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专题2.3 函数的奇偶性与周期性
思维导图
知识点总结
知识点一　函数奇偶性的几何特征
一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．
知识点二　函数奇偶性的定义
1．偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
2．奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
知识点三　奇(偶)函数的定义域特征
奇(偶)函数的定义域关于原点对称．
知识点四　用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
知识点五　奇偶性与单调性
若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
典型例题分析
考向一 函数奇偶性的判断
例1　判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2(x2＋2)；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝＋.
反思感悟　判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
①定义域关于原点对称；
②确定f(－x)与f(x)的关系．
(2)图象法．
考向二 利用函数的奇偶性求解析式
例2　函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式．
反思感悟　求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．
考向三 构造方程组求函数的解析式
例3　设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
反思感悟　f(x)＋g(x)＝对定义域内任意x都成立，所以可以对x任意赋值，如x＝－x.
利用f(x)，g(x)一奇一偶，把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x)．
考向四 利用函数的奇偶性与单调性比较大小
例4　设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)反思感悟　利用函数的奇偶性与单调性比较大小
(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
基础题型训练
一、单选题
1．已知函数是定义在R上的偶函数，时，，那么的值是多少（ ）.
A． B． C． D．
2．已知定义在上的奇函数满足，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2．
3．已知函数与函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则
A．1 B．2 C．0 D．-1
4．已知非空集合A，B满足：，，函数，对于下列两个命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解.下面判断正确的是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．① ②都正确 D．① ②都错误
5．已知定义在上的函数是偶函数，且在上单调递增，则满足的的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．若函数同时满足:
①对于定义域上的任意,恒有；
②对于定义域上的任意,当时,恒有；
则称函数为“理想函数”.给出下列三个函数：（1）（2）（3），其中能被称为“理想函数”的有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
7．已知，设函数，，，若的最大值为，最小值为，那么和的值可能为（ ）
A．4与1 B．5与2 C．5与3 D．6与4
8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，
C．是图象的一条对称轴
D．在上单调递增
三、填空题
9．函数为偶函数，当时，，则时，________．
10．已知函数，若，则实数的取值范围是______．
11．已知定义在的偶函数在是增函数，且，则不等式的解集是______．
12．已知是R上的偶函数，且，当时，，则__________.
四、解答题
13．函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）＝－x＋1，求f（x）的解析式；
14．已知偶函数定义域为，当时，.
（1）求函数的表达式；
（2）用函数单调性的定义证明：函数在区间单调递减，并解不等式.
15．已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数的单调性并证明；
(3)解不等式.
16．已知函数为奇函数，且
(1)求a，b的值；
(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义加以证明；
(3)求在区间上的值域.
提升题型训练
一、单选题
1．已知一个奇函数的定义域为，则（ ）
A． B．3 C． D．1
2．已知偶函数在区间上单调递减，那么下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是
A． B．
C． D．
4．已知函数，若，则实数＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．3
5．已知定义在上的函数满足．若函数与的图像的交点为，，…，，则（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
6．狄利克雷函数为F(x).有下列四个命题：①此函数为偶函数，且有无数条对称轴；②此函数的值域是；③此函数为周期函数，但没有最小正周期；④存在三点，使得△ABC是等腰直角三角形，以上命题正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．③④ D．②④
二、多选题
7．某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，其中正确的结论是（ ）
A．是偶函数 B．的值域为
C．有且只有1个零点 D．
8．已知函数，，若存在实数m，使得对于任意的，都有，则称函数，有下界，m为其一个下界；类似的，若存在实数M，使得对于任意的，都有，则称函数，有上界，M为其一个上界.若函数，既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数.下列说法正确的是（ ）
A．若函数在定义域上有下界，则函数有最小值
B．若定义在上的奇函数有上界，则该函数一定有下界
C．若函数为有界函数，则函数是有界函数
D．若函数的定义域为闭区间，则该函数是有界函数
三、填空题
9．函数为偶函数，则实数a的值______.
10．已知是定义域为的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则______．
11．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围是______.
