资源简介

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8.10 与球有关的切、接问题
思维导图
知识点总结
研究与球有关的切、接问题，既要运用多面体、旋转体的知识，又要运用球的几何性质，要特别注意多面体、旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系，解决此类问题的关键是确定球心.
知识点一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
知识点二：正四面体外接球
如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为.
知识点三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题.
如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以.
知识点四：直棱柱外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
图1 图2 图3
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
知识点五：直棱锥外接球
如图，平面，求外接球半径.
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②.
知识点六：正棱锥外接球
正棱锥外接球半径： .
由此推广：侧棱相等的锥体外接球半径：
知识点七：垂面模型外接球
如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
图1 图2
知识点八：锥体内切球
方法：等体积法，即
典型例题分析
考向一 　外接球
角度1　补形法——存在侧棱与底面垂直
例1 已知三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为(　　)
A.π B.14π
C.56π D.π
答案　B
解析　以线段PA，PB，PC为相邻三条棱的长方体PAB′B－CA′P′C′被平面ABC所截的三棱锥P－ABC符合要求，如图，长方体PAB′B－CA′P′C′与三棱锥P－ABC有相同的外接球，其外接球直径为长方体体对角线PP′，
设外接球的半径为R，
则(2R)2＝PP′2＝PA2＋PB2＋PC2＝12＋22＋32＝14，
则所求球的表面积S＝4πR2＝π·(2R)2＝14π.
角度2　补形法——对棱相等
例2 已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为(　　)
A.π B.π
C.π D.π
答案　A
解析　如图将棱长为1的正四面体B1－ACD1放入正方体ABCD－A1B1C1D1中，且正方体的棱长为1×cos 45°＝，
所以正方体的体对角线AC1＝＝，
所以正方体外接球的半径R＝＝，
所以正方体外接球的体积为πR3＝π×＝π，
因为正四面体的外接球即为正方体的外接球，
所以正四面体的外接球的体积为π.
感悟提升　补形法的解题策略
(1)侧面为直角三角形或正四面体，或对棱均相等的模型，可以放到正方体或长方体中去求解；
(2)直三棱锥补成三棱柱求解.
角度3　截面法
例3 (2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝.连接OO1，
则OO1⊥平面ABC，OO1＝＝＝，
所以三棱锥O－ABC的体积V＝S△ABC·OO1＝××1×1×＝.
感悟提升　与球截面有关的解题策略
(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
(2)作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的.
角度4　定义法
例4 (2023·德州质检)已知四棱锥P－ABCD的侧棱长均相等，其各个顶点都在球O的球面上，AB＝BC，∠ABC＝90°，AD＝2，CD＝2，三棱锥P－ABC的体积为，则球O的表面积为(　　)
A.25π B.
C.32π D.
答案　A
解析　如图，设点P在底面的射影为H，
∵四棱锥P－ABCD的侧棱长均相等，
∴HA＝HB＝HC＝HD，
∴A，B，C，D四点共圆.
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ADC＝90°.
∵AD＝2，CD＝2，
∴AC＝4，∴AB＝BC＝2.
∵三棱锥P－ABC的体积为，
∴S△ABC·PH＝，∴PH＝4，
设球O的半径为R，∴(4－R)2＋22＝R2，
解得R＝，则球O的表面积S＝4πR2＝25π.故选A.
感悟提升　到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可.
训练1 (1)(2023·河南顶级名校联考)四面体的四个顶点都在半径为R1的球O1上，该四面体各棱长都相等，如图①.正方体的八个顶点都在半径为R2的球O2上，如图②.八面体的六个顶点都在半径为R3的球O3上，该八面体各棱长都相等，四边形ABCD是正方形，如图③.设四面体、正方体、八面体的表面积分别为S4，S6，S8.若R1∶R2∶R3＝∶∶，则(　　)
A.S8＞S4＞S6 B.S4＝S8＞S6
C.S4＝S6＜S8 D.S4＝S6＝S8
答案　D
解析　设正四面体的棱长为a4，如图正四面体A′B′C′D′内接于棱长为的正方体内，
则易求R1＝a4，
∴a4＝，∴S4＝4×a＝R；
设正方体的棱长为a6，则2R2＝a6，
∴a6＝，∴S6＝6a＝8R；
设八面体的棱长为a8，其外接球球心为AC的中点，则a8＝R3，
∴S8＝8×a＝4R.
