资源简介

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24.1.2 垂直于弦的直径 学案
（一）学习目标：
1.了解圆心角的概念，理解弦、弧、圆心角定理。
2.感受数学结合、转化、类比的数学方法。
3.体会自主学习带来的成就感。
（二）学习重难点：
学习重点：弦、弧、圆心角定理的应用
学习难点：弦、弧、圆心角定理的应用
阅读课本，识记知识：
1、圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。
2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
进一步可得：一般地，在“直径（或过圆心的直线或线段）、垂直弦、平分弦、平分弧（优弧或劣弧）”几个关系中，只要知道其中两个关系存在，其余关系也存在。不过有个特例，如果被平分的弦也是直径，则不一定存在上述关系。
3、常用此知识点进行一类计算题：在弦长、弦心距、半径三个量中，只需知道其中任意两个，都可求出第三个，此时需构造Rt△，利用勾股定理求解．
特别注意右图形的运用。常作辅助线：弦心距。
利用弦的垂直平分线可以确定圆心。
【例1】如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图：
(1)过点A作⊙O的直径AD；
(2)过点B作⊙O的半径；
(3)过点C作⊙O的弦．
【详解】（1）如图所示，作射线，交于点，则线段即为的直径；
（2）如图所示，连接，线段即为所求；
（3）如图所示，连接，线段即为所求的一条弦（答案不唯一）．
【例2】 绍兴是著名的“桥乡”，其中有一座美丽的圆弧形石拱桥——古纤道太平桥（如图），已知桥拱的顶部C距水面的距离为，桥弧所在的圆的半径为，则水面的宽度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，熟练掌握定理，准确计算是解题的关键．
【详解】如图，连接,
∵，，，
∴，，
∴,
∴,
故选A．
选择题
1．如图，为的直径，弦于E，，，则的值是( )
A．13 B．20 C．26 D．28
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，设圆的半径为，则，由垂径定理可得， ，中由勾股定理建立方程求解即可；
【详解】如图，连接，
设圆的半径为，则，
由垂径定理可得，，
中，，
，
解得：，，
，
故选：C．
2．如图，是一个底部呈球形的蒸馏瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
由垂径定理得，再由勾股定理得,进而完成解答．
【详解】解：由题意得：，
∴，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
∴截面圆中弦AB的长为．
故选：C．
3．下列命题错误的有（ ）个
A．弧长相等的两段弧是等弧；
B．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；
C．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
D．如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题根据等弧的定义、垂径定理、圆的对称性以及四点共圆的判定逐项判断即可．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，弧长相等的两段弧是等弧，故A错误，符合题意．
B、过弦（弦不能是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，故B 错误，符合题意．
C、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故C错误，符合题意．
D、如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上，D正确，不符合题意．
综上所述，符合题意的总共有3个，
故选：C．
4．如图点在圆上，点在圆内，，则圆的半径为（ ）
A．8 B．10 C． D．
【答案】C
【分析】根据题意过点作交于点，连接，设，；利用垂径定理及矩形性质在和中应用勾股定理列方程解出的值，继而得到本题答案．
【详解】解：过点作交于点，连接，
∵点在圆上，，
∴，
∵
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴在中应用勾股定理得：
在中应用勾股定理得：，
∵，
∴，解得：，
∴圆的半径为：，
故选：C．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解一元一次方程，矩形性质．
5．如图，在半径为5的中，、是互相垂直的两条弦，垂足为，且，则的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】作于，于，连接，，由垂径定理和勾股定理求得，再推出四边形是正方形，求得正方形对角线的长即可得到答案．
【详解】解：作于，于，连接，，
由垂径定理可知，，，
，
由勾股定理得：，，
弦、互相垂直，
，
于，于，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的和正方形的判定，掌握圆的性质是解题关键．
6．如图，以 为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与 轴交于两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识连接， 作 ，连接，可知点在以为直径的圆上移动，当点在的延长线上时，的长最小，根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出，即可求解，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
【详解】连接， 作 ，连接，
，
∴，
∵为圆心，半径为，
∴，，
在中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴点在以为直径的圆上移动，
当点在的延长线上时，的长最小，最小值为，
故选：．
7．“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是：“如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长”．依题意，长为（ ）

A．寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识点，连接，设圆的半径是x寸，在中，寸，，在中利用勾股定理即可列方程求得半径，进而求得直径的长，正确作出辅助线是关键．
【详解】连接，设圆的半径是x寸，
在中，寸，，
∵，
则，
解得：，
则（寸）．
故选：D．

8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．2米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．连接交于点．利用垂径定理以及勾股定理求出，可得结论．
【详解】解：连接交于点．
由题意，
∴（米），
在中，（米），
∴（米），
故选：C．
9．如图，的直径为，，则过点弦的长可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理的应用．根据题意过点作，求出此时的长度即为最短弦长，再逐个将选项和最短弦长比较即可得到本题答案．
【详解】解：过点作，连接，

