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24.1.3 弧、弧、圆心角 学案
（一）学习目标：
1.了解圆心角的概念，理解弦、弧、圆心角定理。
2.感受数学结合、转化、类比的数学方法。
3.体会自主学习带来的成就感。
（二）学习重难点：
学习重点：弦、弧、圆心角定理的应用
学习难点：弦、弧、圆心角定理的应用
阅读课本，识记知识：
1.弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
　　直径：经过圆心的弦叫做直径.
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
要点诠释：
　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
2.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
要点诠释：
　　①半圆是弧，而弧不一定是半圆；
　　②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
3.圆心角定义
　　如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.同心圆与等圆
　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
5.等弧
　　在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
要点诠释：
　　①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
②圆中两平行弦所夹的弧相等.
【例1】（1）图①中有 条弧，分别为 ；
（2）写出图②中的一个半圆 ；劣弧： ；优弧： ．
【答案】 2； , ； ； ； ．
【详解】解：（1）图①中有2条弧，分别为 , ；
故答案为：2， , ；
（2）写出图②中的一个半圆 ；
劣弧： ；优弧：．
故答案为： ； ；．
【例2】下列说法中，结论错误的是（　　）
A．直径相等的两个圆是等圆
B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆中最长的弦是直径
D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
【答案】B.
提示：A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；
B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；
C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；
D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，
故选：B．
选择题
1．如图，是⊙的直径，若弧AC所对的圆心角的度数是，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系、等边对等角、三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．根据等边对等角，得出，即，再根据三角形的内角和定理，即可得出的度数．
【详解】解：∵所对的圆心角的度数是；
∴；
∵；
∴；
故选：C．
2．列说法正确的个数有（ ）
①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④等弧所对的圆心角相等；⑤如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了与圆有关的概念，圆心角、弧、弦的关系，根据半圆的定义判断①；根据圆的面积公式和等圆的定义判断②；根据圆心角、弧、弦的关系判断③④⑤．
【详解】解：①半圆是弧，原说法正确，符合题意；
②面积相等的两个圆是等圆，原说法正确，符合题意；
③所对的弦长相等的两条弧不一定是等弧，例如同一条弦所对的优弧和劣弧不是等弧，原说法错误，不符合题意；
④等弧所对的圆心角相等，原说法正确，符合题意；
⑤在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等，原说法错误，不符合题意；
∴说法正确的有3个，
故选C．
3．如图，经过五边形的四个顶点，若弧等于，，，则弧的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，多边形内角与外角，连接，由半径相等得到，，都为等腰三角形，根据，，求出与的度数，根据的度数确定出度数，进而求出的度数，即可确定出的度数．
【详解】解：连接，

∵，
∴，，，皆为等腰三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则度数为．
故选：B．
4．如图所示，是的直径，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了弧与圆心角的关系．由，可求得，继而可求得的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
故选：A．
5．下列有关圆的一些结论，其中正确的是（　　）
A．任意三点可以确定一个圆
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
D．圆内接四边形对角互补
【答案】D
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，垂径定理的推论，半圆与弧的定义，圆内接四边形的性质，熟练掌握定义与性质是解题的关键．根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质进行判断即可得到正确结论．
【详解】解：A、不共线的三点确定一个圆，故本选项不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项不符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项不符合题意；
D、圆内接四边形对角互补，故本选项符合题意．
故选：D．
6．如图，已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．若，求的长为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，弧，弦，圆心角定理，以及勾股定理．连接，由垂径定理、等弦得到等弧，根据同圆中弧与圆心角的关系可求出，，通过含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求出．
【详解】解：如图，连接，
又，
即，
，
，
∴，，
∴，，，
∵，即，
解得，
∴，
故选：C．
7．如图，是的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，的直径为10，则长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理；根据垂径定理求出，得到，证明，可得，利用勾股定理求出的长，再求出长，即可得到答案．
【详解】解：连接，如图：
，是的直径，
，，
为的中点，
，
，
，
的直径为10，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
故选：C．
8．如图所示，在中，，那么（ ）
A． B． C． D．无法比较
【答案】B
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和三角形的三边关系，在圆上截取，再根据“根据三角形的三边关系”可解，熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系和三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：如图，
在圆上截取，
∵，
∴，
∴，
根据三角形的三边关系知，，
∴，
故选：．
9．如图，在中，是直径，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系由在同圆中等弧对的圆心角相等得，即可求解．
【详解】解：∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B
10．如图所示，在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了同弧所对的弦相等，三角形内角和定理．先证明，然后根据三角形内角和计算的度数．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∴．
故选：B．
填空题
11．如图，是直径，点C是上一点，且，点D是的中点，点P是直径上一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根据轴对称求线段和最小，圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等，确定最小值是解题的关键．作点D关于的对称点，则的最小值是，再根据的边角关系求出解即可．
【详解】解：作点D关于的对称点，连接，，，，．
可知，根据“两点之间线段最短”得当C，P，三点共线时，最小，即．
∵点C在上，，点D是的中点，
∴，
∵点D关于的对称点，
∴
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
12．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上一动点，的半径是2，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆心角的性质，轴对称的性质，勾股定理，解题的关键是作点A关于的对称点，连接交于P，则点P即是所求作的点，根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接交于P，则点P即是所求作的点，

