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函数的单调性与最值
思维导图
知识点总结
知识点一　增函数与减函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I：
(1)如果 x1，x2∈D，当x1(2)如果 x1，x2∈D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．
思考　(1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？
(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？
答案　(1)不是；(2)不能．
知识点二　函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(2)单调区间D 定义域I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
知识点三　函数的最大(小)值及其几何意义
最值 条件 几何意义
最大值 ①对于 x∈I，都有f(x)≤M，② x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
最小值 ①对于 x∈I，都有f(x)≥M，② x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标
思考　函数f(x)＝x2＋1≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？
答案　f(x)的最小值不是－1，因为f(x)取不到－1.
知识点四　求函数最值的常用方法
1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．
2．运用已学函数的值域．
3．运用函数的单调性：
(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．
(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．
4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．
典型例题分析
考向一 函数单调性的判定与证明
例1　根据定义，研究函数f(x)＝在x∈(－1,1)上的单调性．
解　当a＝0时，f(x)＝0，在(－1,1)上不具有单调性，
当a≠0时，设x1，x2为(－1,1)上的任意两个数，且x1所以f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
因为x1，x2∈(－1,1)且x1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
所以>0，
当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(－1,1)上单调递减，
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以f(x)在(－1,1)上单调递增．
综上，当a＝0时，f(x)在(－1,1)上不具有单调性；
当a>0时，f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f(x)在(－1,1)上单调递增．
反思感悟　利用定义判断或证明函数单调性的步骤
考向二 求单调区间并判断单调性
例2　(1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
考点　求函数的单调区间
题点　求函数的单调区间
解　y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数．
(2)作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间．
解　f(x)＝的图象如图所示，
由图可知，函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调递增区间为[2，＋∞)．
反思感悟　(1)函数单调区间的两种求法
①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．
②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
考向三 利用函数的单调性求最值
例3　已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
解　(1)f(x)是增函数，证明如下：
任取x1，x2∈[3,5]且x1f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为3≤x1所以x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在[3,5]上为增函数．
(2)由(1)知，f(x)在[3,5]上为增函数，
则f(x)max＝f(5)＝，
f(x)min＝f(3)＝.
反思感悟　(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．
基础题型训练
一、单选题
1．函数在上是减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数的单调性有，即可得结果.
【详解】因为函数在上是减函数，
所以.
故选：D
2．若函数f(x)是R上的增函数，对实数a，b，若a＋b>0，则有(　　)
A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) B．f(a)＋f(b)C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b) D．f(a)－f(b)【答案】A
【详解】∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a.∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a).
∴f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b),故选A.
点睛:本题考查抽象函数的单调性和不等式的性质,属于基础题.由已知a＋b>0可得, a>－b和b>－a均成立.再由函数f(x)是R上的增函数，当a>－b时有f(a)>f(－b)(1);当b>－a时有f(b)>f(－a)(2);对两式相加可得f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b),即选项A正确;对(2)化简可得-f(b)<-f(－a),不满足同向可加性.
3．函数为的导函数，令，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】求导后，令，可求得，再利用导数可得为减函数，比较的大小后，根据为减函数可得答案.
【详解】由题意得，，，
解得，所以．
所以，所以为减函数．
因为，
所以，
故选：B．
【点睛】关键点点睛：比较大小的关键是知道的单调性，利用导数可得的单调性.
4．函数的值域为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，把已知函数解析式变形，令变形，再由“对勾函数”的单调性求解.
【详解】解：令，，
令，则，
原函数化为，
该函数在上为减函数，在上为增函数，
又当时，，当时，，当时，.
∴函数的值域为，
则函数的值域为.
故选：C.
【点睛】本题考查利用换元法及“对勾函数”的单调性求函数值域，是中档题.
5．设a，，若时，恒有，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用特殊值及解决恒成立问题常用分离参数转化为求最值问题即可求解.
【详解】当时，恒有，
当时，原式化为；
当时，原式化为，即，
.