∵R1∶R2∶R3＝∶∶，
∴设R1＝R，R2＝R，R3＝R，
∴S4＝S6＝S8＝8R2.故选D.
(2)(2023·天津模拟)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上.若该棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则外接球的表面积为________.
答案　8π
解析　由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°及余弦定理可得
BC＝＝＝，
所以AC2＋BC2＝AB2，∠ACB＝90°，
所以底面外接圆的圆心为斜边AB的中点.
设△ABC的外接圆半径为r，
则r＝＝1.
又S△ABC＝BC·AC＝××1＝，
所以V柱＝S△ABC·AA1＝，所以AA1＝2，
因为三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，
设其外接球的半径为R，则R2＝r2＋＝12＋12＝2，
所以外接球的表面积S＝4πR2＝4π×2＝8π.
考向二 内切球
例5 (2023·江西大联考)已知四面体SABC的所有棱长为2，球O1是其内切球.若在该四面体中再放入一个球O2，使其与平面SAB，平面SBC，平面SAC以及球O1均相切，则球O2与球O1的半径比值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　如图，设S在平面ABC内的射影为O，R1为球O1的半径，R2为球O2的半径，F，H分别为球O1，球O2与侧面SBC的切点.
在Rt△SAO中，该四面体的高
h＝SO＝＝＝＝＝2.
又四面体的表面积S＝4××(2)2＝12，
则·S·R1＝×3h，解得R1＝，
由＝，得＝，
即＝，
解得R2＝，故＝.故选D.
感悟提升　“切”的问题处理规律
(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决.
(2)体积分割是求内切球半径的常用方法.
训练2 (2023·南京调研)已知正方形ABCD的边长为2，E为边AB的中点，F为边BC的中点，将△AED，△DCF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合于点P，则三棱锥P－DEF的外接球与内切球的表面积比值为(　　)
A.6 B.12
C.24 D.30
答案　C
解析　如图①，依题意可知AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF，
所以PD⊥PE，PF⊥PD，PE⊥PF，如图②.
所以在三棱锥P－DEF中，PD，PE，PF两两垂直，且PE＝PF＝1，PD＝2，
所以三棱锥P－DEF的外接球即为以PD，PE，PF为邻边的长方体的外接球，
所以三棱锥P－DEF的外接球半径R满足
2R＝＝，所以R＝，
则其外接球的表面积为4πR2＝6π.
因为三棱锥P－DEF的表面积为正方形ABCD的面积，
所以S表＝2×2＝4，VP－DEF＝××1×1×2＝.
设三棱锥P－DEF的内切球的半径为r，
所以由S表·r＝VP－DEF，解得r＝，
所以内切球的表面积为4πr2＝，
所以三棱锥P－DEF的外接球与内切球的表面积比值为＝24.故选C.
考向三 双半径单交线公式
若相互垂直的两凸多边形的外接圆半径分别为R1，R2，两外接圆公共弦长为l，则由两凸多边形顶点连接而成的几何体的外接球半径：R＝.
例6 (2023·河南适应性测试)已知三棱锥P－ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝a，且平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥P－ABC的每个顶点都在表面积为的球面上，则a＝________.
答案　或
解析　法一　如图，取AB的中点为D，连接PD，CD，
因为PA＝PB＝a，
所以PD⊥AB.
因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD 平面PAB，
所以PD⊥平面ABC，
同理得CD⊥平面PAB.
设点O1为等边△ABC的外心，过点O1作O1E∥PD，
则O1E⊥平面ABC，
易得直线O1E上任意一点到A，B，C三点的距离相等.
设O2为△PAB的外心，则O2在直线PD上，
过点O2作O2O∥CD，交O1E于点O，
则点O为三棱锥P－ABC外接球的球心，
因为△ABC是边长为2的等边三角形，
所以AB＝2，
又PA＝PB＝a，
所以a＞，PD＝，
sin∠PBD＝＝.
设△PAB的外接圆的半径为r，
则由正弦定理，得2r＝＝，
则r＝，即O2P＝，
所以O2D＝＝.
易知四边形OO1DO2为矩形，
所以OO1＝O2D＝.
由题意可知三棱锥P－ABC外接球的表面积为，
设该外接球的半径为R，则4πR2＝，
所以R＝.
连接OC，则OC＝，
易得O1C＝2××＝2.
