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铝城中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
参考答案
1．D
【详解】对于A项，因是常数，故，即A项错误；
对于B项，利用复合函数的求导法则，，故B项错误；
对于C项，，故C项错误；
对于D项，由求导法则易得,故D项正确.故选：D.
2．A
【详解】因为，所以，解得.故选：A
3．B
【详解】当A单独去某一个村时，从乙、丙、丁3个村中选择1个安排，有种情况，
剩下的4个人安排到3个村，有种情况，故有种情况，
当A和中的某一个一起去某个村时，先从选择1个，再从乙、丙、丁3个村中选择1个安排，有种情况，再安排另外3个人，每个人去1个村，有种情况，故有种情况，综上，共有种情况.故选：B
4．C
【详解】当一定时，较小时，峰值高，曲线“瘦高”；较大时，峰值低，曲线“矮胖”．
故“”是“X的密度曲线的峰值比Y的密度曲线的峰值高”的充要条件．故选：C
5．C
【详解】显然，，
令得，故.故选：C.
6．A
【详解】若同时选择工、尺，第一步，从工、尺外的5种唱名中选2种唱名，有种情况；第二步，因为工、尺只能出现一次，所以在剩下的2种中选1种进行重复，有种情况；第三步，唱名填入方格进行全排有，因为有一种唱名重复出现2次，需要去掉重复的情况，即要除以，则有种情况.
由分步乘法计数原理知共有种情况.
若只选工、尺中的一种，第一步，只选工或只选尺，有种情况；
第二步，在工、尺之外的5种唱名中选3种唱名，有种情况；
第三步，在4种唱名中选1种进行重复，有种情况；
第四步，唱名填入方格进行全排有 ，因为有一种唱名重复出现2次，需要去掉重复的情况，即要除以 ，则有种情况.
由分步乘法计数原理知共有种情况.
若不选择工、尺，第一步，在余下的的5种唱名中选4种唱名，有种情况；
第二步，在4种唱名中选1种进行重复，有种情况；
第三步，唱名填入方格进行全排有，因为有一种唱名重复出现2次，需要去掉重复的情况，即要除以 ，则有种情况.由分步乘法计数原理知共有种情况.
综上，由分类加法计数原理知，共有种情况.故选：A
7．C
【详解】记事件表示“这人患了流感”，事件分别表示“这人来自地区”，
由题意可知：
，，
故.
故选：C.
8．B
【详解】构造函数，该函数的定义域为，则，
所以，，可得，其中为常数，
则，当，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，，解得，故，由可得，所以，不等式的解集是.故选：B.
9．ABD
【详解】对于，
对于A：令，可得：，即.故A正确；对于B：令，可得：，
即，因为，所以.故B正确；
对于C：令，可得：，因为，所以.故C错误；对于D：对两边求导得：,
令，可得：，
即.故D正确.故选：ABD
10．AC
【详解】因为，所以，且，
对于A：由二项分布可知，故正确；
对于B，由时，，则
所以，
，
所以，故B不正确，
对于C、D：，
当时，，且为正项且单调递增的数列，
故随着的增大而增大，故C正确，
当时，，且为摆动数列，故D不正确.
故选：AC
11．BD
【详解】设，.则.
因为所以，则函数在区间上单调递增，
所以，即，；，即，；而A无法确定；故BD正确，AC错误.故选：BD.
12．
【详解】随机变量的分布列为，则其数学期望，则方差，
所以.故答案为：.
13．26
【详解】设表中看不清的数据为a，计算，
，代入线性回归方程中，得，解得，所以推算该数据的值为26.故答案为：26.
14．
【详解】由，得，
又，当时，恒成立，
当时，，得，当时，，得，
综上所述，，即；作出函数的图象，如图所示，
当时，，又，，
所以，且，则，所以，
设，则，，所以，
设，，则，令，解得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，即，
故答案为：；.
15．
【详解】（1）由题意得，，
又，
，
，
，
所以，
故得y关于x的线性回归方程为；
（2）（i）将x=120代入，
估计该省要发放补贴的总金额为（万元）；
（ii）设小江、小沈两人中选择考研的人数为，则的所有可能值为、、，
，
，
，
，
，可得，
又因为，可得，故.
16．【详解】（1）的定义域为，，
于是时，单调递增；时，单调递减，
又，则在处取到极小值，无极大值.
（2）由（1）知，在区间上单调递减．故．
又因为当时，，故，所以．
因为，所以．结合（1）中的单调性，大致图像如下：
（3）的解的个数可以看成和直线在同一坐标系下图像交点的个数，
由（2）的图像知，当的取值不小于最小值即可，即
17．
【详解】（1）列联表：
人数 性别 参加考核但未能签约的人数 参加考核并能签约的人数 合计
男生 35 15 50
女生 40 10 50
合计 75 25 100
，
根据小概率值的独立性检验，可认为这100名毕业生去年参加甲地“优才计划”能否签约与性别无关；
（2）由已知，小明通过甲地的每项程序的概率均为，
所以X服从二项分布，即，∴，
由题意：Y的可能取值为0，1，2，3，
，，
，．
所以Y的数学期望．
18．
【详解】（1）当时，，则，
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以，此时函数只有一个零点；
当时，，则．
令，得．当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
又，所以，所以，
此时函数无零点．
综上，当时，函数只有一个零点；
当时，函数无零点．
（2）由（1）知，，要证，
只需证，只需证，
记，则
时，，所以在上单调递增，
时，，所以在上单调递减，
所以，
即成立，当且仅当时，等号成立，
又由不等式，当且仅当时，等号成立，
所以恒成立，故，得证
19．
【详解】（1）解：若甲同学前次答题得分之和为分，则甲前答题的正误结果分别为：对对错，错对对，所以所求概率为.