又时，恒成立；
，即恒成立；
恒成立；
当时，恒成立，
令，则
由二次函数的性质，知在单调递增；
，即，
又，，则.
对于A，，故A不正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，，故C 正确；
对于D，，故D不正确.
故选：C.
6．已知函数的图像关于对称，且对任意的，，总有，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数单调性的定义可得在上是增函数，再结合对称性可比较大小.
【详解】因为对任意的，有，
不妨设，则有
因为，所以，即，
所以在上是增函数，
因为的图像关于对称，所以，故A错误；
，故B错误；
，故C错误，D正确.
故选：D
二、多选题
7．函数满足条件：①对定义域内任意不相等的实数，恒有；②对定义域内任意两个实数，都有成立，则称为函数，下列函数为函数的是（ ）
A． B．
C．， D．，
【答案】ABC
【分析】先判断两个条件分别确定函数为增函数，函数的图象是上凸函数，由此依次判断四个选项即可．
【详解】解：因为对定义域内任意不相等的实数，恒有（a）（b），
所以是增函数，
因为对定义域内任意两个实数，都有成立，
所以为上凸函数，
对于，函数是增函数，且成立，所以函数为函数，故选项正确；
对于，函数是增函数，且函数的图象是上凸函数，所以函数为函数，故选项正确；
对于，函数，是增函数，且函数的图象是上凸函数，所以函数为函数，故选项正确；
对于，函数，是增函数，但是函数的图象是下凹函数，所以函数不是函数，故选项错误．
故选：．
8．关于函数，下列命题中正确的是（ ）
A．函数图象关于y轴对称
B．当时，函数在上为增函数
C．当时，函数有最大值，且最大值为
D．函数的值域是
【答案】AC
【解析】利用奇偶性定义即可判断A正确；利用复合函数的单调性即值域的求法判断B错误C正确D错误即可.
【详解】由题知，的定义域为，且，所以为偶函数，所以函数图像关于y轴对称，故A正确；
函数由和复合而成的，令，当时，为增函数，当时，为减函数；当，函数为增函数，由复合函数的单调性可知在上为减函数，在上为增函数，故B错误；
时是对勾函数 ，当时取最小值2，而，即是偶函数，故由偶函数性质知，当且仅当时取等号，又时，函数为减函数，故函数，有最大值，故C正确；
当时，值域为；同理当时，函数为减函数，故函数，有最小值，值域为，故D错误.
故选：AC.
【点睛】复合函数单调性的判断方法为先将函数拆分为和，分别判断单调性，遵循“同增异减”的法则进行判断即可； 复合函数值域的求法，先求的取值范围，再求的取值范围即可得结果.
三、填空题
9．函数的单调递减区间为________.
【答案】，
【分析】利用单调性的定义进行求解，设量，作差，变形，定号，下结论.
【详解】函数的定义域为，任取且，则，即，故在上为减函数；同理，可得在上也为减函数.
故答案为：，.
【点睛】本题主要考查简单函数的单调区间的求法，单调区间常用求解思路有：定义法，图象法，侧重考查逻辑推理的核心素养.
10．二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】由条件可得，解出即可.
【详解】因为二次函数在区间上单调递增，
所以，即
故答案为：
11．如果对于函数的定义域内任意两个自变量的值，，当时，都有且存在两个不相等的自变量，，使得，则称为定义域上的不严格的增函数．已知函数的定义域、值域分别为，，，且为定义域上的不严格的增函数，那么这样的函数共有________个．
【答案】9
【分析】根据本题所给的定义，以及函数的定义对所给的函数进行讨论，解决此题要分三类，三对一的对应，二对一的对应，三种来研究，进而得到答案．
【详解】解：由题意，若函数是三对一的对应，则有对应1；
对应2；对应3，共三种方式，故此类函数有三种．
若函数是二对一的对应，则有对应1，3对应2；
对应1，3对应3；
对应2，3对应3；
1对应1，对应2；
1对应1，对应3；
1对应2，对应3，共有6种．
综上，这样的共有种．
由于一对一的对应不满足不严格函数的定义，故不考虑此情况．
故答案为：9．
12．已知在上单调递增，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【分析】利用题给条件构造出关于实数a的不等式，解之即可求得实数a的取值范围.
