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22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 学案
（一）学习目标：
1、描点法画出二次函数 y = ax 2+k 的图象并掌握其性质。
2、在作图过程中感受数学结合、转化、类比的数学方法。
3、体会自主学习带来的成就感。
（二）学习重难点：
学习重点：观察图象，得出图象特征和性质
学习难点：函数的性质
阅读课本，识记知识：
1. 的性质：左加右减。
2. 的性质：
【例1】 二次函数 的图象的顶点坐标是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质，根据顶点式性质，直接写出顶点坐标即可．
【详解】解：二次函数 的图象的顶点坐标是；
故选A．
【例2】 由二次函数，可知（ ）
A．其图像的对称轴为直线 B．其最大值为1
C．其图像与y轴的交点为 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
【详解】解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
时，随增大而增大，最大值为：；
将代入，得，
抛物线与轴交点坐标为，
故选：D．
选择题
1．已知二次函数的图象经过，两点．若，，则a的值可能是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．9
【答案】D
【分析】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性确定出对称轴的范围，然后求解即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，
∵图象经过，两点，，
∴对称轴在5到10之间，
∴a的值可能是9．
故选D．
2．已知抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线的顶点坐标为 D．抛物线的开口大小与相同
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握图象的开口，对称轴，顶点坐标等知识是解题的关键．
根据二次函数中，的正负判断图象的开口及开口大小，顶点坐标为，对称轴为，由此即可求解．
【详解】解：已知二次函数，
∴，图象开口向下，故选项正确，不符合题意；
二次函数图象的顶点坐标为，故选项错误，符合题意；
二次函数图象的对称轴为，故选项正确，不符合题意；
∵，
∴二次函数的图象开口大小与二次函数的图象开口大小相同，故选项正确，不符合题意；
故选：．
3．由二次函数解析式可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为
C．其最大值为2 D．对称轴为，
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握的对称轴为，顶点坐标为；时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．据此逐个判断即可．
【详解】解：A、∵，∴其图象开口向上，故A不正确，不符合题意；
B、C、∵，∴其图象的对称轴为，其最小值为2，故B、C不正确，不符合题意；
D、∵该函数图象开口向上，对称轴为，∴对称轴为，故D正确，符合题意；
故选：D．
4．抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，掌握根据二次函数的顶点式，找出图象的顶点是解本题的关键．
【详解】抛物线，
∴抛物线的顶点坐标是：，
故选：A．
5．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了求二次函数的性质，根据抛物线的顶点式直接求得顶点坐标．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：D．
6．抛物线的对称轴是直线（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线顶点式，对称轴是直线写出即可．
【详解】解：抛物线的对称轴是：直线．
故选：A．
7．已知二次函数，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线；③其图象顶点坐标为；④当时，y随x的增大而增大，其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，对称轴为直线，开口方向由的正负决定，增减性由开口方向和对称轴共同决定，据此及可求解．
【详解】解：①∵，
∴其图象的开口向上，故①正确；
②其图象的对称轴为直线，故②错误；
③其图象顶点坐标为，故③错误；
④∵图象的开口向上，对称轴为直线
∴当时，y随x的增大而增大，故④正确；
故选：B
8．在平面直角坐标系中，若点，在抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据所给的函数解析式确定函数的开口方向，对称轴和最小值，再结合函数图象的特点进行判定即可，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，函数有最小值，
∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，
∴，
故选：．
9．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，由顶点式二次函数表达式可知：顶点坐标为，可得问题答案．熟记顶点式的顶点坐标和开口方向是解题的关键．
【详解】解：，
顶点坐标是，
故选：．
10．对于的图象下列叙述正确的是（）
A．顶点坐标为 B．对称轴为
C．当时y随x增大而增大 D．当时y随x增大而减小
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性．
根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】由二次函数可知，开口向上．对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随增大而增大，故A、B、D错误，C正确；
故选：C．
填空题
11．已知二次函数，当函数值随值的增大而增大时，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，正确利用对称轴判断函数增减性是解题关键；
直接利用二次函数的性质得出抛物线，开口向上，在对称轴右边的函数值随值的增大而增大，即可得出答案．
【详解】二次函数中
此函数开口向上，对称轴为直线，
在对称轴右边的函数值随值的增大而增大，
即当时函数值随值的增大而增大．
故答案为：．
12．已知二次函数，当自变量分别取时，对应的函数值分别为，则关于的大小关系是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，得到对称轴为直线，且开口向上，据此即可比较大小．
【详解】解：由二次函数可得：对称轴为直线，且开口向上，离对称轴越近函数值越小，
∵，
∴
故答案为：．
13．抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为，即可求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
14．抛物线的顶点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的顶点式；根据抛物线的顶点式可直接得出答案．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
15．已知点，，在函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系是 ．（由大到小排序）
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，根据函数的对称轴为，开口向下，当时，随的增大而增大即可比较．
【详解】函数的对称轴为，开口向下，则
当时，随的增大而增大．
点关于对称轴的对称点为，则
．
故答案为：．
三、解答题
16．已知二次函数．
(1)二次函数图象的开口方向是______，对称轴是直线______，顶点坐标为______．
(2)当______时，y有最小值是_____．
(3)当时，____．
(4)当x______时，y随x的增大而减小．
【答案】(1)向上，，
(2)4，
(3)7
(4)
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的所有的图象和性质才能比较熟练解决问题．
（1）根据二次项系数可以确定开口方向，根据抛物线的顶点式解析式可以确定其顶点的坐标；
（2）根据抛物线的顶点式即可回答；
（3）将代入函数关系式求y的值；
（4）根据二次函数的图象与性质回答即可．
【详解】（1）二次函数，
图象开口方向上，对称轴为，顶点坐标为，
故答案为：向上，，；
（2）二次函数，
∴当时，y有最小值是，
故答案为：4，；
（3）将代入函数关系式得：，
故答案为：7；
（4）二次函数，图象开口方向上，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而减小．
故答案为：．
17．已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点．
(1)求这个函数的关系式；
(2)试判断点是否在此函数图象上．
【答案】(1)
(2)在此函数图象上，见解析
【分析】本题主要考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数是本题得关键.
