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24.1.1 圆 学案
（一）学习目标：
1.了解圆的有关概念，理解垂径定理
2.在作图过程中感受数学结合、转化、类比的数学方法。
3.体会自主学习带来的成就感。
（二）学习重难点：
学习重点：圆的有关概念
学习难点：感受数学结合、转化、类比的数学方法
阅读课本，识记知识：
1. 圆的定义
(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.要点诠释：
　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
　②圆是一条封闭曲线.
(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
3.要点诠释：
　 ①定点为圆心，定长为半径；
　　②圆指的是圆周，而不是圆面；
　　③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.
【例1】 如图，在矩形中，，动点分别从点同时出发，以相同的速度分别沿向终点移动，当点到达点时，运动停止，过点作直线的垂线，垂足为点，在这个移动过程中点经过的路径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出经过的路程长．
【详解】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示：
，
，
在与中，
，
，
，，共线，
，是中点，
在中，，则，
的轨迹为以为圆心，1为半径的圆弧，则
当与重合时，；当与重合时，与重合；
走过的路程为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轨迹长度的求解，涉及矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定的轨迹是本题解题的关键．
【例2】 给出下列说法：①经过平面内的任意三点都可以确定一个圆；②等弧所对的弦相等；③长度相等的弧是等弧；④相等的弦所对的圆心角相等．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．② C．②④ D．①④
【答案】B
【分析】本题考查圆的认识，确定圆的条件，圆心角、弧、弦的关系，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：①经过平面内不共线的三点确定一个圆，故①不符合题意；
②等弧所对的弦相等，正确，故②符合题意；
③长度相等的弧不一定是等弧，故③不符合题意；
④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，故④不符合题意，
∴其中正确的是②．
故选：B．
选择题
1．如图，在中，，D 是内部的一个动点，满足，则线段长的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最值问题．根据，推出，得到点在以为直径的圆上，取的中点，连接，，根据，求出最小值即可．解题的关键是确定点的运动轨迹．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆上，
取的中点，连接，，则：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为2．
故选A．
2．已知点A，B，且，画经过A，B两点且半径为2的圆有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【答案】C
【分析】本题考查了圆的定义，掌握圆是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合成为解题的关键．
根据圆的定义可知：经过A、B两点的圆的圆心都在线段的垂直平分线上，结合的长可判断垂直平分线上点到点A和B的距离等于2的点有2个即可解答．
【详解】解：经过A、B两点的圆的圆心都在线段的垂直平分线上，而，
∴垂直平分线上点到点A和B的距离的点有2个，
∴经过A、B两点且半径为2的圆有2个．
故选：C．
3．下列说法正确的是（ ）
A．弦是直径 B．半圆是弧
C．等弧就是长度相等的两条弧 D．圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径
【答案】B
【分析】此题考查了圆的相关性质，根据圆的弦、弧、直径等相关知识进行判断即可．熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．
【详解】直径是经过圆心的弦，不是所有的弦都是直径，故A错误；
圆上任意两点间的部分是弧，所以半圆是弧，故B正确；
只有在同圆或等圆中，能够完全重合的弧才是等弧，故C错误；
圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径所在的直线，故D错误．
故选：B．
4．如图，矩形中，，，P是直线上的一个动点，，沿翻折形成，连接，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、翻折的性质、勾股定理等知识点，利用定点定长构造辅助圆是解题的关键．
由翻折的性质可得，得点F在以E为圆心，为半径的圆上运动，连接，作于G，然后运用勾股定理求出，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：连接，作于G，
∵P是直线上的一个动点，，
∴，
∴点F在以E为圆心，为半径的圆上运动，
∵矩形中，，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴的最小值为．
故选D．
5．如图，在平面直角坐标系中，的半径为2，与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，点，，，均为弧上的点（点P不与点A，B重合），若，则点P的位置为（　　）
A．在弧上 B．在弧上 C．在弧上 D．在弧上
【答案】B
【分析】本题考查了圆的性质，坐标与图形性质，勾股定理，运用勾股定理求出、、的坐标是解题关键．
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，利用勾股定理求出、、的值，观察点的坐标变化规律即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
，，，
，，，
，，
，
，
，
，，，
由图可知：随着角度逐渐变小，点、、的横坐标逐渐增大，纵坐标逐渐减小，
，
点在弧上．
故选：B．
6．如图，在中，，点D是半径为4的上一动点，点M是的中点，则的最大值是（ ）
A．7 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，如图，取的中点，连接，．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出，，再利用三角形的三边关系即可解决问题．
【详解】解：如图，取的中点，连接，．
，，，
，
点是的中点，
，
点是的中点，点是的中点，
，
，
，
即的最大值是7．
故选：A．
7．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（　　）
A．9 B．10 C．12 D．14
【答案】D
【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，圆外一点到圆上一点距离的最大值，连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，当点P为线段的延长线与的交点时，取最大值，由此即可求解．
【详解】解：如图，连接，
点A、点B关于原点O对称，
，
为斜边上的中线，
，
点P是上的任意一点，
当点P为线段的延长线与的交点时，取最大值，如图：
的半径为2，圆心M的坐标为，
的最大值,
的最大值为，
故选D．
8．圆的半径是一条（　　）
A．直线 B．射线 C．线段
【答案】C
【分析】本题考查了圆的半径的定义“连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做半径”，据此选择答案即可．
【详解】解：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做半径，
故选：C．
9．已知的半径是，则中最长的弦长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆的基本性质．根据圆中最长的弦为直径，即可求解．
【详解】解：∵的半径是，
∴中最长的弦长直径是．
故选：D
10．下列说法中，正确的是（ ）
A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧
C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦
【答案】D
【分析】本题考查圆的基本概念辨析．根据弧：圆上两点及其所夹的部分；弦：连接圆上两点形成的线段，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故选项错误；
B、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故选项错误；
C、弦不一定是直径，故选项错误；
D、在一个圆中，直径是最长的弦，故选项正确；
故选D．
填空题
11．如图，半径为5的内有一点A，，点P在上，当最大时，的长等于 ．
【答案】
【分析】本题考查与圆有关的计算，勾股定理．当时，取得最大值，然后在直角三角形中利用勾股定理求的值即可．
【详解】解：如图所示：
是定值，
∴时，最大，
在直角三角形中，，，
．
故答案为：．
12．关于“圆的定义”，在我国古代就有记载，战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中，就有“圆，一中同长也”的记载，这句话里的“中”字的意思可以理解为 ．
【答案】中心（圆心）
【分析】此题考查了圆的认识，根据半径的含义：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径；在同圆或等圆中，所有的半径都相等；由此判断即可．
【详解】解：战国时期的《墨经》一书中记载：“圆，一中同长也”．表示圆心到圆上各点的距离都相等，即半径都相等；
故答案为：中心（圆心）
13．如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点，若，那么 ．
【答案】/20度
【分析】本题主要考查了圆的知识、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键．连接，利用半径相等和等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质证明，即可获得答案．
【详解】解：连接，如下图，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识；
连接，根据函数解析式，求坐标，然后求出，是线段的中点，是线段的中点，故是的中位线，当、、三点共线，且点在之间时，最小，即可求解．
【详解】连接，
因为抛物线与轴交于、两点，
令即，
解得或，
，
，
，
，
，
是线段的中点，是线段的中点，
故是的中位线，
，
最小，即最小，
即、、三点共线，且点在之间时，最小，
，
，
故答案为：．
15．在矩形中，，点M是平面内一动点，且满足，N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是 ．