12．定义函数如下:对于实数,如果存在整数,使得,则.则下列结论:①是实数上的递增函数;②是周期为1的函数;③是奇函数;④函数的图像与直线有且仅有一个交点.则正确结论的序号是______.
四、解答题
13．判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
14．已知函数，
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并给予证明；
（3）求不等式的解集.
15．设设函数.
(1)若，判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明；
(2)若函数为奇函数，，且对恒成立，求的取值范围.
16．是定义在上的函数，对一切都有且
（1）求；
（2）判断函数的奇偶性
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专题2.3 函数的奇偶性与周期性
思维导图
知识点总结
知识点一　函数奇偶性的几何特征
一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．
知识点二　函数奇偶性的定义
1．偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
2．奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
知识点三　奇(偶)函数的定义域特征
奇(偶)函数的定义域关于原点对称．
知识点四　用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
知识点五　奇偶性与单调性
若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
典型例题分析
考向一 函数奇偶性的判断
例1　判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2(x2＋2)；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝＋.
解　(1)f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)＝是奇函数．
(2)f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R.
∵f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数．
(3)f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
∵定义域不关于原点对称，
∴f(x)＝既不是奇函数，也不是偶函数．
(4)f(x)＝＋的定义域为{－1,1}．
∵f(－x)＝f(x)＝－f(x)＝0，
∴f(x)＝＋既为奇函数，又为偶函数．
反思感悟　判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
①定义域关于原点对称；
②确定f(－x)与f(x)的关系．
(2)图象法．
考向二 利用函数的奇偶性求解析式
例2　函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式．
考点　函数奇偶性的应用
题点　利用奇偶性求函数的解析式
解　设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，
∴当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x－1.
反思感悟　求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．
考向三 构造方程组求函数的解析式
例3　设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
考点　函数奇偶性的应用
题点　利用奇偶性求函数的解析式
解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝.①
用－x代替x，
得f(－x)＋g(－x)＝，
∴f(x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝；
(①－②)÷2，得g(x)＝.
反思感悟　f(x)＋g(x)＝对定义域内任意x都成立，所以可以对x任意赋值，如x＝－x.
利用f(x)，g(x)一奇一偶，把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x)．
考向四 利用函数的奇偶性与单调性比较大小
例4　设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)答案　A
解析　因为函数f(x)为R上的偶函数，
所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．
又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，
所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．
反思感悟　利用函数的奇偶性与单调性比较大小
(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
基础题型训练
一、单选题
1．已知函数是定义在R上的偶函数，时，，那么的值是多少（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性，，即可求解，
【详解】∵是定义在R上的偶函数，∴，
故选：B.
【点睛】本题考查函数奇偶性，属于基础题.
2．已知定义在上的奇函数满足，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2．
【答案】B
【分析】由奇偶性及对称性得函数的周期性，由周期性计算函数值，
【详解】由及是奇函数得，，
所以，所以是周期函数，周期为4，
，
故选：B．
3．已知函数与函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则
A．1 B．2 C．0 D．-1
【答案】D
【分析】根据条件可得出f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），从而根据f（x）+g（x）＝x3+x2+x即可得出f（x）﹣g（x）＝﹣x3+x2﹣x，从而可求出f（1）﹣g（1）＝﹣1．
【详解】∵f（x）与g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
∴f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），且f（x）+g（x）＝x3+x2+x，
∴f（﹣x）+g（﹣x）＝f（x）﹣g（x）＝﹣x3+x2﹣x，
∴f（1）﹣g（1）＝﹣1+1﹣1＝﹣1．
故选：D．
【点睛】本题考查了奇函数和偶函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
4．已知非空集合A，B满足：，，函数，对于下列两个命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解.下面判断正确的是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．① ②都正确 D．① ②都错误
【答案】B
【分析】在同一平面直角坐标系画出与的图象，结合函数图象即可判断①；再分别求出与的解，即可判断无解的条件，从而判断②，即可得解；
【详解】解：在同一平面直角坐标系画出与的图象如下所示：
由，解得，由函数图象可知当或时为偶函数，故①错误；
令，解得，令，解得，因为，，，所以当，时满足无解，故存在无穷多非空集合对，使得方程无解，故②正确；
故选：B
5．已知定义在上的函数是偶函数，且在上单调递增，则满足的的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先通过函数的性质得到的对称性和单调性，再利用的性质去掉中的，然后解不等式即可.
