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21.3 实际问题与一元二次方程 学案
（一）学习目标：
1．会列出一元二次方程解应用题．
2．通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．
（二）学习重难点：
学习重点：由应用问题的条件列方程的方法
学习难点：设“元”的灵活性和解的讨论
阅读课本，识记知识：
1.列一元二次方程解应用题的步骤：
（1）审清题意和题目中的已知量、未知量，并找出能表示实际问题全部含义的相等关系；
（2）设未知数；
（3）根据相等关系，列方程；
（4）解所列方程，求未知数的值；
（5）检验所求方程的解是否正确或者是否符合实际情况；
（6）回答。
2.列一元二次方程解应用题的常见类型
（1）数字问题：首先要正确的表示出数字的形式，如：多位数，奇偶数，连续的整数等；其次是巧妙的设出未知数，一般采用间接设元法。
（2）增长率问题：增长率问题分为正增长率与负增长率问题，设年平均增长率为，原来的产量为，则两年后的产量为，负增长率问题则为：。
（3）销售问题：在解答此类问题时，一定要准确地找出反映它们关系的等量关系，每件利润=每件售价-每件进价；总利润=每件利润×总件数等。
例1．某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足关系：．若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】一天的利润（售价进价）销售量，把相关数值代入即可．
【详解】解：每件商品的利润为元，可售出件，
根据每天的利润为200元可列的方程为，
故选：A．
【点睛】本题考查列一元二次方程；得到一天的利润的等量关系是解决本题的关键．
例2．有一个人患流感，经过两轮传染后共有121个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮结束后共有人患流感，第二轮结束后共有人患流感，然后列方程即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮结束后共有人患流感，第二轮结束后共有人患流感，
依题意得，，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程．
选择题
1．受经济不景气大环境的影响，某商品店月销售额逐月下降，据统计，2023年10月该店销售额为42万元，2023年12月该店销售额为27万元，设每月平均销售额降低的百分率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为．
【详解】解：设每月平均销售额降低的百分率为，
则可列方程为，
故选：C．
2．如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？若设上、下边符等宽均为，左、右边衬等宽为，则满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据中央矩形的长=封面的长上下边衬的宽，中央矩形的宽封面的宽左右边衬的宽，再根据矩形的面积长宽列式即可，解题的关键是读懂题意，找出等量关系．
【详解】解：由题意得：上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，
设上、下边符等宽均为，左、右边衬等宽为
∴，
故选：．
3．《九章算术》“勾股”章中有一道题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设从出发到相遇时间为，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用．根据题意画出三角形，表示三边长，利用勾股定理可得方程．
【详解】解：如图，设x秒两人再B处相遇，这时乙行驶，甲共行驶，
∵，
∴，
∵，
由勾股定理得：，
故选：B．
4．随着新能源电动汽车的快速增加，绵阳市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2023年底，绵阳全市约有万个充电桩，根据规划到2025年底，全市的充电桩数量将会达到万个，则从2023年底到2025年底，全市充电桩数量的年平均增长率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．根据题意列出方程即可得到答案．
【详解】解：设全市充电桩数量的年平均增长率为，
根据题意得，
解得（舍去），
故全市充电桩数量的年平均增长率为．
故选C．
5．如图，张老汉想用长为70米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为640平方米的矩形羊圈，并在边上留一个2米宽的门（建在处，门用其他材料）．设的长为米，则下面所列方程正确的是（ ）
B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，矩形面积公式．根据题意用含的代数式表示出长度，再利用矩形面积公式即可得到本题答案．
【详解】解：矩形在边上留一个2米宽的门，设的长为米，共用长为70米的棚栏围成矩形，
∴（米），
∵围成一个面积为640平方米的矩形羊圈，
∴，
故选：D．
6．元旦快到了，已知九年五班同学们要互赠贺卡共张，设该班共有名同学，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键．
【详解】解：∵该班共有名同学，
∴每个同学要给个同学赠贺卡，
∴，
故选：C
7．从前有一个醉汉拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽，竖着比城门高，一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，则竹竿的长度是（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设竹竿的长度是，则城门宽，城门高，根据勾股定理即可建立方程求解．
【详解】解：设竹竿的长度是，则城门宽，城门高，
由题意得：，
整理得：，
解得：（舍去）
故选：D．
8．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出（ ）小分支．
A．8 B．9 C．2 D．8或2
【答案】B
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，如果设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程，求解即可．
【详解】解：设每个支干长出x个小分支，则，
解得：（舍去），
∴每个支干长出9个小分支．
故选：B．
9．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动、某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查列一元二次方程，由题意可得3月份的售价为万元，4月份售价为万元，由此列方程即可．
【详解】解：设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，
由题意得：，
故选A．
