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2024年秋季
数学 北师大版
八年级上册
数学·八年级(上册)
4.2 一次函数
与正比例函数
4.2 一次函数
与正比例函数
北师版
第四章 一次函数
学习目标
(2) 利用一次函数解决简单的实际问题.
(1) 理解一次函数的概念,明确一次函数与正比例函数之间的联系.
复习回顾
复习回顾
1.一般地，如果在一个变化过程中有_____变量x 和y ，并且对于变量x 的______________，变量 y 都有________的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的_____.其中 x 是_______.
2.如果当x =a时，y=b，那么___称作当自变量的值为___时的函数值.
3.用关于____________表示_____之间的关系，这种关系叫做函数的解析式.
自变量的式子
变量
b
a
函数
自变量
唯一确定
两个
每一个确定的值
探索新知
探索新知
一次函数与正比例函数的概念
知识点一
重点
(2) 你能写出 y与 x之间的关系式吗？
某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量 x 每增加1kg，弹簧长度 y 增加0.5cm.
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm
(1) 计算所挂物体的质量分别为1 kg，2 kg，3 kg，4 kg，5 kg 时弹簧的长度，并填入下表:
y＝0.5x＋3
3
3.5
4
4.5
5
5.5
某辆汽车油箱中原有汽油60 L，汽车每行驶50km耗油6 L，
汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 300
耗油量y/L
0
6
12
18
24
36
（1）完成下表：
汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 300
耗油量y/L
0
6
12
18
24
36
（2）你能写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间
的关系式吗？
（3）你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）
之间的关系式吗？
或 y＝0.12x
或 y＝60－0.12x
上面问题中，表示变量之间关系的函数解析式有什么共同的特点？
（1）y ＝ 0.5x ＋ 3
（2）y ＝ 0.12x
（3）y ＝ -0.12x ＋60
y
＝
kx
＋
b
这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式.
若两个变量x，y间的对应关系可以表示成 y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称 y是x的一次函数.
特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
函数是一次函数
函数是正比例函数
关系式为：y=kx
(k为常数，k≠0)
关系式为：y=kx+b
(k为常数，k≠0)
下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
(1) y=－；
(3) y=1+8x；
(4) y=x2+2x+1；
正比例函数：(1)
(2) y = ；
一次函数：(1)、(3)
① k 是常数，k ≠ 0；
② x 的次数是 1.
一次函数
正比例函数
正比例函数是一种特殊的一次函数.
一次函数的结构特征有哪些？
思考1
正比例函数一定是一次函数？
思考2
【例1】 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y 是否为 x 的一次函数？是否为正比例函数？
由路程＝速度×时间，得 y＝60x，
y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数；
(1) 汽车以 60km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 y（km）与行驶时间 x（h）之间的关系；
解
（2）圆的面积 y（cm2）与它的半径 x（cm）之间的关系；
由圆的面积公式，得 y＝πx2，
y 不是 x 的正比例函数，也不是x的一次函数；
（3）某水池有水15m3，先打开进水管进水，进水的速度为
5m3/h，x h后这个水池内有水 ym3.
由 y＝15＋5x得，
y 是 x的一次函数，但不是x的正比例函数.
解
解
根据条件列一次函数关系式
知识点二
重点
【例2 】自2019年1月1日起，我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是:每次收入不超过800元的，预扣预缴税款为0；每次收入超过800元但不超过4000元的，预扣预缴税款＝（每次收入－800）×20%.
当每次收入超过800元但不超过4000元时，
y＝（x－800）×20%，即y＝0.2x－160;
(1)当每次收入超过800元但不超过4000元时，写出劳务报酬所得税预扣预缴税款 y（元）与每次收入x（元）之间的关系式;
解
（2）某人某次取得劳务报酬3500元，他这笔所得应预扣预缴税款多少元
（2）当x＝3500时，y ＝0.2×3500－160＝ 540（元）;
（3）如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税600元，那么此人这次取得的劳务报酬是多少元
（3）因为（4000－800）×20%＝640（元），600 < 640
所以此人这次取得的劳务报酬不超过4000元.
设此人这次取得的劳务报酬是 x 元，
则 600 ＝0.2x －160．解得 x＝3800.
所以此人这次取得的劳务报酬是3800元.
解
(1) 求滑车滑行轨道剩下的路程S (米)和滑行时间t (分)之间的关系式.
(2) 如果滑行时间为12分钟，求剩下的路程.
(3) 若剩下的路程为20米，那么它滑行的时间为多少分钟？
滑车以每分1.5米的速度匀速从轨道的一端滑向另一端，已知轨道的长为50米.
