资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
7.1 不等式的性质
思维导图
知识点总结
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.不等式的性质
性质1　若a>b，则b性质2　若a>b，b>c，则 .
性质3　若a>b，则a＋c b＋c.
性质4　若a>b，c>0，则 ；
若a>b，c<0，则 .
性质5　若a>b，c>d，则a＋c b＋d.
性质6　若a>b>0，c>d>0，则ac bd.
性质7　若a>b>0，则an bn(n∈N*).
[常用结论]
1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
2.有关分式的性质
(1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0).
(2)若ab>0，则a>b <.
(6)可开方性：a＞b＞0 (n∈N，n≥2)．
典型例题分析
考向一 　比较数(式)的大小
例1 (1)若a＜0，b＜0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　)
A.p＜q B.p≤q
C.p＞q D.p≥q
(2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________.
感悟提升　比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.
考向二 构造法比较大小
例2 (1)若a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)
A.A≤B B.A≥B
C.A＜B D.A＞B
(2)若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A.aC.c答案　B
考向三 不等式的基本性质
例3 (1)(多选)(2023·张家口一模)若a＞b，则下列不等式中正确的有(　　)
A.a－b＞0 B.2a＞2b
C.ac＞bc D.a2＞b2
(2)(多选)(2023·泰州调研)若a＞b＞0＞c，则(　　)
A.＞ B.＞
C.ac＞bc D.a－c＞2
感悟提升　解决此类题目常用的三种方法：
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件；
(2)利用特殊值排除法；
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.
考向四 不等式性质的综合应用
例4 (1)已知－1(2)已知a∈(－3，－2)，b∈(2，4)，则的取值范围是________.
感悟提升　利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
基础题型训练
一、单选题
1．若，则下列不等关系中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列命题中成立的是（ ）
A．如果，，那么
B．如果，那么
C．如果，，那么
D．如果，，那么
3．已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，下列不等式中正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
5．若关于x的不等式组的解集为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．设，，，为实数，满足，，，，则下列不等式正确的是( )
A． B．
C． D．
二、多选题
7．若，则下列不等式不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，满足，且，则下列不等式中恒成立的有（ ）
A．， B． C． D．
三、填空题
9．不等式组的解集为________．
10．若、满足，则的取值范围是______．
11．已知实数x，y满足，，则的取值范围是___________．
12．若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__．
四、解答题
13．（1）已知，求证：；
（2）已知，求的取值范围；
（3）已知，求的取值范围．
14．已知，，且满足，则的取值范围是？
15．证明下面的结论：
（1）如果，，且，那么；
（2）如果，，那么；
（3）如果，，那么；
（4）如果，，，那么.
16．已知，求证：；
提升题型训练
一、单选题
1．若非零实数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．-a>-b C． D．
2．若实数满足，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
二、多选题
7．下列说法正确的是（ ）
A．若a>b，c>d，则a-c>b-d B．若，则a>b
C．若，则 D．若，则
8．已知，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．已知，，其中均为正数，则的大小关系为______.
10．已知，，则的取值范围是__________．
11．已知请比较下面两式大小:________
12．请根据“糖水加糖变得更甜了”提炼出一个不等式：______（设糖水为a克，含糖为b克，加入的糖为m克）．
四、解答题
13．已知，求证.
14．比较下列各组中的两个实数或代数式的大小:
（1）2x23与x2，x∈R；
（2）a2与，a∈R，且a≠1.
15．已知，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：．
16．（1）比较和的大小；
（2）已知，，求的取值范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
7.1 不等式的性质
思维导图
知识点总结
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.不等式的性质
性质1　若a>b，则b性质2　若a>b，b>c，则a>c.
性质3　若a>b，则a＋c>b＋c.
性质4　若a>b，c>0，则ac>bc；
若a>b，c<0，则ac性质5　若a>b，c>d，则a＋c>b＋d.
性质6　若a>b>0，c>d>0，则ac>bd.
性质7　若a>b>0，则an>bn(n∈N*).
[常用结论]
1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
2.有关分式的性质
(1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0).
(2)若ab>0，则a>b <.
典型例题分析
考向一 　比较数(式)的大小
例1 (1)若a＜0，b＜0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　)
A.p＜q B.p≤q
C.p＞q D.p≥q
答案　B
解析　p－q＝＋－a－b＝＋＝(b2－a2)·
＝＝，
因为a＜0，b＜0，所以a＋b＜0，ab＞0.
若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；
若a≠b，则p－q＜0，故p＜q.
综上，p≤q.
(2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________.
答案　eπ·πe＜ee·ππ
解析　＝＝，
又0＜＜1，0＜π－e＜1，
所以＜1，即＜1，
即eπ·πe＜ee·ππ.
