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数学试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3,考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.己知z=1+bi(b>0),且|z=2,则z=
A.-1+V3i
B.1-3i
c.-1+i
D.1-i
2.已知集合A={xx+1K2},B={-1,0,1},则A∩B=
A.{-1,0}
B.{0,1}
C.{0}
D.{-1,1}
3.(1-x)°展开式中x2的系数为
A.-36
B.36
C.-28
D.28
4.函数)=cos(号-2x)-1的最小正周期是
A月
B.元
C.2π
D.4n
5.已知直线y=x被圆心为(2,1)的圆截得的弦长为√6，则该圆的方程为
A.(x+2)2+(y+1)2=2
B.(x+2)2+(y+1)2=4
C.(x-2)2+(y-1)2=2
D.(x-2)2+(y-1)2=4
2
6.
已知函数)=-e,则p+p京+…+e(品
A.1
B.-1
C.Ig11
D.-lgl1
7.如图，在多面体EF-ABCD中，四边形ABCD是边长为3的正方形，
EF∥AB,E到平面ABCD的距离为3，EF=√6，EA=ED=FB=FC.
若A,B,C,D,E,F在同一球面上，则该球的表面积为
A.19π
B.20π
C.21π
D.22π
数学试题第1页（共4页）
8.已知x为正数，且2 sin(n)-x+1=sin2y-e+ey,则
12
A.x+y≤1
B.x+y≥1
C.xy≤y
D.xy≥y
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知向量a=(2,2),b=(-1,4),下列说法正确的是
A.若引a=b1,则12=42+3
B.若a与b共线，则4=-2
C.若a⊥b,则元=-24
D.“=-2”是“(a+b)∥(a-b)”的充要条件
10.己知数列{an},{bn}满足am=bn-n+1,且bn+1=2bn，则
A.b3=4a1+2
B.当a1≠0时，{bn}是等比数列
C.当b=0时，{an}是等差数列
D.当b>1时，{an}是递增数列
Ⅱ已知猫周C号+后-=a>b>0的左、有您点分别为，5.P为C上-一白，且∠PF5:0.
∠PF,F=60°，则C的离心率等于
A.IPFI
PF
1
D.
in20°+sin40°
“IFF|
B.1 2a
C.2sin40°
sin40°+sin60°
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.烽火台是我国古代用于防御与通讯的军事建筑.如图为一类正四棱台状的烽火台，
己知该烽火台底部边长为10米，顶部边长为8米，高为12米，忽略烽火台凹陷
部分，则该烽火台的体积为
立方米
13.己知X~N(1,4),则P(X≤-3)+P(X≥3)=
附：若X~N(4,σ2)，则P(X-4Ko)=0.6827,P(X-4k2o)=0.9545.
14.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P,2,R为C上可相互重合的点，且PF+2QF+2RF=0,则
|PF的取值范围是
,|PF|+3|QF|的最小值是
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数学参考答案
1.【答案】B
【解析】 | z | 1 b2 2且b 0，故 b 3 ， z 1 3i，所以 z 1 3i .
2.【答案】A
【解析】 A {x 3 x 1}且 B { 1,0,1}，故 A B { 1,0} .
3．【答案】D
8
【解析】 (1 x) 展开式中 x2的系数为C28 ( 1)
2 28.
4.【答案】A
cos( 2 4x) 1 1 2 1
【解析】 f (x) 5 1 cos( 4x ) ，所以 f (x) 的最小正周期为
2 2 5 2
2
.
4 2
5.【答案】C
【解析】圆心 (2,1)到直线 y x d | 2 1 | 2的距离 ，记弦长 l 6 ，圆的半径为 r ，
2 2
则 r 2 d 2 ( l )2 2，故圆的方程为 (x 2)2 ( y 1)2 2 .
2
6.【答案】B
2n
【解析】 ( n ) lg n 2n lg
n
，
n 2 1 n 1
n 2
( 1 ) ( 2 ) 9故 ( ) lg( 1 2 9 ) lg 1 1．
3 4 11 2 3 10 10
7.【答案】D
【解析】如图，设M 为 EF 的中点，M 在底面 ABCD上
的射影为H ，根据题意可知球心O在MH 上，设球半径
为 R OH x AH 3 2 6， ，且易知 ，EM ，MH 3，
2 2
3 2 6
则 R2 AH 2 OH 2 EM 2 MO2 2 2 2 2，即 ( ) x ( ) (3 x) ，解得 x 1，故
2 2
R2 11 2，所以球的表面积 S 4 R 22 .
