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8.1 基本立体图形及几何体的表面积与体积
思维导图
知识点总结
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点
轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆面
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
2.直观图的斜二测画法
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
4.简单几何体的表面积和体积
几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
[常用结论]
1.正方体与球的内切、外接常用结论：正方体的棱长为a，球的半径为R，
(1)若球为正方体的外接球，则2R＝a；
(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；
(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
2.长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，其外接球的半径为R，则2R＝.
3.正四面体的外接球的半径R＝a，内切球的半径r＝a，其半径R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长).
4.直观图与原平面图形面积间的关系S直观图＝S原图形.
典型例题分析
考向一 　基本立体图形和直观图
角度1　结构特征
例1 给出下列四个命题，正确的是(　　)
A.有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱
B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体
D.底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱
答案　D
解析　对于A，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故A错；
对于B，等腰三角形的腰不是侧棱时不一定成立(如图)，故B错；
对于C，若底面不是矩形，则C错；
对于D，可知侧棱垂直于底面，故D正确.
感悟提升　空间几何体结构特征的判断技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.
(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.
角度2　直观图
例2如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是(　　)
A.2＋ B.
C. D.1＋
答案　A
解析　因为斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，
所以原图形为直角梯形，其上底为1，下底为1＋，高为2，
所以S＝(1＋＋1)×2＝2＋.
感悟提升　1.在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”
2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原平面图形面积的关系：
S直观图＝S原图形.
角度3　展开图
例3(1) (2023·福州检测)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，F是线段A1B1上的动点，则AF＋FC1的最小值为________.
答案　＋
解析　将正三棱柱ABC－A1B1C1(如图1)中的△A1B1C1沿A1B1翻折至平面ABB1A1上，如图2所示，
在图2中，连接AC1，则AF＋FC1≥AC1，
因为AA1＝A1C1＝2，
且∠AA1C1＝90°＋60°＝150°，
所以AC1＝2AA1·sin＝2×2sin 75°
＝4sin(30°＋45°)＝4×(sin 30°×cos 45°＋cos 30°×sin 45°)＝＋，
所以当A，F，C1共线时，AF＋FC1取得最小值，为＋.
(2)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________.
答案　1
解析　如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积S侧＝πrl＝2π，即r·l＝2，
由于侧面展开图为半圆，
可知πl2＝2π，可得l＝2，
因此r＝1.
感悟提升　几何体的表面展开图可以有不同的形状，应多实践、观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状.
考向二 面积与体积
角度1　侧面积与表面积
例4(2023·长沙质检)如图，一种棱台形状的无盖容器(无上底面A1B1C1D1)模型其上、下底面均为正方形，面积分别为4 cm2，9 cm2，且A1A＝B1B＝C1C＝D1D.若该容器模型的体积为 cm3，则该容器模型的表面积为________.
答案　(5＋9) cm2
解析　由题意得，该容器模型为正四棱台，上、下底面的边长分别为2 cm，3 cm，
设该棱台的高为h，
则由棱台体积公式V＝h(S上＋S下＋)得该容器模型的体积，为＝h×(4＋9＋6)，解得h＝1(cm)，
所以侧面等腰梯形的高h′＝＝(cm)，
所以S表＝4×＋9＝5＋9(cm2).
角度2　体积
例5 (1)(2023·肇庆质检)如图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2 cm、底面边长为1 cm的正三棱锥，后段是高为0.6 cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为(　　)
A.0.25 cm3 B.0.65 cm3
C.0.15 cm3 D.0.45 cm3
答案　D
解析　设正三棱锥底面正三角形的内切圆半径为r，
由等面积法，可得×1×1×sin 60°＝×(1＋1＋1)r，
解得r＝.
由三棱锥体积公式与圆柱体积公式可得，
所求体积V＝××1×1×sin 60°×2＋π××0.6≈0.45(cm3).故选D.
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺的问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)(　　)
A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3
C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3
答案　C
解析　如图，由已知得该棱台的高为157.5－148.5＝9(m)，
所以该棱台的体积V＝×9×(140＋＋180)×106
＝60×(16＋3)×106≈60×(16＋3×2.65)×106＝1.437×109≈1.4×109(m3).故选C.
