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15.3 分式方程 学案
（一）学习目标：
1.了解分式方程的概念和增根产生的原因。
2.掌握分式方程的解法，会解分式方程，会检验一个数是不是原分式方程的解。
3.体验和学会含字母的分式方程的求解过程。
（二）学习重难点：
学习重点：会解可化为整式方程的分式方程，会检验会检验一个数是不是原分式方程的解
学习难点：会解可化为整式方程 的分式方程，会检验会检验一个数是不是原分式方程的解，并理解产生增根的原因
阅读课本，识记知识：
1.分式方程的概念：分母中含未知数的方程叫作分式方程。
2.分式方程的特征：一是方程；二是分母中含有未知数。
3.分式方程的解法：
（1）解分式方程的基本思路是去分母，将分式方程化为整式方程；
（2）解分式方程的一般步骤：
①去分母：在方程两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程；
②解方程：解这个整式方程；
③检验：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不为0的根是原方程的根；使最简公分母等于0的根不是原方程的根，必须舍去。
4.分式方程的增根
（1）增根的定义：在方程两边都乘以一个含未知数的最简公分母时，扩大了未知数的取值范围；有时可能产生不合适原方程的根，这种根叫方程的增根。
（2）分式方程产生增根的原因：解方程时，总是将方程两边同乘以含有未知数的整式（即最简公分母），将分式方程化为整式方程，当所乘的这个整式不为0时，所得的整式方程与原方程同解，当所乘的整式为0时，原方程中的分式无意义，求出来的根就是增根。
（3）增根的特点：增根是原分式方程转化成整式方程后所产生的根，增根必定使各分式的最简公分母的值等于0.
考点04 分式方程的应用
1.解分式方程的步骤：
（1）审清题意；
（2）找出等量关系；
（3）设未知数；
（4）列出分式方程；
（5）解这个分式方程；
（6）既要检验所得未知数的值是不是所列分式方程的解，又要检验其是否符合题意；
（7）写出答案；
2.用分式方程解应用题的常见题型
（1）行程问题：有路程、时间和速度3个量，其关系式是“路程=速度×时间”，一般是以时间为等量关系。
（2）工程问题：有工作效率、工作时间和工作总量3个量，其关系式是“工作总量=工作效率×工作时间”，一般以工作总量为等量关系。
（3）增长率问题：其等量关系式是“原量×（1+增长率）=增长后的量，原量×（1-减少率）=减少后的量”。
【例1】 要把分式方程化为整式方程，方程两边要同时乘以（　　）
A． B． C． D．x
【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程．根据最简公分母的确定方法确定分式的最简公分母即可解答．
【详解】解：∵分式的最简公分母，
∴把分式方程转化成整式方程时，方程两边同乘．
故选：A．
【例2】 A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程的应用；
设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则顺流航行的速度为千米/时，逆流航行的速度为千米/时，根据共用去9小时列方程即可．
【详解】解：设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则顺流航行的速度为千米/时，逆流航行的速度为千米/时，
由题意得：，
故选：C．
选择题
1．下列是关于x的分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
【详解】解：A、分母中不含未知数，不是分式方程，不符合题意；
B、分母中不含未知数，不是分式方程，不符合题意；
C、分母中不含未知数，不是分式方程，不符合题意；
D、分母中含未知数，是分式方程，符合题意；
故选：D．
2．解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是（　　）
A．x B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查解分式方程中的去分母，直接去分母即可得到答案，掌握等式的基本性质是解决问题的关键．
【详解】解：分式方程的最简公分母是，
方程两边都乘同一个整式去分母是，
故选：C．
3．如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】此题主要考查了分式方程的解，解答此题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
【详解】解：∵有正数解，
∴，则，
，
去分母，得，，
移项合并，得，，
∵方程的解是正数，
∴，
解得：且，
故选：B．
4．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，设规定时间为天，则慢马的速度为里/天，快马的速度为里/天，再根据快马的速度是慢马的倍，列出方程即可．
【详解】解：设规定时间为天，
由题意得，，
故选B．
5．甲做360个零件与乙做480个零件所出的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做个零件，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键．先求出乙每天做个零件，再根据甲做360个零件与乙做480个零件所出的时间相同列出方程即可得．
