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本章所讲的“集合”是一种基本的数学语言，也是现代数学的基础概念之一．现实中的许多现象和问题都可以归结为集合．
学好集合知识是使用数学语言准确表述数学问题的根本，可为进一步学好数学打下良好基础，对提高自身的基本数学素质也具有十分重要的意义．
1.1 集合的概念
1.4.1 需求函数
人们在分析和研究问题时，经常要抓住某一类事物的共同性质，将具有某种共同性质的事物放在同一个整体内加以考虑，由此就产生了集合的概念．
1.1.1 集合与元素
引例
考察和分析下面的几个例子：
某学校的全体学生；
某工厂的所有机器；
所有小于10的自然数；
所有的直角三角形；
直线 上的所有点．
上述例子分别是由一些人、物、数、图形和点组成的整体，每个整体都有一定的范围和确定的对象，且都具有自己的某种特定性质．一般地，要考虑由一些对象组成的整体，用“集合”这个词来表达它．
集合是由某些确定的对象组成的整体，简称集．集合里的每一个对象称为集合的元素．
例如，所有小于10的自然数（包括0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数）就组成一个集合，其中的每个数都是该集合的一个元素．
集合通常用大写英文字母A，B，C，…表示，集合的元素通常用小写英文字母a，b，c，…表示．
一般采用某些特定的大写英文字母来表示常用的
几个数集（即由数组成的集合）：
所有自然数组成的集合称为自然数集，记作 N；
所有正整数组成的集合称为正整数集，记作 ；
所有整数组成的集合称为整数集，记作 Z ；
所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；
所有实数组成的集合称为实数集，记作R．
1.1.1 集合的概念
给定一个集合 A，如果 a 是集合 A 的元素，
就说 a 属于 A ，记作 ；
如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于 A ，
记作 ．
自然数、正整数、整数、有理数、实数之间有什么关系
1.1.1 集合的概念
例题解析
例1
解
组成集合的对象必须是确定的，不能是模棱两可的．
1.1.1 集合的概念
解
（1） ， ， ； （2） ， ， ；
（3） ， ， ； （4） ， ， ；
例2
（1）5 N , N， 3.7____ _ N；
（2）0 Z， 2.3 Z， Z；
（3）π Q， Q， 9.21 Q；
（4） R， R， 4.7 R．
一个集合可以包含有限个元素，也可以包含无限个元素。我们把含有有限个元素的集合称为有限集，如方程 的解集；含有无限个元素的集合称为无限集，如N，N* ，Z，Q，R等。
特别地，不含任何元素的集合称为空集，记作 。例如，方程 在实数范围内的解集就是空集。
0属于 吗？ 的解集是不是空集？为什么？
1.1.1 集合的概念
鉴于集合元素的不同情况，在具体表示一个集合时，常用的方法有列举法和描述法.
对于有的集合，我们可以在大括号中将它的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，这种表示集合的方法称为列举法。
1.1.2 集合的表示方法
；
集合中的元素必须是互不相同的对象，也就是说元素不能重复。
由于集合是由一些对象组成的整体，因此在用列举法表示集合时，不必考虑元素的排列次序，即 和 表示的是同一个集合。
方程 的解集可以表示为：
；
例如
由大于3且小于10的所有偶数组成的集合可以表示为：
；
列举法多用于表示元素个数较少的集合．当集合为元素较多的有限集或为无限集时，若要用列举法表示，可以在大括号内只写出几个元素，其他元素用省略号表示，但写出的元素必须让人明白省略号表示了哪些元素．
1.1.2 集合的表示方法
例如
由小于50的所有正整数组成的有限集可以用列举法表示为:
；
由所有偶数组成的集合为无限集，可以用列举法表示为:
；
{5}与5一样吗？如果不一样，有何区别？空集 与集合{0}呢？
1.1.2 集合的表示方法
；
为了方便起见，在用文字描述集合中元素的共同属性时，可以省略竖线及其左侧的代表元素．例如，所有锐角三角形组成的集合可以表示为{锐角三角形}．
这种在大括号内将集合中元素的共同属性描述出来以表示集合的方法称为描述法．
有的集合无法用列举法表示，例如由大于2的实数组成的集合，这个集合有无穷多个元素，显然无法一一列举出来．这种情况下，我们可以抓住这一集合的元素所具有的特征，即所有元素都是实数，并且大于2，由此可将这个集合表示为
，
其中，大括号内竖线左侧的x表示这个集合中的任意一个元素，竖线右侧写的是元素的共同属性，即元素所要满足的条件．
如果从上下文能够明显看出集合的元素为实数，那么在描述集合时，
可以省略不写．如上述集合可以表示为
实际上，很多集合既可以用列举法表示，也可以用描述法表示．用“列举法”表示集合，可以明确看到集合的元素；用“描述法”表示集合，可以清晰地反映出集合元素的共同属性．具体可根据实际情况灵活选用．
1.1.2 集合的表示方法
例题解析
例3
1.1.2 集合的表示方法
解
（1）集合中的元素是不能重复的，相同元素只写一次，所以集合
应表示为
.