10．如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，……依此规律，若第n个图案中，三角形的个数是点个数的3倍，则n的值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【分析】此题考查图形的变化规律，由题意可知：第（1）个图案中，三角形的个数为：，点个数的个数为：；第（2）个图案中，三角形的个数为：，点个数的个数为：；第（3）个图案中，三角形的个数为：，点个数的个数为：；则第n个图案中，三角形的个数为：，点个数的个数为：，问题随之得解．
【详解】第（1）个图案中，三角形的个数为：，点个数的个数为：，
第（2）个图案中，三角形的个数为：，点个数的个数为：，
第（3）个图案中，三角形的个数为：，点个数的个数为：，
…，
∴第n个图案中，三角形的个数为：，点个数的个数为：，
∵第n个图案中，三角形的个数是点个数的3倍，
∴，n为正整数，
解得：，
故选：C．
填空题
11．对于平面内的图形和图形，记平面内一点P到图形上各点的最短距离为d，点P到图形上各点的最短距离为，若，就称点P是图形和图形的一个“等距点”．在平面直角坐标系中，若直线上存在到点和直线的等距点，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查两点间的距离公式、一元二次方程根的判别式，根据题意利用点间的距离公式建立一元二次方程，利用根的判别式即可解决．
【详解】解：如图：设直线上的点Q为到点和到的等距点，
连接，过点Q作直线的垂线，垂足为C，则，
，
∵Q在直线上，
∴设，
，
整理得：，
，
，
故答案为：．
12．骑行带头盔，安全有保障，“一盔一带”政策的推行致头盔销量大幅增长，从2019年到2021年我国头盔销售额从23.4亿元增长到39.546亿元，则我国头盔从2019年到2021年平均每年增长率是 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的应用．
设我国头盔从2019年到2021年平均每年增长率是x，根据“从2019年到2021年我国头盔销售额从23.4亿元增长到39.546亿元”即可列出方程，求解即可解答．
【详解】设我国头盔从2019年到2021年平均每年增长率是x，根据题意，得
，
解得：，（不合题意，舍去）
∴我国头盔从2019年到2021年平均每年增长率是．
故答案为：
13．给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形．当矩形的长和宽分别为9，1时，它的“减半”矩形的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题目所给“减半”矩形的定义，先求出该矩形的面积和周长，则它的“减半”矩形的面积为，周长为10，列出方程求解即可．
【详解】解：∵矩形的长和宽分别为9，1，
∴矩形面积，矩形周长，
则它的“减半”矩形的面积为，周长为10，
设它的“减半”矩形的长x，则宽为，
，
解得：，
当时，，
当时，，（，舍去），
故答案为：．
14．基市2021年8月山区森林覆盖率为，在响应“清洁地球从我做起”号召，鼓励市民积极参与植树造林活动之后，在2023年8月山区森林覆盖率达到，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则可列方程 ．
【答案】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据题意可以列出相应的方程，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
，
故答案为：．
15.黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点，以为圆心，线段为半径作弧，其与底边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则 ．（结果保留根号）
【答案】/
【分析】本题考查的知识点是正方形的性质、勾股定理、解一元二次方程；结合题意可得，和是扇形的边，则，根据正方形性质可得，，因为是的中点，则；根据勾股定理可得，直角中，，即，综合可得即可求得的值．
【详解】解：依题得：，
设，
则正方形中，，，
是的中点，
，
又，
，
在直角中，，
即
，（舍去），
．
故答案为：．
三、解答题
16某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率．
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【答案】(1)每次下降的百分率为
(2)每千克应涨价5元
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．
（1）设每次下降的百分率为，根据原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，列出方程进行求解即可；
（2）设每千克应涨价元，根据总利润等于单件利润乘以销量列出方程，进行求解即可．
读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为，由题意，得：，
解得：（舍去）；
答：每次下降的百分率为；
（2）设每千克应涨价元，由题意，得：，
解得：，
∵要尽快减少库存，
∴，
答：每千克应涨价5元．
17．2023年杭州亚运会期间，某礼品店直接从工厂购进一批亚运会吉祥物钥匙扣，其中“宸宸”钥匙扣每件进价为25元，售价为37元，亚运会临近结束时，礼品店打算把这款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，在尽量减少库存的情况下，将销售价定为每件多少元时，才能使“宸宸”钥匙扣平均每天销售利润为90元？
【答案】元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设销售价定为每件元，根据“每件的利润×件数=总利润”列一元二次方程，求解，并根据“尽量减少库存”排除较大的解即可．
【详解】解：设销售价定为每件元，
根据题意，得，
解得，
∵要尽量减少库存，
∴
答：在尽量减少库存的情况下，将销售价定为每件30元时，才能使“宸宸”钥匙扣平均每天销售利润为90元．
18．为加快农文旅融合发展，助力乡村振兴，2023年11月，辽宁省农业农村厅、辽宁省文化和旅游厅组织制定了《辽宁省支持乡村旅游重点村建设方案》，方案指出要支持建设100个乡村旅游重点村，小华家所在村就在这100个乡村中，于是小华的父亲想把家里一块矩形空地修建成旅游蔬菜采摘园，已知矩形空地的长为40米，宽为19米，父亲准备把它平均分成六个小矩形的种植区，并在种植区之间修出如图所示的等宽小路，要求种植区域的总面积占整个菜园面积的，请利用你学到的方程知识帮助小华家算出小路的宽度．
【答案】小路的宽度为1米
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用；先根据等量关系列方程，再解出方程，最后判断根是否符合实际意义即可．
【详解】解：设小路的宽度为x米，根据题意得
，
整理得：，
解得，，
，不符合实际意义，故舍去，
，
故小路的宽度为1米．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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21.3 实际问题与一元二次方程 学案
（一）学习目标：
1．会列出一元二次方程解应用题．
2．通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．
（二）学习重难点：