【详解】解：由题意可知，乙每天做个零件，
则可列方程为，
故选：A．
6．若关于的分式方程无解，则（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程无解问题，解分式方程得；根据分式方程无解得，故即可求解．
【详解】解：解分式方程得，
解得：
∵分式方程无解，
∴
∴
解得：
故选：D．
7．已知电动汽车平均每千米的行驶费用比燃油车平均每千米的行驶费用少0.4元，当两种汽车的行驶费用均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求电动汽车平均每千米的行驶费用，设电动汽车平均每千米的行驶费用x元，则根据题意可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式方程的应用．
设电动汽车平均每千米的行驶费用x元，则燃油车平均每千米的行驶费用为元，当行驶费用为300元时，电动汽车可行驶的总里程为千米，燃油车可行驶的总里程为，根据“电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍”即可列出方程．
【详解】设电动汽车平均每千米的行驶费用x元，则燃油车平均每千米的行驶费用为元，根据题意，得
．
故选：D
8．某书店分别用元和900元两次购进该小说，第二次数量比第一次多50套，且两次进价相同．若设该书店第一次该小说购进x套，由题意列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．根据第一次购进该小说的总钱数÷第一次购进套数=第二次购进该小说的总钱数÷第二次购进套数列方程可得．
【详解】解：由题意列出方程：
故选：C．
9.已知方程 ，计算 ( )
A．8 B．14 C．16 D．32
【答案】C
【分析】本题考查分式的化简、代数式求值，灵活运用平方差公式，将分式分步通分求解是解答的关键．利用平方差公式，将方程左边分步通分，进而得到，再求解，进而求解即可．
【详解】解：
，
∴，即，
∴，
∵
，
∴
，
故选：C．
10．现有一列数：，，，，，（为正整数），规定， ，， 若．则的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】C
【分析】本题考查数字变化的规律，通过计算，，，，并观察规律得到是解题的关键．
根据条件， ，， ，求出，，， 由此得出，根据，化简在解方程即可求出n的值．
【详解】， ，， ，
，
，
，
∴
，
，
，
；
，
故选：C．
填空题
11．对于实数，定义一种新运算“”：．例如，，则方程的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义的运算法则的计算、分式方程的解法，根据题中的新运算法则列出分式方程，再根据分式方程的解法解答即可．
【详解】解：
∴方程为：
去分母得，
解得：，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
12．有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）．
【答案】②
【分析】此题主要考查了分式方程的定义，利用分母中含有未知数的方程叫做分式方程，进而判断即可．
【详解】解：①是一元一次方程，
②是分式方程，
③（为不等于2的常数），是一元一次方程，
故答案为：②．
13．如果关于的方程会产生增根，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的增根，解此类题的基本步骤：①化分式方程为整式方程求出增根；②把增根代入整式方程求出相关字母的值．
【详解】解：∵方程会产生增根，
∴，
解得：，
原方程去分母得：，
把代入得：，
解得，
故答案为：．
14．已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围 ．
【答案】且
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程方程求出分式方程的解为，再根据分式方程的解为非负数以及方程不能有增根列出不等式组求解即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵关于x的分式方程的解为非负数，
∴，
∴且，
故答案为：且．
若关于x的不等式组有且只有3个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为 ．
【答案】
【分析】本题考查解不等式组，解分式方程，根据解的情况确定参数．
先解不等式组，结合不等式组有且只有3个奇数解得到不等式组的解为，奇数解为，从而确定a的取值范围．解分式方程，结合该分式方程的解为整数，得到a是偶数．另分式方程有解得到．综上可得a应满足的条件，从而求出整数a的值，从而解答即可．
【详解】由不等式得，
∵不等式组有且只有3个奇数解，
∴不等式组的解为，奇数解为，
∴
∴．
解分式方程得，
∵该分式方程的解为整数，
∴是2的倍数，即a是偶数．
又当时，，即，
∴，
综上所述， a应满足且a是偶数且，
∴整数，它们的和为．
故答案为：
三、解答题
16．解下列分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键．注意检验．
（1）按照解分式方程的一般步骤求解即可；
（2）按照解分式方程的一般步骤求解即可．