在Rt△OO1C中，OO＋O1C2＝OC2，
即＋4＝，
整理得4a4－49a2＋147＝0，
解得a2＝或a2＝7，
所以a＝或a＝.
(注：仿照此解法，可推导出双半径单交线公式)
法二　如图，取AB的中点为D，连接PD，CD，
因为PA＝PB＝a，
所以PD⊥AB.
因为平面PAB⊥平面ABC，
平面PAB∩平面ABC＝AB，PD 平面PAB，
所以PD⊥平面ABC.
同理得CD⊥平面PAB.
设点O1为等边△ABC的外心，过点O1作
O1E∥PD，
则O1E⊥平面ABC，易得直线O1E上任意一点到A，B，C三点的距离相等，
即三棱锥P－ABC外接球的球心O在直线O1E上.
以D为坐标原点，以DB，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
因为△ABC是边长为2的等边三角形，
所以CD＝2×＝3，O1C＝CD＝2，O1D＝CD＝1，
又PA＝PB＝a，
所以a＞，PD＝，
则P(0，0，)，C(0，3，0).
由题意可知三棱锥P－ABC外接球的表面积为，
设该外接球的半径为R，则4πR2＝，
所以R＝.
设O(0，1，z)，连接OP，OC，则OP＝OC＝R，
即＝＝，
解得a＝或a＝.
法三(双半径单交线公式)　设△ABC的外接圆半径为R1，
由正弦定理得2R1＝＝4，故R1＝2.
如图，在△PAB中，D是AB的中点，
易知sin∠PAB＝(a＞)，
设△PAB外接圆的半径为R2，
由正弦定理，得2R2＝＝，
即R2＝.
设三棱锥P－ABC外接球的半径为R，
则4πR2＝，故R2＝，
且平面PAB∩平面ABC＝AB，
由双半径单交线公式得R2＝R＋R－，
即＝4＋－3，
化简得4a4－49a2＋147＝0，
解得a＝或a＝.
基础题型训练
一、单选题
1．若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设正三棱柱底面正三角形的边长为a，由正三棱柱的结构特征确定正三棱柱的高，再计算出其外接球的半径，进而由体积公式求解即可.
【详解】设正三棱柱底面正三角形的边长为a，则正三棱柱的内切球半径等于正三角形的内切圆半
径，则内切球的半径，正三棱柱的高．
设正三角形的外接圆半径为R，易得，
所以外接球的半径．
所以它的外接球与内切球体积之比为．
故选：C
2．三棱锥中，平面，，．过点分别作，交于点，记三棱锥的外接球表面积为，三棱锥的外接球表面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取的中点，的中点，连，，，，证明是三棱锥的外接球的球心，为该球的直径；是三棱锥的外接球的球心，为该球的直径，设，求出，根据球的表面积公式可求出结果.
【详解】取的中点，的中点，连，，，，
因为平面，平面，所以，，，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
在直角三角形中，是斜边的中点，所以，
在直角三角形中，是斜边的中点，所以，
所以是三棱锥的外接球的球心，为该球的直径.
因为，是斜边的中点，所以，
因为， 是斜边的中点，所以，
所以是三棱锥的外接球的球心，为该球的直径.
设，则，
则，，
所以.
故选：B.
3．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球与内切球的研究．其中的一些研究思想启发着后来者的研究方向．已知正四棱锥的外接球半烃为R，内切球半径为r，且两球球心重合，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】正四棱锥的外接球和内接球球心重合，说明其结构特殊，找出结构的特殊性，再计算.
【详解】如图：
设底面正方形ABCD的对角线长为2a，高为h，，正方形的中心为O，外接球的球心为，
则有即，在 中， ① ，②，
以O为原点，建立空间直角坐标系如上图，
则有 ， ，
设平面PCD的一个法向量为 ，则有 ， ，
令 ，则 ，
设向量 与平面PCD的夹角为 ，则 ，
球心 到平面PCD的距离 ，
，由①得即③，
故设，则③可整理成 ，两边平方得 ， ，
由①②得 ；
故选：B.
