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21.2.3 因式分解法 学案
（一）学习目标：
使学生掌握应用因式分解法解某些系数较为特殊的一元二次方程的方法.
在因式分解中渗透普遍联系的思想
3.在探究中感受数学的严谨性和逻辑性
（二）学习重难点：
学习重点：用因式分解法解一元二次方程
学习难点：将方程化为一般形式后，对左侧二次三项式的因式分解
阅读课本，识记知识：
1.因式分解法的概念：将一个一元二次方程通过因式分解，转化为两个一元一次方程来求解的方法叫作因式分解法。
2.因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程的右边化为0；
（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
（3）令每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解；
3.用因式分解法解一元二次方程的关键：
（1）一定要将方程的右边化为0；
（2）方程左边要能分解为两个含未知数的一次因式的积。
4.选择原则：首先要看因式分解法或直接开平方法是否可行，其次考虑公式法，一般不用配方法。
5.配方法适用于任何一个一元二次方程，但过程比较麻烦。
6.公式法可利用其导出的求根公式直接求解，适用于有解的一元二次方程。
例1．方程的根是（　　）
A． B． C．， D．，
【答案】D
【分析】先把原方程化为，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
故选D
【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握解法步骤是解本题的关键．
例2．方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】C
【分析】利用因式分解法即可求解．
【详解】解：整理得，即：，
解得：，，
故选C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键．
选择题
方程的根是( )
A． B． C．或 D．无解
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据已知即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：
∴
∴
∴或，
解得：，
故选：C．
2．方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
解得，，
故选：B．
3．对于实数a， b， 定义运算“※” ∶ 例如： 若， 则x的值为（ ）
A．1 B．0 C．0或1 D．1或-1
【答案】A
【分析】此题主要考查了新定义下实数的运算，解方程，乘方等知识，熟悉相关性质是解题的关键．
【详解】根据定义，得，整理得，
解方程，得，
故选A．
4．下列方程中没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程与一元二次方程根的判别式；分别解A、D两个选项的方程，用判别式分别判断B、D两个选项的一元二次方程，即可完成解答．
【详解】解：A、解方程得，方程有实数根；
B、，方程有两个相等实数根；
C、，方程没有实数根；
D、方程两个解为，方程有实数根；
故选：C．
5．方程的解为（ ）
A．， B．， C． D．，
【答案】D
【分析】本题考查的是解一元二次方程，解题的关键是把一元二次方程进行因式分解，得到即可求解．
【详解】解：移项得：，
即：，
或，
解得：，
故选：D．
6．一元二次方程的根为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．先移项，再用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
移项得，，
因式分解得，，
∴或，
解得，，，
故选：C．
7．若菱形的一条对角线长为8，边的长为方程的一个根，则菱形的周长为（ ）
A．24 B．12 C．20 D．12或20
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出是解决问题的关键．解方程得出或，分两种情况：①当时，，不能构成三角形；②当时，，即可得出菱形的周长．
【详解】解：如图所示：

∵四边形是菱形，
∴，
∵
因式分解得：，
解得：或，
分两种情况：
①当时，，不能构成三角形；
②当时，，
∴菱形的周长．
故选：C
8．若关于的方程的一个根是，则另一个根及的值分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程先求出的值，从而确定出方程，再解方程即可求出，理解方程的解并准确计算是解题的关键．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴,
∴，
∴方程为，
解得，，
∴另一个根为，的值为，
故选：．
9．关于的一元二次方程的常数项是0，则的值　　
A．1 B．1或2 C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的定义，根据题意得出，，解方程，即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项是0，
∴，，
解得：，
故选：C．
10．一元二次方程的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法求出方程的两个根即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
解得，
故选A．
填空题
11．方程 的根是 ．
【答案】，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，利用因式分解法解一元二次方程即可；解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
【详解】
∴或
解得，．
12.关于的分式方程无解，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解以及分式方程无解的条件，解题的关键在于识记分式方程无解的条件：去分母后所得整式方程无解，或者这个整式方程得到的解使得原方程的分母为零，根据无解条件即可作答．
【详解】对分式方程化简得：
解得：
由于分式方程无解．
故当时，分母为零，方程无意义．
即：
解得：
故答案为：．