【详解】（1）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解；
（2）解：
去分母得∶：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解．
17．列方程解应用题
某商店老板第一次用1000元购进了一批口罩，很快销售完毕；第二次购进时发现每个口罩的进价比第一次上涨了元．老板用2500元购进了第二批口罩，所购进口罩的数量是第一批购进口罩数量的2倍，同样很快销售完毕，两批口罩的售价均为15元．
(1)求第二次购进了多少个口罩？
(2)商店老板第一次购进的口罩有30元的损耗，第二次购进的口罩有125元的损耗，问商店老板在这两笔生意中共盈利多少元？
【答案】(1)第二次购进200个口罩
(2)盈利845元
【分析】本题考查了分式方程的应用；
（1）设第一次购进个口罩，第二次就购进个口罩，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解．
（2）根据题意分别求出两次的利润，相加即可求解．
【详解】（1）解：设第一次购进个口罩，第二次就购进个口罩，
由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则．
答：第二次购进个口罩；
（2）第一次购进100个口罩，利润为：（元）；
第二次购进200个口罩，利润为：（元），
两笔生意是盈利：利润为元．
18．某服装厂需购进一批面料和里料来加工一批秋冬季外套，己知每米面料的进价比每米里料进价的倍还多元，花元购进的面料长度与花元购进的里料长度相等．
(1)求购进面料和里料每米各多少元？
(2)一件秋冬季外套需面料米，里料米，该款外套月份投放市场的销售价为元件，出现购销两旺态势，月份进入批发淡季，厂方决定采取打八折促销．已知生产一件外套需人工等固定费用元，
①求月份每件外套的利润．(利润销售价布料进价固定费用
②进入月份以后，销售情况出现好转，厂方决定对客户在月份促销价的基础上实施更大的优惠，对普通客户在月份促销价的基础上实施价格上浮．已知对客户的降价率和对普通客户的提价率相等，结果一个客户用元批发外套的件数和一个普通客户用元批发外套的件数相同，则客户享受的降价率为 ．
【答案】(1)每米面料的进价是元，每米里料的进价是元
(2)①10月份每件外套的利润为元；②
【分析】本题考查了分式方程的应用；
（1）设每米里料的进价是元，则每米面料的进价是元，利用数量总价单价，结合花元购进的面料长度与花元购进的里料长度相等，可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出每米里料的进价，再将其代入中，即可求出每米面料的进价；
（2）①利用利润销售价布料进价固定费用，即可求出结论；
②设客户享受的降价率为则普通客户的提价率为利用数量总价单价，结合一个客户用元批发外套的件数和一个普通客户用元批发外套的件数相同，可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】（1）解：设每米里料的进价是元，则每米面料的进价是元，
根据题意得：
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：每米面料的进价是元，每米里料的进价是元．
（2）①
元．
答：月份每件外套的利润为元．
②设客户享受的降价率为则普通客户的提价率为，
根据题意得：
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
客户享受的降价率为．
故答案为：．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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15.3 分式方程 学案
（一）学习目标：
1.了解分式方程的概念和增根产生的原因。
2.掌握分式方程的解法，会解分式方程，会检验一个数是不是原分式方程的解。
3.体验和学会含字母的分式方程的求解过程。
（二）学习重难点：
学习重点：会解可化为整式方程的分式方程，会检验会检验一个数是不是原分式方程的解
学习难点：会解可化为整式方程 的分式方程，会检验会检验一个数是不是原分式方程的解，并理解产生增根的原因
阅读课本，识记知识：
1.分式方程的概念：分母中含未知数的方程叫作分式方程。
2.分式方程的特征：一是方程；二是分母中含有未知数。
3.分式方程的解法：
（1）解分式方程的基本思路是去分母，将分式方程化为整式方程；
（2）解分式方程的一般步骤：
①去分母：在方程两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程；
②解方程：解这个整式方程；
③检验：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不为0的根是原方程的根；使最简公分母等于0的根不是原方程的根，必须舍去。
4.分式方程的增根
（1）增根的定义：在方程两边都乘以一个含未知数的最简公分母时，扩大了未知数的取值范围；有时可能产生不合适原方程的根，这种根叫方程的增根。
（2）分式方程产生增根的原因：解方程时，总是将方程两边同乘以含有未知数的整式（即最简公分母），将分式方程化为整式方程，当所乘的这个整式不为0时，所得的整式方程与原方程同解，当所乘的整式为0时，原方程中的分式无意义，求出来的根就是增根。
（3）增根的特点：增根是原分式方程转化成整式方程后所产生的根，增根必定使各分式的最简公分母的值等于0.