∵的直径为，，
∴，
在中应用勾股定理，
∴，
∴，
∴此时为最短弦长，即，
最长的弦为直径，故，
∵，故A选项不符合题意；
，故B选项符合题意；
，故C选项不符合题意；
，故D选项不符合题意，
故选：B．
10．如图，是的内接正三角形，弦过的中点，且，若，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，设与交于点G，由于，且D是中点，易得是的中位线，即；易知是边三角形，可过C作的垂线，交于M，交于N；然后证，利用勾股定理求出，易得，再利用勾股定理求出，即可求得的长．
【详解】如图，连接，设与交于点G，过C作的垂线，交于M，交于N；
，
．
根据圆和等边三角形的性质知：必过点O．
∵D是的中点，
是的中位线，
；
是等边三角形，，
；
，由垂径定理得：，
．
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形外接圆与外心，等边三角形的性质、垂径定理、三角形中位线定理、相交弦定理等知识，能够证得的数量关系是解答此题的关键．
填空题
11．如图，某桥拱可以近似地看作半径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，则桥拱离路面最大距离为 m．
【答案】50
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，先由垂径定理得再由勾股定理求出然后求出的长即可．
【详解】解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，如图所示：
则
∴，
∴，
即桥拱离路面最大距离为，
故答案为：50．
12．如图，某地新建一座石拱桥，桥拱是圆弧形，它的跨度为，拱高为， 则桥拱所在圆的半径长为
【答案】/50米
【分析】此题考查垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
观察图形，根据已知以及垂径定理可得；然后再在中利用勾股定理求出的长，即可解答．
【详解】解：，，
，
在中，
，
．
桥拱所在圆的半径长为：．
故答案为：．
13．如图，在中，半径垂直弦于点D，若，，则的长为 ．
【答案】2
【分析】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解本题的关键．连接，由垂直，求出的长，在直角三角形中，利用垂径定理求出的长，即可确定出的长．
【详解】解：连接，
在中，半径垂直弦于点D， ，
，
，
，
在直角中，，
，
故答案为：2．
14．如图，抛物线过点，，，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，以为直径的圆交直线于点，，则的值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，垂径定理及勾股定理，此题首先要正确分析出各点的坐标，然后根据两点的坐标进行计算．
根据题意，G为直径的中点，连接，过G点作于H．知，分别求出即可．
【详解】解：由题意得：
抛物线的对称轴为直线，
，
∴D点坐标为，
,
，，
,
如图，G为直径的中点，连接，过G点作于H．
则,
则,
．
故答案为：3．
15．如图，在中是直径，，，，那么的长等于 ．

【答案】
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理和所对的直角边等于斜边的一半，根据，得出，结合同弧所对的圆周角等于圆心角一半得到，推出，再结合所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，即可求解．
【详解】解：记于点，

中是直径，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题
16．如图，是的直径，弦于点，，．求的半径．

【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接， 设的半径为，由垂径定理可得，由勾股定理可得方程，解方程即可求解，由勾股定理得到方程是解题的关键．
【详解】解：连接， 设的半径为，