（2）解方程 得
,
所以该方程的解集为
,
.
你能写出由中国古代的四大发明所组成的集合吗？
例题解析
例4
1.1.2 集合的表示方法
如何用描述法表示集合 ？
解
（1）该集合中元素的共同属性可以描述为
，
所以这个集合可以表示为
．
（2）解不等式 得 ，所以该不等式的解集
为 ．
（3）平面直角坐标系中的点可表示为 ，因此直线 上的点组成的集合为 .
1.2 集合之间的关系
1.2.1 子集与真子集
引例
观察下列两组集合：
（1） ， ；
（2） ， ．
任何两个集合之 间都有包含关系吗？
不难发现，上述集合B中的每一个元素都是集合A的元素．
一般地，如果集合B中的每一个元素都是集合A的元素，那么集合B称为集合A的子集，记作 （或 ），读作“B包含于A”（或“A包含B”）．
1.2.1 子集与真子集
显然，任何一个集合A的所有元素都属于它本身，所以任何一个集合都是它自身的子集，即 ．
我们规定，空集是任何集合的子集．也就是说，对于任何一个集合A，都有 ．
对于集合A，B，C，若有 ， ，则必有 ．此性质同样适用于真子集．
1.2.1 子集与真子集
如果集合B是集合A的子集，并且A中至少有一个元素不属于B，那么集合B称为集合A的真子集，记作 （或 ），读作“B真包含于A”（或“A真包含B”）．
对于 ， ，显然，集合B是集合A的真子集，即 ．
易知，空集是任何非空集合的真子集．
当集合B是集合A的真子集时，可用图1-1直观地表示．两条封闭曲线的内部分别表示集合A，B．
图1-1
在常用数集N，Z，Q，R中，整数集Z是哪些集合的真子集
1.2.1 子集与真子集
例题解析
用适当的符号（ ， ， ， ）填空．
（1） _____ ； （5） b _____ ；
（2） _____ ； （6） _____Q ;
（3） _____ ； （7） 0_____ .
（4） _____ ；
例1
解
（1）由于方程 的解为 ， ，解集为 ，所以 ．
（2）集合 的元素都是集合 的元素，因此 ．
（3）空集是任何集合的子集，因此 ．
（4）集合 的元素都是集合 的元素，因此 ．
（5）b是集合 的元素，因此 ．
（6）正整数都是有理数，因此N* Q ．
（7）0不是集合 的元素，因此 ．
1.2.1 子集与真子集
例题解析
写出集合 的所有子集和真子集．
例2
解
集合A中有3个元素，其子集可以是：
（1）空集 ；
（2）含一个元素的集合 ， ， ；
（3）含两个元素的集合 ， ， ；
（4）含三个元素的集合 ．
因此，集合A的所有子集为
， ， ， ， ， ， ， ．
在上述子集中，除了集合A自身 外，其余的都是它的真子集．
符号“ ”与“ ”表达的含义是不同的．“ ”表达的是元素与集合之间的关系，而“ ”表达的是集合与集合之间的关系，不要混淆．
1.2.1 子集与真子集
例题解析
例3
设一边长为1，且有一个内角为 的等腰三角形组成的集合P，试问P有多少个元素？有多少个子集？
解
根据题设条件，可分为以下4种情况：
（1）腰长为1，顶角为 ，两底角都为 ；
（2）腰长为1，两底角为 ，顶角为 ；
（3）底边为1，顶角为 ，两底角都为 ；
（4）底边为1，两底角为 ，顶角为 .
所以这样的等腰三角形共有4个，即集合P有4个元素，因此集合P的子集有16个．
如果集合 A有 n个元素，那么它共有 2n个子集，2n-1 个真子集．
1.2.2 集合相等
观察集合 与集合 ．由于方程 的解集为 ，故集合A与集合B的元素完全相同．
．
显然，若集合 ，则 且 ．
一般地，如果两个集合的元素完全相同，那么就说这两个集合相等．集合A等于集合B，记作 ，读作“A等于B”．
例题解析
例4
判断集合 与 的关系．
解
集合A用列举法可以表示为
．
方程 的解为
， ，
所以集合B用列举法可以表示为
．
因此，这两个集合的元素完全相同，即 ．
集合 与空集 相等吗？
1.2.2 集合相等
1.3 集合的基本运算
1.3.1 交集
一般地，对于两个给定的集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素组成的集合称为A与B的交集，记作 ，读作“A交B”．
由6的正约数组成的集合为 ，由8的正约数组成的集合为 ，而由6和8的正公约数组成的集合为 ．不难看出，集合C是由集合A与集合B的公共元素组成的．
引例
1.3.1 交集
集合A与集合B的交集可用描述法表示为
也可用图1-2中的着色部分来表示．
图1-2
由交集的定义可知，对于任何集合A与B，都有
如果两个集合A，B没有公共元素，则它们的交集等于空集，表示为 ．
1.3.1 交集
例1
设 ， ，求 ．
解
．
例2
设 ， ，求 ．
，
解
图1-3
从图中可以看出，着色部分即为集合A，B的交集，即
.
