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2024年内蒙古包头市中考数学试卷
一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
1．计算所得结果是（　　）
A．3 B． C．3 D．±3
2．若m，n互为倒数，且满足m+mn＝3，则n的值为（　　）
A． B． C．2 D．4
3．如图，正方形ABCD边长为2，以AB所在直线为轴，将正方形ABCD旋转一周，所得圆柱的主视图的面积为（　　）
A．8 B．4 C．8π D．4π
4．如图，直线AB∥CD，点E在直线AB上，射线EF交直线CD于点G，则图中与∠AEF互补的角有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》4个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取1个，则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（　　）
A．y＝（x+1）2﹣3 B．y＝（x+1）2﹣2
C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2﹣2
7．若2m﹣1，m，4﹣m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则m的取值范围是（　　）
A．m＜2 B．m＜1 C．1＜m＜2 D．1＜m＜
8．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝80°，半径OA＝3，C是上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD＝DC，连接BD．若BD⊥OC，则的长为（　　）
A． B． C． D．π
9．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O（0，0），A（1，2），B（3，3），C（5，0），则四边形OABC的面积为（　　）
A．14 B．11 C．10 D．9
10．如图，在矩形ABCD中，E，F是边BC上两点，且BE＝EF＝FC，连接DE，AF，DE与AF相交于点G，连接BG．若AB＝4，BC＝6，则sin∠GBF的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分。请将答案填在答题卡上对应的横线上。
11．计算：+（﹣1）2024＝　 　．
12．若一个n边形的内角和是900°，则n＝　 　．
13．在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式 　 　．
14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接OA，OB．若∠AOB＝140°，∠BCP＝35°，则∠ADC的度数为 　 　．
15．若反比例函数y1＝，y2＝﹣，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最大值是b，则ab＝　 　．
16．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE．若CE＝AF，则DE的长为 　 　．
三、解答题：本大题共有7小题，共72分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置。
17．（8分）（1）先化简，再求值：（x+1）2﹣2（x+1），其中x＝2．
（2）解方程：﹣2＝．
18．（8分）《国家学生体质健康标准（2014年修订）》将九年级男生的立定跳远测试成绩分为四个等级：优秀（x≥240），良好（225≤x＜240），及格（185≤x＜225），不及格（x＜185），其中x表示测试成绩（单位：cm）．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况，精准找出差距，进行科学合理的工作规划，整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息如下：
a．本校测试成绩频数（人数）分布表：
等级 优秀 良好 及格 不及格
频数（人数） 40 70 60 30
b．本校测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
222.5 228 p 85%
c．本校所在区县测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
218.7 223 23% 91%
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）求出p的值；
（2）本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是230cm，请你计算出乙同学的测试成绩是多少？
（3）请你结合该校所在区县测试成绩，从平均数、中位数、优秀率和及格率四个方面中任选两个，对该校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况做出评价，并为该校提出一条合理化建议．
19．（8分）如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼AB的高度”的实践活动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）．
（1）请你设计测量教学楼AB的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标证所画的图形上（测出的距离用m，n等表示，测出的角用α，β等表示），并对设计进行说明；
（2）根据你测量的数据，计算教学楼AB的高度（用字母表示）．
