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(共42张PPT)
2024年秋季
数学 北师大版
八年级上册
第1课时 正比例函数的
图象和性质
4.3 一次函数的图像
数学·八年级(上册)
北师版
学习目标
理解函数图象的概念,掌握作函数图象的一般步骤．(重点)
掌握正比例函数的图象与性质，并能灵活运用解答有关问题．（难点)
“复习回顾”
1.下列各式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
一次函数的表达式： y = kx +b (k，b为常数，k ≠ 0)
正比例函数的表达式： y = kx (k为常数，k ≠ 0)
2.函数有哪些表示方法？
它们之间有什么关系？
图象法、列表法、关系式法
三种方法可以相互转化
3.你能将关系式法转化成图象法吗？
什么是函数的图象？
“探索新知”
把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.
画函数图象的一般步骤：
①列表
②描点
③连线
(摩天轮上一点的高度 h 与
旋转时间 t 之间的函数图象)
知识点1
函数的图象
知识点2
正比例函数的图象
解：（1）列表；
（2）描点；
（3）连线.
例1 画出正比例函数 y=2x 的图象.
x … -2 -1 0 1 2 …
y
0
2
4
-4
-2
···
···
y=2x
y =2x
（0.5 ，1）
（1.5 ，3）
由函数表达式到图象，你体会到了什么样的数学思想？
在所画的图象上任意取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否能够满足关系式 y=2x ？
探究
数形结合
（1）画出正比例函数y＝﹣3x的图象.
解：①列表；
②描点；
③连线.
x … -2 -1 0 1 2 …
y
0
-3
-6
6
3
···
···
y=﹣3x
（2）在所画的图象上任意取几个点，
找出它们的横坐标和纵坐标，它
们满足关系式吗？
满足
y=﹣3x
满足关系式 y=﹣3x的x，y所对应的点（x，y）都在正比例函数y=﹣3x的图象上吗？
（1）
正比例函数y=﹣3x的图象上的点（x，y）都满足关系式y=﹣3x吗？
（2）
观察比较，两个函数的图象
有什么相同点，有什么不同点？
y=2x
y=﹣3x
① y =2x 经过一、三象限，
② y =﹣3x 经过二、四象限.
①函数图象都经过原点（0,0）
②函数图象都是一条直线.
第一象限
第三象限
第二象限
第四象限
不同点
相同点
正比例函数 y＝kx 的图象有何特点？
（3）
y=2x
y=﹣3x
第一象限
第三象限
第二象限
第四象限
正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是一条经过_____________的______.
原点（0,0）
直线
正比例函数图象的特点
几何画板演示：正比例函数的图象
知道了正比例函数图象的特点，有没有更简便的正比例函数图象的绘制方法？
正比例函数 y＝kx（k≠0）的图象是一条经过原点（0，0）的直线，只要再确定一个点即可确定函数图象，即过这点与原点的直线就是该函数图象.
两点作图法
在平面直角坐标系内画出正比例
函数y=x的图象,并判断点P(－2,3 ),Q(4,2)是否在该图象上.
例 2
解：函数 y=x 的图象如图所示.
将x=－2 代入 y=x，得y=－1≠3，
所以点P(－2,3 )不在该图象上；
将x=4 代入 y=x，得y=2，
所以点Q(4,2) 在该图象上；
在同一直角坐标系内画出正比例函数 y = x，y = 3x，y = ﹣ x 和 y =﹣4x 的图象.
y=－4x
y=x
y=3x
y=﹣ x
两点作图法
知识点3
正比例函数的性质
1. k值与图象所在象限有何关系？
当k＞0时，经过第一、三象限.
当k＜0时，经过第二、四象限.
2. 随着 x 增大，y 的值分别如何变化有何变化？
思考：相应图象上的
点的变化趋势如何？
当k＞0时，从左向右呈_______趋势，
y的值随着x值的增大而________；
在正比例函数 y＝kx 中，
当k＜0时，从左向右呈_______趋势，
y的值随着x值的增大而________.