∵是的直径，，
∴，
在中，，
由勾股定理，得，
即，
解得 ，
∴的半径为．
17．如图，点P是内一定点．
(1)过点P作弦，使点P是的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若的半径为10，，
①求过点P的弦的长度m范围；
②过点P的弦中，长度为整数的弦有 条．
【答案】(1)见解析
(2)①；②8
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理以及作图；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
（1）连接并延长，过点P作即可；
（2）①过点P的所有弦中，直径最长为20，与垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出，即可得出答案；②过P点最长的弦为直径20，最短的弦16，长度为17、18、19的弦有2条，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图1，连接并延长，过点P作，则弦即为所求；
（2）解：①过点P的所有弦中，直径最长为20，与垂直的弦最短，
连接，如图2所示：
，
，
，
∴过点P的弦的长度m范围为；
②∵过P点最长的弦为直径20，最短的弦16，
∴长度为17、18、19的弦各有两条，
∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有8条，
故答案为：8．
18．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和点C给出如下定义：若点C在弦的垂直平分线上，且点C关于直线的对称点在上，则称点C是弦的“关联点”．
(1)如图，点，．在点，，，中，弦的“关联点”是______；
(2)若点是弦的“关联点”，直接写出的长；
(3)已知点，．对于线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”．记的长为t，当点S在线段上运动时，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）由点坐标可知弦的垂直平分线为轴，根据新定义求出各点关于弦对称的点坐标，然后根据是否在上，进行判断作答即可；
（2）由垂径定理可知，弦的垂直平分线过圆心，则为弦的垂直平分线，点关于直线的对称点为或，然后作图，构造直角三角形，利用勾股定理，垂径定理求解即可；
（3）由题意知，分在内，在上和外部，两种情况；①如图，当在内，的交点为，关于对称，连接，由题意知，，则，，，则，由勾股定理得，，如图，作于，根据，求得，则，，由勾股定理得，，确定的取值范围，进而可得的取值范围；②如图，当在上和外部，同理（3）①，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴弦的垂直平分线为轴，
∴关于直线对称的点坐标为，在上，即是“关联点”；
关于直线对称的点坐标为，不在上，即不是“关联点”；
不在弦的垂直平分线上，即不是“关联点”；
关于直线对称的点坐标为，在上，即是“关联点”；
故答案为：，；
（2）解：由垂径定理可知，弦的垂直平分线过圆心，
∵点是弦的 “关联点”，
∴为弦的垂直平分线，
∴点关于直线的对称点为或，
当对称点为时，直线为，如图1，线段，
则，，
由勾股定理得，，
∴；
当对称点为时，直线为，如图1，线段，
则，，
由勾股定理得，，
∴；
综上所述，的长为或；
（3）解：由题意知，分在内，在上和外部，两种情况；
①如图，当在内，的交点为，关于对称，连接，
由题意知，，则，，，
∴，
由勾股定理得，，
如图，作于，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，即；
②如图，当在上和外部，的交点为，关于对称，连接，
同理（3）①可得，由题意知，，，，
∴，
由勾股定理得，，
∴，即；
综上所述，t的取值范围为．
【点睛】本题考查了垂径定理，轴对称的性质，中点坐标，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，轴对称的性质，中点坐标，勾股定理，理解题意联系所学知识是解题的关键．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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24.1.2 垂直于弦的直径 学案
（一）学习目标：
1.了解圆心角的概念，理解弦、弧、圆心角定理。
2.感受数学结合、转化、类比的数学方法。
3.体会自主学习带来的成就感。
（二）学习重难点：
学习重点：弦、弧、圆心角定理的应用
学习难点：弦、弧、圆心角定理的应用
阅读课本，识记知识：
1、圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。
2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
进一步可得：一般地，在“直径（或过圆心的直线或线段）、垂直弦、平分弦、平分弧（优弧或劣弧）”几个关系中，只要知道其中两个关系存在，其余关系也存在。不过有个特例，如果被平分的弦也是直径，则不一定存在上述关系。
3、常用此知识点进行一类计算题：在弦长、弦心距、半径三个量中，只需知道其中任意两个，都可求出第三个，此时需构造Rt△，利用勾股定理求解．
特别注意右图形的运用。常作辅助线：弦心距。
利用弦的垂直平分线可以确定圆心。
【例1】如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图：
(1)过点A作⊙O的直径AD；
(2)过点B作⊙O的半径；
(3)过点C作⊙O的弦．
【详解】（1）如图所示，作射线，交于点，则线段即为的直径；
（2）如图所示，连接，线段即为所求；
（3）如图所示，连接，线段即为所求的一条弦（答案不唯一）．
【例2】 绍兴是著名的“桥乡”，其中有一座美丽的圆弧形石拱桥——古纤道太平桥（如图），已知桥拱的顶部C距水面的距离为，桥弧所在的圆的半径为，则水面的宽度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，熟练掌握定理，准确计算是解题的关键．
【详解】如图，连接,
∵，，，
∴，，
∴,
∴,
故选A．
选择题
1．如图，为的直径，弦于E，，，则的值是( )
A．13 B．20 C．26 D．28
2．如图，是一个底部呈球形的蒸馏瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题错误的有（ ）个
A．弧长相等的两段弧是等弧；
B．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；
C．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
D．如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图点在圆上，点在圆内，，则圆的半径为（ ）
A．8 B．10 C． D．
5．如图，在半径为5的中，、是互相垂直的两条弦，垂足为，且，则的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．
6．如图，以 为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与 轴交于两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是：“如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长”．依题意，长为（ ）

A．寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸
8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．2米 C．米 D．米
9．如图，的直径为，，则过点弦的长可能是（ ）

A． B． C． D．
10．如图，是的内接正三角形，弦过的中点，且，若，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．
填空题
11．如图，某桥拱可以近似地看作半径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，则桥拱离路面最大距离为 m．
12．如图，某地新建一座石拱桥，桥拱是圆弧形，它的跨度为，拱高为， 则桥拱所在圆的半径长为
13．如图，在中，半径垂直弦于点D，若，，则的长为 ．
14．如图，抛物线过点，，，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，以为直径的圆交直线于点，，则的值是 ．
15．如图，在中是直径，，，，那么的长等于 ．

三、解答题
16．如图，是的直径，弦于点，，．求的半径．

17．如图，点P是内一定点．
(1)过点P作弦，使点P是的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若的半径为10，，
①求过点P的弦的长度m范围；
②过点P的弦中，长度为整数的弦有 条．
18．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和点C给出如下定义：若点C在弦的垂直平分线上，且点C关于直线的对称点在上，则称点C是弦的“关联点”．
(1)如图，点，．在点，，，中，弦的“关联点”是______；
(2)若点是弦的“关联点”，直接写出的长；
(3)已知点，．对于线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”．记的长为t，当点S在线段上运动时，直接写出t的取值范围．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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