4．若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】正六棱柱有内切球，则到每个面的距离相等，即，可求内切球的半径，根据可求外接球的半径，代入球的面积公式计算．
【详解】如图：分别为底面中心，为的中点，为的中点
设正六棱柱的底面边长为
若正六棱柱有内切球，则，即内切球的半径
，即外接球的半径
则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为
故选：C．
二、多选题
5．用一个平面去截棱长为1的正方体，则下列结论中正确的是（ ）
A．若该平面过点，则截面的周长为6
B．若该平面过点，则截得的两个几何体的外接球体积相等
C．若该平面过点，则截得的两个几何体的表面积均为
D．若该平面过点，则其截正方体的外接球所得的截面面积不是定值
【答案】BC
【分析】作出过点的截面直接计算可判断A；分析两个几何体的外接球和正方体的外接球的关系可判断B；直接计算两个几何体的表面积可判断C；由过的截面过正方体外接球的球心可判断D.
【详解】若该平面过点，则截面为正三角形，其边长为，则截面的周长为错误；
若该平面过点，则截得的两个几何体的外接球均为正方体的外接球，
故外接球体积相等，B正确；
当该平面过点时，截面为，则截得的两个几何体为相同的三棱柱，
且三棱柱的表面积均为正确；
若该平面过点，则其过正方体的外接球球心，
所以截面面积是定值，D错误.
故选：BC.
6．下列关于三棱柱的命题，正确的是（ ）
A．任意直三棱柱均有外接球
B．任意直三棱柱均有内切球
C．若正三棱柱有一个半径为的内切球，则该三棱柱的体积为
D．若直三棱柱的外接球球心在一个侧面上，则该三棱柱的底面是直角三角形
【答案】ACD
【分析】根据外接球的特征可知，连接直三棱柱上、下底面三角形外心的线段的中点到直三棱柱各个顶点的距离相等，即为外接球球心，从而判断A；根据内切球的特征可知，直三棱柱底面内切圆半径需为直三棱柱高的一半，即可判断B；根据正三棱柱内切球半径可求得正三棱柱的高和底面正三角形边长，代入棱柱体积公式，即可判断C；由球心在底面的射影为底面三角形一条边的中点，且到三角形各个顶点距离相等，即可判断D.
【详解】对于A，取连接直三棱柱上、下底面三角形外心的线段的中点，
则点到直三棱柱各个顶点的距离均为，其中为底面三角形外接圆半径，为直三棱柱的高，
点即为直三棱柱的外接球球心，A正确；
对于B，若直三棱柱有内切球，则其高等于直径，底面内切圆半径等于内切球半径，
即底面内切圆半径需为直三棱柱高的一半，不是所有直三棱柱都符合，B错误；
对于C，若正三棱柱的内切球半径为，则正三棱柱的高为，底面正三角形的高为，
设正三棱柱底面正三角形的边长为，则，解得：，
该正三棱柱的体积，C正确；
对于D，若外接球球心在直三棱柱的侧面上,则球心为该侧面的中心，其到底面三角形各顶点的距离相等，
球心在底面上的射影到底面三角形三个顶点的距离也相等，
又侧面中心在底面的投影在底面三角形的一条边上，
该投影为底面三角形一条边的中点，且到另一顶点的距离为该边长的一半，
该底面三角形为直角三角形，D正确.
故选：ACD.
7．如图是一个圆锥和一个圆柱的组合体，圆锥的底面和圆柱的上底面完全重合且圆锥的高度是圆柱高度的一半，若该组合体外接球的半径为2，则（ ）
A．圆锥的底面半径为1
B．圆柱的体积是外接球体积的四分之三
C．该组合体的外接球表面积与圆柱底面面积的比值为
D．圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半
【答案】CD
【分析】设圆锥的顶点为，圆柱上下底面的圆心分别为，，的中点为，设圆锥的高为，圆柱的高为，圆柱的上下底面圆半径为，由题意可得，解出和的值，进而结合圆柱、圆锥和球体的面积和体积公式求解各选项即可.
【详解】如图，设圆锥的顶点为，圆柱上下底面的圆心分别为，，的中点为，
由题意，设圆锥的高为，圆柱的高为，圆柱的上下底面圆半径为，
则，解得，，故A错误；
圆柱的体积为，
外接球体积为，
则，故B错误；
圆柱底面面积为，
外接球表面积，
则，故C正确；
圆锥的母线长为，
所以圆锥的侧面积为，
圆柱侧面积为，
所以圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半，故D正确.
故选：CD.