学习重点：由应用问题的条件列方程的方法
学习难点：设“元”的灵活性和解的讨论
阅读课本，识记知识：
1.列一元二次方程解应用题的步骤：
（1）审清题意和题目中的已知量、未知量，并找出能表示实际问题全部含义的相等关系；
（2）设未知数；
（3）根据相等关系，列方程；
（4）解所列方程，求未知数的值；
（5）检验所求方程的解是否正确或者是否符合实际情况；
（6）回答。
2.列一元二次方程解应用题的常见类型
（1）数字问题：首先要正确的表示出数字的形式，如：多位数，奇偶数，连续的整数等；其次是巧妙的设出未知数，一般采用间接设元法。
（2）增长率问题：增长率问题分为正增长率与负增长率问题，设年平均增长率为，原来的产量为，则两年后的产量为，负增长率问题则为：。
（3）销售问题：在解答此类问题时，一定要准确地找出反映它们关系的等量关系，每件利润=每件售价-每件进价；总利润=每件利润×总件数等。
例1．某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足关系：．若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】一天的利润（售价进价）销售量，把相关数值代入即可．
【详解】解：每件商品的利润为元，可售出件，
根据每天的利润为200元可列的方程为，
故选：A．
【点睛】本题考查列一元二次方程；得到一天的利润的等量关系是解决本题的关键．
例2．有一个人患流感，经过两轮传染后共有121个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮结束后共有人患流感，第二轮结束后共有人患流感，然后列方程即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮结束后共有人患流感，第二轮结束后共有人患流感，
依题意得，，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程．
选择题
1．受经济不景气大环境的影响，某商品店月销售额逐月下降，据统计，2023年10月该店销售额为42万元，2023年12月该店销售额为27万元，设每月平均销售额降低的百分率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？若设上、下边符等宽均为，左、右边衬等宽为，则满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．《九章算术》“勾股”章中有一道题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设从出发到相遇时间为，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．随着新能源电动汽车的快速增加，绵阳市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2023年底，绵阳全市约有万个充电桩，根据规划到2025年底，全市的充电桩数量将会达到万个，则从2023年底到2025年底，全市充电桩数量的年平均增长率为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，张老汉想用长为70米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为640平方米的矩形羊圈，并在边上留一个2米宽的门（建在处，门用其他材料）．设的长为米，则下面所列方程正确的是（ ）
B．
C． D．
6．元旦快到了，已知九年五班同学们要互赠贺卡共张，设该班共有名同学，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．从前有一个醉汉拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽，竖着比城门高，一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，则竹竿的长度是（ ）
A． B．或 C．或 D．
8．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出（ ）小分支．
A．8 B．9 C．2 D．8或2
9．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动、某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，……依此规律，若第n个图案中，三角形的个数是点个数的3倍，则n的值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
填空题
11．对于平面内的图形和图形，记平面内一点P到图形上各点的最短距离为d，点P到图形上各点的最短距离为，若，就称点P是图形和图形的一个“等距点”．在平面直角坐标系中，若直线上存在到点和直线的等距点，则实数a的取值范围为 ．
12．骑行带头盔，安全有保障，“一盔一带”政策的推行致头盔销量大幅增长，从2019年到2021年我国头盔销售额从23.4亿元增长到39.546亿元，则我国头盔从2019年到2021年平均每年增长率是 ．
13．给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形．当矩形的长和宽分别为9，1时，它的“减半”矩形的长为 ．
14．基市2021年8月山区森林覆盖率为，在响应“清洁地球从我做起”号召，鼓励市民积极参与植树造林活动之后，在2023年8月山区森林覆盖率达到，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则可列方程 ．
15.黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点，以为圆心，线段为半径作弧，其与底边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则 ．（结果保留根号）
三、解答题
16某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率．
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
17．2023年杭州亚运会期间，某礼品店直接从工厂购进一批亚运会吉祥物钥匙扣，其中“宸宸”钥匙扣每件进价为25元，售价为37元，亚运会临近结束时，礼品店打算把这款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，在尽量减少库存的情况下，将销售价定为每件多少元时，才能使“宸宸”钥匙扣平均每天销售利润为90元？
18．为加快农文旅融合发展，助力乡村振兴，2023年11月，辽宁省农业农村厅、辽宁省文化和旅游厅组织制定了《辽宁省支持乡村旅游重点村建设方案》，方案指出要支持建设100个乡村旅游重点村，小华家所在村就在这100个乡村中，于是小华的父亲想把家里一块矩形空地修建成旅游蔬菜采摘园，已知矩形空地的长为40米，宽为19米，父亲准备把它平均分成六个小矩形的种植区，并在种植区之间修出如图所示的等宽小路，要求种植区域的总面积占整个菜园面积的，请利用你学到的方程知识帮助小华家算出小路的宽度．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
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