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考点01 方程与不等式的解法
一．一元二次方程
1.概念：只含有一个未知数且未知数项的最高次数为2的整式方程
其中ax 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项；b是一次项系数；c是常数项
2.解一元二次方程的方法
（1）直接开方：
（2）提公因式：
（3）求根公式：
（4）十字相乘：
二、一元二次不等式的解集
1.一元二次不等式的解法
（1）根据解一元二次方程方法选择方法求根
（2）看二次项系数大于0或小于0，选择图像
（3）根据图像选择取中间还是取两边
2.一元二次不等式（a>0）的图像
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c=0(a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} {x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1绝对值不等式
分式不等式
考向一 一元二次方程
【例1】解方程
（1）（y－1）2－9=0 （2）x2－4x－45=0
（3）x(x－4)=－3(x－4) （4）3x2＋6x－5=0
（5）(x＋3)2=2x＋5 （6）(2x＋1）（x－3）=－6
【举一反三】
1．用适当方法解下列方程．
（1）x2-6x+9=(5-2x)2 （2）2x2-3x-6=0 （3）(x-3)(x-4)=5x
（4）2(5x-1)2=3(1-5x) (5)3(x＋1)2＝27；　　　　 (6)2x2＋6＝7x；
(7)3x(x－2)＝2(2－x)；　 (8)y2－4y－3＝0.
考向二 一元二次不等式
【例2】解下列不等式
（1） （2）. （3）
（4） （5） （6）
【举一反三】
解下列不等式：
（1）； （2）； （3）．
（4）； （5）； （6）.
（7）. （8）. （9）.
（10）.
考向三 绝对值不等式
【例3】（1）（2）；（3）；
【举一反三】解下列不等式
； （2）. （3）；
（4）. （5）
考向四 分式不等式
【例4】解下列不等式：
（1）； （2） （3）.
（4）； （5）； （6）．
【举一反三】解下列不等式
（2） （3）
（4） (5)； (6).
解下列方程
（1） （2） （3）；
（4） （5） （6）
（7） （8）； （9）．
（10） （11） （12）
解下列一元二次不等式
（1） （2） （3）；
（4）. （5） （6）
（7） （8） （9）
（11）； （12）；
解绝对值不等式
（2） （3）
（4） （5） （6）
解分式不等式
（2）. （3）
（4） （5） （6）
（7） （8） （9）
11 / 11考点01 方程与不等式的解法
知识回顾
一．一元二次方程
1.概念：只含有一个未知数且未知数项的最高次数为2的整式方程
其中ax 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项；b是一次项系数；c是常数项
2.解一元二次方程的方法
（1）直接开方：
（2）提公因式：
（3）求根公式：
（4）十字相乘：
二、一元二次不等式的解集
1.一元二次不等式的解法
（1）根据解一元二次方程方法选择方法求根
（2）看二次项系数大于0或小于0，选择图像
（3）根据图像选择取中间还是取两边
2.一元二次不等式（a>0）的图像
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c=0(a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} {x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1绝对值不等式
分式不等式
考向分析
考向一 一元二次方程
【例1】解方程
（1）（y－1）2－9=0 （2）x2－4x－45=0
（3）x(x－4)=－3(x－4) （4）3x2＋6x－5=0
（5）(x＋3)2=2x＋5 （6）(2x＋1）（x－3）=－6
【答案】（1）；（2）；（3） ；
（4）；（5）；（6）
【解析】（1）（y－1）2－9=0 移项得（y－1）2＝9，开平方得y－1＝±3，
∴y－1＝3或y－1＝－3，解得y1＝4，y2＝－2；
（2）x2－4x－45＝0因式分解得（x 9）（x＋5）＝0，∴x 9＝0，x＋5＝0， 解得x1＝ 5，x2＝9；
（3）x（x－4）＝ 3（x－4）移项得x（x－4）＋3（x－4）＝0，因式分解得（x－4）（x＋3）＝0，
∴x－4＝0，x＋3＝0，解得x1＝4，x2＝ 3；
（4）3x2+6x-5=0∵a＝3，b＝6，c＝-5，∴△＝b2 4ac＝36＋60＝96，∴，
解得，；
（5）（x＋3）2＝2x＋5方程可化为x2＋6x＋9 2x 5＝0，即x2＋4x＋4＝0，
分解因式得（x＋2）2＝0，解得x1＝x2＝ 2；
（6）（2x＋1）（x 3）＝ 6方程可化为2x2 5x＋3＝0，分解因式得（2x 3）（x 1）＝0，∴2x 3＝0，x 1＝0，解得x1＝1，x2＝．
【举一反三】
1．用适当方法解下列方程．
（1）x2-6x+9=(5-2x)2 （2）2x2-3x-6=0 （3）(x-3)(x-4)=5x
（4）2(5x-1)2=3(1-5x) (5)3(x＋1)2＝27；　　　　 (6)2x2＋6＝7x；
(7)3x(x－2)＝2(2－x)；　 (8)y2－4y－3＝0.