8．如图，在正方体中，E、F分别是、的中点，G为线段BC上的动点(含端点)，则下列结论中正确的是（ ）
A．存在点G使得直线⊥平面EFG
B．存在点G使得直线AB与EG所成角为45°
C．G为BC的中点时和G、C重合时的三棱锥的外接球体积相等
D．当G与B重合时三棱锥的外接球体积最大
【答案】BCD
【分析】AB选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，表达出，，利用空间向量验证是否存在点G使得线面垂直和异面直线夹角；CD选项，找到球心的位置，设出球心的坐标，利用半径相等，得到，由得到，从而得到时，取最大值，即外接球半径最大，此时，即G与B重合，故D正确；当G为BC中点和当G与C重合时，相等，故外接球半径相等，体积相等.
【详解】设棱长为，如图，以底面中心，为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，．
，，
A选项；显然，，故，
若⊥平面EFG，EG在面EFG内，则，
而，A错误．
B选项；当G为BC中点时，，
故，
故直线AB与EG所成角为45°，结论成立，B正确．
对于C、D选项；球心O必在过EF中点，且与平面垂直的直线上，
设，G在BC上运动时，，
，
故，，
由可得，，
故当时，取得最小值，为，当时，取得最大值，最大值为0，
故，∴，
，
∴时，取最大值，即外接球半径最大，此时，即G与B重合，故D正确；
当G为BC中点时，，；当G与C重合时，，．
故外接球是同一个外接球，C正确．
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径或建立空间直角坐标系，利用半径相等，利用空间向量列出方程，求出半径.
9．正方体的棱长为2，O为底面ABCD的中心．P为线段上的动点（不包括两个端点），则（ ）
A．不存在点P，使得平面
B．正方体的外接球表面积为
C．存在P点，使得
D．当P为线段中点时，过A，P，O三点的平面截此正方体外接球所得的截面的面积为
【答案】ABD
【分析】利用反证法，由此判断A；求正方体的外接球的半径，结合球的体积公式判断B；根据勾股定理判断C；根据球的截面性质判断D.
【详解】假设存在点P，使得平面，
在上取点，使得，又，
所以四边形为平行四边形，
所以，又
所以四边形为平行四边形，故，
又平面，平面，
所以平面，又平面，,平面，
所以平面平面，与已知矛盾，
所以不存在点P，使得平面，A正确；
正方体的外接球的球心为的中点，外接球的半径，
所以正方体的外接球表面积，B正确；
假设存在P点，使得，在线段上取点使得,
设，则，，，
因为，所以，
所以，解得，与已知矛盾；C错误；
取的中点，因为P为线段中点时，连接交与点，
所以，又，
所以，故过A，P，O三点的平面为平面，
取的中点，过作，垂足为，
又平面，平面，所以，
，平面，所以平面，
过球心作，则平面，
所以正方体的外接球的球心到截面的距离为的长，
又，
所以，因为为的中点，所以，
故截面圆的半径为，
所以截面圆的面积，D正确；
故选：ABD.
【点睛】本题为立体几何综合问题，考查面面平行的证明，正方体的外接球，求得截面问题，解决球的截面问题的关键在于合理使用球的截面的性质.
10．七面体中，为正方形且边长为都与平面垂直，且，则对这个多面体描述正确的是（ ）
A．当时，它有外接球，且其半径为
B．当时，它有外接球，且其半径为
C．当它有内切球时，
D．当它有内切球时，
【答案】ABD
【分析】以为底面作长方体，计算，时外接球半径，得到AB正确；设垂足为，根据相似得到，计算得到C假D真，得到答案.
【详解】以为底面作长方体，则这个长方体的外接球即为多面体的外接球，
当时，外接球半径为，
当时外接球半径为，故AB均为真命题；
设分别为中点，若这个多面体有内切球，则其球心必在上，且半径为.
设垂足为，则由，可得，可得，故C假D真.
综上，本题答案为ABD.
故选：ABD
11．已知圆锥的底面半径，侧面积为，内切球的球心为，外接球的球心为，则下列说法正确的是（ ）
A．外接球的表面积为
B．设内切球的半径为，外接球的半径为，则
C．过点作平面截圆锥OP的截面面积的最大值为2
D．设母线中点为，从点沿圆锥表面到的最近路线长为
【答案】ABD
【分析】易知，圆锥轴截面为等边三角形，该三角形的内切圆半径与外接圆的半径即为圆锥的内切球半径和外接球半径，求出即可判断A、B项；由为等边三角形，可知过点作平面截圆锥OP的截面中，面积最大的截面即为，即可判断C项；将圆锥侧面沿A处剪开，连结即为最小值，可得到D项.
【详解】设母线长为，侧面积为，所以.