【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，圆外一点到圆上点的距离的最值，把求的最值转化为求的最值是关键；确定点M的运动路径；延长到E，使，连接，交于点F、G；利用三角形中位线定理及圆的基本性质即可求得线段长度的取值范围．
【详解】解：∵，
∴在以B为圆心4为半径的圆上运动；
∵四边形为矩形，
∴；
延长到E，使，连接，交于点F、G；
∵N为的中点，
∴；
当M与F重合时，最小，且最小值为长；当M与G重合时，最大，且最大值为长；
∵，，
∴；
∴，，
∴的最小值为，的最大值为，
则线段长度的取值范围是．

故答案为：．
三、解答题
16．如图,一个运动场是由两个半圆形和一个长为米,宽为米的长方形构成（取）．

(1)求这个运动场的周长是多少米
(2)已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成,塑胶跑道和草坪的面积比为,每平方米塑胶的价格为元,比每平方米草坪的价格高,则购买铺满该运动场所需要的塑胶和草坪的总费用是多少元
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用圆周长公式及矩形周长公式解答即可;
（2）根据题意利用圆面积公式及矩形面积公式解答即可．
【详解】（1）解:∵一个运动场是由两个半圆形和一个长为米,宽为米的长方形构成,
∴运动场的周长为:（米）,
故答案为:．
（2）解:根据题意,运动场是由两个半圆形和一个长为米,宽为米的长方形构成,
∴运动场的面积为:（平方米）,
∵塑胶跑道和草坪的面积比为,
∴塑胶跑道面积为：（平方米）,
∴草坪面积为：（平方米）,
∵每平方米塑胶的价格为元,比每平方米草坪的价格高,
∴每平方米草坪的价格为:（元）,
∴总费用为:（元）,
故答案为:．
【点睛】本题考查圆周长计算,矩形周长计算,圆面积计算,矩形面积计算．
17．如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于E，若，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了圆的认识、等腰三角形的性质及三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键．连接，利用半径相等和等腰三角形的性质求得，进而根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可得的度数，从而利用三角形的外角的性质，由求解即可．
【详解】解：连接，

∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．给出如下定义：在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形 上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形，之间的距离． 已知，在平面直角坐标系中，点

