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23.3 课题学习 图案设计 学案
（一）学习目标：
能够利用平移、轴对称和旋转进行一些简单的图案设计。
掌握简单图案的设计步骤和设计技巧。
3.在应用图形变换进行图案设计的过程中，体会数学知识在生活中的应用价值，增强数学的应用意识。
（二）学习重难点：
学习重点：利用平移、轴对称和旋转进行一些简单的图案设计
学习难点：如何利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或它们的组合得出图案
阅读课本，识记知识：
1.认识图案的形成过程（重点）
图案的设计通常是利用基本图形的变换来进行的，每种基本变换都有一个共同特征，那就是变换前后图形的形状、大小不发生变化，只有位置发生了变化，它们都属于全等变换，图案的设计较多的形式都是经过组合变化而成的。
2.图案的设计形成过程（重点）
（1）设计依据
应用基本图形的平移，轴对称、旋转变换进行图案设计。
（2）设计步骤
明确设计目的与要求，在进行图案的设计时注意明确设计的要求及设计的目的，只有在正确把握设计要求及设计目的的条件下，才能合理地进行图案设计；确定基本图案和整体图案；分析整体图案是通过“基本图案”怎样变换（平移、轴对称或旋转）形成的。
【例1】如图，共有7个全等的三角形，你能分析说明第1个三角形经过什么变化可以依次得到其余6个三角形吗？
【分析】根据所给的图形及其位置，运用平移、旋转的知识即可作出说明．
【详解】解：如图，标注三角形的一个顶点如下，
先向右平移1个单位长度，再绕逆时针旋转90°；
：先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后绕旋转180°；
：向下平移1个单位长度；
：先向下平移1个单位长度，再绕逆时针旋转90°；
：先向下平移1个单位长度，再绕逆时针旋转90°；
：先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后绕逆时针旋转90°．（答案不唯一）
【点睛】本题考查利用旋转、平移的知识，注意仔细观察图形及语言的规范性是解题的关键．
【例2】如图，下列4×4网格图都是由16个相同的小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请你在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
(1)在图1中选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形；
(2)在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
【分析】（1）根据轴对称图形的定义去添加；
（2）根据中心对称图形的定义添加．
【详解】（1）选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形，如下图：
（2）选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形，如下图：
【点睛】本题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握轴对称图形与中心对称图形的定义是解题的关键．
选择题
1．下面的图形能拼成正方形的是（ ）．
A． B． C．
【答案】C
【分析】根据正方形的特点可知，两个直角边不相等的直角三角形不能拼成正方形；两个完全一样的正方形不能拼成正方形；选项C的图形可以拼成正方形．据此选择．
【详解】能拼成正方形的是：

故选：C．
【点睛】本题主要考查图形的拼组，关键掌握正方形的特征．
2．如图所示的车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，即可选出答案．
【详解】解：根据平移的概念，观察图形可知图案B通过平移后可以得到．
故选：B．
【点睛】本题主要考查利用平移设计图案，掌握平移的定义是解题关键．
3．如图，如果将其中的甲图变成乙图，那么经过的变换正确的是（ ）

A．旋转、平移 B．轴对称、平移 C．旋转、轴对称 D．旋转
【答案】C
【分析】根据平移变换、轴对称变换、旋转变换进行分析即可．
【详解】将图甲顺时针先旋转一个小的角度，使得图形甲完全竖直，再进行翻折（轴对称变换）即可得到图形乙，
故选：C．
【点睛】本题考查平移、轴对称、旋转的概念，熟练掌握平移是沿着某条直线方向移动、轴对称是沿着某条直线翻折、旋转是绕着某点转动，三大变换均不改变图形的形状和大小是关键．
4．如图所示，这个图案可以看作是以“基本图案”——原图案的四分之一通过变换形成的，但一定不能通过_________变换得到（ ）

A．旋转 B．轴对称 C．平移 D．轴对称和旋转
【答案】C
【分析】观察图形的特点，根据平移、旋转和轴对称的性质解答即可．
【详解】左上方块（“基本图案”）为原图案的四分之一，将其分别绕原图形的中心顺时针旋转、、后可以得到右上、右下、左下的方块，故“基本图案”可以通过旋转变换形成原图案；
左上方块（“基本图案”）为原图案的四分之一，将其沿自身右边线翻折可以得到右上方块，接着将新方块沿其自身下边线翻折可以得到右下方块，最后在将右下方块沿其自身的左边线翻折可以得到左下方块，故“基本图案”可以通过轴对称变换形成原图案；
平移前后得两个图案可以通过平移重合，原图中的四个方块无法通过平移重合，故“基本图案”无法通过平移变换形成原图案；
故选：C．
【点睛】本题考查了生活中的旋转、平移及轴对称现象，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心；轴对称是两个图形沿某条直线对折后能够完全重合．
5．如图，线段是由线段a经过平移得到的，线段还可以看作是线段a经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次中心对称；②1次轴对称；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号是( )　　