2
数学参考答案 第 1页（共 8页）
{#{QQABJYCEogiAAoAAAAgCAQUICkKQkAAACagGQFAEoAAAAQFABAA=}#}
8.【答案】D
x x
【解析】设 f (x) 2sinx e e ，则 f (x) 2cos x ex e x ≤ 2cosx 2 ex e x ≤ 0，
f (x) 单 调 递 减 ， 当 x 0 时 ， f (x) f (0) 0 ， 当 x 0 时 ， f (x) f (0) 0 . 因 为
2sin(ln x) x 1 sin 2y e y e y，即 f (ln x) f (y) 2sin y(cos y 1) .若0≤ y ，则
x
f (lnx)≤ f (y)，此时 ln x≥ y≥ 0，x≥1；若 y≥ y y，显然 sin 2y e e 0，此时 x 1.
同理，若 y≤0，则 x≤1，故 (x 1)y≥0，即 xy≥ y .
9.【答案】BD（选对部分得 3分）
【解析】若 | a | | b |，则 2 4 1 2 ，故 2 2 3，A错误；若 a 与 b 共线，则
2 0 ，即 2 ，故 B正确；a b ，则 2 0，即 2 ，故 C错误；
由 B可知，因为 a b ( 1, 2) ， a b ( 1,2 ) ，故若 (a b)∥ (a b)，则
( 1)(2 ) ( 1)( 2) 0，则 2 ，故 D正确.
10.【答案】BCD（选对部分得 3分）
【解析】根据题意有 a1 b1 ， b3 2b2 4b1 4a1，故 A错误；
因为 a1 b1 ，故当 a1 0时， b1 0，{bn}是公比为 2的等比数列，故 B正确；
根据题意可得 b b n 1 n 1 n 1n 1 2 a1 2 an n 1，an a1 2 1 n ，故当 b1 a1 0 时，
an 1 n，故 C正确；
当 a1 b1 1时，由上可知 an 1 an a 2
n 1
1 1 0，故{an}是递增数列，故 D正确.
11.【答案】ABD（选对部分得 3分）
【解析】方法 1：如图，设C 的半焦距为 c ，离心率为 e，延长 F2P到Q ，
使得 | PQ | | PF1 |，则 |QF2 | | PF1 | | PF2 | 2a ，因为 PF1F2 40 ，
PF2F1 60 ，则 F1PF2 80 ，故 PF1Q PQF1 PF1F2 40 ，
PF F FQF e 2c | F1F | | PF |故△ 1 2 ∽△ 1 2 ，所以 2 2 ，故 A正确；2a |QF2 | | F1F2 |
| F F |
又因为 e 1 2 ，且由△PF1F2 ∽△F1QF2 可得 | F1F2 | | PF2 | |QF2 | | PF2 | 2a ，2a
数学参考答案 第 2页（共 8页）
{#{QQABJYCEogiAAoAAAAgCAQUICkKQkAAACagGQFAEoAAAAQFABAA=}#}
e | PF 2 | B e | PF2 | sin 40 sin 40 1故 ，故 正确；由正弦定理可 ，
2a | F1F2 | sin80 2sin 40 cos 40 2cos 40
故 C错误；在线段 F1F2 上取点 R，使得 RF2 PF2 ，则△PRF2是等边三角形，且
PRF1 120 ， F1PR 20 ，故由正弦定理可知
e | RF1 | | RF2 | | RF1 | | PR | sin 20 sin 40 sin20 sin 40 ，故 D正确.
| PF1 | | PF2 | | PF1 | | PR | sin120 sin 40 sin 40 sin60
| F F | sin80 1
方法 2：由正弦定理得 e 1 2 ．因为
| PF1 | | PF2 | sin 60 sin 40 2cos 40
| PF2 | sin 40 1 c | PF | c | PF | 2，所以 A正确．由 A得 2 ，所以 ( ) 2 ，
| F1F2 | sin80 2cos 40 a 2c a 2a
sin 20 sin 40 1
所以 B正确．C错误．由于 ，所以 D正确．
sin 60 sin 40 2cos 40
12.【答案】 976
【解析】根据题意可知棱台的上底面面积 S1 64 平方米，下底面面积 S2 100 平方米，高
h 12 1米，故体积V (S S S S )h 976立方米.