(1)若点
①点到线段 的距离为 ，点 到以线段为直径的圆的距离为 ；
②当线段绕中点旋转时，则点到线段距离的取值范围为 ；
③以为边，在轴下方做矩形，其中平行轴，，当矩形绕着点旋转时，则点到矩形 的距离 的取值范围为 ；
(2)当点在圆心，半径为的圆上运动时，求点到线段的距离的取值范围？
【答案】(1)①，；②；③；
(2)．
【分析】（）利用点到直线距离和两点之间距离即可求解；
（）根据圆心，则点在直线上，再由勾股定理及圆上动点即可求解；
此题考查了点和圆的关系，直线和圆的位置关系，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题．
【详解】（1）如图，根据点到直线的距离可知，点到线段的距离为，

∵，，
∴，
∴的半径为，
在中，由勾股定理得：，
∴点到以线段为直径的圆的距离为，
故答案为：，；
如图，由（）得，

∵，
∴，
∴点在以为直径的圆上运动，
∴点到线段距离的取值范围为，
故答案为：；
如图，同理，可得：圆心，

∴，圆半径为，
∴，
故答案为：；
（2）由圆心，
∴点在直线上，
如图，

同理．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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（一）学习目标：
1.了解圆的有关概念，理解垂径定理
2.在作图过程中感受数学结合、转化、类比的数学方法。
3.体会自主学习带来的成就感。
（二）学习重难点：
学习重点：圆的有关概念
学习难点：感受数学结合、转化、类比的数学方法
阅读课本，识记知识：
1. 圆的定义
(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.要点诠释：
　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
　②圆是一条封闭曲线.
(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
3.要点诠释：
　 ①定点为圆心，定长为半径；
　　②圆指的是圆周，而不是圆面；
　　③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.
【例1】 如图，在矩形中，，动点分别从点同时出发，以相同的速度分别沿向终点移动，当点到达点时，运动停止，过点作直线的垂线，垂足为点，在这个移动过程中点经过的路径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出经过的路程长．
【详解】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示：
，
，
在与中，
，
，
，，共线，
，是中点，
在中，，则，
的轨迹为以为圆心，1为半径的圆弧，则
当与重合时，；当与重合时，与重合；
走过的路程为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轨迹长度的求解，涉及矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定的轨迹是本题解题的关键．
【例2】 给出下列说法：①经过平面内的任意三点都可以确定一个圆；②等弧所对的弦相等；③长度相等的弧是等弧；④相等的弦所对的圆心角相等．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．② C．②④ D．①④
【答案】B
【分析】本题考查圆的认识，确定圆的条件，圆心角、弧、弦的关系，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：①经过平面内不共线的三点确定一个圆，故①不符合题意；
②等弧所对的弦相等，正确，故②符合题意；
③长度相等的弧不一定是等弧，故③不符合题意；
④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，故④不符合题意，
∴其中正确的是②．
故选：B．
选择题
1．如图，在中，，D 是内部的一个动点，满足，则线段长的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．已知点A，B，且，画经过A，B两点且半径为2的圆有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
3．下列说法正确的是（ ）
A．弦是直径 B．半圆是弧
C．等弧就是长度相等的两条弧 D．圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径
4．如图，矩形中，，，P是直线上的一个动点，，沿翻折形成，连接，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，的半径为2，与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，点，，，均为弧上的点（点P不与点A，B重合），若，则点P的位置为（　　）
A．在弧上 B．在弧上 C．在弧上 D．在弧上
6．如图，在中，，点D是半径为4的上一动点，点M是的中点，则的最大值是（ ）
A．7 B．6 C． D．
7．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（　　）
A．9 B．10 C．12 D．14
8．圆的半径是一条（　　）
A．直线 B．射线 C．线段
9．已知的半径是，则中最长的弦长是（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法中，正确的是（ ）
A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧
C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦
填空题
11．如图，半径为5的内有一点A，，点P在上，当最大时，的长等于 ．
12．关于“圆的定义”，在我国古代就有记载，战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中，就有“圆，一中同长也”的记载，这句话里的“中”字的意思可以理解为 ．
13．如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点，若，那么 ．
14．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最小值是 ．
15．在矩形中，，点M是平面内一动点，且满足，N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是 ．

三、解答题
16．如图,一个运动场是由两个半圆形和一个长为米,宽为米的长方形构成（取）．

(1)求这个运动场的周长是多少米
(2)已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成,塑胶跑道和草坪的面积比为,每平方米塑胶的价格为元,比每平方米草坪的价格高,则购买铺满该运动场所需要的塑胶和草坪的总费用是多少元
17．如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于E，若，求的度数．
18．给出如下定义：在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形 上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形，之间的距离． 已知，在平面直角坐标系中，点

(1)若点
①点到线段 的距离为 ，点 到以线段为直径的圆的距离为 ；
②当线段绕中点旋转时，则点到线段距离的取值范围为 ；
③以为边，在轴下方做矩形，其中平行轴，，当矩形绕着点旋转时，则点到矩形 的距离 的取值范围为 ；
(2)当点在圆心，半径为的圆上运动时，求点到线段的距离的取值范围？
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
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