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】C
【分析】根据轴对称和中心对称的定义和性质逐个判断即可．把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫对称中心，这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点． 如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称．
【详解】解：①这两条线段组成中心对称图形，因此①正确，对称中心如下图所示：

②这两条线段不能组成轴对称图形，无法找到这样的直线，使得一边沿着这条直线翻折后与另一边重合，因此②错误；
③这两条线段组成中心对称图形，可以找到这样的两条对称轴，使得其中一条线段经过2次轴对称后与另一天重合，两条对称轴如下图所示：

故正确的有：①③
故选C．
【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形，能快速寻找对称中心和对称轴是解题的关键．事实上，任意一次旋转变换都可以通过两次轴对称变换来实现．
6．下列图标中，由一个基本图形通过平移设计得到的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平移的定义分析即可．
【详解】A.可以通过旋转得到，故A选项不符合题意；
B. 可以通过旋转得到，故B选项不符合题意；
C. 可以通过轴对称变换得到，故C选项不符合题意；
D. 可以通过平移得到，故D选项符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查了利用平移设计图案，准确理解平移的定义是解决本题的关键．
7．如图，将正方形图案绕中心旋转后，得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据旋转的定义进行分析即可解答
【详解】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，
分析选项，可得正方形图案绕中心旋转后，得到的图案是．
故选：．
【点睛】本题考查了图纸旋转的性质,熟练掌握是解题的关键.
8．已知：如图，E是正方形的边上任意一点，F是边上的点，且平分．则（ ）
A． B．
C． D．与的大小不确定
【答案】B
【分析】先延长DC到G，使CG=AF，连接BG，易证△ABF≌△CBG，得∠5=∠G，∠1=∠3，进而证明∠EBG=∠G，进而证明BE=CG+CE=AF+CE．
【详解】证明：延长DC到G，使CG=AF，连接BG
∵AB=BC，∠A=∠BCG=90°，
∴△ABF≌△CBG，
∴∠5=∠G，∠1=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴∠2+∠4=∠3+∠4，
即∠FBC=∠EBG，
∵AD∥BC，
∴∠5=∠FBC=∠EBG，
∴∠EBG=∠G，
∴BE=CG+CE=AF+CE．
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，用到的知识点是正方形各边长相等、各内角为直角的性质，全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的性质，本题中求证∠EBG=∠G是解题的关键．
9．如图，先将该图沿着它自己的右边缘翻折，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转，之后所得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将图沿着它自己的右边缘翻折，则圆在正方形图形的右上角，然后绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转180°，则圆在正方形的左下角，利用此特征可对四个选项进行判断．
【详解】先将图沿着它自己的右边缘翻折，得到，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转，之后所得到的图形为．
故选：A
【点睛】本题考查了利用旋转设计图案：由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换一些复合图案．
10．在平面直角坐标系中，已知，将其绕着原点按逆时针方向旋转得到，延长到点，使得，再将点绕着原点按逆时针方向旋转得到，延长到点，使得，……如此继续下去，到点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得，，，，可以推出，则，再由每经过24个点就落到x正半轴上，推出在第四象限，且∠，再由含30度角的直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴可以推出，
∴
∵在x轴正半轴，在y轴正半轴，在x轴负半轴，在y轴负半轴，在x正半轴，在直线上，
∴每经过24个点就落到x正半轴上，
∵2014÷24=83余22，
∴在第四象限，且，
设，
∴，
∴,
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，点坐标的规律探索，含30度角的直角三角形的性质，坐标与图形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
填空题
11．小明将图案 绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度的最小值为 ．