3 1 2 1 2
13.【答案】0.1814
【解析】因为 X ~ N (1,4)，则 μ 1,σ 2 ，
故 P(X ≤ 3) P(X ≥ 3) (1 0.9545) 2 (1 0.6827) 2 0.1814 .
14.【答案】[1,5] 13， （答对一空给 3分，全对给 5分）
2
2 2 2
【解析】设 P(x1, y1)，Q(x2 , y2 )
y y y
，R(x3 , y3 )，其中 x 1 , x 2 31 2 , x3 ，易知 F(1,0)，4 4 4
且因为 PF 2QF 2RF 0 ，则 y2 21 2y2 2y
2
3 20，且 y1 2y2 2y3 0，可得到关于 y2
的一元二次方程为8y22 4y
2
1y2 3y1 40 0，故应满足 16y
2
1 32(3y
2
1 40)≥ 0，故0≤
2
y2 y1 ≤16，又由抛物线的定义可知 | PF | 1 1，故1≤ | PF |≤5，等号分别在 x4 1
0，x1 4
时成立，即 | PF |的取值范围是[1,5]．因为 4y2 22 y1 ≥ 4y1y2 ，由上可知 4y
2
1 12y
2
2 40≥
2 2
8y22 4y1y
y y
2 3y
2
1 40 0 ， 故 y
2 2 1
1 3y2 ≥ 10 ， | PF | 3 |QF | ( 1) 3( 2 1) ≥4 4
5 5 13
4 13 ，等号在 x1 x2 成立，故 | PF | 3 |QF |的最小值是 .2 2 8 2
数学参考答案 第 3页（共 8页）
{#{QQABJYCEogiAAoAAAAgCAQUICkKQkAAACagGQFAEoAAAAQFABAA=}#}
15.（13分）
【解析】（1）因为 asin A bsinC，由正弦定理可得 a2 bc ， ……2分
又由余弦定理可得 a 2 b2 c2 2bc cos A bc ， ……4分
故当 A 时，b2 c2 bc bc， (b c)2 0，故 b c． ……6分
3

故若 A ，则△ABC是等边三角形． ……7分
3
（2）因为 2 2 sin A 2sinB sinC，由正弦定理可得 2 2a 2b c， ……9分
8a2 4b2 4bc c2故 ，又由（1）可知 a 2 bc 2 2，故8bc 4b 4bc c ，
所以 (2b c)2 0，c 2b 2，a bc 2b2 . ……11分
b2 c2 a2 b2 4b2 2b2 3
故由余弦定理可得 cos A . ……13分
2bc 4b2 4
16.（15分）
【解析】（1）方法 1：如图，设G为 A1B的中点，连接 FG，EG．因
为 E，F分别为直四棱柱 ABCD A1B1C1D1的棱CC1，A1B1的中
FG B B FG 1点，所以 ∥ 1 , B1B，C E B B C E
1
∥ , B
2 1 1 1 2 1
B，
故 FG∥C1E，FG C1E． ……3分
所以四边形C1FGE 是平行四边形，所以C1F∥EG．……5分
又因为 C1F 平面 A1BE ， EG 平面 A1BE ，故 C1F∥平面
A1BE . ……7分
方法 2：如图，设G为 BB1的中点，连接 FG，C1G，因为 E，F分
别为CC1， A1B1的中点，故 FG∥A1B，且C1G∥BE . ……2分
A1B 平面 A1BE， FG 平面 A1BE，故 FG∥平面 A1BE ，同理
C1G∥ 平面 A1BE ，且 FG C1G G ，故平面 C1FG∥ 平面
A1BE . ……5分
又因为C1F 平面C1FG，故C1F∥平面 A1BE . ……7分
（2）以D为坐标原点，直线DA为x轴，直线DC为 y轴，直线DD1
为 z轴建立坐标系，设 AB 2，则 A1(2,0,4)，B(2,2,0)，E(0,2,2)，F (2,1,4)，故 A1B (0,2, 4)，
BE ( 2,0,2)，FB (0,1, 4) . ……10分
设平面 A1BE与平面 FBE的法向量分别为 m (x1, y1, z1)， n (x2 , y2 , z2 )，则
数学参考答案 第 4页（共 8页）
{#{QQABJYCEogiAAoAAAAgCAQUICkKQkAAACagGQFAEoAAAAQFABAA=}#}
2y1 4z1 0 2x2 2z2 0
， ，
2x1 2z 0

1 y2 4z2 0
不妨取 x1 1， x2 1，则 m (1,2,1)， n (1,4,1)， ……13分
cos m,n m n 1 8 1 5 3所以 ， ……14分
|m | | n | 6 18 9
二面角 A1 BE F
6
的正弦值为 . ……15分
9
17.（15分）
【解析】（1）记事件 A1表示第一次从甲袋子取出的是红球， A2表示第二次从乙袋子取出的
