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21.2.2 公式法 学案
（一）学习目标：
复习整理一元二次方程的相应的基础知识
利用基础知识解决一些实际问题
3.培养学生分析问题，解决问题的能力
（二）学习重难点：
学习重点：一元二次方程的概念及一般形式
学习难点：把方程化为一般形式
阅读课本，识记知识：
1.求根公式的定义：一般地，对于一元二次方程，当时，一元二次方程的根是，这个式子称作一元二次方程的求根公式。
2.求根公式的推导：
一元二次方程求根公式的推导过程实际就是用配方法解一元二次方程，
两边同除以，得：
移项得：；
方程两边同时加上；
得：；
化简得：；
因为；
所以当时，
可得：
；
3.用公式法解一元二次方程的步骤：
（1）先将方程化为一般形式：，确定的值；
（2）计算：的值，从而确定原方程是否有实数根；
（3）若，则把以及的值代入求根公式，求出；若，则方程没有实数根。
例1．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
【答案】B
【分析】化成一般形式，计算方程根的判别式，根据计算属性判断即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握，则方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题的关键．
例2．配方法是解一元二次方程的一种基本方法，其本质是将一元二次方程由一般式化为的形式，然后利用开方求一元二次方程的解的过程，这个过程体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想 B．函数思想 C．转化思想 D．公理化思想
【答案】C
【分析】先把一般式化为，然后两边开方，把一元二次方程转化为一元一次方程，从而解一元一次方程得到一元二次方程的解．
【详解】解：利用配方法把一般式化为，再利用开方求一元二次方程的解的过程，这个过程体现的转化的数学思想．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法：用配方法解一元二次方程的过程实际上把一元二次方程转化为一元一次方程的过程．
选择题
1．若关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是确定a、b、c的值，再求出判别式的结果.
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴且，
且，
∴整数a的最大值为0．
故选：B．
2．下列方程中，有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查方程有无实数根的判断，熟练掌握二次根式和实数的偶次方的非负性、分式方程的求解与检验、一元二次方程判别式的求法及应用是解题关键 ．根据二次根式和偶次方的非负性可对A、D作出判断，根据分式方程的求解可对D作出判断，计算一元二次方程判别式的值可对B作出判断．
【详解】∵,
∴，
∵，矛盾，
故A没有实数根；
∵,
∴，
∵，
故B没有实数根；
∵，
∴，
解得，
经检验，时原方程的根，
故C有实数根；
∵,
∴，
∵，矛盾，
故D没有实数根；
故选：C．
3．关于x的一元二次方程，则下列说法正确的是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有一个实数根
【答案】B
【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解，掌握，方程有两个不相等的实根；，方程有两个相等的实根；，方程无实根，是解题的关键
【详解】解：已知，
∴，即，
∴，
∴方程有两个相等的实根，
∴选项不符合题意，
故选：
4．已知关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
【答案】C
【分析】本题考查了根的判别式，根据条件分两种情况讨论：当时，当时，分别求解即可．
【详解】解：当时，
解得：，且，
当时，即，方程为，解得：，
综上：实数k的取值范围是，
故选：C．
5．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且，
故选：C．
6．关于的方程的根的情况判断正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．有一个实数根
【答案】A
【分析】本题考查根的判别式．根据题意利用与0比较即可得到本题答案．
【详解】解：，
∵，
∴，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
7．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，根据关于x的一元二次方程有两个实数根知，据此得出的范围，再结合一元二次方程的定义可得答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得，，
又∵，
∴且
故选：B．
8．小马在解关于x的一元二次方程时，他一马虎把常数项c的值抄成了c的相反数，解出两个相等的实数根，那么原方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有一个根是
【答案】C
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，相反数的定义，根据题意得有两个相等的实数根得出，进而求出c的值，代入原方程，再利用根的判别式即可求出答案．
【详解】解：根据题意得：有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴原方程为，
此时，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
9．若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握一元二次方程的定义、根的判别式与根的关系是解答本题的关键．
由一元二次方程，则；再根据方程有实数根，则根的判别式大于等于零，据此列不等式求解即可；
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴且，解得：且．
故选C．
10．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，根据一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，得到，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得，
解得，
，
m的取值范围是且．
故选：D．
填空题
11．用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ．
【答案】
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟知求根公式是解题的关键．
根据公式法的求根公式，可得出一元二次方程的各项系数的值，即可得出答案．
【详解】解：根据题意及求根公式，
得，，，
该一元二次方程为，
故答案为：．
12．若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了一元二次方程为常数的根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
【详解】解：，即，
∵有两个不相等的实数根，
∴，解得且，
故答案为：且．
13．若关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据根的判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．
【详解】解：有两个相等的实数根，
，
解得．
故答案为：．
14．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义．直接利用一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义求解即可得．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
，
解得且．
故答案为：且．
15．如图，已知等边，，以为边作正方形（点A、C、D、E按逆时针方向排列），和的延长线相交于F，点P从点B出发沿向点F运动，到达点F时停止，点Q在线段和上运动，且始终满足垂直于正方形的边长，连接，，，当时，的面积是 .