所以，为等边三角形.
则圆锥的轴截面的内切圆半径即为圆锥内切球的半径，其外接圆的半径为圆锥外接球的半径，如图1
图1
设内切球的半径为，外接球的半径为，
则，
又，
所以，.
由正弦定理可得，在中，，即，则.
所以，外接球的表面积为，A正确.
因为，，，所以，B项正确.
显然，过点作平面截圆锥OP的截面均为腰长为等腰三角形，如图2，在底面圆上任取一点，易知.
所以，，即最大面积为，C项错误.
图2
将圆锥侧面沿剪开，得到的扇形的半径，弧长，
则扇形的圆心角，如图3所示.
图3
连结，即为最近路线，在中，有，，
所以，，D项正确.
故选：ABD.
12．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，是边长为的正三角形，平面与平面所成锐二面角的余弦值为，E是棱的中点，则（ ）
A． B．
C．平面截四棱锥的外接球所得截面的面积为 D．平面截四棱锥的外接球所得截面的面积为
【答案】BC
【分析】取、的中点分别为、，连接、、，即可得到是平面与平面所成的锐二面角，根据锐角三角函数求出，即可判断A、B，将四棱锥补形为三棱柱，求出外接球的半径，作出截面，计算即可判断C、D；
【详解】解：取、的中点分别为、，连接、、，
依题意，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面，
设平面平面，与平面，所以，
所以，则，由三垂线定理可得，
所以是平面与平面所成的锐二面角.
由，
解得，故A错误，B正确.
将四棱锥补成直三棱柱，如图1所示.显然直三棱柱的外接球就是四棱锥的外接球，
取两个底面的外心分别为，则的中点O为球心，可解得球的半径.
设平面截四棱锥的外接球所得截面圆的半径为r.过O作的垂线，垂足为Q，则平面，所以.
在矩形中，过R作的垂线，垂足为S，如图2所示.
由，解得.由，解得，
所以.故截面圆的面积为，C正确，D错误.
故选：BC
13．如图，AB为圆柱的母线，BD为圆柱底面圆的直径且，O为AD中点，C在底面圆周上滑动（不与B，D重合）.则下列结论中正确的为（ ）
A．BO有可能垂直平面ACD
B．三棱锥的外接球表面积为定值
C．二面角正弦值的最小值为
D．过CD作三棱锥的外接球截面，截面面积的最大值为8π
【答案】BD
【分析】选项A，借助线面垂直的定义判断；选项B、D，利用外接球的性质进行判断；选项C，利用二面角的定义求解.
【详解】对于A，因为，，，所以平面ABC，所以CD与BO不垂直，故BO不可能与平面ACD垂直，A错误；
对于B，三棱锥的外接球的球心在O处，半径，表面积为定值，所以B正确；
对于C，因为平面ABC，所以为二面角的平面角，所以，所以C错误；
对于D，当截面经过球心O的时候，截面面积最大，此时截面的半径即为球的半径，所以截面半径最大为，所以D正确；
故选：BD.
【点睛】此题借助圆柱考查了直线与平面的垂直、二面角的求解和外接球的表面积与截面面积，解题时，注意以下几点：
(1)直径所对的圆周角为直角，所以无论C在何位置，始终有平面ABC；
(2)圆柱的外接球的球心位于上下底面的圆心的连线的中点处；
(3)球的所有截面中，当截面圆经过圆心的时候，截面圆的面积最大；
三、双空题
14．在长方体中，已知，，分别为，的中点，则长方体的外接球表面积为________，平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积为________．
【答案】
【分析】第一空，求出长方体的体对角线即可得长方体外接球的半径，即可求得外接球表面积；第二空，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，即可证明，从而确定三棱锥外接球的球心位置，求出外接球半径，继而求得截面圆半径，即可求得答案.
【详解】设长方体外接圆半径为R， ，，
所以长方体外接球表面积为；
以点为原点,以为轴，建立空间直角坐标系如图所示：
依题意得：，，，
则，，
所以，则即；
设为中点，连接,
因为，，则，
所以点为三棱锥外接球的球心，
则三棱锥外接球的半径为，
设球心到平面的距离为，又因为为中点，
所以点到平面的距离为，
根据长方体特征可知平面平面,
所以,又，而平面，
故平面，设交于H，则平面,
故到平面的距离为,
因为F为的中点，故，所以，
故截面圆的半径为，
所以截面圆面积为，
故答案为：；
【点睛】关键点点睛：要求得平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积，关键点在于首先要确定外接球的球心位置，从而可得其半径，继而求出截面圆的半径，即可求得答案.