【详解】函数是偶函数, 且在上单调递增，
即函数的对称轴为，
又函数向右平移1个单位可得，
函数的对称轴为，且在上单调递增，
由得
解得或
故选：B.
6．若函数同时满足:
①对于定义域上的任意,恒有；
②对于定义域上的任意,当时,恒有；
则称函数为“理想函数”.给出下列三个函数：（1）（2）（3），其中能被称为“理想函数”的有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】满足①为奇函数，满足②在定义域内是减函数，对（1）（2）（3）中的三个函数逐个判断，即可得结果.
【详解】对于①对于定义域上的任意,恒有；
则有，故满足条件①为奇函数；
对于②对于定义域上的任意,当时，
不妨设，恒有，
，
故满足②条件的函数是在定义域内是减函数；
所以“理想函数”即为定义域内是减函数且为奇函数.
（1），在定义域不是减函数，故不是；
（2）不是奇函数，故不是；
（3），
，所以为奇函数，
作出其图像，函数在定义域内是减函数，故为“理想函数”.
故选:A
【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的奇偶性和单调性，注意运用定义法是解题的关键，属于中档题.
二、多选题
7．已知，设函数，，，若的最大值为，最小值为，那么和的值可能为（ ）
A．4与1 B．5与2 C．5与3 D．6与4
【答案】CD
【分析】构造新函数，根据新函数的奇偶性，结合函数奇偶性的性质进行求解即可.
【详解】令，，
∴，∴为奇函数，
设的最大值为t，最小值为，
∴，，可得，
∵，∴2b为偶数，
故选：CD．
8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，
C．是图象的一条对称轴
D．在上单调递增
【答案】ABD
【解析】根据题意先求解出时，的解析式，然后根据已知条件作出的图象，根据图象即可判断出是否为对称轴以及在上是否单调递增.
【详解】当时，，所以，所以，
所以，作出图象如下图所示：
由图象可知：，所以，故A正确；
当时，故B正确；
由图象可知显然不是的对称轴，故C错误；
由图象可知在上单调递增，故D正确；
故选：ABD.
【点睛】本题考查奇函数的综合应用，其中涉及函数的解析式、单调性、对称性，考查学生综合分析问题的能力，难度一般.
三、填空题
9．函数为偶函数，当时，，则时，________．
【答案】
【分析】由，可得，根题意得到，代入化简，即可求解.
【详解】由，可得，
因为函数为偶函数，且当时，，
所以，
即时，.
故答案为：.
10．已知函数，若，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】先由函数奇偶性的概念判断为奇函数；再由二次函数单调性，得到函数在上是减函数；将不等式化为，求解，即可得出结果.
【详解】因为，
所以，当时，，；
当时，，；
当时，；所以为奇函数；
又当时，单调递减；所以时，也单调递减；
即函数在上是减函数；
则由得，则，即，
即实数的取值范围是.
故答案为
【点睛】本题主要考查由函数单调性解不等式，熟记函数单调性与奇偶性即可，属于常考题型.
11．已知定义在的偶函数在是增函数，且，则不等式的解集是______．
【答案】
【解析】根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化求解即可．
【详解】是偶函数，定义域为，
又在上是增函数，且（1），
不等式等价为且，
则或，
即不等式的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于基础题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.
12．已知是R上的偶函数，且，当时，，则__________.
【答案】
【分析】根据，求得函数的周期，再根据函数的周期将所求的转化到已知区间，即可得解.
【详解】解：当时，，
则，，
因为，
所以，
所以函数是以8为周期的周期函数，
则，
由，得，
所以.
故答案为：.
四、解答题
13．函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）＝－x＋1，求f（x）的解析式；
【答案】f（x）＝
【解析】根据已知可得，设x<0，则－x>0，求出，再由奇偶性，求出即可.