13.（江苏省南京市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）方程 的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查解一元二次方程，分和两种情况，去绝对值，再解方程即可．
【详解】解：当时，变形为，
即，
解得（舍）；
当时，变形为，
即，
解得（舍）；
综上可知，的解是．
故答案为：．
14.已知实数m，n满足，若，则t的值是 ．
【答案】5
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，利用得出关于t的一元二次方程是解题关键，注意平方都是非负数．
【详解】解：设，原方程等价于,
解得或，
∴或（不符合题意舍去），
故答案为：5．
15．已知关于x的方程的解与的解相同，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查解一元二次方程以及一元二次方程的解，利用因式分解法求出方程的解，然后把代入方程可得即可．
【详解】解：∵，
∴或，
解得，，，
把代入方程得，，
故答案为：1．
三、解答题
16．解下列方程：
；
．
【答案】(1)，；
，．
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，
根据配方法即可求出答案；
根据因式分解法即可求出答案．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
∵，
∴，
∴或，
∴．
17.解方程
【答案】(1)
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）根据公式法求解即可；
（2）先去括号，再合并同类项，再由十字相乘法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
解得；
（2）解：，
，
，
，
或，
解得．
18.定义新运算“ ”：当时，；当时，．
(1)填空：______；
(2)若，求x的值．
【答案】(1)
(2)x的值为或
【分析】（1）首先根据无理数的估算判断出，然后根据新定义的运算规则，即可得到答案；
（2）根据题意分和两种情况讨论，然后据新定义的运算规则列出一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）当时，，
∴，
，
，
，
解得，（舍去）；
当时，，
∴，
，
，
解得，（舍去）．
∴x的值为或
【点睛】此题考查了解一元二次方程，实数的新定义运算解一元一次不等式，无理数的估算，解题的关键是正确分析新定义的运算法则．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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21.2.3 因式分解法 学案
（一）学习目标：
使学生掌握应用因式分解法解某些系数较为特殊的一元二次方程的方法.
在因式分解中渗透普遍联系的思想
3.在探究中感受数学的严谨性和逻辑性
（二）学习重难点：
学习重点：用因式分解法解一元二次方程
学习难点：将方程化为一般形式后，对左侧二次三项式的因式分解
阅读课本，识记知识：
1.因式分解法的概念：将一个一元二次方程通过因式分解，转化为两个一元一次方程来求解的方法叫作因式分解法。
2.因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程的右边化为0；
（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
（3）令每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解；
3.用因式分解法解一元二次方程的关键：
（1）一定要将方程的右边化为0；
（2）方程左边要能分解为两个含未知数的一次因式的积。
4.选择原则：首先要看因式分解法或直接开平方法是否可行，其次考虑公式法，一般不用配方法。
5.配方法适用于任何一个一元二次方程，但过程比较麻烦。
6.公式法可利用其导出的求根公式直接求解，适用于有解的一元二次方程。
例1．方程的根是（　　）
A． B． C．， D．，
【答案】D
【分析】先把原方程化为，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
故选D
【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握解法步骤是解本题的关键．
例2．方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】C
【分析】利用因式分解法即可求解．
【详解】解：整理得，即：，
解得：，，
故选C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键．
选择题
方程的根是( )
A． B． C．或 D．无解
2．方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．对于实数a， b， 定义运算“※” ∶ 例如： 若， 则x的值为（ ）
A．1 B．0 C．0或1 D．1或-1
4．下列方程中没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
5．方程的解为（ ）
A．， B．， C． D．，
6．一元二次方程的根为（ ）
A． B．
C．或 D．或
7．若菱形的一条对角线长为8，边的长为方程的一个根，则菱形的周长为（ ）
A．24 B．12 C．20 D．12或20
8．若关于的方程的一个根是，则另一个根及的值分别是（ ）
A． B． C． D．
9．关于的一元二次方程的常数项是0，则的值　　
A．1 B．1或2 C．2 D．
10．一元二次方程的根是（ ）
A． B． C． D．
填空题
11．方程 的根是 ．
12.关于的分式方程无解，则 ．
13.（江苏省南京市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）方程 的解是 ．
14.已知实数m，n满足，若，则t的值是 ．
15．已知关于x的方程的解与的解相同，则 ．
三、解答题
16．解下列方程：
；
．
17.解方程
18.定义新运算“ ”：当时，；当时，．
(1)填空：______；
(2)若，求x的值．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
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