是红球，则 P(A2 ) P(A1)P(A2 | A1) P(A1)P(A2 | A1) ……3分
3 4 2 3 3
. ……5分
5 6 5 6 5
2 1 P(A | A ) P(A A )（ ）在（ ）所设的条件下有： 1 21 2 ……7分P(A2 )
2 3
5 6 13 . ……9分3
5
（3）记第二次从乙袋子随机取出两个球中白球个数为 X ，则 X 0,1,2，
3 C2 2 C2 8
其中 P(X 0) 42
3 ， ……10分
5 C6 5 C
2
6 25
1
P(X 3 C C
1 2 C1 C1 14
1) 4 2 3 32 2 ， ……11分5 C6 5 C6 25
P(X 2) 3 C
2 2 C2 3
2 3
5 C2

5 C2
. ……12分
6 6 25
X 的分布列为：
X 0 1 2
8 14 3
P ……13分
25 25 25
所以 EX 0 8 1 14 2 3 4 . ……15分
25 25 25 5
18.（17分）
数学参考答案 第 5页（共 8页）
{#{QQABJYCEogiAAoAAAAgCAQUICkKQkAAACagGQFAEoAAAAQFABAA=}#}
【解析】（1）因为C的右顶点为 A(1,0)，故 a 1. ……1分
C b |b | 6设 的一条渐近线为 y x bx，则 . ……3分
a b2 1 3
解得b2 2. ……4分
y22
所以C的方程为 x 1 . ……5分
2
（2）易知过点 (1,1)且垂直于 x轴的直线与C仅有一个公共点，不合题意. ……6分
设过点 (1,1)的直线为 y k(x 1) 1，与C的方程联立有：
(2 k 2 )x2 2k(k 1)x k 2 2k 3 0 . ……8分
2k(k 1) k2
设 P(x 2k 31, y1)，Q(x2, y2)，则 k 2， 0，且 x1 x2 2 ，x1x2 2 ．……9分k 2 k 2
故直线 AQ的方程为 y2x (1 x2 )y y2 0 . ……10分
AQ y y x与直线 x x1的方程联立可得 R(x , 2 2 11 ) . ……12分1 x2
记线段 PR的中点为M (x , y ) M (x , (2k 1)(x1 x2) 2kx1x2 2k 2M M ，则 1 )， ……13分2(1 x2)
y (1 2k)(x x ) 2kx x 2k 2
故直线 AM的斜率为 M 1 2 1 2
xM 1 2x1x2 2(x1 x2) 2
x1 x2 2 k 2k 4 k 2 . ……15分
2x1x2 2(x1 x2) 2 2
所以M 在直线 y 2 x 2上. ……16分
故以线段 PR 的中点为圆心且过坐标原点的圆还过原点关于直线 y 2 x 2 的对称点
(8 , 4 ) . ……17分
5 5
8 4
注：没有给出定点的坐标 ( , )不扣分，但若给出的定点坐标计算错误则扣 1分.
5 5
19.（17分）
【解析】（1）根据题意有 fn (x) e
x 1. ……1分
当 x 0时， fn (x) 0， fn (x)单调递减，当 x 0时， fn (x) 0， fn (x)单调递增，
故 fn (x)≥ fn (0) 1 ln an an . ……2分
设 (x) 1 ln x x，则 (x) 1 x ，当 0 x 1时， (x) 0， (x)单调递增，当 x 1时，
x
数学参考答案 第 6页（共 8页）
{#{QQABJYCEogiAAoAAAAgCAQUICkKQkAAACagGQFAEoAAAAQFABAA=}#}
(x) 0， (x)单调递减， (an )≤ (1) 0，故若 fn (x)≥ 0，则 an 1. ……4分
n n
ai 1
n
(1 1所以 ) 1 1 1 1 1 1 n . ……5分
i 1 bi i 1 bi i 1 i i 1 2 2 3 n n 1 n 1
（2）（i）由题设可知 an 1，由（1）可知，fi(0) 1 lnai ai 0(i 1,2, n)，且 f i (x)在 ( ,0)
和 (0, ) 分别单调，若 f i (x)有两个零点 xi1，xi2，则正、负各一个，故 f1(x), f2 (x), , fn (x)
共有 2n个零点，即M有 2n个元素，且 n个是正数， n个是负数.又因为 X ,Y 各有 n个元
素，且 X Y ，故M的所有元素要么属于 X，要么属于Y . ……6分
若 xi 0且 yi 0，则 xn xi 0且 y1 yi 0，故至少有 n 1个零点是正数，这与恰
n i 1个 i个
n
有 n个零点是正数矛盾.同理， xi , yi也不能同为负数.故 xi与 yi 异号， xi yi 0 .……7分
i 1
由上不妨设 xi1 0 xi2 ，则 xi1 0， f ( xi1) f (xi2) f ( xi1) f (xi1) e
xi1 exi1 2xi1.