将集合A，B在数轴上表示出来，如图1-3所示．
1.3.1 交集
例3
设 ， ，求 ．
解
集合A，B分别表示方程 ， 的解集，两个解集的交集就是二
元一次方程组 的解集．解这个二元一次方程组得 ，所以
集合 能否写成 ？为什么？
一般地，对于两个给定的集合A，B，由集合A，B的所有元素组成的集合称为A与B的并集，记作 ，读作“A并B”．
1.3.2 并集
引例
已知方程 的解集为 ，方程 的解集为 ，故方程 的解为 .不难看出，集合C是由集合A与集合B的所有元素组成的．
由于集合中的元素不能重复，在用列举法表示并集 时，两个集合中相同的元素（即公共元素）只写一次．
1.3.2 并集
集合A与集合B的并集可用描述法表示为
也可用图1-4中的着色部分来表示．
图1-4
由并集的定义可知，对于任何集合A与B，都有
， ， ．
，
，
．
1.3.1 交集
例4
设 ， ，求 ．
解
．
例5
设 ， ，求 ．
，
解
图1-5
从图中可以看出，着色部分即为集合A，B的并集，即
将集合A，B在数轴上表示出来，如图1-5所示．
对于用不等式表示的集合，在分析集合的关系以及求并集或交集时，借助数轴去分析，简洁直观，一目了然，非常方便．
在研究集合与集合之间的关系时，如果一些集合都是某个给定集合的子集，则称这个给定的集合为全集，一般用U表示．例如，在研究数集时，经常把实数集R作为全集．
1.3.3 补集
如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合称为A在全集U中的补集，记作 ，读作“A在U中的补集”．
1.3.3 补集
也可用图1-6中的着色部分来表示．
集合A在全集U中的补集可用描述法表示为
，
图1-6
如果全集U为实数集R，可以将 中的U省略，即将 简记为 ，读作“A的补集”．
由补集的定义可知，对于任何集合A，都有
， ， ．
以图形表示集合时，通常用矩形的内部表示全集U．在图1-6中，圆的内部表示集合A，着色部分（包括圆的边界）表示A在U中的补集．
例7
设 ， ，求 ．
，
例6
设 ， ， ，求 ．
解
, ．
解
图1-7
从图中可以看出，着色部分即为A的补集，即
将集合A在数轴上表示出来，如图1-7所示．
1.3.3 补集
1.3.3 补集
例8
在某工厂有3个车间，甲车间有50个工人，乙车间有42个工人，丙车间有45个工人．某天3个车间加工同样的零件，每人加工15个，检测结果中有50个零件不合格．若用A表示不合格零件的集合，求集合 中元素的个数．
解
由题意知，3个车间加工的零件形成的集合是全集U，A表示不合格零件的集合，则集合 表示合格零件的集合，求集合 中元素的个数，就是求合格零件的个数．
因为
，
所以
．
因此，集合 中元素的个数有2 005个．
1.4 充要条件
1.4 充要条件
引例
分析下列推论是否成立：
（a）如果 ，则 ；
（b）如果 ，则 ．
显然，由条件“ ”可以推出结论“ ”是正确的，故（a）成立；而由条件“ ”不能推出结论“ ”是正确的，因为有可能是“ ”，故（b）不成立．
给定条件p和结论q：
（1）如果由条件p成立能推出结论q成立，则称条件p是结论q的充分条件，记作 ．
（2）如果由结论q成立能推出条件p成立，则称条件p是结论q的必要条件，记作 （或 ）．
1.4 充要条件
例如
上述分析（a）中，条件 是结论 的充分条件，即 ；上述分析（b）中，条件 是结论 的必要条件，即 ．
如果p既是q的充分条件（ ），又是q的必要条件（ ），则称p是q的充分且必要条件，简称充要条件，记作 ．
若 ， ，则p是q的充要条件，这种说法对吗？
1.4 充要条件
例1
指出条件p是结论q的什么条件．
（1） ， ； （4） ， ；
（2） ， ； （5） ， ；
（3） ， ； （6） ， ．
解
（1）由条件 成立，能够推出结论 成立，因此p是q的充分条件；而由结论 成立，不能推出条件 成立，因此p不是q的必要条件．
（2）大于-5 的数不一定是正数，故由条件 成立，不能推出结论 成立，因此p不是q的充分条件；由于正数肯定大于-5，故由结论 成立，能够推出条件 成立，因此p是q的必要条件．
（3）由条件 成立，能够推出结论 成立，并且由结论 成立，也能够推出条件 成立，因此p是q的充要条件．
（4）由条件 成立，能够推出结论 成立，因此p是q的充分条件；而由结论 成立，不能推出条件 成立，因此p不是q的必要条件．
（5）由条件 成立，不能推出结论 （即 ）成立，因为有可能是“ ”，故p不是q的充分条件；而由结论 成立，能够推出条件 成立，故p是q的必要条件．
（6）由条件 成立，能够推出结论 成立，并且由结论 成立，能够推出条件 成立，因此p是q的充要条件．
1.4 充要条件

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