感悟提升　比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.
考向二 构造法比较大小
例2 (1)若a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)
A.A≤B B.A≥B
C.A＜B D.A＞B
答案　B
解析　由题意得B2－A2＝－2≤0，
又A≥0，B≥0，所以A≥B.
(2)若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A.aC.c答案　B
解析　法一　易知a，b，c都是正数，
＝＝log8164<1，所以a>b；
＝＝log6251 024>1，所以b>c.
即c法二　构造函数f(x)＝，
则f′(x)＝，
由f′(x)>0，得0由f′(x)<0，得x>e.
∴f(x)在(0，e)上为增函数，在(e，＋∞)上为减函数.
∴f(3)>f(4)>f(5)，即a>b>c.
论．
考向三 不等式的基本性质
例3 (1)(多选)(2023·张家口一模)若a＞b，则下列不等式中正确的有(　　)
A.a－b＞0 B.2a＞2b
C.ac＞bc D.a2＞b2
答案　AB
解析　对于A，因为a＞b，所以a－b＞0，故A正确；
对于B，因为a＞b，且指数函数y＝2x在R上单调递增，所以2a＞2b，故B正确；
对于C，若c＜0，则ac＜bc，故C错误；
对于D，当a＝1，b＝－2时，a2＜b2，故D错误.
(2)(多选)(2023·泰州调研)若a＞b＞0＞c，则(　　)
A.＞ B.＞
C.ac＞bc D.a－c＞2
答案　ABD
解析　对于A，因为a＞b＞0，所以＜，因为c＜0，所以＞，正确；
对于B，－＝＝＝，
因为a＞b＞0＞c，所以b－a＜0，a－c＞0，所以＞，正确；
对于C，因为c＜0，所以y＝xc单调递减，又a＞b，所以ac＜bc，错误；
对于D，a－c＝a＋(－c)≥2＞2，正确.
感悟提升　解决此类题目常用的三种方法：
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件；
(2)利用特殊值排除法；
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.
考向四 不等式性质的综合应用
例4 (1)已知－1答案　(－4，2)　(1，18)
解析　因为－1所以－3<－y<－2，所以－4由－3<3x<12，4<2y<6，
得1<3x＋2y<18.
(2)已知a∈(－3，－2)，b∈(2，4)，则的取值范围是________.
答案　
解析　∵a∈(－3，－2)，∴∈，
故＜－＜，
又∵2＜b＜4，∴＜－＜2，
则－2＜＜－.
迁移 在本例(1)中，把条件改为“－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，求3x＋2y的取值范围.
解　设3x＋2y＝λ(x－y)＋μ(x＋y)，
即3x＋2y＝(λ＋μ)x＋(μ－λ)y，
于是解得
∴3x＋2y＝(x－y)＋(x＋y).
∵－1∴－<(x－y)<2，5<(x＋y)<，
∴<(x－y)＋(x＋y)<.
故3x＋2y的取值范围是.
感悟提升　利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
基础题型训练
一、单选题
1．若，则下列不等关系中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用不等式的性质逐一判断即可选出答案.
【详解】对于A选项：当时，，错误；
对于B选项：当时，，错误；
对于C选项：当时，，正确；
对于D选项：当时，，错误；
故选：C.
2．下列命题中成立的是（ ）
A．如果，，那么
B．如果，那么
C．如果，，那么
D．如果，，那么
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，逐项验证得出答案即可.
【详解】
时， ，所以选项 A错误；
时，，所以选项 B错误；
取，此时， ，所以选项C错误；
时，，又 选项D正确.
故选：D.
3．已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合不等式的性质，一一判断即可.
【详解】对于选项A，当时，，故A错；
对于选项B，由，得，故B正确；
对于选项C，当时，，故C错；
对于选项D，当时，，故D错.
故选：B.
4．已知，下列不等式中正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】举反例可排除A、B、D，再证明C正确即可．
【详解】取可得，故A错误； 取可得，故B错误； 取 可得，故D错误； 选项C，∵，∴，故正确．故选：C．
【点睛】本题考查不等式比较大小，举反例是解决问题的关键，属基础题．
5．若关于x的不等式组的解集为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用一元一次不等式组的解法，求得不等式组的解集，对比系数求得的取值范围.
【详解】由得，由于不等式组的解集为，所以，解得，所以的取值范围是.
故选：C
【点睛】本小题主要考查一元一次不等式的解法，属于基础题.
6．设，，，为实数，满足，，，，则下列不等式正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件求出，，，，0之间的大小关系，对于选项AB：根据不等式性质求解即可；对于选项CD：通过赋值找出反例即可求解.