（1）根据题意设出，将抛物线的顶点坐标代入可得：.再把代入，求出的值，即可得出二次函数的解析式；
（2）代入即可判断.
【详解】（1）解：设二次函数的关系式为：，
∵抛物线顶点坐标为，
∴抛物线表达式为：，
将点代入函得，
解得，
∴二次函数的关系式为；
（2）解：当时，，
∴在此函数图象上.
18．已知一个二次函数图象的顶点是，且与轴的交点的纵坐标为4．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)点在这个二次函数的图象上吗？
【答案】(1)二次函数解析式为
(2)点不在这个二次函数的图象上
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是根据题意设顶点式．
（1）设抛物线的顶点式，将点代入上式即可求解；
（2）将自变量代入求出函数值即可作出判断．
【详解】（1）解：抛物线的顶点是，
设此抛物线的解析式为：，
将点代入，得：，
解得，，
此抛物线的解析式为：
（2）解：点不在这个二次函数的图象上，理由如下：
把代入得，，
点不在这个二次函数的图像上．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 学案
（一）学习目标：
1、描点法画出二次函数 y = ax 2+k 的图象并掌握其性质。
2、在作图过程中感受数学结合、转化、类比的数学方法。
3、体会自主学习带来的成就感。
（二）学习重难点：
学习重点：观察图象，得出图象特征和性质
学习难点：函数的性质
阅读课本，识记知识：
1. 的性质：左加右减。
2. 的性质：
【例1】 二次函数 的图象的顶点坐标是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质，根据顶点式性质，直接写出顶点坐标即可．
【详解】解：二次函数 的图象的顶点坐标是；
故选A．
【例2】 由二次函数，可知（ ）
A．其图像的对称轴为直线 B．其最大值为1
C．其图像与y轴的交点为 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
【详解】解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
时，随增大而增大，最大值为：；
将代入，得，
抛物线与轴交点坐标为，
故选：D．
选择题
1．已知二次函数的图象经过，两点．若，，则a的值可能是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．9
2．已知抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线的顶点坐标为 D．抛物线的开口大小与相同
3．由二次函数解析式可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为
C．其最大值为2 D．对称轴为，
4．抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
5．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线的对称轴是直线（ ）
A． B． C． D．
7．已知二次函数，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线；③其图象顶点坐标为；④当时，y随x的增大而增大，其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．在平面直角坐标系中，若点，在抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．对于的图象下列叙述正确的是（）
A．顶点坐标为 B．对称轴为
C．当时y随x增大而增大 D．当时y随x增大而减小
填空题
11．已知二次函数，当函数值随值的增大而增大时，的取值范围是 ．
12．已知二次函数，当自变量分别取时，对应的函数值分别为，则关于的大小关系是 ．
13．抛物线的顶点坐标是 ．
14．抛物线的顶点坐标为 ．
15．已知点，，在函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系是 ．（由大到小排序）
三、解答题
16．已知二次函数．
(1)二次函数图象的开口方向是______，对称轴是直线______，顶点坐标为______．
(2)当______时，y有最小值是_____．
(3)当时，____．
(4)当x______时，y随x的增大而减小．
17．已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点．
(1)求这个函数的关系式；
(2)试判断点是否在此函数图象上．
18．已知一个二次函数图象的顶点是，且与轴的交点的纵坐标为4．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)点在这个二次函数的图象上吗？
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
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