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12.2 全等三角形的判定 学案
（一）学习目标：
1.掌握三角形的证明方法SAS\AAS和ASA等方法,会熟练掌握证明的标准步骤。
2.通过探究活动，学生体会特殊到一般的思想，掌握研究几何问题的一般方法。
3.通过探究三角形证明全等的证明方法，体会分类讨论的数学思想，有助于学生养成勤于思考的学习习惯，体会数学的逻辑美、严谨美。
（二）学习重难点：
学习重点：全等三角形的判定和证明方法
学习难点：灵活应用证明方法进行证明，由证明结论倒推寻找已知和隐含条件的思维过程。
阅读课本，识记知识：
1.三角形全等的判定方法
（1）SSS（边边边）：三边分别相等的两个三角形全等。
（2）SAS（边角边）：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
（3）ASA（角边角）：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
（4）AAS（角角边）：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。
（5）HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
2.合理选择全等三角形的判定方法
（1）已知两边：①找夹角→SAS；②找第三边→SSS；③找直角→HL。
（2）已知两角：①找夹边→ASA；②找其中一个已知角的对边→AAS。
边为角的对边→找任一角→AAS
（3）已知一边一角
①边为角的对边：找任意一角→AAS；
②边为角的邻边：找夹角的另一边→SAS；找夹边的另一角→ASA；找边的对角→AAS。
【例1】 已知：如图，，，则不正确的结论是（ ）
A．与互为余角 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的两锐角互余，证明，根据全等三角形的性质结合直角三角形的两锐角互余逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，故B正确，不符合题意；
在和中，
，
，
，故C正确，不符合题意；
，
，
与互为余角，故A正确，不符合题意；
，但不一定等于，故D错误，符合题意；
故选：D．
【例2】 如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带上（ ）
A．① B．② C．③ D．①和③
【答案】C
【分析】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
【详解】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去．
故选C．
选择题
1．如图，两点分别在射线上，点在的内部，且，垂足分别为点，且，若，则的长为（ ）
A．10 B．13 C．15 D．17
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明得到，则，进一步证明得到，则．
【详解】解：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选B．
2．我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理推出即可．
【详解】解：在和中，
，
，
故选：D．
3．如图，点B，D，E，C在一条直线上，且，，，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，通过，得到，由，得到，利用三角形外角的性质得到，推出，利用，证明，得到，即可得出结论．
【详解】，，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
．
故选：B．
4．已知：如图和中，，要使，则下列添加的条件错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形全等的判定，由三角形全等的判定方法、，判断出A、B正确，由直角三角形全等的判定方法得出D正确，从而得到答案，熟练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键．
【详解】解：A、在和中，
，
，故A正确，不符合题意；
B、在和中，
，
，故B正确，不符合题意；
C、由，，，不能判定，故C错误，符合题意；
D、，
和是直角三角形，
在和中，
，
，故C正确， 不符合题意；
故选：C．
5．如图所示，某同学把一块三角形的模具不小心打碎成了三块，现在要去商店配一块与原来一样的三角形模具，那么最省事的是带哪一块去（　　）
A．① B．② C．③ D．①和②
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带③去．
【详解】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，
所以，最省事的做法是带③去．
故选：C．
6．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依据已有的已知条件,再结合各选项中添加的条件,根据全等三角形的判定定理逐个推导判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理的应用,解题的关键是熟知：全等三角形的判定定理有．
【详解】A、∵在和中
∴,故本选项不符合题意；
B、∵在和中,
∴,故本选项不符合题意；
C、根据不能推出,故本选项符合题意；
D、∵,
∴在和中
∴,故本选项不符合题意；
故选：C．
7．如图所示是某标志的主体部分（平面图）．它是由四个完全相同的四边形拼成的．间得，，，，则的度数是（　　）
A．116° B．117° C．118° D．119°
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理．
先根据证明，则可得，．由，可求出和的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．
熟练掌握全等三角形的判定方法和三角形内角和定理是解题的关键．
【详解】和中，
，
，
，．
，
．
，
，
，
．
故答案为：B
8．如图，于点 C，于点D，要根据“”直接证明 与全等， 则还需要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了添加一个条件使得三角形全等，根据HL定理的条件进行判断即可；
【详解】解：∵，，
∴当时，．
当时，．
故选D．
9．如图，张华同学用7块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙墙间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用证明得到
∴，则．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
10．如图，在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，小李进行了以下五个步骤，将这5个步骤按正确的顺序排列为（ ）
A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．①④③⑤② D．②①③④⑤
【答案】B
【分析】此题主要考查了基本作图，熟练掌握尺规作一个角等于已知角的作法是解题的关键．
【详解】解：根据用尺规作一个角等于已知角的作图步骤可知正确的是：①③②⑤④．
故选：B．
填空题
11．如图，已知，要判定，则需要补充的一个条件为 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【详解】解：添加，
∵在和中，
∴；
添加，
∵在和中，
∴；
添加，
∵在和中，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
12．在直角三角形中，，，直线过点，，，垂足分别为，，，，则的长是 ．
【答案】2或4/4或2
【分析】此题考查了三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，同角的余角相等等知识．熟练掌握并运用相关的定理与性质是解此题的关键．分两种情况讨论：再根据已知条件证明，然后得，即可求出．