【答案】或
【分析】分类讨论：①当点P在上运动，点Q在上运动时，②当点P在上运动，点Q在上运动时，根据等边三角形和正方形的性质、直角三角形的性质及勾股定理分别表示出、的值，再根据，列方程求解，最后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：①当点P在上运动，点Q在上运动时，如图，延长交于点G，
∵是等边三角形，，
∴，
设，则，
∴，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∵，即，
∴，
解得，
∴，，
∴，

②当点P在上运动，点Q在上运动时，延长交于点H，
∵是等边三角形，四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∵四边形是正方形，
∴， ，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∵，即，
∴，
解得，
∴，，
∴，
故答案为：或．

【点睛】本题考查等边三角形的性质、正方形的性质、直角三角形的性质、勾股定理及矩形的判定与性质、解一元二次方程，熟练掌握相关性质是解题的关键．
三、解答题
16．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式大于0求解即可得．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴这个方程根的判别式，
整理得，
解得，
所以的取值范围为．
17．已知关于x的方程
(1)若此方程的一根是1，求另一个根及m的值．
(2)求证：方程总有两个不相等的实数根．
【答案】(1)另一个根为3，m的值为2
(2)见解析
【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程根的判别式等知识点：
（1）把代入方程，即可求出m的值，然后解方程即可；
（2）根据一元二次方程的判别式，判断根的情况即可．
【详解】（1）解：将代入，
得：，
解得，
原方程为，
即，
解得，，
另一个根为3，m的值为2．
（2）解：，
，
，
方程总有两个不相等的实数根．
18．关于的一元二次方程有两个不等实根．若方程的一个根是，求的值及另一个根．
【答案】的值为，另一根为
【分析】本题主要考查的是一元二次方程中根的判别式、方程的解，先根据方程根的情况确定，求出的取值范围，然后把方程的根代入求出的值，代入求出另一根是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程有两个不等实根，
∴，即，
解得：，
把代入方程得，
解得：，
当时，方程为，
解得，．
∴的值为，另一根为．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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21.2.2 公式法 学案
（一）学习目标：
复习整理一元二次方程的相应的基础知识
利用基础知识解决一些实际问题
3.培养学生分析问题，解决问题的能力
（二）学习重难点：
学习重点：一元二次方程的概念及一般形式
学习难点：把方程化为一般形式
阅读课本，识记知识：
1.求根公式的定义：一般地，对于一元二次方程，当时，一元二次方程的根是，这个式子称作一元二次方程的求根公式。
2.求根公式的推导：
一元二次方程求根公式的推导过程实际就是用配方法解一元二次方程，
两边同除以，得：
移项得：；
方程两边同时加上；
得：；
化简得：；
因为；
所以当时，
可得：
；
3.用公式法解一元二次方程的步骤：
（1）先将方程化为一般形式：，确定的值；
（2）计算：的值，从而确定原方程是否有实数根；
（3）若，则把以及的值代入求根公式，求出；若，则方程没有实数根。
例1．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
【答案】B
【分析】化成一般形式，计算方程根的判别式，根据计算属性判断即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握，则方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题的关键．
例2．配方法是解一元二次方程的一种基本方法，其本质是将一元二次方程由一般式化为的形式，然后利用开方求一元二次方程的解的过程，这个过程体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想 B．函数思想 C．转化思想 D．公理化思想
【答案】C
【分析】先把一般式化为，然后两边开方，把一元二次方程转化为一元一次方程，从而解一元一次方程得到一元二次方程的解．
【详解】解：利用配方法把一般式化为，再利用开方求一元二次方程的解的过程，这个过程体现的转化的数学思想．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法：用配方法解一元二次方程的过程实际上把一元二次方程转化为一元一次方程的过程．
选择题
1．若关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．下列方程中，有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
3．关于x的一元二次方程，则下列说法正确的是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有一个实数根
4．已知关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
5．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
6．关于的方程的根的情况判断正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．有一个实数根
7．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
8．小马在解关于x的一元二次方程时，他一马虎把常数项c的值抄成了c的相反数，解出两个相等的实数根，那么原方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有一个根是
9．若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
10．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
填空题
11．用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ．
12．若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
13．若关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则m的值为 ．
14．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
15．如图，已知等边，，以为边作正方形（点A、C、D、E按逆时针方向排列），和的延长线相交于F，点P从点B出发沿向点F运动，到达点F时停止，点Q在线段和上运动，且始终满足垂直于正方形的边长，连接，，，当时，的面积是 .

三、解答题
16．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
17．已知关于x的方程
(1)若此方程的一根是1，求另一个根及m的值．
(2)求证：方程总有两个不相等的实数根．
18．关于的一元二次方程有两个不等实根．若方程的一个根是，求的值及另一个根．
（一）课后反思：
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本节课存在的问题：
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