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21.1 一元二次方程 学案
（一）学习目标：
通过设置问题，建立数学模型，定义一元二次方程。
一元二次方程的一般形式及其有关概念；
3．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。
（二）学习重难点：
学习重点：一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程的有关概念解决问题
学习难点：建立一元二次方程的数学模型
阅读课本，识记知识：
1. 一元二次方程的概念：
　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
2. 一元二次方程的一般式：
　
3.一元二次方程的解：
　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
细节剖析
判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.
对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．
例1．一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．6，2，9 B．2，，9 C．2，， D．，6，
【答案】C
【分析】一元二次方程中，a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项，据此即可解答.
【详解】解：一元二次方程即为
二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，，；
故选：C.
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟知一元二次方程的基本知识是解题的关键.
例2．在关于x的方程（）中，a，b，c满足和，则方程的根是（　　）
A．1，0 B．1， C．1， D．无法确定
【答案】B
【分析】能使方程等号成立的未知数的值叫做方程的解，据此分别令，，可求此一元二次方程的根，即可求解．
【详解】解：当时，，
当时，，
所以方程的根分别为1或．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了方程的解的定义，一元二次方程的根，理解定义，找出满足等式的未知数的值是解题的关键．
选择题
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程；形如叫做一元二次方程的一般式．
【详解】解：A、含有三个未知数，故该选项不合题意；
B、是一元二次方程，故该选项是符合题意；
C、未知数的最高次数是1，故该选项不合题意；
D、未知数的最高次数是2，但不是整式，故该选项不合题意；
故选：B．
2．下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数，由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：A. ，是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
3．如果方程是关于x的一元二次方程，则p的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程判断．本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
解得，
故，
故选B．
4．已知为一元二次方程的根，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，进而得到．，再由，利用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵为一元二次方程的根，
∴，
∴，
∴，
故选D．
5．关于的方程有两个实数根，，则下列选项正确的是（ ）．
A． B． C． D．且
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和解一元一次不等式组，根据乘法的性质可得两个数的乘积为正数，那么这两个数同号，则或，解得或，再由关于的方程有两个实数根，，即可得到且，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴或，
∴或，
∵关于的方程有两个实数根，，
∴且，
故选D．
6．以为根的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查方程的解，掌握能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解是解题的关键．
【详解】解：A、当时，，故不是方程的根；
B、当时，，故不是方程的根；
C、当时，，故不是方程的根；
D、当时，，故是方程的根；
故选D．
7．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的识别，一元二次方程的定义：“ 的形式，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次的整式方程即为一元二方程．”根据定义逐项判断即可．
【详解】解：A、中含有2个未知数，不是一元二次方程；
B、中含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程；
C、中根号下有未知数，不是一元二次方程；
D、是整式方程，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次，是一元二次方程；
故选：D．
8．若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是（ ）
A．2021 B．2024 C．2026 D．2027
【答案】D
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，代数式求值．先将代入，求出关于a，b的式子的值，再整体代入计算即可．
【详解】解：关于x的一元二次方程的一个解是，
，
，
故选：D．
9．把一元二次方程化为一般形式,二次项系数，一次项系数,常数项分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程定义问题,完全平方公式．形如“”的形式是关于的一元二次方程的一般形式，根据定义即可选出答案．
【详解】解:∵
∴，
∴一般形式为:，
∴二次项系数为，一次项系数常数项，
故选:C．
10．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，进行判断即可．
【详解】解：A、方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、方程，是一元二次方程，故本选项符合题意；
C、方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
填空题
11．已知m是方程的一个根，则代数式的值是 ．
【答案】
【分析】根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答．本题考查了方程根的定义，代数式的整体思想求值，掌握定义，活用整体思想是解题的关键．
