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人教A版必修第一册
第一章集合与常用逻辑用语
1.1集合的概念
数学
第 肝
人A 去
课程目标
1.了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”与“不属
于”关系；熟记常用数集专用符号.
2.深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能 够用其解决有关问题.
3.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。感受 集合语言的意义和作用。
数学学科素养
1.数学抽象：集合概念的理解，描述法表示集合的方法； 2.逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用；
3.数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转 化为列举法时的运算；
4.数据分析：元素在集合中对应的参数满足的条件；
5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断 与归类。
自主预习，回答问题
阅读课本2-3页，思考并完成以下问题
1.集合和元素的含义是什么 各用什么字母表示 2.集合有什么特性
3.元素和集合之间有哪两种关系 有什么符号表示
4.常见的数集有哪些 用什么字母表示
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
1. 元素与集合的概念
(1)元素： 一般地，把研究对象 统称为元素.元素常用小写的拉丁字母a,b,
c,… 表示.
(2)集合：把一些元素组成的总体叫 做集合(简称为集).集合通常用大写的
拉丁字母A,B,C,… 表示.
(3)集合相等：只要构成两个集合的元素_是一样的，就称这两个集合是相
确定性 无序性 互异性
(4)元素的特性：
知识清单
[点睛] 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题
的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的
元素是什么.集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物.
[点睛] 对元素和集合之间关系的两点说明
(1)符号“∈”“年”刻画的是元素与集合之间的关系.对
于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“a∈A” 与“afA” 这 两种结果.
(2)∈和中具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如 R
∈0是错误的.
关系 语言描述 记法
读法
属于 a是集合A中的元素 a_e
a属于集合A
不属于 a不是集合A中的元素 a中
a不属于集合A
2. 元素与集合的关系
常用的 数集 自然数 集 正整 数集 整数 集 有理 数集
实数集
记法 N N或N+ Z Q
R
3. 常用的数集及其记法
(3)一个集合中可以找到两个相同的元素. ( × )
2. 下列元素与集合的关系判断正确的是 ( )
A.0∈N B.π ∈Q
C.√2∈Q D.—1 年Z
答案：A
1. 判断(正确的打“ √ ”,错误的打“×”)
(1)你班所有的姓氏能组成集合. ( √ )
(2)新课标数学人教A 版必修1课本上的所有难题.( × )
[小试身手]
3. 已知集合A 中含有两个元素1,x , 且 x∈A, 则 x 的值是
( )
A.0 B.1 C.— 1 D.0 或 1
答案：A
4. 方 程 x —1=0 与方程 x+1=0 所有解组成的集合中共有
个 元 素
答案：2
题型分析 举一反三
题型一集合的含义
[例1] 考查下列每组对象，能构成一个集合的是(B
①某校高一年级成绩优秀的学生；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者.
A.③④ B.②③④ C.②③ D.②④
)
解 题 方 法(判断一组对象能否组成集合的标准)
判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，
如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集
合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.
[跟踪训练一]
1. 给出下列说法：
①中国的所有直辖市可以构成一个集合；
②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合；
③正偶数的全体可以构成一个集合；
④大于2013且小于2018的所有整数不能构成集合.
其中正确的有 .(填序号)
答案：①③
题型二元素与集合的关系
解 题 方 法(判断元素与集合关系的两种方法)
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该
元素在已知集合中是否出现即可.
(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该
元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确
已知集合中的元素具有什么特征.
[跟踪训练二]
2. 已知集合A 中有四个元素0,1,2,3,集合B 中有三个元素0,1,2,
且元素a∈A,aEB, 则 a 的值为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析： ∵a ∈A,a∈B,∴ 由元素与集合之间的关系知，a=3.
答案： D
3. 用适当的符号填空：
已知A={xlx=3k+2,k∈Z},B={xlx=6m—1,m∈Z},
则有：17 A;—5 A.
解析：令3k+2=17 得 ，k=5∈Z.
所以17∈A.
令3k+2=—5 得，
所以一5EA.
答案： ∈ 中
题型三集合中元素的特性及应用
[例 3] 已知集合A 含有两个元素a 和a , 若1∈A, 则实数a 的
值为 __.
[解析] 若1∈A, 则a=1 或a =1, 即a=±1.
当a=1 时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，
. ∴a≠1;
当 a=—1 时 ，集 合A 含有两个元素1,—1,符合元素的互
异性。∴a=—1.
[答案] -1
[一题多变]
1. [变条件]本例若将条件“1∈A” 改为“2∈A”, 其他条件不变，
求实数a 的值.
解：若2∈A, 则 a=2 或a =2, 即a=2, 或 a= √2, 或a
=- √2.
2. [变条件]本例若去掉条件“1∈A”, 其他条件不变，则实数a
的取值范围是什么
解：若A 中有两个元素a 和 a , 则由a≠a 解得
a≠0 且 a≠1.
解： 由 a ∈A 可知，
当a=1 时，此时a =1, 与集合元素的互异性矛盾，
所以a≠1.
当a=a 时 ，a=0 或1(舍去).
综上可知， a=0.
3. [变条件]已知集合A 含有两个元素1和a , 若“a ∈A”,
求实数a 的值 .
根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验
写出所有符合题意的字母的取值
解题方法 (根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤)
求 解 根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值
检 验
作 答
自主预习，回答问题
阅读课本3-5页，思考并完成以下问题
1.集合有哪两种表示方法 它们如何定义
2.它们各自有什么特点
3.它们使用什么符号表示
要求： 学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
[点睛] 列举法表示集合时的4个关注点
(1)元素与元素之间必须用“,”隔开.
(2)集合中的元素必须是明确的.
(3)集合中的元素不能重复.
(4)集合中的元素可以是任何事物.
1. 列举法
把集合的元素_
法叫做列举法.
一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方
知识清单
2. 描述法
(1)定义：用集合所含元素的共同特征_表示集合的方法.
(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的
般符号_ 及 取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写
[点睛] 描述法表示集合时的3个关注点
(1)写清楚集合中元素的符号.如数或点等.
(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数
式或几何图形等.
(3)不能出现未被说明的字母.
出这个集合中元素所具有的
共同特征
1. 判断(正确的打“ √ ”,错误的打“×”)
(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}. ( × )
(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2. ( × )
(3)集合A={xlx—1=0} 与集合B={1} 表示同一个集合.( √ )
[小试身手]
答案： C
3 . 不等式x—3<2 且 x ∈N 的解集用列举法可表示为( )
A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}
答案： B
4 . 不等式4x—5<7 的解集为 .
答案：{xl4x-5<7}
· 解 题 方 法(用列举法表示集合的三个步骤)
· 1.求出集合的元素；
·2.把元素——列举出来，且相同元素只能列举一次；
·3.用花括号括起来。
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：集合A= {(1,2),(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4).
答案：B
[跟踪训练一]
1 . 若集合A={(1,2),(3,4)},
则集合A 中元素的个数是 ( )
题型二用描述法表示集合
写代表元素 明确元素 的特征
分清楚集合中的元素是点还是数或是其 他的元素
将集合中元素所具有的公共特征，写在竖
线的后面
题 方 法(描述法表示集合的2个步骤)
· 解
[跟踪训练二]
3. 用符号“∈”或“年”填空：
(1)A={xlx —x=0}, 则1 A,—1 A;
(2)(1,2) {(x,y)ly=x+1}.
解析：(1)易知A={0,1}, 故1∈A, 一 14A;
(2)将x=1,y=2 代入y=x+1, 等式成立。
答案：(1)∈申(2)∈

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