【详解】设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f(－x)＝－f（x）＝x＋1，
∴当x<0时，f（x）＝－x－1.
又x＝0时，f（0）＝0，
所以f（x）＝
【点睛】本题考查求函数的解析式，利用函数的奇偶性是解题的关键，不要忽略“”情况，属于基础题.
14．已知偶函数定义域为，当时，.
（1）求函数的表达式；
（2）用函数单调性的定义证明：函数在区间单调递减，并解不等式.
【答案】（1）；（2）证明见解析，.
【解析】(1) 设，则，结合已知条件可求出，结合函数的奇偶性即可求出函数的表达式.
(2) 设且，求出，即可证明函数在单调递减，结合奇偶性和单调性可得，从而可解.
【详解】（1）设，则，，又因为定义域为的偶函数，
所以， 所以，所以 .
（2）当时，，设且， 则
=，
因为，，所以，
所以函数在区间单调递减， 又因为定义域为的偶函数，
所以，所以，又在区间单调递减，
所以，解得.
【点睛】关键点睛：
本题第二问的关键是由奇偶性得，再结合函数的单调性列出关于的不等式.
15．已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数的单调性并证明；
(3)解不等式.
【答案】(1)；
(2)在上单调递增，证明见解析；
(3).
【分析】（1）由奇函数定义可得，由对应项系数相等可求得，进而得到；
（2）任取，可证得，由此可得结论；
（3）将不等式转化为，结合函数定义域和单调性可构造不等式求得结果.
(1)
是定义在上的奇函数，，
即，，；
(2)
任取，
，，，
，，
在上单调递增.
(3)
由得：，
又是奇函数，，
由（2）知：在上单调递增，，解得：，
即不等式的解集为.
16．已知函数为奇函数，且
(1)求a，b的值；
(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义加以证明；
(3)求在区间上的值域.
【答案】(1)，
(2)函数在上单调递增，在上单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数为奇函数得到，解得，再计算解得答案.
（2）判断函数在上单调递增，在上单调递减，设，计算得到证明，同理可得答案.
（3）根据函数的单调性计算函数的最小值和最大值得到值域.
【详解】（1）函数为奇函数，故，即，故，
，即.
，定义域为，，为奇函数，满足.
（2）函数在上单调递增，在上单调递减.
设，则，
易知，，，
故，函数单调递增；
设，则，
易知，，，
故，函数单调递减；
故函数在上单调递增，在上单调递减.
（3），.
故函数的值域为.
提升题型训练
一、单选题
1．已知一个奇函数的定义域为，则（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】A
【分析】利用奇函数的定义域关于原点对称，即可得答案；
【详解】奇函数的定义域关于原点对称，
，
故选：A.
【点睛】本题考查奇函数的性质，属于基础题.
2．已知偶函数在区间上单调递减，那么下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据已知在区间上单调递增，而且，即可比较大小.
【详解】偶函数在区间上单调递减，
所以在区间上单调递增，
.
故选:A.
【点睛】本题考查奇偶性与单调性的综合应用，考查利用抽象函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题.
3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】对于A,,是偶函数，且在区间上单调递增，符合题意；对于B, 对于既不是奇函数，又不是偶函数，不合题意；对于C, 是奇函数，不合题意；对于D,在区间上单调递减，不合题意，只有合题意，故选A.
4．已知函数，若，则实数＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．3
【答案】D
【分析】利用奇函数的性质，可以得到，依题意可以求出实数．
【详解】因为，所以，
，又，所以，
解得.故选D.
【点睛】本题主要考查利用奇函数的性质解决和抽象函数有关的问题．
5．已知定义在上的函数满足．若函数与的图像的交点为，，…，，则（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】A
【分析】由题意可知函数与都关于点点对称，则可知，，由此即可得处答案.
【详解】由题意函数满足，则函数关于点点对称，
记，则，
则
所以函数也关于点点对称，
则其交点，，…，也关于点点对称，
即，，所以.