【详解】∵m是方程的一个根，且，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
12．当 时，关于x的一元二次方程(的一个根是．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，把方程的解代入方程求出a的值，再结合一元二次方程的定义即可求解．
【详解】解：把代入方程有：，
∴；
又∵当时，方程不是一元二次方程，
∴，
故答案为．
13．若是关于的一元二次方程的一个根，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义，将代入原方程，得到关于的一元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】解：依题意，
解得：
故答案为：．
14．一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为 ，m是的一个根，则的值为 ．
【答案】 6 2020
【分析】本题考查一元二次方程的概念，一元二次方程的根，整体代入求值；直接根据方程即可得到第一空的答案；根据m是的一个根可得，再对进行变形，最后代入求值即可得第二空的答案．
【详解】解：，
，，，
；
是的一个根，
，
，
；
故答案为：6；2020．
15．若是方程的根，则 ．
【答案】4
【分析】此题考查了方程根的含义，将代入方程，求解即可．
【详解】解：将代入方程可得：，
解得，
故答案为：．
三、解答题
16．已知m是方程的根，求代数式的值．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值．由题意易得，然后把代数式进行化简，最后整体代入求解即可．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴
．
17．已知都是方程的根，求a、b的值和这个一元二次方程的一般形式．
【答案】，，
【分析】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程的一般式．熟练掌握一元二次方程的根，一元二次方程的一般式是解题的关键．
将代入，计算求解可得的值，进而可求一元二次方程的一般式．
【详解】解：将代入得，，
解得，，
∴，
∴a、b的值分别为1，2；这个一元二次方程的一般形式为．
18．先化简，再求值：，其中a是方程的解．
【答案】，
【分析】本题主要考查分式的化简求值，一元二次方程的解的概念，根据分式的性质，乘法公式，将代数式化简，再根据一元二次方程的解可得，即可求解，掌握分式的性质，一元二次方程的解的运用是解题的关键．
【详解】解：
，
∵是方程的解，
∴
∴原式．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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21.1 一元二次方程 学案
（一）学习目标：
通过设置问题，建立数学模型，定义一元二次方程。
一元二次方程的一般形式及其有关概念；
3．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。
（二）学习重难点：
学习重点：一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程的有关概念解决问题
学习难点：建立一元二次方程的数学模型
阅读课本，识记知识：
1. 一元二次方程的概念：
　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
2. 一元二次方程的一般式：
　
3.一元二次方程的解：
　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
细节剖析
判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.
对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．
例1．一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．6，2，9 B．2，，9 C．2，， D．，6，
【答案】C
【分析】一元二次方程中，a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项，据此即可解答.
【详解】解：一元二次方程即为
二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，，；
故选：C.
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟知一元二次方程的基本知识是解题的关键.
例2．在关于x的方程（）中，a，b，c满足和，则方程的根是（　　）
A．1，0 B．1， C．1， D．无法确定
【答案】B
【分析】能使方程等号成立的未知数的值叫做方程的解，据此分别令，，可求此一元二次方程的根，即可求解．
【详解】解：当时，，
当时，，
所以方程的根分别为1或．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了方程的解的定义，一元二次方程的根，理解定义，找出满足等式的未知数的值是解题的关键．
选择题
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如果方程是关于x的一元二次方程，则p的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
4．已知为一元二次方程的根，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
5．关于的方程有两个实数根，，则下列选项正确的是（ ）．
A． B． C． D．且
6．以为根的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
7．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是（ ）
A．2021 B．2024 C．2026 D．2027
9．把一元二次方程化为一般形式,二次项系数，一次项系数,常数项分别为（ ）
A． B． C． D．
10．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A． B． C． D．
填空题
11．已知m是方程的一个根，则代数式的值是 ．
12．当 时，关于x的一元二次方程(的一个根是．
13．若是关于的一元二次方程的一个根，则 ．
14．一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为 ，m是的一个根，则的值为 ．
15．若是方程的根，则 ．
三、解答题
16．已知m是方程的根，求代数式的值．
17．已知都是方程的根，求a、b的值和这个一元二次方程的一般形式．
18．先化简，再求值：，其中a是方程的解．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
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