【详解】已知，，，，可得，对各选项逐一判断：
选项A：因为，由不等式的性质，两边同乘负数，不等式变号，可得，即，故A错误；
选项B：因为，所以，所以，故B正确；
选项C：取，，，，则，，此时，故C错误；
选项D：取，，，，则，，此时，故D错误.
故选:B.
二、多选题
7．若，则下列不等式不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据题干，逐一分析判断选项即可.
【详解】因为，对A，可得，所以，故A错；对B，成立，故B正确；对C，，故C错误；对D，，所以成立，故D正确.
故选：AC
8．已知，，满足，且，则下列不等式中恒成立的有（ ）
A．， B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据不等式的基本性质，分别判断四个答案中的不等式是否恒成立，可得结论．
【详解】解：，且，
，，故A成立；
所以
由，所以恒成立，故B成立；
对于C：若，，则，故C错误；
对于D：若，，故D错误；
故选：．
三、填空题
9．不等式组的解集为________．
【答案】
【解析】解一元一次不等式组求得不等式的解集.
【详解】由得，所以不等式组的解集为.
【点睛】本小题主要考查一元一次不等式组的解法，属于基础题.
10．若、满足，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】因为，则，，且，所以，，
所以，.
故的取值范围是.
故答案为：.
11．已知实数x，y满足，，则的取值范围是___________．
【答案】
【分析】设，得，，得到，计算范围得到答案.
【详解】设，
故，解得，，，，
故，故.
故答案为：.
12．若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__．
【答案】
【分析】分离参数，把不等式变形为，只需小于等于的最小值即可.
【详解】关于的不等式在上恒成立
∴，
（当且仅当，即时取等号）
且，等号当且仅当时成立；
的最小值为（当且仅当时取最小值）
，即实数的取值范围是
故答案为：
【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题以及绝对值不等式的解法、基本不等式在最值问题中的应用，本题中要注意等号须同时成立．
四、解答题
13．（1）已知，求证：；
（2）已知，求的取值范围；
（3）已知，求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）根据不等式的性质可证明该不等式.
（2）先求出的范围，从而可求的取值范围.
（3）根据可求的取值范围．
【详解】（1）因为，所以,则．
（2）因为，所以，
所以，所以.
（3）已知，
因为，所以
14．已知，，且满足，则的取值范围是？
【答案】
【分析】由，再结合同向不等式的可加性求解即可.
【详解】设，则，解得，
所以，
又，所以，
又，
所以，
即.
故的取值范围为.
15．证明下面的结论：
（1）如果，，且，那么；
（2）如果，，那么；
（3）如果，，那么；
（4）如果，，，那么.
【答案】见解析.
【分析】本题考查的是不等式的证明，先对原式进行转换，再利用不等式的性质进行证明即可.
【详解】（1） ， ，则有；
（2） ， ，则有；
（3） ， ， ；
，，；
那么；
（4）由（3）可得，且，那么.
16．已知，求证：；
【答案】证明见解析
【分析】先对与作差证明,同理证明,,再求和即可得证
【详解】证明:,
因为,所以,,
所以,即,
同理,,,
所以,
即
【点睛】本题考查作差法证明不等式,考查推理论证能力
提升题型训练
一、单选题
1．若非零实数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．-a>-b C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用不等式性质判断B，C；举例说明判断A，D作答.
【详解】非零实数a，b满足a>b，
对于A，取，满足a>b，而，A不一定成立；
对于B，因a>b，则-a<-b，B不成立；
对于C，由不等式的性质知，若a>b，则，C成立；
对于D，取，满足a>b，而，D不一定成立.
故选：C
2．若实数满足，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】代入特殊值可判断A、B、D是否正确，结合幂函数的单调性即可判断C选项，进而可选出正确答案.
【详解】取满足，则，，
，则A、B、D错误；
因为函数在定义域上单调递增，因为，所以，即，
故选:C．
【点睛】本题考查了不等式性质，考查了幂函数的性质，属于基础题.
3．已知，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质判断A；举反例即可判断B，C，D.
【详解】由，且，可得，A正确；
取，满足条件，但，B错误；
取，满足条件，但，，C，D错误；
故选：A
4．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得到无法确定，也可能为0，结合不等式的性质，即可求解.
【详解】因为，可得无法确定，也可能为0，
对于A中，例如，此时不等式不成立，所以A不符合题意；
对于B中，当时，不等式不成立，所以B不符合题意；
对于C中，由，可得不等式一定成立，所以C符合题意；
对于D中，由，即，所以D不成立.
故选：C.