故选：A
6．狄利克雷函数为F(x).有下列四个命题：①此函数为偶函数，且有无数条对称轴；②此函数的值域是；③此函数为周期函数，但没有最小正周期；④存在三点，使得△ABC是等腰直角三角形，以上命题正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．③④ D．②④
【答案】B
【分析】①根据奇偶性定义和对称轴对应的表达式进行判断；②根据的取值得到值域；③根据周期性的定义进行分析；④先假设存在，然后推理证明是否存在.
【详解】①的定义域为关于原点对称，当为有理数时，，当为无理数时，，
所以恒成立，所以是偶函数，
取非零有理数，当为有理数时，，当为无理数时，，
所以恒成立，有无数种可能，所以有无数条对称轴；
②因为的取值只有，所以的值域为；
③取有理数，当为有理数时，，当为无理数时，，
所以恒成立，有无数种可能，所以是周期函数且无最小正周期；
④设存在满足条件，
根据函数值域可知，的可能组合为：两个有理数一个无理数、两个无理数一个有理数，
(1)不妨设为有理数，为无理数，因为为等腰直角三角形，所以只能为的斜边，
所以，所以为有理数，与假设矛盾，故不成立；
(2)不妨设为无理数，为有理数，因为为等腰直角三角形，所以只能为的斜边，
所以，所以为无理数，与假设矛盾，故不成立，
综上可知：不存在三点使得为等腰直角三角形.
故选：B.
【点睛】本题考查函数的性质的综合应用，难度较难.处理新函数的性质问题，可从函数各个性质的定义入手解决问题；常见的函数对称轴对应的形式，周期函数对应的形式.
二、多选题
7．某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，其中正确的结论是（ ）
A．是偶函数 B．的值域为
C．有且只有1个零点 D．
【答案】BD
【分析】由函数的奇偶性的定义判断A，求出函数的值域判断B，求解函数的零点判断C，由函数的单调性判断D
【详解】解：函数的定义域为，
因为，
所以为奇函数，所以A错误；
当时，，
当时，，
因为，所以，即，
因为 为奇函数，所以的值域为，所以B正确；
，当时，，则0是函数的零点，
当时， ，
由，得或，而方程无解，
当时，，
由由，得或，方程有一负根，则有一负的零点，综上，有2个零点，所以C错误；
当时， 为单调减函数，
因为为奇函数，所以在上为减函数，
而，
所以，
所以D正确，
故选：BD
【点睛】关键点点睛：此题考查函数的奇偶性的判断，函数的单调性的判断，考查函数的值域的求法，考查函数零点的判方法，考查计算能力，解题的关键是对函数解析式恒等变形，属于中档题
8．已知函数，，若存在实数m，使得对于任意的，都有，则称函数，有下界，m为其一个下界；类似的，若存在实数M，使得对于任意的，都有，则称函数，有上界，M为其一个上界.若函数，既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数.下列说法正确的是（ ）
A．若函数在定义域上有下界，则函数有最小值
B．若定义在上的奇函数有上界，则该函数一定有下界
C．若函数为有界函数，则函数是有界函数
D．若函数的定义域为闭区间，则该函数是有界函数
【答案】BC
【分析】根据函数上界，下界，有界的定义分别进行判断即可．
【详解】解：对于A，当时，，则恒成立，则函数有下界，但函数没有最小值，故A错误；
对于B，若定义在上的奇函数有上界，不妨设当时，成立，
则当时，，则，
即，则，该的下界是，则函数是有界函数，故B正确；
对于C，对于函数，若函数为有界函数，
设，则或，
该函数是有界函数，故C正确；
对于D，函数，
则函数的定义域为闭区间，值域为，
则只有下界，没有上界，即该函数不是有界函数，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
9．函数为偶函数，则实数a的值______.
【答案】
【分析】利用函数的奇偶性列方程，由此求得的值.
【详解】由于为偶函数，所以，
所以，
，
，
所以，.
故答案为：.
10．已知是定义域为的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则______．
【答案】
【解析】根据函数的对称性和奇偶性即可求得函数值.
【详解】关于对称，关于直线对称，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和对称性求函数值，属综合基础题.