【详解】由，可得
又在上单调递增，
则在上恒成立，则在上恒成立，
又，则，则
故答案为：
四、解答题
13．设函数,,函数.
(1)若时,画出函数的图象,并指出函数的单调区间；
(2)求在区间上的最小值.
【答案】(1) 的图象如下图所示：
的单调递增区间,单调递减区间；
(2).
【分析】(1)当时,求出函数和的定义域,最后求出函数的定义域，利用基本不等式求出函数的最小值,画出函数的图象,最后利用图象写出函数的单调区间；
(2)根据(1)可以得到函数的单调性,然后进行分类讨论,求出在区间上的最小值.
【详解】(1)当时，函数的定义域为,的定义域为,因此函数,定义域为.因为,所以有
（当且仅当时取等号）,函数图象如下图所示：
根据图象和函数的最小值可知：的单调递增区间,单调递减区间；
(2)由(1)可知函数定义域为，在上单调递减，在
上单调递增.
当时,即时，；
当时,即时，，综上所述：
.
【点睛】本题考查了函数型函数的单调性,考查了分类讨论思想.
14．设函数，求证：函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数．
【答案】见解析
【分析】根据定义，设出x1，x2，作差，判断符号，即可证明函数的单调性．注意因式分解时的方法．
【详解】任取x1，x2∈[0，+∞），且x1则f（x1）–f（x2）=，
显然分母大于零，
由于00，x1–x2<0，故分子小于零，
因此f（x1）–f（x2）<0，即f（x1）因此函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数．
【点睛】本题考查了利用定义证明函数单调性的方法，注意格式书写要规范，属于基础题．
15．已知函数，二次函数满足，且不等式的解集为．
(1)求，的解析式；
(2)设，根据定义证明：在上为增函数．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析.
【分析】（1）配凑法求出函数的解析式，借助一元二次不等式解集求出的解析式作答.
（2）由（1）求出，再利用单调性定义推理作答.
【详解】（1）依题意，，因此，
设二次函数，不等式为：，
则是关于x的一元二次方程的两个实根，且，
于是得，即，又，解得，，，
于是得，
所以，.
（2）由（1）知，，
任取，且，
因，有，，，则，因此，
所以函数在上为增函数．
16．设是偶函数，是奇函数，且，求函数的解析式．
【答案】.
【分析】根据函数的奇偶性，代替，列出方程组，即可求解函数的解析式．
【详解】由题意，函数是偶函数，是奇函数，可得，
由， ①
用代替，可得，即，②
由①②联立方程组，解得.
【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中合理应用函数的奇偶性，列出方程组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
提升题型训练
一、单选题
1．函数y=x2-5x-6在区间[2，4]上是（ ）
A．递减函数 B．递增函数
C．先递减再递增函数 D．先递增再递减函数
【答案】C
【分析】利用二次函数的性质即可判断作答.
【详解】函数y=x2-5x-6的图象对称轴为，于是得这个函数在上单调递减，在上单调递增，
而，，于是得这个函数在[2，4]上先减后增，
所以函数y=x2-5x-6在区间[2，4]上是先递减再递增函数.
故选：C
2．定义，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用给定的定义求出函数，再求出其单调递减区间即可求解作答.
【详解】由给定的定义知，
显然函数的单调递减区间是，而函数在上单调递减，
于是得，因此，
所以实数的取值范围是.
故选：D
3．已知，若函数在上为减函数，且函数在上有最大值，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由复合函数在上的单调性可构造不等式求得，结合已知可知；当时，，若，可知无最大值；若，可得到，解不等式，与的范围结合可求得结果.
