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14.2.1 平方差公式 学案
（一）学习目标：
1.掌握平方差公式，会用平方差公式进行简单计算.
2.经历探索特殊形式的多项式乘法的过程,发展符号感和推理能力，逐渐掌握平方差公式.
3.通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受数学知识的实际价值.
（二）学习重难点：
学习重点：平方差公式的推导和应用
学习难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式
阅读课本，识记知识：
（1）符号表述：
（2）语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差；
（3）知识拓展：①公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式；②公式可以逆运用；
【例1】 下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平方差公式．根据平方差公式特征，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
B、，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
C、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
D、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
故选：B
【例2】 设，则以下四个选项中最接近的整数为（ ）
A．252 B．504 C．1007 D．2013
【答案】B
【分析】题目主要考查求代数式的值，平方差公式，根据题意，进行错位相减，然后求解即可．
【详解】解：
∴
，
故选：B．
选择题
1．如图，在边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平方差公式的几何推导，根据图形，利用正方形和矩形的面积公式得到阴影面积，根据两阴影面积相等可得等式．
【详解】解：第1个图形的阴影面积为大正方形的面积与小正方形的面积的差，即，
第2个图形的阴影面积为，
∵两阴影面积相等，
∴，
故选：A．
2．下列能使用平方差公式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要查了平方差公式．根据能用平方差公式计算的式子特点：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数进行分析即可．
【详解】解：A、不能使用平方差公式，故本选项不符合题意；
B、不能使用平方差公式，故本选项不符合题意；
C、不能使用平方差公式，故本选项不符合题意；
D、能使用平方差公式，故本选项符合题意；
故选：D
3．如图，从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，然后用剩余的部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示出左图、右图的涂色部分的面积即可，用代数式分别表示出左图、右图的涂色部分的面积是解此题的关键．
【详解】解：左图，涂色部分的面积为，拼成右图的长为，宽为，因此面积为，
因此有：，
故选：D．
4．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成如图所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确表示两个图形中阴影部分的面积．
根据题意分别表示出两个图形中阴影部分的面积即可．
【详解】解：∵图1中阴影部分的面积表示为：，
图2中阴影部分的面积表示为：，
∴，
故选：A．
5．在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（，如图1），把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平方差公式的几何解释，正确理解公式是解题的关键．
【详解】解：图1阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即，
图2是长为，宽为的长方形，此时长方形的面积为，
根据面积相等的性质，得，
即：，
故选：C．
6．如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图矩形，这个图形的变化过程写出一个正确的等式(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
【详解】解：第一个图形阴影部分的面积是，
第二个图形的面积是．
则．
故选：D．
7．如图①，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，然后把剩下部分沿图中实线新开后排成如图②所示的梯形、通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，分别表示出两幅图形中的阴影部分的面积，再由两个图形中阴影部分的面积相等即可得到答案，准确表示出面积是解此题的关键．
【详解】解：由图可得：
左边阴影部分的面积为，
右边阴影部分的面积为，
两个图形中阴影部分的面积相等，
，
故选：D．
8．的计算结果的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【分析】本题考查了平方差公式的应用，数字的规律探究．熟练掌握平方差公式是解题的关键．由题意知，根据，，，，，可推导一般性规律为，每4个计算结果的个位数字为1个循环，然后求解即可．
【详解】解：
，
∵，，，，，……
∴可推导一般性规律为，每4个计算结果的个位数字为1个循环，
∴，
∴的个位数字为6，
故选：B．
9．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查单项式除以单项式，幂的乘方和平方差公式，属于基础题．利用同底数幂的除法，幂的乘方和平方差公式解答即可得到本题答案．
【详解】解:∵，故选项A错误；
∵，故选项B错误；
∵，故选项C错误；
∵，故选项D正确．
故选:D．
10．式子化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平方差公式的应用．根据题意构造平方差,左右两边同时乘以是解出本题的关键．
【详解】解:∵,
∴令,
∴两边同时乘得:,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
故选:C．
填空题
11．若，，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了平方差公式“”，熟记完全平方公式是解题关键．先根据平方差公式可得，再将代入计算即可得．
【详解】解：∵，
，
又∵，
，
，
故答案为：2．
12．已知，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键，平方差公式：．根据平方差公式，将，的值代入即可得到答案．
【详解】
解得
故答案为：．
13．如图，在边长为a的正方形中减去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证了公式 ．
【答案】
【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键，先根据左图和右图分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等即可解答．
【详解】解：由作图可得：阴影部分的面积为；
由右图可得：阴影部分的面积为：；
所以．
故答案为
14．如图，阴影部分是边长为的大正方形中减去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列三种割、拼方法，其中能够验证平方差公式的是图 ．