考点04 分式方程的应用
1.解分式方程的步骤：
（1）审清题意；
（2）找出等量关系；
（3）设未知数；
（4）列出分式方程；
（5）解这个分式方程；
（6）既要检验所得未知数的值是不是所列分式方程的解，又要检验其是否符合题意；
（7）写出答案；
2.用分式方程解应用题的常见题型
（1）行程问题：有路程、时间和速度3个量，其关系式是“路程=速度×时间”，一般是以时间为等量关系。
（2）工程问题：有工作效率、工作时间和工作总量3个量，其关系式是“工作总量=工作效率×工作时间”，一般以工作总量为等量关系。
（3）增长率问题：其等量关系式是“原量×（1+增长率）=增长后的量，原量×（1-减少率）=减少后的量”。
【例1】 要把分式方程化为整式方程，方程两边要同时乘以（　　）
A． B． C． D．x
【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程．根据最简公分母的确定方法确定分式的最简公分母即可解答．
【详解】解：∵分式的最简公分母，
∴把分式方程转化成整式方程时，方程两边同乘．
故选：A．
【例2】 A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程的应用；
设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则顺流航行的速度为千米/时，逆流航行的速度为千米/时，根据共用去9小时列方程即可．
【详解】解：设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则顺流航行的速度为千米/时，逆流航行的速度为千米/时，
由题意得：，
故选：C．
选择题
1．下列是关于x的分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是（　　）
A．x B． C． D．
3．如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
4．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．甲做360个零件与乙做480个零件所出的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做个零件，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
6．若关于的分式方程无解，则（ ）
A．1 B．0 C． D．
7．已知电动汽车平均每千米的行驶费用比燃油车平均每千米的行驶费用少0.4元，当两种汽车的行驶费用均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求电动汽车平均每千米的行驶费用，设电动汽车平均每千米的行驶费用x元，则根据题意可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．某书店分别用元和900元两次购进该小说，第二次数量比第一次多50套，且两次进价相同．若设该书店第一次该小说购进x套，由题意列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
9.已知方程 ，计算 ( )
A．8 B．14 C．16 D．32
10．现有一列数：，，，，，（为正整数），规定， ，， 若．则的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
填空题
11．对于实数，定义一种新运算“”：．例如，，则方程的解是 ．
12．有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）．
13．如果关于的方程会产生增根，则 ．
14．已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围 ．
若关于x的不等式组有且只有3个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为 ．
三、解答题
16．解下列分式方程：
(1)；
(2)．
17．列方程解应用题
某商店老板第一次用1000元购进了一批口罩，很快销售完毕；第二次购进时发现每个口罩的进价比第一次上涨了元．老板用2500元购进了第二批口罩，所购进口罩的数量是第一批购进口罩数量的2倍，同样很快销售完毕，两批口罩的售价均为15元．
(1)求第二次购进了多少个口罩？
(2)商店老板第一次购进的口罩有30元的损耗，第二次购进的口罩有125元的损耗，问商店老板在这两笔生意中共盈利多少元？
18．某服装厂需购进一批面料和里料来加工一批秋冬季外套，己知每米面料的进价比每米里料进价的倍还多元，花元购进的面料长度与花元购进的里料长度相等．
(1)求购进面料和里料每米各多少元？
(2)一件秋冬季外套需面料米，里料米，该款外套月份投放市场的销售价为元件，出现购销两旺态势，月份进入批发淡季，厂方决定采取打八折促销．已知生产一件外套需人工等固定费用元，
①求月份每件外套的利润．(利润销售价布料进价固定费用
②进入月份以后，销售情况出现好转，厂方决定对客户在月份促销价的基础上实施更大的优惠，对普通客户在月份促销价的基础上实施价格上浮．已知对客户的降价率和对普通客户的提价率相等，结果一个客户用元批发外套的件数和一个普通客户用元批发外套的件数相同，则客户享受的降价率为 ．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
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