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22.1.1 二次函数 学案
（一）学习目标：
了解二次函数的概念
通过探究二次函数的概念的过程，学会归纳总结
激发求知欲望，同时培养化归的思想
（二）学习重难点：
学习重点：二次函数的概念
学习难点：归纳总结二次函数的概念
阅读课本，识记知识：
1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
例1．下列函数中，常量3表示二次项系数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断函数是否为二次函数，若不是则直接排除，若是，再看二次项系数是否为3．
【详解】解：A．不是二次函数，故不符合题意；
B．是二次函数，且二次项系数是3，故符合题意；
C．不是二次函数，故不符合题意；
D．是二次函数，但二次项系数是1，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义以及相关概念，掌握形如（a、b、c为常数，且）的函数是二次函数是解题的关键．
例2．若方程是关于x的二次函数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵是关于x的二次函数，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如且是常数的函数叫做二次函数．
选择题
1．下列函数中，是二次函数的是( )
A． B． C．y=2x2+1 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的识别，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、，未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意；
B、，未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意；
C、y=2x2+1，是二次函数，符合题意；
D、，不是二次函数，不符合题意；
故选C．
2．下列函数属于二次函数的是（ ）
A． B． C．y=-x2+1 D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的识别，形如的函数为二次函数，据此即可求解．
【详解】解：由二次函数的定义可知，C为二次函数，
故选：C
3．若 是二次函数，则 m 的值为（ ）
A．1 B． C．1 或 D．0
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的定义以及直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义求解即可．
【详解】解：由于 是二次函数，
且，
且，
．
故选B．
4．下列关于的函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】形如，这样的函数叫做二次函数，据此进行判断即可．
【详解】解：A、是正比例函数，不是二次函数；
B、当时，不是二次函数；
C、整理后不含项，是一次函数，不是二次函数；
D、是二次函数；
故选：D．
5．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的定义：一般地，如果（a，b，c是常数，），那么y叫做x的二次函数．此题将式子整理成一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．
【详解】解：A、分母中含自变量，不是二次函数，故本选项错误；
B、该函数的右边不是整式，不是二次函数，故本选项错误；
C、该函数不符合二次函数的定义，属于一次函数，故本选项错误；
D、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确．
故选：D．
6．下列函数中属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义条件：二次函数的定义条件是：a、b、c为常数，且，自变量最高次数为2．依此定义逐项判断即可．
【详解】解：A. 是一次函数，不合题意；
B. 是二次函数，符合题意；
C. 是一次函数，不合题意；
D. 不是整式函数，不合题意；
故选：B．
7．下列各式中，是的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的识别，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、，不是二次函数，不符合题意；
B、，是二次函数，符合题意；
C、，未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意；
D、，未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意；
故选B．
8．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的识别．掌握相关定义即可．二次函数的基本表示形式为．二次函数最高次必须为二次．
【详解】解：A：最高次项为一次，不符合题意；
B：当时，不是二次函数，不符合题意；
C：不是整式，不符合题意；
D：满足二次函数的定义，符合题意；
故选：D．
9．当函数是二次函数时，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的定义：形如、、是常数的函数叫做二次函数．
根据二次函数的定义解答即可；
【详解】解：由题意得：，即，
故选：B．
10．下列函数中， 是二次函数的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的识别，一般地，形如（其中a、b、c为常数且）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、，未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意；
B、，未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意；
C、，是二次函数，符合题意；
D、，未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意；
故选C．
填空题
11．如果函数（是常数）是二次函数，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据：“形如，这样的函数叫做二次函数”，得到，即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：．
12．如果是二次函数，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如的函数是二次函数是解题的关键．
【详解】解：∵是二次函数，
∴，解得，
故答案为：．
13．顶点在函数的图象上，请写出一个满足条件的二次函数表达式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，写出一个顶点在原点的二次函数表达式即可．
【详解】解：∵函数的图象过原点，
∴当顶点为原点时，二次函数表达式为（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
