16．【详解】（1）如图，取PD中点M ，连接EM , AM，
1
由于 E,M 分别为 PC,PD的中点，故 EM DC，且 EM DC，
2
又 AB DC, AB
1
DC，可得 EM AB，且 EM AB，
2
故四边形 ABEM 为平行四边形，
所以 BE AM ，又因为 AM 平面 PAD,BE 平面 PAD，
所以 BE 平面 PAD .
（2）因为 PA 底面 ABCD,AB 底面 ABCD, PA AB，
又 AB AD, PA DA A, PA DA 平面 PAD，
AB 平面 PAD .
又 PD 平面 PAD, AB PD .
AD AP ,M 为 PD的中点，
{#{QQABKYCAogAAAIIAAQgCAQGoCACQkAGAAYgGxEAEoAAAQBNABAA=}#}
PD AM ，
又 AB AM A, AB AM 平面 ABE， PD 平面 ABE，
直线 AP在平面 ABE内的射影为直线 AM ，
故 PAM 为直线 AP与平面 ABE所成的角，
由 PA 底面 ABCD, AD 底面 ABCD可得，PA AD, PAD 90 ，
PAD为等腰直角三角形，且 AM 平分 PAD，
PAM 45 ，
所以直线 BE与平面 PBD所成的角为 45 .
17．【详解】（1）故得acos B C acos B C 2 3csinBcosA
所以 acosBcosC asinBsinC a cosBcosC sinBsinC 2 3csinBcosA ，
即 asinBsinC 3csinBcosA .
由正弦定理，得 sinAsinBsinC 3sinCsinBcosA，
显然 sinC 0,sinB 0，所以 sinA 3cosA，所以 tanA 3 .
因为 A 0, π ，所以 A π .
3
（2）由题设及（1）可知， ABC的面积
S 1 ABC bc sin A
3
b,，
2 2
2sin 2π C
A π , B 2π 2π
3
C , B C, b 3 1
3 3 3 sinC tanC

0 C
π

ABC 2 π π为锐角三角形， ，解得 C
0 2π π
，
C 6 2
3 2
tanC 3 , 0 1 3, 1 3 1 4, 1 b 4
3 tanC tanC
又，
S 1 3 ABC bc sin A b2 2
.
S 3

ABC , 2 32
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18．【详解】 1
（1） x A (220 185 220 225 205 235) 2156 （分钟），
x 1B ( 2 0 5 195 245 235 225 215 ) 2206 （分钟），
s2 1A (220 215)
2 (185 215)2 (220 215)2 (225 215)2 (205 215)2 (235 215)2 775
6

3
s 2 1 (205 220) 2 (195 220) 2 (245 220) 2 (235 220) 2B (225 220)
2 (215 220) 2 875
6

3
6 215 6 220
总体的平均数 x 217.512 ，
6
总体的方差 s 2 s 2 ( x x ) 2
6
s 2 ( x x ) 2
1 2 A A 1 2 B B
1 7 7 5 (2 1 5 2 1 7 .5 ) 2 8 7 5 ( 2 2 0 2 1 7 .5 )
2
2 8 1 .2 52 3 3
（2）①按照A方案，A小区一月至少需要5名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，其
费用是5 3000 15000元，
15000
每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为 151000 （元），
②由（1）知，B小区平均每位住户每周需要 220 分钟进行垃圾分类，一月需要 220 4 880
（分钟），
B小区一月平均需要880 1000 880000分钟的时间用于生活垃圾分类，
∵一位专职工人一天的工作时间按照8小时作为计算标准，每月按照28天作为计算标准，
一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于 5名普通居民对生活垃圾分类的效果，
∴ B小区一月需要专职工作人员至少 880000 （名），
13
8 60 28 5
则每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为13 4000 （元），
52
1000
③根据上述计算可知，按照每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费来说，
选择A方案惠民力度大，但需要住户平时做好生活垃圾分类事项；
如果对于高档小区的居民来说，可以选择 B方案，这只是方便个别高收入住户，
综上，选择A方案推广，有利于国民热爱劳动及素质的提升.
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19.【详解】（1）
如图所示，连接C1D,C1A，由题意可知C1D 面 ABC，四边形 ACC1A1是菱形.
∵ BD 面 ABC，
∴C1D BD，
又∵D是 AC中点，△ACB是正三角形，
∴ AC BD，
显然 AC C1D D,AC、C1D 面 ACC1A1，
∴ BD 面 ACC1A1，
∵ A1C 面 ACC1A1，
∴ BD A1C，
在菱形 ACC1A1中，有C1A A1C，
而 D，E分别是线段 AC、CC1的中点，则DE∥ AC1，∴DE A1C ,
∵DE BD D,DE、BD 面DBE，
∴ A1C 面DBE ;
（2）方法一：
如图所示，取 A1C1的中点 S，连接B1S，过 F作 FI∥B1S交 A1C1于 I，
过 I作 IH∥A1C分别交C1C、DE的延长线于 H、N，
易知 I、H 分别是C1S、C1E的中点，
则由条件可得 B1S∥BD∥FI， FI 面DBE， BD 面DBE，故 FI / /面DBE，
即 F到面DBE的距离等于 I 到面DBE的距离，
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由（1）得 BD DE ， A1C 面DBE，所以 IN 面DBE， BDE是直角三角形，
ACC A NHE C HI 30 , DEC NEH 60 ,HI 1 AC 3在菱形 1 1中，易得 1 1 ，4 2
NH sin 60 NE 3 NI 3 3 F DBE 3 3所以 ，即 到面 的距离为 ，
4 4 4
S 1
1 3
BDE BD DE
3
，所以VF BDE S NI ；
2 2 3
BDE 8
方法二：VF BDE VI BDE VB DEI = 1 S DEI BD3
（3）
如图所示，假设存在 G点满足题意，取 A1C1的中点 S，连接B1S，
过 G作GM∥B1S交 A1C1于 M，连接 MD，
易得 B1S∥BD∥GM ，GM 面DBE， BD 面DBE，故GM / /面DBE，
又结合（1）的结论有MD BD,ED BD，故二面角G BD E为∠MDE，
所以 MDE
π
，
4
在菱形 ACC1A1中，作MV AD，易得
MDV 180 60 45 75 ,MV C D 3 DV MC MV 1 1 2 3 3，tan 75
MGC C M易知 1为直角三角形 MC1G 60 ，故C1G 1 4 3 6 .cos60
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