20．（11分）如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y（单位：cm）随着碗的数量x（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据：
x/个 1 2 3 4
y/cm 6 8.4 10.8 13.2
（1）依据小亮测量的数据，写出y与x之间的函数表达式，并说明理由；
（2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8cm，求此时碗的数量最多为多少个？
21．（12分）如图，AB是⊙O的直径，BC，BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点（OE＞BE），连接OC，CE，且∠BOC＝2∠BCE．
（1）如图1，若BE＝1，CE＝，求⊙O的半径；
（2）如图2，若BD＝2OE，求证：BD∥OC．（请用两种证法解答）
22．（12分）如图，在 ABCD中，∠ABC为锐角，点E在边AD上，连接BE，CE，且S△ABE＝S△DCE．
（1）如图1，若F是边BC的中点，连接EF，对角线AC分别与BE，EF相交于点G，H．
①求证：H是AC的中点；
②求AG：GH：HC；
（2）如图2，BE的延长线与CD的延长线相交于点M，连接AM，CE的延长线与AM相交于点N．试探究线段AM与线段AN之间的数量关系，并证明你的结论．
23．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴相交于A（1，0），B两点（点A在点B左侧），顶点为M（2，d），连接AM．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若C是y轴正半轴上一点，连接AC，CM．当点C的坐标为（0，）时，求证：∠ACM＝∠BAM；
（3）如图2，连接BM，将△ABM沿x轴折叠，折叠后点M落在第四象限的点M′处，过点B的直线与线段AM′相交于点D，与y轴负半轴相交于点E．当时，3S△ABD与2S△M′BD是否相等？请说明理由．
参考答案
一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
1．解：
＝
＝
＝，
故答案为：C．
2．解：∵m与n互为倒数，
∴mn＝1，
∵m+mn＝3，
∴m＝2，
∴n＝．
故选：B．
3．解：由已知可得，主视图为长为4，宽为2的矩形，
所以圆柱的主视图的面积为4×2＝8．
故选：A．
4．解：∵∠AEF+∠FEB＝180°，
∴∠AEF与∠FEB互补，
∵AB∥CD，
∴∠FGD＝∠FEB，∠CGE＝∠FEB，
∴∠AEF与∠FGD、∠CGE互补，
故选：C．
5．解：记《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中甲、乙两名同学恰好抽到同一个阅读项目的结果有4种，
∴他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是＝，
故选：D．
6．解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1．
将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为y＝（x+1）2﹣3，
故选：A．
7．解：由题意可得2m﹣1＜m＜4﹣m，
即，
解得：m＜1，
故选：B．
8．解：如图，连接BC，
∵OD＝DC，BD⊥OC，
∴BC＝OB，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∵∠AOB＝80°，
∴∠AOC＝20°，
∴的长为＝．
故选：B．
9．解：过A点作AE⊥x轴于E，作BF⊥x轴于F，如图，
四边形OABC的面积＝S△BCF+S梯形ABFE+S△AOE
＝×1×2+×（3+2）×（3﹣1）+×（5﹣3）×3
＝9，
故选：D．
10．解：过G作GH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，AD∥BC，
∵BC＝6，BE＝EF＝FC，
∴BE＝EF＝CF＝2，
∴BF＝CE＝4，
∴AB＝BF＝CE＝DC＝4，
∴△ABF和△DCE是等腰直角三角形，
∴∠AFE＝∠DEC＝45°，
∴△EGF是等腰直角三角形，
∴GH＝EH＝，
∴BH＝3，
∴BG＝＝，
∴sin∠GBF＝＝＝，
故选：A．
二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分。请将答案填在答题卡上对应的横线上。
11．解：原式＝2+1＝3．
故答案为：3．
12．解：这个多边形的边数是n，
则：（n﹣2） 180°＝900°，
解得n＝7．
故答案为：7．
13．解：令一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），
因为一次函数的图象经过第一、二、三象限，
所以k＞0，b＞0，
则一次函数的表达式可以是：y＝x+1．
故答案为：y＝x+1（答案不唯一）．
14．解：连接OC，
∵点C为切点，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP＝90°，
∵∠BCP＝35°，
∴∠OCB＝90°﹣∠BCP＝55°，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OCB﹣∠OBC＝70°，
∵∠AOB＝140°，
∴∠AOC＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC＝150°，
∴∠ABC＝∠AOC＝75°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝105°．
故答案为：105°．
15．解：∵反比例函数y1＝，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，