（2）解：记事件甲同学完成次答题，第次答题答对，
记事件甲同学完成次答题，答题得分之和不大于分，
在甲同学完成次答题，且在第次答题答对的条件下，答题得分之和不大于分的情形
有以下种：错对错错错，对对错错错，错对对错错，错对错对错，错对错错对，
所以，，，
由条件概率公式可得.
（3）解：的取值可以是、，且，，
所以.
若第次甲答对，则甲的得分为；若第次甲答错，则甲的得分为分.
所以，.
答案第1页，共2页铝城中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
考试范围：选择性必修第二册第五章和选择性必修第三册
姓名：___________ 班级：___________考号：___________
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，则（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
3．2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国人民代表大会在北京召开．会议圆满结束后，某市为了宣传好二十大会议精神，市宣传部决定组织去甲、乙、丙、丁4个村开展二十大宣讲工作，每村至少1人，其中A不去甲村，且不去同一个村，则宣讲的分配方案种数为（ ）
A．158 B．162 C．180 D．198
4．已知，则“”是“X的密度曲线的峰值比Y的密度曲线的峰值高”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若，则（ ）
A．244 B．243 C．242 D．241
6．中国工尺谱是世界上最早的乐谱之一.世界上只有三个国家发明了乐谱——意大利人发明了五线谱，法国人发明了简谱，中国人发明了工尺谱、减字谱、律吕谱等.近代常见的工尺谱一般用合、四、一、上、尺、工、凡作为表示音高（同时也是唱名）的基本符号，可相当于sol，la，si，do，re，mi，fa，从合、四、一、上、尺、工、凡任取4个唱名填入下面的5个方格中，要求所取的每个唱名至少填一次，每个空格都必须填，且若工、尺同时选择工尺都只能出现一次，则有多少种谱曲方法（ ）

A．7 200 B．4 800 C．2 400 D．9 600
7．托马斯 贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率.春夏换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自地区的概率是（ ）
A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52
8．已知定义在上的函数的导函数为，对任意的满足．若的最小值为，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分。
9．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法正确的有（ ）
A．B．，且为偶数时，
C．时，随着的增大而增大 D．时，随着的增大而减小
11．已知为上的可导函数，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知随机变量的分布列为，则 ．
13．某产品的广告费用x与利润y（单位：万元）的统计数据如表：
广告费用x（单位：万元） 2 3 4 5
利润y（单位：万元） ● 39 49 54
根据上表可得线性回归方程，表中有一个数据模糊不清，请推算该数据的值为 .
14．已知函数，则不等式的解集为 ，若实数，，满足且，则的取值范围是 ．
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，年的考研人数是万人，年考研人数是万人.某省统计了该省其中四所大学年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
A大学 B大学 C大学 D大学
年毕业人数（千人）
年考研人数（千人）
(1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；
(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放万元的补贴.
（i）若该省大学年毕业生人数为千人，估计该省要发放多少万元的补贴？
（ii）若A大学的毕业生中小江、小沈选择考研的概率分别为p、2p－1，该省对小江、小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过万元，求p的取值范围.
参考公式：，.
16．（15分）已知函数．
(1)求的极值；(2)比较的大小，并画出的大致图像；
(3)若关于的方程有实数解，直接写出实数的取值范围．
17．（15分）甲、乙两地到某高校实施“优才计划”，即通过笔试，面试，模拟技能这3项考核程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项考核程序均通过后即可签约．2022年，该校数学系100名毕业生参加甲地“优才计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核放弃签约的情况）：
人数 性别 参加考核但未能签约的人数 参加考核并能签约的人数
男生 35 15
女生 40 10
今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为，通过乙地的各项程序的概率依次为，，．
(1)依据小概率值的独立性检验，判断这100名毕业生去年参加甲地“优才计划”能否签约与性别是否有关联？
(2)若小明通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X，Y，分别求出X与Y的数学期望．
参考公式与临界值表：，．
0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
18．（17分）已知函数．
(1)若，讨论零点的个数；
(2)求证：．
19．（17分）为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛.每位参赛学生答题若干次，答题赋分的方法如下：第次答题，答对得分，答错得分：从第次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.
(1)求甲同学前次答题得分之和为分的概率；
(2)在甲同学完成次答题，且第次答题答对的条件下，求答题得分之和不大于分的概率；
(3)记甲同学第次答题所得分数的数学期望为，求，并写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）.

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