四、填空题
15．我们知道一个多面体的外接球可以定义为：若一个多面体的所有顶点都在某个球的球面上，则该球叫这个多面体的外接球.现新定义多面体的“外球”为：若一个多面体的所有顶点都在某个球的球面上或在球内，则称该球为这个多面体的外球.即外球能将多面体包围起来.如图是一个由六个全等的正三角形构成的六面体，若该六面体有一外球A，且该六面体内有一球.则外球A的半径最小值与球的半径最大值的比值为_________.
【答案】
【分析】分别求得外球A的半径最小值与球的半径最大值，即可求得该比值
【详解】如图六面体的顶点A，在球面上时，此时外球A的半径（直径）最小，
球直径的长为上下顶点的距离.
六面体可以看成两个全等的正四面体组合而成，
一个棱长为1正四面体的高为，所以外球最小半径为.
当球为六面体的内切球时，半径最大.
六面体的体积，
设内切球的半径，的中心为，连接，，，，，
六面体可分割成6个相同的三棱锥，
，所以.
所以外球A的半径最小值与球的半径最大值的比值为.
故答案为：
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8.10 与球有关的切、接问题
知识点总结
研究与球有关的切、接问题，既要运用多面体、旋转体的知识，又要运用球的几何性质，要特别注意多面体、旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系，解决此类问题的关键是确定球心.
知识点一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
知识点二：正四面体外接球
如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为.
知识点三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题.
如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以.
知识点四：直棱柱外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
图1 图2 图3
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
知识点五：直棱锥外接球
如图，平面，求外接球半径.
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②.
知识点六：正棱锥外接球
正棱锥外接球半径： .
由此推广：侧棱相等的锥体外接球半径：
知识点七：垂面模型外接球
如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
图1 图2
知识点八：锥体内切球
方法：等体积法，即
典型例题分析
考向一 　外接球
角度1　补形法——存在侧棱与底面垂直
例1 已知三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为(　　)
A.π B.14π
C.56π D.π
角度2　补形法——对棱相等
例2 已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为(　　)
A.π B.π
C.π D.π
感悟提升　补形法的解题策略
(1)侧面为直角三角形或正四面体，或对棱均相等的模型，可以放到正方体或长方体中去求解；
(2)直三棱锥补成三棱柱求解.
角度3　截面法
例3 (2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为(　　)
A. B.
C. D.
感悟提升　与球截面有关的解题策略
(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
(2)作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的.
角度4　定义法
例4 (2023·德州质检)已知四棱锥P－ABCD的侧棱长均相等，其各个顶点都在球O的球面上，AB＝BC，∠ABC＝90°，AD＝2，CD＝2，三棱锥P－ABC的体积为，则球O的表面积为(　　)
A.25π B.
C.32π D.
感悟提升　到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可.
训练1 (1)(2023·河南顶级名校联考)四面体的四个顶点都在半径为R1的球O1上，该四面体各棱长都相等，如图①.正方体的八个顶点都在半径为R2的球O2上，如图②.八面体的六个顶点都在半径为R3的球O3上，该八面体各棱长都相等，四边形ABCD是正方形，如图③.设四面体、正方体、八面体的表面积分别为S4，S6，S8.若R1∶R2∶R3＝∶∶，则(　　)
A.S8＞S4＞S6 B.S4＝S8＞S6
C.S4＝S6＜S8 D.S4＝S6＝S8
(2)(2023·天津模拟)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上.若该棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则外接球的表面积为________.
考向二 内切球
例5 (2023·江西大联考)已知四面体SABC的所有棱长为2，球O1是其内切球.若在该四面体中再放入一个球O2，使其与平面SAB，平面SBC，平面SAC以及球O1均相切，则球O2与球O1的半径比值为(　　)
A. B.
C. D.
感悟提升　“切”的问题处理规律
(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决.
(2)体积分割是求内切球半径的常用方法.
训练2 (2023·南京调研)已知正方形ABCD的边长为2，E为边AB的中点，F为边BC的中点，将△AED，△DCF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合于点P，则三棱锥P－DEF的外接球与内切球的表面积比值为(　　)
A.6 B.12
C.24 D.30
考向三 双半径单交线公式
若相互垂直的两凸多边形的外接圆半径分别为R1，R2，两外接圆公共弦长为l，则由两凸多边形顶点连接而成的几何体的外接球半径：R＝.