【详解】在上为减函数 ，解得：

当时，，此时
当，时，在上单调递增
无最大值，不合题意
当，时，在上单调递减
若在上有最大值 ，解得：
，又
故选
【点睛】本题考查根据复合函数单调性求解参数范围、根据分段函数有最值求解参数范围的问题；关键是能够通过分类讨论的方式得到处于不同范围时在区间内的单调性，进而根据函数有最值构造不等式；易错点是忽略对数真数大于零的要求，造成范围求解错误.
4．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先考虑函数在上是增函数，再利用复合函数的单调性得出求解即可.
【详解】设函数
在上是增函数
，解得
故选：A
【点睛】本题主要考查了由复合函数的单调性求参数范围，属于中档题.
5．当时，函数有最小值是，则的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．1或3
【答案】B
【解析】按照对称轴与区间，的位置关系分三种情况进行讨论求得函数的最小值，令其等于，解得值．
【详解】解：函数图象的对称轴为，
（1）当，即时，，不成立；
（2）当，即时，，
即，解得或（舍，
（3）当，即时，，
解得（舍；
综上，，
故选：．
【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，考查分类讨论思想，属于中档题．
6．已知函数是定义在上的单调函数，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】令，代入条件等式可得，令代入条件等式可得，
结合函数单调性有，求解，根据定义域排除可得，即有
【详解】设，由题意知，代入得，，
∵定义域为，∴.
令代入得，，
∵函数是定义在上的单调函数，∴，解得或（舍），
∴.
故选：A．
二、多选题
7．已知函数的图象由如图所示的两段线段组成，则下列正确的为（ ）
A．
B．函数在区间上的最大值为2
C．的解析式可表示为：
D．，不等式的解集为
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再逐项判断作答.
【详解】依题意，当时，令，则，解得，，
当时，令，则，解得，，
因此，
对于A，，A不正确；
对于B，函数在上递减，在上递增，而，因此函数在区间上的最大值为2，B正确；
对于C，因当时，，当时，，
则当时，，C正确；
对于D，因，观察图象知，当时，不等式的解集为，D正确.
故选：BCD
8．函数与函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】确定函数的平移方向，考虑和两种情况，对比选项得到答案.
【详解】，函数是由向上平移个单位，向左平移个单位.
根据图像知，
当时，AC满足一次函数图像，C不满足反比例函数图像；
当时，BD 满足一次函数图像，D不满足反比例函数图像；
故选：AB
三、填空题
9．的最大值为______．
【答案】
【分析】由根式性质求定义域，应用二次函数性质求出最大值，即可得函数最大值.
【详解】由，故，而，
所以，当时，即函数的最大值为.
故答案为：
10．已知函数在上单调,则实数取值范围是__________.
【答案】或
【分析】二次函数在上单调,即或，求解即可.
【详解】函数对称轴为
在上单调,即或，
即：或.
故答案为：或
【点睛】此题考查根据二次函数在某一区间的单调性求参数范围，关键在于根据对称轴准确讨论.
11．函数在上的最小值为8，则实数______.
【答案】3
【分析】由已知结合对勾函数的性质，讨论已知函数在区间上单调性，进而可求出结果.
【详解】令，解得，当时，即，
函数在上单调递减，，则，符合题意；
当时，即，
函数在上单减，在上单增，，解得（舍）；
当时，即，函数在上单调递增，，解得（舍），综上得.
故答案为：3.
【点睛】本题主要考查了对勾函数单调性的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题.
12．已知，，若对任意都成立，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】不等式化为，令，，可得，分别讨论，，和时，求最值可得出.
【详解】不等式两边同时除以得，
整理得，
令，，则，则，
由于对任意都成立，则有对任意恒成立，
（1）当时，不成立，不符合题意；
（2）当时，则当时，不等式左边取到最小，右边取到最大，满足题意，
则，解得，与矛盾，不符合；
（3）当时，
①当时，则当时，不等式左边取到最小，右边取到最大，满足题意，
则，解得，；
②当时，有，即，
则当时，取得最大值为，
则，；
③当时，恒成立，满足题意，
综上所述，的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是将不等式转化为在恒成立，再讨论的范围即可.
