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广州市三校2023-2024学年高二下学期期末联考
数学
本试卷共5页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知数列为等差数列，且，则
A．33 B．44 C．66 D．88
2. 已知随机变量的分布列为，则
A. B. C. D.
3. 若在和处有极值，则函数的单调递增区间是
A. B. C. D.
4. 某学校校医研究温差x（℃）与本校当天新增感冒人数y（人）的关系，该医生记录了5天的数据，且样本中心点为(8,25)．由于保管不善，
记录的5天数据中有两个数据看不清楚，现用m，n代替，
已知，，则下列结论正确的是
A．在m,n确定的条件下，去掉样本点(8,25)，则样本的相关系数r增大
B．在m,n确定的条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程，则
C．在m,n确定的条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程，则当时，残差为
D．事件“”发生的概率为
5.设双曲线：的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6. 在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大项是
A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第3项
7. 对于函数，当时，．锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，设，则
A． B．
C． D．
8. 甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10. 爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春．除夕夜里小光用3D投影为家人进行虚拟现实表演，表演分为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”4个环节．小光按照以上4个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次．假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为，则（ ）
A. 事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥
B. “放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为
C. 表演成功的环节个数的期望为3
D. 在表演成功的环节恰为3个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为
11. 函数（a，），下列说法正确的是（ ）
A．当，函数有两个零点，则b的取值范围是
B．当，不等式恒成立，则b的取值范围是
C．当，函数有三个不同的零点，则b的取值范围是
D．当，函数有三个零点且，则的值为1．
三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共15分
12. 在等比数列中，，，则____.
13. 某校数学建模社团对校外一座山的高度h（单位：米）
进行测量，方案如下：如图，社团同学朝山沿直线行进，
在前后相距a米两处分别观测山顶的仰角α和β（β > α），
多次测量相关数据取平均值后代入数学模型求解山高，这个社团利用到的数学模型
h=_______米（h是用α和β表示的一个代数式）；多次测量取平均值是中学物理测量中常用的减小误差的方法之一，对物理量进行次测量，其误差近似满足，为使误差在的概率不小于0.9973，至少要测量______次.
（参考数据：若，则）
14. 若，设的零点分别为，则 .
（其中表示a的整数部分，例如：）
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）记.
（1）当时，为数列的前n项和，求的通项公式；
（2）记是的导函数，求.
16.（15分）已知函数，，.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若直线是曲线的切线，求证：对任意的，都有.
17.（15分）已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1如图所示，底面ABCD为平行四边形，其中点D在平面A1B1C1D1内的投影为点A1，且AB=AA1=2AD，∠ABC=120°．
（1）求证：平面A1BD⊥平面ADD1A1；
（2）已知点E在线段C1D上（不含端点位置），且平面A1BE与平面BCC1B1的夹角的余弦值为，求的值．
18.（17分）蔷薇花一般扦插繁殖，园林局为了更好的了解扦插枝条的长度对繁殖状况的影响，选择甲乙两区按比例分层抽样来抽取样本.已知甲区的样本容量，样本平均数，样本方差；乙区的样本容量，样本平均数，样本方差.
（1）求由两区样本组成的总样本的平均数及其方差；（结果保留一位小数）
（2）为了营造“花在风中笑，人在画中游”的美景，甲乙两区决定在各自最大的蔷薇花海公园进行一次书画比赛，两区各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲区举行.比赛规则如下：每场比赛分出胜负，没有平局，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束.当比赛在甲区举行时，甲区代表队获胜的概率为，当比赛在乙区举行时，甲区代表队获胜的概率为. 假设每场比赛结果相互独立.甲区代表队的最终得分记为，求的分布列及的值.
（参考数据：，，，，）
19.（17分）已知椭圆C：短轴长为2，左、右焦点分别为，，过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中M，N分别在x轴上方和下方，，，直线与直线MO交于点，直线与直线NO交于点．
（1）若的坐标为，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过点并垂直于x轴的直线交C于点B，椭圆上不同的两点A，D满足，，成等差数列．求弦AD的中垂线的纵截距的取值范围；
（3）若，求实数a的取值范围．广州市三校2023-2024学年高二下学期期末联考
数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B A C D C A C B AD BCD ACD
12. 31 13. （也可以写成）； 72 14. 4
15. 【详解】（1）当时，.
当时，.
又当时，不满足上式，所以
（2）
①
②
①-②得，
16. 【详解】（1）当时，，则，
令，解得；令，解得，
在区间上单调递减，在区间上单调递增.
，函数的最小值为.
（2）由已知得，
设切点为，则且，解得，，，.
要证，即证，即证，即证，
令，，原不等式等价于，即，设，则，
在区间上单调递增，，即成立，
所以对任意，都有.
17. 【解析】（1）不妨设，因为平面平面，故，
在中，，
由余弦定理，，
得，故，则，
因为平面，所以平面，
而平面，所以平面平面；
（2）由（1）知，两两垂直，如图所示，以为坐标原点，
建立的空间直角坐标系，
则，
故，
，所以，
设，则，即，
所以；
设为平面的一个法向量，则
令，则，所以，
因为轴平面，则可取为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，则，
解得，故．
18. 【解析】（1）根据题意，得，
因为
，
同理，
所以
所以总样本的平均数为，方差.
（2）依题意可知，的所有可能取值为0，1，2，
设“第场比赛在甲区举行，甲区代表队获胜”为事件，“第场比赛在乙区举行，甲区代表队获胜”为事件，，则，
所以，
，
，
则的分布列为：
0 1 2
P
.
19. 【解析】（1）依题意，，故椭圆C：；
易知点为的重心，则，故，
代入椭圆方程得∴椭圆C的方程为；
（2）∵，，成等差数列，．∴．
设，，AD中点．，
由弦长公式
，
∵，∴，
同理，代入可得，
①当AD斜率存在时两式作差可得，，
∴，
∴弦AD的中垂线方程为，
当时，，即AD的中垂线的纵截距为．
∵在椭圆C内，∴，得，且．
②当AD斜率不存在时，此时AD：，AD的中垂线的纵截距为0．
∴综上所述，弦AD的中垂线的纵截距的取值范围为．
（3）解法一：易知点，分别为，的重心，设，，设点，，则根据重心性质及面积公式得，
，
而∴，
∴，∴，，
设直线l：，则联立椭圆方程得
消元化简得，，，
∴，，
∴，
∴对任意的t恒成立，
即，故实数a的取值范围为．
解法二：易知点为的重心，，
∴，，，
此时，设点，，，，则根据重心的性质可得，
∴，，，
∴，；；
而，∴，
∴，；
设直线l：，则联立椭圆方程得
消元化简得，，，
∴，，
∴，
∴对任意的t恒成立，
即，故实数a的取值范围为．

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