【答案】/60度
【分析】根据旋转的定义确定两个对应点的位置，求得与点连线的夹角即可求得旋转角度．
【详解】解：如下图，当经过一次循环后点旋转至点的位置上，

∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了利用旋转设计图案的知识，解题关键是能够找到一对对应点确定旋转角度．
12．图形甲是小明设计的花边作品，该作品是由形如图形乙通过对称和平移得到．在图乙中，△AEO≌△ADO≌△BCO≌△BFO，E，O，F均在直线MN上，EF=12，AE=14，则OA长为 ．
【答案】16
【分析】如图，如图，过点A作AH⊥EF于点H，证明∠AOE=∠AOB=∠BOF=60°，设OH=x，在Rt△AEH中，利用勾股定理构造一元二次方程，解方程可得结论．
【详解】解：如图，过点A作AH⊥EF于点H，
∵△AEO≌△ADO≌△BCO≌△BFO，
∴∠AOE=∠AOB=∠BOF，OF=OF=EF=6，
∵∠AOE+∠AOB+∠BOF=180°，
∴∠AOE=∠AOB=∠BOF=60°，
设OH=x，则AO=2x，AH=x，
在Rt△AEH中，AE2=AH2+EH2，
∴142=（x）2+（x-6）2，
解得x=8或-5（负根舍弃），
∴OA=16，
故答案为：16．
【点睛】本题考查利用平移设计图案，全等三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
13．在平面直角坐标系中，若点P(x－2，x)关于原点的对称点在第四象限，则x的取值范围是 ．
【答案】0＜x＜2
【分析】首先根据点P(x－2，x)关于原点的对称点在第四象限，判断出点P在第二象限，然后根据第二象限点的坐标特点求解即可．
【详解】解：∵点P(x－2，x)关于原点的对称点在第四象限，
∴点P在第二象限．
∴
解得：x＜2，x＞0，
∴x的取值范围是0＜x＜2．
故答案为：0＜x＜2．
【点睛】此题考查了象限中点的坐标特点，关于原点对称的点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握象限中点的坐标特点．第一象限：横坐标为正，纵坐标为正；第二象限：横坐标为负，纵坐标为正；第三象限：横坐标为负，纵坐标为负；第四象限：横坐标为正，纵坐标为负．
14．如图，将正方形以点B为旋转中心顺时针旋转得到正方形于O，若，则正方形的边长为 ．
【答案】
【分析】作BE⊥OD于点E，可以设出对角线长是x，则A′F＝x，根据FO＝A′F＋A′O，即可得到一个关于x的方程，从而求得对角线长，则边长即可求得．
【详解】解：作BE⊥OD于点E．
设BD＝x，则A′C′＝x，A′F＝x，
∵BD′⊥OC′，OD⊥OC′，
∴BD′∥OD，
∴∠BDO＝180° ∠DBD′＝180° 120°＝60°，
∴∠DBE＝30°，
∴DE＝BD=x，
∴OF=BE=，
x＋（ 1）＝x，
解得：x＝2，
∴边长是：x＝．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，先作出辅助线转化为解直角三角形，最终转化为方程问题是解题的基本思路．
15．如图，四边形中，，则四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】如图所示，将三角形CAD绕点C逆时针旋转90°，得到△CEB，先证明∠ACE=∠BCE+∠ACB=90°，然后证明A、B、E三点共线，即可得到，由此进行求解即可；
【详解】解：∵CD=CB，∠DAB=∠BCD=90°，
∴将三角形CAD绕点C逆时针旋转90°，得到△CEB，
由旋转的性质可得
∴,，，，
∵∠DAB=∠BCD=90°，
∴∠D+∠ABC=180°，∠DCA+∠ACB=90°
∴∠CBE+∠ABC=180°，∠ACE=∠BCE+∠ACB=90°
∴A、B、E三点共线，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，四边形内角和，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
三、解答题
16．山西民间建筑的门窗图案中，蕴涵着丰富的数学思想，图①是其中的一个代表，该窗格图案是以图②为基本图案经过变换得到的，图③是放大后的一部分，虚线给出了作图提示，请利用直尺和圆规画图．
(1)根据图②将图③补充完整；
(2)在图④的正方形中，用圆弧和线段设计一个美观的轴对称图形．
【答案】(1)
(2)
【解析】略
17．如图，已知方格纸中有A、B、C三个格点，求作一个以A、 B、C为顶点的格点四边形．
(1)在图1中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形．
(2)在图2中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了利用旋转性质设计图案，利用轴对称设计图案，熟练掌握特殊四边形的轴对称和中心对称的性质是解题的关键．
（1）根据特殊四边形的轴对称和中心对称的性质，以及已知点位置作出平行四边形即可；
（2）根据特殊四边形的轴对称和中心对称的性质，以及已知点位置作出等腰梯形即可．
【详解】（1）解：如图，四边形即为所求；
（2）解：如图，四边形即为所求．
18．为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成图案，种植花草部分用阴影表示．请你运用平移、旋转、轴对称等知识，在图③、图④、图⑤中画出三种不同的设计图案（温馨提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种）．