【详解】解：如图，当在直线的异侧时，
，
，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
．
当在直线的同侧时，如图，
同理可得：，
，
．
故答案为：2或4．
13．如图，已知，，与交于点D，则对于下列结论：①；②；③D在的平分线上．其中正确的是 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．直接利用定理即可判断①正确；先根据全等三角形的性质可得，再利用定理即可判断②正确；连接，证出，由此即可判断③正确．
【详解】解：在和中，
，
，结论①正确；
，
∵，，
，即，
在和中，
，
，结论②正确；
如图，连接，
，
，
在和中，
，
，
，
即在的平分线上，结论③正确；
综上，正确的是①②③，
故答案为：①②③．
14．如图，．请你添加一个条件，使．你添加的条件是 （要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的五种判定方法是解题关键．由题意可知，，，根据全等三角形的判定定理添加条件即可．
【详解】解：由题意可知，，，
若，则，
若，则，
若，则，
故答案为：（或，或）．
15．如图，已知，要使，只需增加的一个条件是 （图形中不再增加其他字母）．
【答案】或
【分析】本题考查三角形全等的判定方法；要使，根据三角形全等的判定方法添加适合的条件即可．
【详解】解：，，
可添加或分别利用，判定．
故答案为：（或．
三、解答题
16．如图，在中，于点D，E为上一点，连结交于点F，且，．求证：
(1)．
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定方法．
（1）根据，得出，再根据证明，即可推出结论；
（2）因为，则，根据，，得出．又因为，则，得出．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
17．如图，在四边形中，点E在边上，且，．
求证．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，通过三角形外角的性质得到，由推出，利用，证明，即可得出结论．
【详解】证明：，，
，
在与中，
，
，
．
18．如图，在和中，，，与交于点．
求证：．
【答案】证明见解析．
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，直接由证明，然后通过性质和线段和差即可求证，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质及其应用．
【详解】证明：在和中，
，
∴
∴
∵
∴
∴，即．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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12.2 全等三角形的判定 学案
（一）学习目标：
1.掌握三角形的证明方法SAS\AAS和ASA等方法,会熟练掌握证明的标准步骤。
2.通过探究活动，学生体会特殊到一般的思想，掌握研究几何问题的一般方法。
3.通过探究三角形证明全等的证明方法，体会分类讨论的数学思想，有助于学生养成勤于思考的学习习惯，体会数学的逻辑美、严谨美。
（二）学习重难点：
学习重点：全等三角形的判定和证明方法
学习难点：灵活应用证明方法进行证明，由证明结论倒推寻找已知和隐含条件的思维过程。
阅读课本，识记知识：
1.三角形全等的判定方法
（1）SSS（边边边）：三边分别相等的两个三角形全等。
（2）SAS（边角边）：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
（3）ASA（角边角）：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
（4）AAS（角角边）：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。
（5）HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
2.合理选择全等三角形的判定方法
（1）已知两边：①找夹角→SAS；②找第三边→SSS；③找直角→HL。
（2）已知两角：①找夹边→ASA；②找其中一个已知角的对边→AAS。
边为角的对边→找任一角→AAS
（3）已知一边一角
①边为角的对边：找任意一角→AAS；
②边为角的邻边：找夹角的另一边→SAS；找夹边的另一角→ASA；找边的对角→AAS。
【例1】 已知：如图，，，则不正确的结论是（ ）
A．与互为余角 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的两锐角互余，证明，根据全等三角形的性质结合直角三角形的两锐角互余逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，故B正确，不符合题意；
在和中，
，
，
，故C正确，不符合题意；
，
，
与互为余角，故A正确，不符合题意；
，但不一定等于，故D错误，符合题意；
故选：D．
【例2】 如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带上（ ）
A．① B．② C．③ D．①和③
【答案】C
【分析】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
【详解】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去．
故选C．
选择题
1．如图，两点分别在射线上，点在的内部，且，垂足分别为点，且，若，则的长为（ ）
A．10 B．13 C．15 D．17
2．我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点B，D，E，C在一条直线上，且，，，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
4．已知：如图和中，，要使，则下列添加的条件错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图所示，某同学把一块三角形的模具不小心打碎成了三块，现在要去商店配一块与原来一样的三角形模具，那么最省事的是带哪一块去（　　）
A．① B．② C．③ D．①和②
6．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示是某标志的主体部分（平面图）．它是由四个完全相同的四边形拼成的．间得，，，，则的度数是（　　）
A．116° B．117° C．118° D．119°
8．如图，于点 C，于点D，要根据“”直接证明 与全等， 则还需要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，张华同学用7块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙墙间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，小李进行了以下五个步骤，将这5个步骤按正确的顺序排列为（ ）
A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．①④③⑤② D．②①③④⑤
填空题
11．如图，已知，要判定，则需要补充的一个条件为 ．
12．在直角三角形中，，，直线过点，，，垂足分别为，，，，则的长是 ．
13．如图，已知，，与交于点D，则对于下列结论：①；②；③D在的平分线上．其中正确的是 ．
14．如图，．请你添加一个条件，使．你添加的条件是 （要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
15．如图，已知，要使，只需增加的一个条件是 （图形中不再增加其他字母）．
三、解答题
16．如图，在中，于点D，E为上一点，连结交于点F，且，．求证：
(1)．
(2)．
17．如图，在四边形中，点E在边上，且，．
求证．
18．如图，在和中，，，与交于点．
求证：．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
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