四、解答题
13．已知函数,当自变量x在下列范围内取值时,求函数的最大值和最小值.
(1)R；(2)；(3).
【答案】(1) 最小值为,无最大值；(2) 最大值为5，最小值为；(3) 最大值为20，最小值为.
【解析】利用二次函数图象的对称轴与给定范围的关系可求函数的最值.
【详解】，
函数的图象如图所示，该图象的对称轴为直线.
(1)当时，，当时，等号成立.
故当时，函数的最小值为，无最大值.
(2)由图可知，在上，函数在处取得最大值，最大值为5，在处取得最小值，最小值为.
(3)由图可知，在上，函数在处取得最大值，最大值为20，在处取得最小值，最小值为.
【点睛】本题考查二次函数在给定范围上的最值，一般结合对称轴与给定范围的位置关系求最值，本题考查了学生数形结合的数学思想和运算求解能力，属于基础题.
14．已知函数，且，.
（1）求，；
（2）判断在上的单调性并证明.
【答案】（1）；（2）单调递减，证明见解析.
【分析】（1）根据，列方程组，解方程组即可求解；
（2）由（1）可得解析式，利用单调性的定义，取值、作差、变形、定号、下结论即可求证.
【详解】（1）因为，，
所以，解得，
（2）由（1）知：，在上单调递减，
证明如下：在上任取，，且，
则，
因为，
所以，，，
可得，
所以，
所以在上单调递减.
15．设函数的定义域为，且有：，② 对任意正实数都有，③为减函数
（1）求：的值；
（2）求证：当时，；
（3）求证：当时，都有；
（4）解不等式：.
【答案】（1），，，，；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）.
【分析】（1）由结合求解的值；
（2）由，结合单调性证明不等式即可；
（3）由，结合，即可得证；
（4）由将原不等式化为，结合单调性解不等式即可.
【详解】（1），
，
.
（2）因为f(1)=0且f(x)为减函数，所以当时，
（3），
所以当时，都有
（4），所以
，因为在定义域上为减函数，所以
【点睛】关键点睛：在解抽象不等式时，关键是利用函数的单调性求解不等式.
16．对于定义在区间上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意，当时恒成立，则称函数为区间上的“平底型”函数.
（I）若函数是上的“平底型”函数，求的值；
（Ⅱ）判断函数是否为上的“平底型”函数？并说明理由；
（Ⅲ）若函数是区间上的“平底型”函数，且函数的最小值为，求.
的值．
【答案】（I）;（Ⅱ）不是“平底型”函数; （Ⅲ）
【分析】（I）根据“平底型”函数定义可知，从而可求得的值．（Ⅱ）时,当时,存在时所以不符合“平底型”函数的定义．（Ⅲ）根据函数的最小值为1,可得,移项平方法去绝对值可得的值.
【详解】（I）若函数是上的“平底型”函数,
则或
当时，，不符合题意，而当，时，为常数时，，时，，同理类似的可验证符合题意，所以;
（Ⅱ），，对任意,总存在，使得,所以不是“平底型”函数;
（Ⅲ）是区间上的“平底型”函数，且函数最小值为，
所以
根据对应相等得，, 于是
当时, 是“平底型”函数
时, 不是“平底型”函数．
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是理解“平底型”函数定义，考查函数的恒成立、函数的最值，属于难题.
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函数的单调性与最值
思维导图
知识点总结
知识点一　增函数与减函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I：
(1)如果 x1，x2∈D，当x1(2)如果 x1，x2∈D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是 ．
思考　(1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？
(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？
答案　(1)不是；(2)不能．
知识点二　函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) ，区间D叫做y＝f(x)的 ．
特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(2)单调区间D 定义域I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
知识点三　函数的最大(小)值及其几何意义
最值 条件 几何意义
最大值 ①对于 x∈I，都有 ，② x0∈I，使得 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
最小值 ①对于 x∈I，都有 ，② x0∈I，使得 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标
思考　函数f(x)＝x2＋1≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？
答案　f(x)的最小值不是－1，因为f(x)取不到－1.