【答案】见解析
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形．根据中心对称图形与轴对称图形的概念即可得到结果．
【详解】解：答案不唯一，如图所示：
．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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（一）学习目标：
能够利用平移、轴对称和旋转进行一些简单的图案设计。
掌握简单图案的设计步骤和设计技巧。
3.在应用图形变换进行图案设计的过程中，体会数学知识在生活中的应用价值，增强数学的应用意识。
（二）学习重难点：
学习重点：利用平移、轴对称和旋转进行一些简单的图案设计
学习难点：如何利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或它们的组合得出图案
阅读课本，识记知识：
1.认识图案的形成过程（重点）
图案的设计通常是利用基本图形的变换来进行的，每种基本变换都有一个共同特征，那就是变换前后图形的形状、大小不发生变化，只有位置发生了变化，它们都属于全等变换，图案的设计较多的形式都是经过组合变化而成的。
2.图案的设计形成过程（重点）
（1）设计依据
应用基本图形的平移，轴对称、旋转变换进行图案设计。
（2）设计步骤
明确设计目的与要求，在进行图案的设计时注意明确设计的要求及设计的目的，只有在正确把握设计要求及设计目的的条件下，才能合理地进行图案设计；确定基本图案和整体图案；分析整体图案是通过“基本图案”怎样变换（平移、轴对称或旋转）形成的。
【例1】如图，共有7个全等的三角形，你能分析说明第1个三角形经过什么变化可以依次得到其余6个三角形吗？
【分析】根据所给的图形及其位置，运用平移、旋转的知识即可作出说明．
【详解】解：如图，标注三角形的一个顶点如下，
先向右平移1个单位长度，再绕逆时针旋转90°；
：先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后绕旋转180°；
：向下平移1个单位长度；
：先向下平移1个单位长度，再绕逆时针旋转90°；
：先向下平移1个单位长度，再绕逆时针旋转90°；
：先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后绕逆时针旋转90°．（答案不唯一）
【点睛】本题考查利用旋转、平移的知识，注意仔细观察图形及语言的规范性是解题的关键．
【例2】如图，下列4×4网格图都是由16个相同的小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请你在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
(1)在图1中选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形；
(2)在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
【分析】（1）根据轴对称图形的定义去添加；
（2）根据中心对称图形的定义添加．
【详解】（1）选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形，如下图：
（2）选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形，如下图：
【点睛】本题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握轴对称图形与中心对称图形的定义是解题的关键．
选择题
1．下面的图形能拼成正方形的是（ ）．
A． B． C．
2．如图所示的车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，如果将其中的甲图变成乙图，那么经过的变换正确的是（ ）

A．旋转、平移 B．轴对称、平移 C．旋转、轴对称 D．旋转
4．如图所示，这个图案可以看作是以“基本图案”——原图案的四分之一通过变换形成的，但一定不能通过_________变换得到（ ）

A．旋转 B．轴对称 C．平移 D．轴对称和旋转
5．如图，线段是由线段a经过平移得到的，线段还可以看作是线段a经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次中心对称；②1次轴对称；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号是( )　　

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
6．下列图标中，由一个基本图形通过平移设计得到的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，将正方形图案绕中心旋转后，得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
8．已知：如图，E是正方形的边上任意一点，F是边上的点，且平分．则（ ）
A． B．
C． D．与的大小不确定
9．如图，先将该图沿着它自己的右边缘翻折，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转，之后所得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
10．在平面直角坐标系中，已知，将其绕着原点按逆时针方向旋转得到，延长到点，使得，再将点绕着原点按逆时针方向旋转得到，延长到点，使得，……如此继续下去，到点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
填空题
11．小明将图案 绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度的最小值为 ．

12．图形甲是小明设计的花边作品，该作品是由形如图形乙通过对称和平移得到．在图乙中，△AEO≌△ADO≌△BCO≌△BFO，E，O，F均在直线MN上，EF=12，AE=14，则OA长为 ．
13．在平面直角坐标系中，若点P(x－2，x)关于原点的对称点在第四象限，则x的取值范围是 ．
14．如图，将正方形以点B为旋转中心顺时针旋转得到正方形于O，若，则正方形的边长为 ．
15．如图，四边形中，，则四边形的面积为 ．
三、解答题
16．山西民间建筑的门窗图案中，蕴涵着丰富的数学思想，图①是其中的一个代表，该窗格图案是以图②为基本图案经过变换得到的，图③是放大后的一部分，虚线给出了作图提示，请利用直尺和圆规画图．
(1)根据图②将图③补充完整；
(2)在图④的正方形中，用圆弧和线段设计一个美观的轴对称图形．
17．如图，已知方格纸中有A、B、C三个格点，求作一个以A、 B、C为顶点的格点四边形．
(1)在图1中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形．
(2)在图2中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形．
18．为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成图案，种植花草部分用阴影表示．请你运用平移、旋转、轴对称等知识，在图③、图④、图⑤中画出三种不同的设计图案（温馨提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种）．

（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
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