5．若，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用不等式的可加性，可判断A；由反比例函数的单调性，可判断D；由 ，可判断C；由二次函数的单调性可判断B．
【详解】对于A，若，则，故A项错误；
对于D，函数在上单调递减，若，则，故D项正确；
对于C，当时，，即不等式不成立，故C项错误；
对于B，函数在上单调递减，若，则，故B项错误，
故选D．
【点睛】本题考查不等式的性质和运用，考查函数的单调性和反例法，考查推理、判断能力，属于基础题．
6．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】A
【分析】对于选项，由不等式性质得该选项正确；对于选项，符号不能确定，所以该选项错误；通过举反例说明选项和选项错误.
【详解】对于选项，若，所以，则，所以该选项正确；
对于选项，符号不能确定，所以该选项错误；
对于选项，设，所以，所以该选项错误；
对于选项，设，所以该选项错误；
故选：A
【点睛】本题主要考查不等式的性质，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
二、多选题
7．下列说法正确的是（ ）
A．若a>b，c>d，则a-c>b-d B．若，则a>b
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【分析】取特殊值排除AD，利用不等式性质判断BC正确，得到答案.
【详解】取，，则，A错误；
，，故，则，B正确；
，故，故，C正确；
取，不成立，D错误.
故选：BC.
【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生的推断能力，取特殊值排除是解题的关键.
8．已知，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，作差法以及特殊值法，即可求解.
【详解】对于，因为，所以，则，故选项成立；
对于，作差：，由已知可知：，当的符号不确定，故与的大小关系不确定，故选项错误；
对于，作差： ，因为，所以，，则，即，故选项正确；
对于，当，，时，满足，但，故选项错误；
综上：不等式恒成立的是，
故选：.
三、填空题
9．已知，，其中均为正数，则的大小关系为______.
【答案】
【分析】利用作差法即可比较大小.
【详解】由，，且均为正数，
则
，
即，所以.
故答案为：
【点睛】本题考查了作差法比较两式的大小，考查了基本运算能力，属于基础题.
10．已知，，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】结合不等式的性质即可求出结果.
【详解】因为，所以，且，因此，
故答案为：.
11．已知请比较下面两式大小:________
【答案】
【分析】运用做差法因式分解即可得出大小关系.
【详解】解：因为
所以
，
所以
故答案为：.
【点睛】本题考查作差法、因式分解方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
12．请根据“糖水加糖变得更甜了”提炼出一个不等式：______（设糖水为a克，含糖为b克，加入的糖为m克）．
【答案】
【分析】克糖水中有克糖，若再添克糖，浓度发生了变化，只要分别计算出添糖前后的浓度进行比较即得．
【详解】克糖水中有克糖，
糖水的浓度为：；
克糖水中有克糖，若再添克糖，
则糖水的浓度为，
又糖水变甜了，说明浓度变大了，
，，，，.
故答案为：，
四、解答题
13．已知，求证.
【答案】见解析
【解析】利用作差法证明不等式即可.
【详解】证明：，
.
【点睛】本题主要考查了利用作差法证明不等式，属于基础题.
14．比较下列各组中的两个实数或代数式的大小:
（1）2x23与x2，x∈R；
（2）a2与，a∈R，且a≠1.
【答案】（1）2x23x2；（2）当a1时，a2； 当a1时，a2
【分析】（1）对代数式作差，配方后判断结果的正负即可比较大小；
（2）对代数式作差，通分后结合对二次三项式配方，即可容易判断.
【详解】（1）因为()-()==20，
所以.
（2）(a2).
由于a2a1=0，
所以当a1时，0，即a2;
当a1时，0，即a2.
故当a1时，a2； 当a1时，a2
【点睛】本题考查利用作差法比较大小，属基础题.
15．已知，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析
【分析】（Ⅰ）由不等式的性质得出，将不等式平方得出，并在不等式左边加上，右边加上，化简后可得出所证不等式；
（Ⅱ）在所证不等式两边同时除以，将所证不等式转化为，利用指数函数的单调性证明出和，于此可证明所证不等式．
【详解】（Ⅰ）由a＞b＞c＞d＞0得a－d＞b－c＞0，即(a－d)2＞(b－c)2，
由ad＝bc得(a－d)2＋4ad＞(b－c)2＋4bc，即(a＋d)2＞(b＋c)2，故a＋d＞b＋c．
（Ⅱ）.
因为，所以，故.同理，.
从而.即
【点睛】本题考查不等式的证明，常用方法有不等式的性质以及比较法，以及函数单调性等一些基本方法，证明时应该根据不等式的结果选择合适的方法来进行证明，考查分析问题的能力，属于中等题．
16．（1）比较和的大小；
（2）已知，，求的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）利用作差法比较大小；
（2）直接利用不等式的性质求出的取值范围.
【详解】（1）因为，
所以．
（2）因为，所以．
因为，所以，
故．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