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第一讲 函数与导数—曲线的交点和函数的零点
第三课时
用导数探讨函数图象的交点或方程的根的个数
曲线的交点和函数的零点的个数常常与函数的单调性与极值有关，解题时，还需要用图象帮助思考，而求函数的单调性与极值以及画函数的图象的有力工具就是导数.
【例1】（2008江西卷， 文）已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数的图象与直线恰有两个交点，求的取值范围．
【分析及解】（Ⅰ）令，
得．
在的已知条件下，及随的变化情况列表如下：

减
极小值
增
极大值
增
极小值
减
所以的递增区间为与，的递减区间为与．
（Ⅱ）要研究函数的图象与直线的交点的情况,就要考虑函数的极大值和极小值相对于的位置.
由（Ⅰ）得到，，，
由图可知，要使的图象与直线恰有两个交点，只需
(1) 两个极小值一个大于且另一个小于,即;
(2) 极大值小于,即，即或．
【例2】（2008四川 卷,理）已知是函数的一个极值点．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若直线与函数的图像有3个交点，求的取值范围．
【分析及解】（Ⅰ）因为，
所以．因此．
当时, ,
由此可知,当时, 单调递减,当时, 单调递增,所以, 当时, 是函数的一个极值点．
于是, .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，，
．
当时，，
当时，，
所以的单调增区间是，的单调减区间是．
（Ⅲ）与的图象有个交点；等价于有个实数根；即有个实数根；此时,函数的图象与轴有个不同交点，
令，
则，
令，解得或，，随的变化情况列表如下：
0
0
↗
极大值
↘
极小值
↗
为极大值,为极小值.
由表可得的示意图：
为使图象与轴有3个不同交点,必须的极大值大于零,极小值小于零.即可化为 解得
∴．
【例3】（2008陕西卷文）设函数其中实数．
（Ⅰ）若，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当函数与的图象只有一个公共点且存在最小值时，记的最小值为，求的值域；
（Ⅲ）若与在区间内均为增函数，求的取值范围．
【分析及解】（Ⅰ） ，又，
当时，；当时，，
在和内是增函数，在内是减函数．
（Ⅱ）由题意知 ，
即恰有一根（含重根）．
因为,一定有一根,所以,没有实数根或有两个相等的实数根,因此有，即.又， ．
当时，才存在最小值，． ，
所以, ． 于是的值域为．
（Ⅲ）当时，在和内是增函数，在内是增函数．由题意得，解得；
当时，在和内是增函数，在内是增函数．由题意得，解得；
综上可知，实数的取值范围为．
【例4】(2006四川卷,文）已知函数，其中是的导函数.
（Ⅰ）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；
（Ⅱ）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只有一个公共点
【分析及解】（Ⅰ）由题意.
令，,
对，恒有，即.
∴ 即 解得.
故时，对满足的一切的值，都有
（Ⅱ）
①当时，的图象与直线只有一个公共点
②当时，令
则 .
列表：
增
极大
减
极小
增
所以,.
又因为的值域是，且在上单调递增.
所以,当时函数的图象与轴只有一个公共点.
当时，恒有, 此时, 的图象与轴不能再有公共点,必须得极大值小于零,即, ,
解得.
综上，的取值范围是
【例5】（2006福建卷，文）已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。
（I）求的解析式；
（II）是否存在自然数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
【分析及解】（I）因为是二次函数，且的解集是
所以可设
由,
因为在区间上,函数是减函数,在区间上, 函数是增函数.
所以,在区间上的最大值是
由已知，得
所以, 的解析式为
（II）方程等价于方程
设则
当时，是减函数；
当时，是增函数。
因为
所以方程在区间内分别有唯一的实数根，而在区间内没有实数根，
所以存在唯一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。
【例6】(2006福建卷，理）已知函数
（I）求在区间上的最大值
（II）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。
【分析及解】（I）
当即时，在上单调递增，

当即时，
当时，在上单调递减，
综上，
（II）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点.
因为
所以,
当时，是增函数；
当时，是减函数；
当时，是增函数；
当或时，
于是,
当充分接近0时，当充分大时，
因此,要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
　　即
所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为
【练习题】
1.（2005全国Ⅱ,文）设为实数，函数．
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点．
2.研究三次方程有且只有一个实数根的条件.
3、(2007年全国Ⅱ卷,理) 已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．
【分析及解】（Ⅰ）求函数的导数；．
曲线在点处的切线方程为：
，
即 ．
（Ⅱ）如果有一条切线过点，则存在，使
．
于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程

有三个相异的实数根．
记 ，
则
．
当变化时，变化情况如下表：
0
0
0
增
极大值
减
极小值
增
由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．
综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则
即 ．
【练习题参考答案】
1.(I),若，则.
当变化时，，变化情况如下表：
1
+
0
－
0
+
极大值
极小值
∴的极大值是，极小值是
(II)函数
由此可知，取足够大的正数时，有>0，取足够小的负数时有<0，所以曲线=与轴至少有一个交点
结合的单调性可知：
解得.
或解得.
∴当时，曲线与轴仅有一个交点。
2. 三次方程有且只有一个实数根,有下列两种情况:
(1) 函数在上是单调的，这相当于恒大于零，或恒小于零，即，即.
(2) 函数在上不是单调的，设有两个根为(此时)，这时，它们对应的函数值是极大或极小值,需满足或即.
因此,三次方程有且只有一个实数根的条件是: 或.

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