14．飞机从1200米的高空开始下降，每秒下降150米，则飞机离地面高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了函数关系式和函数自变量的取值范围．根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．根据离地面的高度总高度下降的距离列出代数式．时间是非负数．
【详解】解：依题意，得
，即．
，
，解得，．
则的取值范围是：．
故答案为：．
15．正方形边长，若边长增加，增加后正方形的面积为，与的函数关系式为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了列二次函数关系式，根据正方形面积等于边长的平方，即可求解．
【详解】解：依题意，，
故答案为：．
三、解答题
16．已知函数．
(1)当函数是二次函数时，求的值：
(2)当函数是一次函数时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义．熟练掌握二次函数的定义，一次函数的定义是解题的关键．
（1）由题意知，，计算求出满足要求的解即可；
（2）由题意知，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：∵函数是二次函数，
∴，
解得，，，，，
∴；
（2）解：∵函数是一次函数，
∴，
解得，，，，
∴．
17．已知方程（m为常数）．
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
(2)，是原方程的两根，且，求m的值．
(3)若函数（m为常数）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)的值为1
(3)该函数图像始终过定点
【分析】本题主要考查了一元二次方程方程与二次函数的关系、一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根与系数关系及根的判别式是解答本题的关键．
（1）用根的判别式即可解答．
（2）根据根与系数关系得到，整体代入解方程求出即可；
（3）分离出m，令m的系数为0，先求出x，再求出y，即可确定与m的值无关的定点．
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：，是原方程的两根，
，
，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
的值为1；
（3）解：．
因为该函数的图像都会经过一个定点，
所以，
解得，
当时，，
所以该函数图像始终过定点．
18．如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为．
(1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式；
(2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值．
【答案】(1)
(2)不能
【分析】本题考查了列二次函数关系，解一元二次方程的应用；
（1）根据题意和图形可以求得关于的关系式；
（2）令，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
即关于的关系式是；
（2）解：依题意，
即
∵，
原方程无实数解，
∴两个鸡场面积和不能等于（）
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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22.1.1 二次函数 学案
（一）学习目标：
了解二次函数的概念
通过探究二次函数的概念的过程，学会归纳总结
激发求知欲望，同时培养化归的思想
（二）学习重难点：
学习重点：二次函数的概念
学习难点：归纳总结二次函数的概念
阅读课本，识记知识：
1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
例1．下列函数中，常量3表示二次项系数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断函数是否为二次函数，若不是则直接排除，若是，再看二次项系数是否为3．
【详解】解：A．不是二次函数，故不符合题意；
B．是二次函数，且二次项系数是3，故符合题意；
C．不是二次函数，故不符合题意；
D．是二次函数，但二次项系数是1，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义以及相关概念，掌握形如（a、b、c为常数，且）的函数是二次函数是解题的关键．
例2．若方程是关于x的二次函数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵是关于x的二次函数，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如且是常数的函数叫做二次函数．
选择题
1．下列函数中，是二次函数的是( )
A． B． C．y=2x2+1 D．
2．下列函数属于二次函数的是（ ）
A． B． C．y=-x2+1 D．
3．若 是二次函数，则 m 的值为（ ）
A．1 B． C．1 或 D．0
4．下列关于的函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列函数中属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列各式中，是的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
9．当函数是二次函数时，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．下列函数中， 是二次函数的是( )
A． B． C． D．
填空题
11．如果函数（是常数）是二次函数，那么的取值范围是 ．
12．如果是二次函数，那么 ．
13．顶点在函数的图象上，请写出一个满足条件的二次函数表达式 ．
14．飞机从1200米的高空开始下降，每秒下降150米，则飞机离地面高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为 ．
15．正方形边长，若边长增加，增加后正方形的面积为，与的函数关系式为 ．
三、解答题
16．已知函数．
(1)当函数是二次函数时，求的值：
(2)当函数是一次函数时，求的值．
17．已知方程（m为常数）．
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
(2)，是原方程的两根，且，求m的值．
(3)若函数（m为常数）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标．
18．如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为．
(1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式；
(2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
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