11．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意可得为偶函数，求得在上连续，且为减函数，可得，即有即在恒成立，由一次函数的单调性，解不等式组，即可得到所求范围．
【详解】∵
∴为偶函数且在单调递减
∵在恒成立
∴在恒成立，则在恒成立
∴在恒成立
∴，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用偶函数的性质和单调性，考查转化思想和运算能力，解答本题的关键是判断出函数的奇偶性与单调性，属于中档题．
12．定义函数如下:对于实数,如果存在整数,使得,则.则下列结论:①是实数上的递增函数;②是周期为1的函数;③是奇函数;④函数的图像与直线有且仅有一个交点.则正确结论的序号是______.
【答案】③
【分析】直接利用对于实数，如果存在整数,使得,则，对四个命题分别进行判断，即可得出结论.
【详解】对于①如果对于实数,存在整数，使得，则，即时，，所以在上为常数函数，故①不正确；
对于②令，则时，，令，则时，，所以，即是周期为1的函数不正确，故②不正确；
对于③因为，所以，
所以，所以为奇函数，故③正确；
④由③可知，函数为奇函数，又函数也为奇函数，根据奇函数的图像关于原点对称知，两个函数的图像如果有交点，那么它们至少有两个交点，故④不正确.
综上所述：只有③正确.
故答案为：③
【点睛】本题考查了对新定义的理解和运用能力，考查了函数的单调性，奇偶性和周期性，考查了奇函数的图像的对称性，属于中档题.
四、解答题
13．判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)既不是奇函数也不是偶函数
(2)偶函数
(3)既是奇函数也是偶函数
(4)奇函数
【分析】（1）确定函数的定义域，并判断其定义域不关于坐标原点对称；
（2）根据奇偶函数的定义进行判断，可得 ，即可判断；
（3）根据奇偶函数的定义进行判断，判断出两个点在轴上；
（4）根据可判断其奇偶性.
(1)
（1）∵函数的定义域是，关于坐标原点不对称
∴既不是奇函数也不是偶函数．
(2)
∵函数的定义域为，关于坐标原点对称．
又
∴为偶函数．
(3)
∵函数的定义域为，关于坐标原点对称，
∴既是奇函数也是偶函数．
(4)
的定义域为．
∵
∴，∴为奇函数．
14．已知函数，
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并给予证明；
（3）求不等式的解集.
【答案】（1）；（2）函数为奇函数；（3）.
【分析】（1）真数位置大于0，得到的取值范围；（2）得到，然后判断与的关系，从而得到函数的奇偶性；（3）根据题意得到关于的不等式，从而得到的解集.
【详解】解：（1）真数部分大于零，即解不等式，
解得,
函数的定义域为.
（2）函数为奇函数，
证明：由第一问函数的定义域为，
，
所以函数为奇函数.
（3）解不等式，
即
即，
从而有，
所以.
不等式的解集为.
【点睛】本题考查函数的定义域，奇偶性，根据函数的性质解不等式，属于简单题.
15．设设函数.
(1)若，判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明；
(2)若函数为奇函数，，且对恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)在上单调递增，证明见解析
(2)
【分析】(1)求出a的值，利用定义证明函数单调性的方法和步骤证明即可；
(2)求出a的值，再判定函数的单调性，借助奇偶性及单调性脱去法则“f”，转化为恒成立的不等式即可得解.
(1)
函数中，由得，则，函数在区间上的单调递增，
设且，则，
因，则，即，于是得，即，
所以函数在上单调递增.
(2)
因函数为奇函数，则，即，即有对任意成立，
于是得，函数在上递减，
当时，，
而，，又，于是得，因此有对恒成立，
又在单调递增，当时，，则，
所以.
16．是定义在上的函数，对一切都有且
（1）求；
（2）判断函数的奇偶性
【答案】(1)(2)偶函数
【分析】（1）取，得到
（2）取得到，即得到答案.
【详解】（1）
取，则
（2）
取得到，即
函数为偶函数
【点睛】本题考查了求函数的值和函数奇偶性的判断，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
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