【答案】（1）x1=，x2=2；（2）x1=，x2=；（3）x1=，x2=；（4）x1=，x2=
（5）x1＝2，x2＝－4.（6）x1＝2，x2＝；（7）x1＝－，x2＝2；（8）y1＝2＋，y2＝2－.
【解析】（1）x2-6x+9=(5-2x)2∴（x-3）2=（5-2x）2，∴x-3=5-2x或x-3=2x-5，解得x1=，x2=2；
（2）2x2-3x-6=0∴a=2，b=-3，c=-6，∴△=（-3）2-4×2×（-6）=57＞0，则x=，
即x1=，x2=；
（3）(x-3)(x-4)=5x ∴a=1，b=-12，c=12，
∴△=（-12）2-4×1×12=96＞0，则x=，即x1=，x2=；
（4）2(5x-1)2=3(1-5x) ，，
解得，x1=，x2=．
(5)原方程可化为(x＋1)2＝9，∴x＋1＝±3，∴x1＝2，x2＝－4.
(6)原方程可化2x2－7x＋6＝0，a＝2，b＝－7，c＝6，b2－4ac＝(－7)2－4×2×6＝1>0，
∴x＝=，∴x1＝2，x2＝；
原方程可化为3x(x－2)－2(2－x)＝0，∴3x(x－2)＋2(x－2)＝0，即(3x＋2)(x－2)＝0，
∴x1＝－，x2＝2；
(8)原方程可化为y2－4y＝3，∴y2－4y＋4＝7，∴(y－2)2＝7，∴y－2＝±，∴y1＝2＋，y2＝2－.
考向二 一元二次不等式
【例2】（2020·黑龙江）解下列不等式
（1） （2）. （3）
（4） （5） （6）
【答案】（1）（2）（3）
（4）或；（5）；（6）不等式无解
【解析】（1），所以不等式的解集为.
故答案为：
原不等式可化为，由于，
方程的两根为，，∴不等式的解集为.
（3）所以不等式的解集为.
（4）不等式可化为，∴不等式的解是或.
（5）不等式可化为，∴不等式的解是.
（6）不等式可化为．∴不等式无解.
【举一反三】
解下列不等式：
（1）； （2）； （3）．
（4）； （5）； （6）.
（7）. （8）. （9）.
（10）.
【答案】（1）；（2）；（3）或.
（4）或；（5）；（6）或.
（7）或；（8）；（9）或；（10）；
【解析】（1）由题意，不等式，可化为，
所以不不等式的解集为；
（2）由题意，可得，所以不等式的解集为；
（3）由不等式，可化为，即，
所以不等式的解集为或.
（4）不等式即为，解得或，
因此，不等式的解集为或；
（5）不等式即为，解得，
因此，不等式的解集为；
不等式即为，即，解得或.因此，不等式的解集为或.
原不等式等价于，解得不等式的解集为：或；
（8）由于，并且开口向上，故原不等式的解集为空集；
（9）原不等式等价于，即，解得不等式的解集为：或；
（10）由，解得不等式的解集为：；
考向三 绝对值不等式
【例3】（1）（2）；（3）；
【答案】（1）(2)（3）
【解析】（1）因为所以或，或，所以不等式的解集为
（2）或，解得或，所以不等式的解集为；
（3），解得，所以不等式的解集为；
【举一反三】解下列不等式
（1）； （2）.（3）； （4）.（5）
【答案】（1）（2）（3）；（4）（5）
【解析】（1），，即，
不等式的解集是.
（2），或，
或.原不等式的解集为.
（3）原不等式可化为.解不等式，得.
（4）原不等式可化为.两边平方，得.
解不等式组，得.
（5）∵，∴，即，解得：或，
即不等式的解为.