知识点四　求函数最值的常用方法
1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．
2．运用已学函数的值域．
3．运用函数的单调性：
(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝ ，ymin＝ ．
(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝ ，ymin＝ ．
4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．
典型例题分析
考向一 函数单调性的判定与证明
例1　根据定义，研究函数f(x)＝在x∈(－1,1)上的单调性．
反思感悟　利用定义判断或证明函数单调性的步骤
考向二 求单调区间并判断单调性
例2　(1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
(1)函数单调区间的两种求法
①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．
②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
考向三 利用函数的单调性求最值
例3　已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
反思感悟　(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．
基础题型训练
一、单选题
1．函数在上是减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若函数f(x)是R上的增函数，对实数a，b，若a＋b>0，则有(　　)
A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) B．f(a)＋f(b)C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b) D．f(a)－f(b)3．函数为的导函数，令，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的值域为
A． B． C． D．
5．设a，，若时，恒有，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的图像关于对称，且对任意的，，总有，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．函数满足条件：①对定义域内任意不相等的实数，恒有；②对定义域内任意两个实数，都有成立，则称为函数，下列函数为函数的是（ ）
A． B．
C．， D．，
8．关于函数，下列命题中正确的是（ ）
A．函数图象关于y轴对称
B．当时，函数在上为增函数
C．当时，函数有最大值，且最大值为
D．函数的值域是
三、填空题
9．函数的单调递减区间为________.
10．二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______.
11．如果对于函数的定义域内任意两个自变量的值，，当时，都有且存在两个不相等的自变量，，使得，则称为定义域上的不严格的增函数．已知函数的定义域、值域分别为，，，且为定义域上的不严格的增函数，那么这样的函数共有________个．
12．已知在上单调递增，则实数a的取值范围为______.
四、解答题
13．设函数,,函数.
(1)若时,画出函数的图象,并指出函数的单调区间；
(2)求在区间上的最小值.
14．设函数，求证：函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数．
15．已知函数，二次函数满足，且不等式的解集为．
(1)求，的解析式；
(2)设，根据定义证明：在上为增函数．
16．设是偶函数，是奇函数，且，求函数的解析式．
提升题型训练
一、单选题
1．函数y=x2-5x-6在区间[2，4]上是（ ）
A．递减函数 B．递增函数
C．先递减再递增函数 D．先递增再递减函数
2．定义，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，若函数在上为减函数，且函数在上有最大值，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．当时，函数有最小值是，则的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．1或3
6．已知函数是定义在上的单调函数，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．4
二、多选题
7．已知函数的图象由如图所示的两段线段组成，则下列正确的为（ ）
A．
B．函数在区间上的最大值为2
C．的解析式可表示为：
D．，不等式的解集为
8．函数与函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．的最大值为______．
10．已知函数在上单调,则实数取值范围是__________.
11．函数在上的最小值为8，则实数______.
12．已知，，若对任意都成立，则的取值范围是______．
四、解答题
13．已知函数,当自变量x在下列范围内取值时,求函数的最大值和最小值.
(1)R；(2)；(3).
14．已知函数，且，.
（1）求，；
（2）判断在上的单调性并证明.
15．设函数的定义域为，且有：，② 对任意正实数都有，③为减函数
（1）求：的值；
（2）求证：当时，；
（3）求证：当时，都有；
（4）解不等式：.
16．对于定义在区间上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意，当时恒成立，则称函数为区间上的“平底型”函数.
（I）若函数是上的“平底型”函数，求的值；
（Ⅱ）判断函数是否为上的“平底型”函数？并说明理由；
（Ⅲ）若函数是区间上的“平底型”函数，且函数的最小值为，求.
的值．
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