∴y随x增大而减小，当x＝1时，函数最大值a＝2，
∵反比例函数y2＝﹣，当1≤x≤3时，函数y2的最大值是b，
∴y随x增大而增大，当x＝3时，函数最大值b＝﹣1，
∴ab＝2﹣1＝．
故答案为：．
16．解：如图，连接BD交AC于点O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ADC＝∠ABC＝60°，AB＝BC＝CD＝AD＝6，
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，
∴∠CAB＝60°，
∵EF⊥AF，
∴∠AFE＝90°，∠AEF＝30°，
∴AE＝2AF，
∵CE＝AF，
∴AE＝3EC，
∴AE＝4，EC＝2，
∴OA＝OC＝3，OD＝AO＝3，
∴OE＝AE﹣OA＝4﹣3＝1，
∴DE＝＝＝2．
故答案为：2．
三、解答题：本大题共有7小题，共72分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置。
17．解：（1）（x+1）2﹣2（x+1）
＝x2+2x+1﹣2x﹣2
＝x2﹣1，
当x＝2时，
原式＝8﹣1＝7；
（2）﹣2＝，
x﹣2﹣2（x﹣4）＝x，
去括号，得x﹣2﹣2x+8＝x，
移项、合并同类项，得﹣2x＝﹣6．
化系数为1，得x＝3，
检验：当x＝3时，x﹣4≠0，
∴x＝3是原方程的根．
18．解：（1）p＝×100%＝20%；
（2）设乙同学的成绩为x cm，
∵中位数为228，
∴＝228，
解得x＝226，
答：乙同学的测试成绩是226cm；
（3）从平均数来看，该校九年级全体男生立定跳远测试高于全县平均数，从优秀率来看，该校九年级全体男生立定跳远测试低于全县的优秀率，所以要加强训练强度，努力提高优秀率．
19．解：（1）如图：在地面上取C，测量BC＝m，测量∠ACB＝α，
根据tanα＝，
即可得出AB的长度．
（2）∵∠ABC＝90°，
∴tanα＝，
∴AB＝BC×tanα＝mtanα．
20．解：（1）由表中的数据，x的增加量不变，
∴y是x的一次函数，
设y＝kx+b，
由题意得：，
解得：，
∴y与x之间的函数表达式为y＝2.4x+3.6；
（2）设碗的数量有x个，
则：2.4x+3.6≤28.8，
解得：x≤10.5，
∴x的最大整数解为10，
答：碗的数量最多为10个．
21．（1）解：如图1中，过点O作OH⊥BC于点H．
∵OC＝OB，OH⊥BC，
∴∠COH＝∠BOH，CH＝BH，
∵∠BOC＝2∠BCE，
∴∠BOH＝∠BCE，
∵∠BOH+∠OBH＝90°，
∴∠BCE+∠OBH＝90°，
∴∠CEB＝90°，
∴BC＝＝＝，
∴CH＝BH＝，
∵cos∠OBH＝＝，
∴＝，
∴OB＝3，
∴⊙O的半径为3．
（2）证法一：如图2中，过点O作OK⊥BD于点K，则BK＝DK，
∵BD＝2OE，
∴OE＝BK，
∵∠CEO＝∠OKB＝90°，OC＝OB，
∴Rt△OEC≌Rt△BKO（HL），
∴∠COE＝∠OBK，
∴OC∥BD；
证法二：如图2中，过点O作OK⊥BD于点K，则BK＝DK，
∵BD＝2OE，
∴OE＝BK，
∵cos∠COE＝，cos∠OBK＝，OC＝OB，
∴cos∠COE＝cos∠OBK，
∴∠COE＝∠OBK，
∴OC∥BD；
22．（1）①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD和BC之间是等距的，且∠EAH＝∠FCH，
∵S△ABE＝S△CDE，
∴AE＝DE＝AD，
∵F是BC中点，
∴CF＝BF＝BC，
∴CF＝AE，
在△AEH和△CFH中，
，
∴△AEH≌△CFH（AAS），
∴AH＝CH，
∴H是AC中点．
②解：∵∠EAH＝∠FCH，∠AGE＝∠CGB，
∴△AGE∽△CGB，
∴，
设AG＝2a，则CG＝4a，
∴AC＝6a，
∴AH＝CH＝3a，
∴GH＝AH﹣AG＝a，
∴AG：GH：HC＝2a：a：3a＝2：1：3．
（2）AM＝3AN．
证明：过M作MQ∥BC交CN延长线于点Q，
∵ED∥BC，
∴，
∴EM＝BM＝BE，
∵MQ∥BC，
∴∠MQE＝∠BCE，
∵∠MEQ＝∠BEC，EM＝BE，
∴△MQE≌△BCE（AAS），
∴MQ＝BC，
∵MQ∥AD，
∴∠MQE＝∠AEN，
∵∠MNQ＝∠ANE，
∴△MQN∽△AEN，
∴，
∴MN＝2AN，
∴AM＝MN+AN＝3AN．
23．（1）解：∵顶点为M（2，d），
∴﹣＝2，
∴b＝8，
∴y＝﹣2x2+8x+c，
将点A（1，0）代入y＝﹣2x2+8x+c，
∴﹣2+8+c＝0，
解得c＝﹣6，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+8x﹣6；
（2）证明：∵y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2，
∴M（2，2），
过点M作MN⊥x轴交于点N，
∵A（1，0），C（0，），
∴AC＝，AM＝，CM＝，
∵CM2＝AC2+AM2，
∴△ACM是直角三角形，且∠CAM＝90°，
∴tan∠ACM＝2，
在Rt△AMN中，tan∠MAB＝2，
∴∠ACM＝∠BAM；
（3）解：3S△ABD＝2S△M′BD，理由如下：
∵M（2，2），
∴M'（2，﹣2），
过点D作DH⊥x轴交于H点，
∵OE∥DH，
∴＝，
当y＝0时，﹣2x2+8x﹣6＝0，
解得x＝1或x＝3，
∴B（3，0），
∴＝，
解得xD＝，
设直线AM'的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴直线AM'的解析式为y＝﹣2x+2，
∴D（，﹣），
∴AD＝，DM'＝，
设B点到AM'的距离为h，
∴3S△ABD＝3×h＝h，2S△M′BD＝2×h＝h，
∴3S△ABD＝2S△M′BD．

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