例6 (2023·河南适应性测试)已知三棱锥P－ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝a，且平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥P－ABC的每个顶点都在表面积为的球面上，则a＝________.
基础题型训练
一、单选题
1．若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为（ ）
A． B． C． D．
2．三棱锥中，平面，，．过点分别作，交于点，记三棱锥的外接球表面积为，三棱锥的外接球表面积为，则（ ）
A． B． C． D．
3．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球与内切球的研究．其中的一些研究思想启发着后来者的研究方向．已知正四棱锥的外接球半烃为R，内切球半径为r，且两球球心重合，则（ ）
A．2 B． C． D．
4．若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．用一个平面去截棱长为1的正方体，则下列结论中正确的是（ ）
A．若该平面过点，则截面的周长为6
B．若该平面过点，则截得的两个几何体的外接球体积相等
C．若该平面过点，则截得的两个几何体的表面积均为
D．若该平面过点，则其截正方体的外接球所得的截面面积不是定值
6．下列关于三棱柱的命题，正确的是（ ）
A．任意直三棱柱均有外接球
B．任意直三棱柱均有内切球
C．若正三棱柱有一个半径为的内切球，则该三棱柱的体积为
D．若直三棱柱的外接球球心在一个侧面上，则该三棱柱的底面是直角三角形
7．如图是一个圆锥和一个圆柱的组合体，圆锥的底面和圆柱的上底面完全重合且圆锥的高度是圆柱高度的一半，若该组合体外接球的半径为2，则（ ）
A．圆锥的底面半径为1
B．圆柱的体积是外接球体积的四分之三
C．该组合体的外接球表面积与圆柱底面面积的比值为
D．圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半
8．如图，在正方体中，E、F分别是、的中点，G为线段BC上的动点(含端点)，则下列结论中正确的是（ ）
A．存在点G使得直线⊥平面EFG
B．存在点G使得直线AB与EG所成角为45°
C．G为BC的中点时和G、C重合时的三棱锥的外接球体积相等
D．当G与B重合时三棱锥的外接球体积最大
9．正方体的棱长为2，O为底面ABCD的中心．P为线段上的动点（不包括两个端点），则（ ）
A．不存在点P，使得平面
B．正方体的外接球表面积为
C．存在P点，使得
D．当P为线段中点时，过A，P，O三点的平面截此正方体外接球所得的截面的面积为
10．七面体中，为正方形且边长为都与平面垂直，且，则对这个多面体描述正确的是（ ）
A．当时，它有外接球，且其半径为
B．当时，它有外接球，且其半径为
C．当它有内切球时，
D．当它有内切球时，
11．已知圆锥的底面半径，侧面积为，内切球的球心为，外接球的球心为，则下列说法正确的是（ ）
A．外接球的表面积为
B．设内切球的半径为，外接球的半径为，则
C．过点作平面截圆锥OP的截面面积的最大值为2
D．设母线中点为，从点沿圆锥表面到的最近路线长为
12．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，是边长为的正三角形，平面与平面所成锐二面角的余弦值为，E是棱的中点，则（ ）
A． B．
C．平面截四棱锥的外接球所得截面的面积为 D．平面截四棱锥的外接球所得截面的面积为
13．如图，AB为圆柱的母线，BD为圆柱底面圆的直径且，O为AD中点，C在底面圆周上滑动（不与B，D重合）.则下列结论中正确的为（ ）
A．BO有可能垂直平面ACD
B．三棱锥的外接球表面积为定值
C．二面角正弦值的最小值为
D．过CD作三棱锥的外接球截面，截面面积的最大值为8π
三、双空题
14．在长方体中，已知，，分别为，的中点，则长方体的外接球表面积为________，平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积为________．
四、填空题
15．我们知道一个多面体的外接球可以定义为：若一个多面体的所有顶点都在某个球的球面上，则该球叫这个多面体的外接球.现新定义多面体的“外球”为：若一个多面体的所有顶点都在某个球的球面上或在球内，则称该球为这个多面体的外球.即外球能将多面体包围起来.如图是一个由六个全等的正三角形构成的六面体，若该六面体有一外球A，且该六面体内有一球.则外球A的半径最小值与球的半径最大值的比值为_________.
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