设 (x) e x ex 2x，则 (x) e x ex 2≤ 0， (x)单调递减，故 (xi1) (0) 0，
即 f ( xi1) f (xi1) f (xi2 )，故 0 xi2 xi1， xi1 xi2 0. ……9分
n n n
所以 (xi 1)( yi 1) (xi1 xi2 ) xi yi n n . ……10分
i 1 i 1 i 1
（ii）将M的 2n个元素按照从小到大的顺序排列得到数列 x1 , x2 , , x2 n ，其中 x1 , x2 , , xn
均为负数， xn 1, xn 2 , , x2 n 均为正数.因为 x1 x2 xn ， y1 y2 yn ，故
max{xi , yi}≥ xi x i 1 x1，且max{xi , yi}≥ yi y i 1 yn ，故max{xi , yi}至少大
i个 n i 1个
于M中的 n个元素，max{xi , yi}为 xn 1, xn 2 , , x2 n 中的某一项；同理可知，min{xi , yi}为
x1 , x2 , , xn 中的某一项. ……12分
因为 | xi yi | max{xi , yi} min{xi , yi}，
n n
故 | xi yi | (xn 1 xn 2 x2 n ) (x1 x2 xn ) (xi2 xi1) . ……13分
i 1 i 1
1 x
f (1 a ) e1 aii i 1 lnai ，设 g(x) e
1 x 1 ln x(x 1) g (x) e1 x 1 xe 1 ，则 ，
x x
数学参考答案 第 7页（共 8页）
{#{QQABJYCEogiAAoAAAAgCAQUICkKQkAAACagGQFAEoAAAAQFABAA=}#}
设 h(x) xe1 x 1，则 h (x) (x 1)e1 x，当 x 1时，h (x) 0，h(x)单调递增，h(x) h(1) 0，
g (x) h(x) 0， g(x)单调递增， f (1 ai ) g(ai ) g(1) 0 .x
故由（i）可知1 ai xi1 0，且 0 xi2 xi1 ai 1 . ……14分
n n n n
故由上可知， | xi yi | (xi2 xi1) 2 (ai 1) 2 1 2n . ……15分
i 1 i 1 i 1 i 1 bi n 1
1 1
f (1 1 ) 1 1 e ai 1 ln ai ，设 t(x) e
1 x 1 1 1 1 x lnx (0 x 1)，则 t (x) e1 x 1 ，
ai a
2
i ai x x x
当 0 x 1 t (x) e1 x 1 1 (1 1) e1 x 1 1 1 h(x)时， 1 e1 x g (x) ，且由上可
x x x x x
g (x) h(x)知， 0，故 t (x) 1 1 0，t(x)单调递增，故 f (1 ) t( ) t(1) 0 . ……16分
x ai ai
1 n n n n
同上有 xi1 xi2 1 ，故 | xi yi | (xi2 x ) 2 (1 1i1 ) 1 n .ai i 1 i 1 i 1 ai i 1 bi n 1
n n 2n
综上， | xi yi | . ……17分n 1 i 1 n 1
n n n n
注：（ii）中证明右侧不等式时，可根据 | xi yi |≤ | xi | | yi | (xi2 xi1)，按照相
i 1 i 1 i 1 i 1
n n
应步骤评分，但证明左侧证明等式时，仍需先证明 | xi yi | (xi2 xi1).
i 1 i 1
数学参考答案 第 8页（共 8页）
{#{QQABJYCEogiAAoAAAAgCAQUICkKQkAAACagGQFAEoAAAAQFABAA=}#}

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