【答案】①②③
【解析】略
15．已知，，．则的值为 ．
【答案】56
【分析】本题主要考查了整式与平方差公式，熟练平方差公式是解决本题的关键．将与相加，即可得到，再乘以，利用平方差公式即可解决本题．
【详解】解：，
．
故答案为：56．
三、解答题
16．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了多项式除以单项式、单项式乘以多项式、平方差公式等知识，熟练掌握整式的运算法则和平方差公式是解题关键．
（1）根据多项式除以单项式法则计算即可得；
（2）先计算单项式乘以多项式、平方差公式，再计算整式的加减法即可得．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
17．某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．
已知广场中心有一座边长为的正方形的花坛，学生会提出两个方案：
方案一：如图1，绕花坛搭建外围是正方形的“回”字形舞台（阴影部分），面积为：
方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），面积为：具体数据如图所示．
(1)图2长方形的长是______，宽是______；
(2)试比较与的大小关系．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了列代数式，平方差公式在几何图形中的应用：
（1）根据所给图形的数据进行求解即可；
（2）先根据图形中已知条件，利用正方形和长方形的面积公式求出与，然后再根据与差的符号比较大小即可．
【详解】（1）解：图2长方形的长是，宽是，
故答案为：，；
（2）解：由题意得，，，
∴，
．
18．一个等腰三角形的两边长a和 b满足，且.
(1)请你求出a和b的值.
(2)求这个等腰三角形的周长.
【答案】(1)，；
(2)等腰三角形的周长是16．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、因式分解的应用、三角形的三边关系．
（1）根据题意和通过因式分解得出a和b的两个关系式即可求出a、b；
（2）分情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，①，
∴，
∴②，
由得：，
∴，
将代入①，得，
∴；
（2）解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、7，
∵，
∴不能组成三角形；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、7、7，
能组成三角形，
周长．
综上所述，等腰三角形的周长是16．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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14.2.1 平方差公式 学案
（一）学习目标：
1.掌握平方差公式，会用平方差公式进行简单计算.
2.经历探索特殊形式的多项式乘法的过程,发展符号感和推理能力，逐渐掌握平方差公式.
3.通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受数学知识的实际价值.
（二）学习重难点：
学习重点：平方差公式的推导和应用
学习难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式
阅读课本，识记知识：
（1）符号表述：
（2）语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差；
（3）知识拓展：①公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式；②公式可以逆运用；
【例1】 下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平方差公式．根据平方差公式特征，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
B、，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
C、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
D、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
故选：B
【例2】 设，则以下四个选项中最接近的整数为（ ）
A．252 B．504 C．1007 D．2013
【答案】B
【分析】题目主要考查求代数式的值，平方差公式，根据题意，进行错位相减，然后求解即可．
【详解】解：
∴
，
故选：B．
选择题
1．如图，在边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列能使用平方差公式的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，然后用剩余的部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成如图所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（ ）
A． B．
C． D．
5．在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（，如图1），把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图矩形，这个图形的变化过程写出一个正确的等式(　　)
A． B．
C． D．
7．如图①，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，然后把剩下部分沿图中实线新开后排成如图②所示的梯形、通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式为（ ）
A． B．
C． D．
8．的计算结果的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
9．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．式子化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
填空题
11．若，，则 ．
12．已知，，则的值为 ．
13．如图，在边长为a的正方形中减去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证了公式 ．
14．如图，阴影部分是边长为的大正方形中减去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列三种割、拼方法，其中能够验证平方差公式的是图 ．
15．已知，，．则的值为 ．
三、解答题
16．计算：
(1)
(2)
17．某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．
已知广场中心有一座边长为的正方形的花坛，学生会提出两个方案：
方案一：如图1，绕花坛搭建外围是正方形的“回”字形舞台（阴影部分），面积为：
方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），面积为：具体数据如图所示．
(1)图2长方形的长是______，宽是______；
(2)试比较与的大小关系．
18．一个等腰三角形的两边长a和 b满足，且.
(1)请你求出a和b的值.
(2)求这个等腰三角形的周长.
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
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