（1）S＝50－1.5t
（2）当t＝12时，S＝50－1.5×12＝ 32（米）；
（3）50 －1.5t ＝20 t＝20（分）.
解
李大爷要围成一个长方形菜园ABCD(如图),菜园的一边利用足够长的墙,另外三边用篱笆围成,所用篱笆的总长恰好为 24 m,设BC 边的长为 x m,AB 边的长为 y m.
(1) 求y与x之间的关系式,并判断 y 是否为 x的一次函数;
(2) 当BC 边的长为10 m时,求AB边的长;
(3) 当AB 边的长为5m时,求BC边的长.
例 2
解:(1)由题意得 2y+x = 24,所以 y=－x+12,
y是x的一次函数.
(2)当BC 边的长为10 m,即 x = 10时,
y= －×10+12=7,即AB 边的长为7 m.
(3)当AB 边的长为5 m,即 y=5时，
－x+12=5,解得 x =14,即 BC 边的长为14 m.
随堂练习
随堂练习
1. 某种大米的单价是 2.2 元/kg，当购买 x kg大米时，花费为 y 元. y 是 x 的一次函数吗？是正比例函数吗？
解：由 y =2.2x 得，y是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数.
【教材P80 随堂练习 第1题】
2.根据下表写出 y 与 x 之间的一个关系式.
x -1 0 1 2 3
y 3 0 -3 -6 -9
解： y＝﹣3x.
【教材P82 习题4.2 第1题】
（1）y = 3x ，是正比例函数.
写出下列各题中y与x间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
3.
（2） ，不是一次函数，也不是正比例函数.
【教材P82 习题4.2 第2题】
（1）一个在斜坡上由静止开始向下滚动的小球，其速度每秒增
加3 m/s，小球的速度y（m/s）与时间 x（s）之间的关系；
（2）周长为10 cm的长方形的一边长为 x cm，其面积 y（cm2 ）
与 x（cm）之间的关系.
解
4. 如图，甲、乙两地相距500km. 现有一列“复兴号”动车
组列车从乙地出发，以350km/h的速度向丙地行驶.
设x（h）表示列车行驶的时间，y（km）表示列车与甲地的距离.
（1）写出 y 与 x之间的关系式，并判断 y 是否为x的一次函数；
（2）当 x＝0.5 时，求 y 的值.
（1）y＝500＋350x，y是x的一次函数；
（2）y＝500＋350×0.5＝675（km）
v ＝ 350km/h
【教材P81 随堂练习 第2题】
解
某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，
每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计.
5.
（1） y＝12＋0.2x
（2）当x＝180时，y＝12＋0.2×180＝ 48（元）；
（3） 12＋0.2x ＝100 x＝440（min）.
【教材P82 习题4.2 第3题】
（1）写出每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的关系式;
（2）某手机用户这个月通话时间为180min，他应缴费多少元？
（3）如果该手机用户本月预缴了100元的话费，那么该用户本月可通
话多长时间？
解
某电信公司手机的B类收费标准如下:没有月租费，但通话费按0.25元/ min计．
6.
（1）写出每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的关系式;
（2）某手机用户这个月通话时间为180min，他应缴费多少元？
（3）如果该手机用户本月预缴了100元的话费，那么该用户本月可
通话多长时间？
（1） y＝0.25x（x≥0）
（2）当 x＝180时，y＝0.25×180＝ 45（元）；
（3） 0.25x ＝100 x＝400（min）.
【教材P82 习题4.2 第4题】
解
解
某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，
每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计;B类收费标准如下:没有月租费，但通话费按0.25元/ min计．
7.
(1) A类收费:y ＝12＋0.2×300＝72（元）,
B类收费:y＝0.25×300＝75（元）,
所以应选择A类收费方式.
【教材P82 习题4.2 第5题】
（1）若每月平均通话时间为300 min，你选择哪类收费方式
解
某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，
每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计;B类收费标准如下:没有月租费，但通话费按0.25元/ min计．
7.
（2）每月通话多长时间，按A，B两类收费标准缴费，所缴话费
相等
（2）由题意，得12＋0.2x＝0.25x, 解得x＝240.
所以每月通话时间为240 min时,
按A，B两类收费标准缴费，所缴话费相等.
【教材P82 习题4.2 第5题】
课堂小结
课堂小结
一次函数与正比例函数
概念
关系
依据实际问题的意义
列出相应的表达式
一次函数
正比例函数
形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫作一次函数
当 b＝0时，y=kx 叫作正比例函数
从课后习题中选取
完成练习册本课时的习题
课后作业
谢 谢，同学们再见！
谢谢
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