上升
增大
下降
减小
y=2x
y=x
y=3x
(1) 正比例函数 y=x 和 y=3x 中，随着 x 值的增大，y 的值都增加了，其中哪一个增加得更快？
k >0， 当 k 越大，直线越陡，直线越靠近 y 轴，相应的函数值上升得越快.
取同一个x值时，对应的y值变化.
y=-3x
y=-4x
y=﹣ x
(2) 正比例函数 y＝ - x 和
y＝﹣4x中，随着 x 值的增大，y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？
k ＜0， 当 | k | 越大，直线越陡，直线越靠近 y 轴，相应的函数值下降得越快.
取同一个x值时，对应的y值变化.
当 _____ 越大时，直线越陡，图象越靠近 y 轴，相应的函数值上升或下降得越快.
| k |
已知函数 y = 3x 的图象经过点A(－1 ,y1 ) ,
B( －2,y2),则y1_______ y2.(填“>” “<” 或“=”)
＞
例 3
已知函数的关系式及其图象上的点的横坐标，比较点的纵坐标的值的方法有三种:
( 1)代入法.它准确,但需要计算.
(2)图象法.它直观形象,但需要画图.
(3)函数性质法.它是三种方法里面最简便的一种.
方法总结
正比例函数y＝k x（k是常数，k≠0）的图象和性质 k的正负
函数图象
图象的形状
经过的象限
增减性
变化的快慢
k＞0
k＜0
过原点，从左向右是上升的直线（↗）
过原点，从左向右是下降的直线（↘）
第一、三象限
第二、四象限
y 的值随 x 值的增大而增大
y 的值随 x 值的增大而减小
|k|越大，直线越陡，上升的越快
|k|越大，直线越陡，下降的越快
“随堂练习”
在同一直角坐标系内画出正比例函数
与 的图象，并指出随着x值的增大，y的值分别如何变化.
1.
【教材P85 随堂练习】
y = x
解：列表，描点，连线.
x 0 2
y= x 0 1
x 0 3
y= x 0 -1
y= x
对于函数 ，
y 的值随着 x 值的增大而增大；
对于函数 ，
y 的值随着 x 值的增大而减小.
下列哪些点在正比例函数 y＝﹣5x 的图象上
2.
【教材P85 习题4.3 第1题】
（1，5），（-1，5），（0.5，﹣2.5），（﹣5，1）.
（1）y＝4x；
（2） ;
（3）
画出下列正比例函数的图象:
3.
【教材P85 习题4.3 第2题】
（1）y＝8x；
（2）y＝﹣0.6x；
（3）y＝x；
（4）y＝ x.
下列正比例函数中，y的值随着x值的增大而减小的有 ____________.
4.
【教材P85 习题4.3 第3题】
（2）（4）
写出图中直线 l 所对应的函数表达式.
5.
【教材P85 习题4.3 第4题】
y＝3x；
小明是这样理解“函数y＝x的图象是一条经过原点的直线”
的：如图，当x＝0时，y＝0，所以原点（0，0）在函数y=x的图象上；当x＝t时，y＝t，即 MN＝ON，∠MON=45°，而这个结论对任意的 t 值都正确，所以函数 y=x的图象是一条经过原点、与水平方向成45°角的直线．你理解他的想法吗
6.
【教材P85 习题4.3 第5题】
理解，小明的想法的实质是图象上其他点与原点的连线与水平方向所成的角都相同，因此，这些点都在一条直线上.
解
“课堂小结”
正
比
例
函
数
图象
形状：是一条经过原点（0,0）的直线
画法：两点作图法（一般步骤为列表、描点、连线）
性质
性质1
当k>0时，经过第一、三象限；
当k<0时，经过第二、四象限.
性质2
当k>0时，y的值随x值的增大而增大；
当k<0时，y的值随x值的增大而减小.
性质3
|k|越大，直线越陡，越靠近y轴.
从课后习题中选取
完成练习册本课时的习题
课后作业
谢 谢，同学们再见！
谢谢
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