考向四 分式不等式
【例4】解下列不等式：
（1）； （2） （3）.
（4）； （5）； （6）．
【答案】（1）；（2）（3）或.
（4）（5）（6）
【解析】（1）等价于，解得，
∴原不等式的解集为.
（2）由题意，不等式可转化为或，解得或，所以不等式的解集为.
（3）∵，∴，∴，即.
此不等式等价于且x－≠0，解得或，
∴原不等式的解集为或.
（4）移项、通分，，此不等式与不等式组的解集相同．解不等式组，得．
（5）将原不等式转化为同解的整式不等式，即，所以原不等式解集为．
（6）移项、通分，得．转化为整式不等式组或．解不等式组，得或．∴不等式的解集为．
【举一反三】解下列不等式
（1） （2） （3） （4）(5)； (6).
【答案】（1） （2）{x|x≤－1或x>3} （3）（4）
(5) 或； (6) 或.
【解析】（1）由题意，原不等式可化为，解得，
所以不等式的解集为.
（2）不等式可转化成不等式组，解得x≤－1或x>3，原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}．
（3）解得或
故不等式的解集为
（4） ，即 ，
解得： ，不等式的解集是.
(5)即所以不等式的解集为：或；
(6)即等价于且所以不等式的解集为：
或.
巩固练习
解下列方程
（1） （2） （3）；
（4） （5） （6）
（7） （8）； （9）．
（10） （11） （12）
【答案】（1）或；（2）或（3）；（4）．
；（6）（7），（8），；
（9），（10）（11）， （12），
【解析】（1）由可知：∴即或．
（2）由可知：从而可得：∴，．
（3），，∴，；
（4），，，，∴，．
（5）解得：
（6）或解得：．
（7）
（8）．．．．
，；
（9）∵，，，∴，
∴．即，．
，解得：．
（1） ∴x+2=0或x-4=0∴，
（12）
∴x-2=0或2x-6=0，．
解下列一元二次不等式
（1） （2） （3）；
（4）. （5） （6）
（7） （8） （9）
（10）（11）； （12）；
【答案】（1）；（2）（3）；（4）.（5）或（6）或
{或}；（8）；（9）；（10）.
（11）；（12）或
【解析】（1）不等式可化为，解得，所以不等式的解集为；
（2）不等式中，，所以不等式的解集为．
（3）原不等式可化为，∵，
∴方程无实根，又二次函数的图象开口向上，∴原不等式的解集为.
（4）原不等式可化为，∵，
∴方程无实根，又二次函数的图象开口向上，∴原不等式的解集为.
（5）由得，即，解得或，
所以不等式的解集为或；
（6），∴不等式的解集为或.
（7）不等式可化为，解得或，
所以该不等式的解集为或；
（8）不等式，因式分解得，可得不等式的解集为.
（9）不等式，即，对应的方程的根为，
可得不等式的解集为.
（10）不等式，化简得，可得不等式的解集为.
（11）由得，则，即不等式的解集为；
（12）由得，解得或，即原不等式的解集为或
解绝对值不等式
（2） （3）
（4） （5） （6）
【答案】（1）（2）（3）或.（4）
（5）或（6）
【解析】（1）由得，所以，则，
所以原不等式的解集为；
（2）或，
解得或，所以不等式的解集为.
（3）当时，原不等式恒成立；
当时，原不等式两边平方，得，
令，则，解得或，
又，有或.
综上，原不等式的解集为或.
（4）由得，解得，故原不等式的解集为.
（5）由，可得或，
解得或，解集为或；
（6）因为，所以或，解得；解得，即原不等式的解集为
解分式不等式
（2）. （3）
（4） （5） （6）
（7） （8） （9）
【答案】（1）（2）（3）（4）（5）
（6）（7）或（8）（9）
【解析】（1）由，得，即，或，
得或，得或，即不等式的解集为．
（2）因为.所以. 所以. 所以.
经检验，是原方程的解.∴原方程的解是.
（3）由得，即，即，
解得，即不等式的解集为；
（4）（1），即，解得：，
不等式的解集是；
（5），解得或，所以不等式的解集为.
（6），即，，即且，∴不等式的解集为.
（7），，，或，
即原不等式的解集为或；
∵，∴，即，所以且
解得：或，故不等式的解集是.
（9）由整理可得：，等价于，解得：，
解集为：.
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