根据轴对称的性质可知，，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴ 此时最小，即最小，
∴的最小值为的长，
∵A是半圆上一个三等分点，
∴，
又∵点B是的中点，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴的最小值是．
故答案为：．
13．如图，已知是的两条直径，且，过点作交于点，则弧的度数为 ．

【答案】/80度
【分析】本题考查平行线的性质，圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识点，
连接，根据平行线的性质求出，根据圆周角定理求出，再求出的度数，即可求出本题答案．
【详解】解：连接，

∵，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴的度数是，
∵是的两条直径，
∴的度数是，
∴的度数是，
故答案为：．
14．在圆中，与半径长度相等的弦所对的弧的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，等边三角形的性质与判定，先证明是等边三角形，得到，再根据弧与弦之间的关系求解即可．
【详解】解：如图所示，在圆O中，弦，
∴是等边三角形，
∴，
∴劣弧所对的圆心角度数为，优弧所对的圆心角度数为，
故答案为：或．
15．如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则 ．（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查垂径定理，弧、弦、圆心角的关系等，过点作交于点，先根据垂径定理证明，，根据等弧所对的圆心角相等可得，再证，可得，进而推出．
【详解】解：过点作交于点，连接．
，，
，
又，
，
在中，，
，
，
，
即，
故答案为：．
三、解答题
16．如图，是的直径，点C，D是上的两点，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．
先根据得出，再由平行线的性质得出，故可得出，据此即可证明结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
17．如图，在⊙O中，，于点D，于点E．
求证：；
【答案】见解析
【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，角平分线的判定定理．根据题意，得到是的角平分线，进而得到，即可得到．掌握到角两边的距离相等的点在角平分线上，是解题的关键．
【详解】证明：如图，连接，
∵，，，
∴是的角平分线，
∴，
∴．
18．如图，已知：是的两条弦，且，求证：．

【答案】见解析
【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可．
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴，
∴．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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24.1.3 弧、弧、圆心角 学案
（一）学习目标：
1.了解圆心角的概念，理解弦、弧、圆心角定理。
2.感受数学结合、转化、类比的数学方法。
3.体会自主学习带来的成就感。
（二）学习重难点：
学习重点：弦、弧、圆心角定理的应用
学习难点：弦、弧、圆心角定理的应用
阅读课本，识记知识：
1.弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
　　直径：经过圆心的弦叫做直径.
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
要点诠释：
　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
2.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
要点诠释：
　　①半圆是弧，而弧不一定是半圆；
　　②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
3.圆心角定义
　　如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.同心圆与等圆
　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
5.等弧
　　在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
要点诠释：
　　①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
②圆中两平行弦所夹的弧相等.
【例1】（1）图①中有 条弧，分别为 ；
（2）写出图②中的一个半圆 ；劣弧： ；优弧： ．
【答案】 2； , ； ； ； ．
【详解】解：（1）图①中有2条弧，分别为 , ；
故答案为：2， , ；
（2）写出图②中的一个半圆 ；
劣弧： ；优弧：．
故答案为： ； ；．
【例2】下列说法中，结论错误的是（　　）
A．直径相等的两个圆是等圆
B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆中最长的弦是直径
D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
【答案】B.
提示：A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；
B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；
C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；
D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，
故选：B．
选择题
1．如图，是⊙的直径，若弧AC所对的圆心角的度数是，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．列说法正确的个数有（ ）
①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④等弧所对的圆心角相等；⑤如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，经过五边形的四个顶点，若弧等于，，，则弧的度数为（ ）

A． B． C． D．
4．如图所示，是的直径，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．下列有关圆的一些结论，其中正确的是（　　）
A．任意三点可以确定一个圆
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
D．圆内接四边形对角互补
6．如图，已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．若，求的长为（ ）
A． B．1 C． D．
7．如图，是的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，的直径为10，则长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图所示，在中，，那么（ ）
A． B． C． D．无法比较
9．如图，在中，是直径，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，在中，，则（ ）
A． B． C． D．
填空题
11．如图，是直径，点C是上一点，且，点D是的中点，点P是直径上一动点，则的最小值为 ．
12．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上一动点，的半径是2，则的最小值为 ．
13．如图，已知是的两条直径，且，过点作交于点，则弧的度数为 ．

14．在圆中，与半径长度相等的弦所对的弧的度数为 ．
15．如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则 ．（填“”“”或“”）
三、解答题
16．如图，是的直径，点C，D是上的两点，且，求证：．
17．如图，在⊙O中，，于点D，于点E．
求证：；
18．如图，已知：是的两条弦，且，求证：．

（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
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