(3)(2023·潍坊模拟)《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF与平面ABCD平行，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是(　　)
A.4立方丈 B.5立方丈
C.6立方丈 D.8立方丈
答案　B
解析　如图，过E作EG⊥平面ABCD，垂足为G，过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H，过G作PQ∥AD，交AB于Q，交CD于P，过H作MN∥BC，交AB于N，交CD于M，
由图形的对称性可知，AQ＝BN＝1丈，QN＝2丈，且四边形AQPD与四边形NBCM都是矩形，
则它的体积V＝VE－AQPD＋VEPQ－FMN＋VF－NBCM＝·EG·S矩形AQPD＋S△EPQ·NQ＋·FH
·S矩形NBCM＝×1×1×3＋×3×1×2＋×1×1×3＝5(立方丈).
(3)(2020·新高考Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________.
答案　1
解析　如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB的中点，得S△A1MN＝2×2－2××2×1－×1×1＝，
又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2，
∴VA1－D1MN＝VD1－A1MN＝·S△A1MN·D1A1＝××2＝1.
感悟提升　1.空间几何体表面积的求法
(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.
2.求空间几何体的体积的常用方法
(1)公式法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解；
(2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体；
(3)等体积法：通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积.
基础题型训练
一、单选题
1．半径为1的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用球的表面积公式求解.
【详解】解：，
故选：D
2．如图所示，是水平放置的的直观图，轴，轴，，，则中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据斜二测画法原则，由直观图判断原图中的长度，再利用勾股定理计算.
【详解】在直观图中，，，
由斜二侧画法知，在中，，，且；
所以．
故选：B.
3．用斜二测画法画水平放置的的直观图如图所示，则在的三边及中线AD中，最长的线段是（ ）
A．AB B．AD C．BC D．AC
【答案】D
【分析】根据的形状还原得到的形状，由此确定出最长的线段.
【详解】根据的形状可知的形状如下图：
由图可知，最长的线段为，
故选：D.
4．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由三视图可知，该几何体为半个圆柱和一个底面为等腰直角三角形的三棱柱拼接而成，利用圆柱和棱柱的体积公式代入计算即可．
【详解】由三视图可知，该几何体为半个圆柱和一个底面为等腰直角三角形的三棱柱拼接而成
则则该几何体的体积是
故选：A
5．若一个圆锥的高为3，母线与底面所成角为60°，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．3π B．3π C．6π D．6π
【答案】D
【分析】由圆锥的高和母线与底面夹角可求得底面半径和母线长，根据圆锥侧面积公式求得结果.
【详解】由题意得：圆锥的底面半径，母线长
圆锥的侧面积
故选：
【点睛】本题考查圆锥侧面积的求解问题，关键是能够根据圆锥的高和母线与底面夹角准确求得底面半径和母线长.
6．已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为6，在该圆柱内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则a的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据题意可得该圆柱的内切球的半径为，设内切球为球，当正四面体内接于该圆柱的内切球时，棱长最大，所以等价于已知球的半径为，求内接正四面体的棱长即可.
【详解】因为圆柱的轴截面为正方形，母线长为，
所以圆柱的底面圆直径和高都是，
所以该圆柱的内切球的半径为，如图球即为该圆柱的内切球，
若该圆柱内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，
则该正四面体内接于该圆柱的内切球时，棱长最大，
如图该正四面体的棱长为，
设点在面内的射影为，即面，
则球心在上，且，
，
所以，
所以，
在中，，即 ，
整理可得：，解得或(舍) ，
所以的最大值为，
故选：B
二、多选题
7．下列关于圆柱的说法中正确的是（ ）
A．圆柱的所有母线长都相等
B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D．一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转所形成的几何体是圆柱
【答案】ABD
【分析】根据圆柱的结构特征逐个分析判断即可
【详解】对于A，圆柱的所有母线长都等于圆柱的高，且都相等，所以A正确，
对于B，用平行于圆柱底面的平面截圆柱，由圆柱的性质可知截面是与底面全等的圆面，所以B正确，
对于C，用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是椭圆面或椭圆面的一部分，所以C错误，
对于D，一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转所形成的几何体是圆柱，所以D正确，
故选：ABD
8．下列命题正确的是（ ）
A．长方体是直四棱柱，直四棱柱是长方体
B．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
【答案】CD
【分析】根据棱柱、棱锥的性质，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】对于A：直四棱柱底面可以为任意四边形，所以直四棱柱不一定是长方体，故A错误；
对于B：如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故B错误；
对于C：棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥，故C正确；
对于D：正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故D正确；
故选：CD
三、填空题
9．半径为的球的表面积为___________.
【答案】
【分析】利用球的表面积公式即可求解.
【详解】解：球的半径为，所以球的表面积为.
故答案为：.
10．已知圆台的上、下底面半径分别为2和5，圆台的高为3，则此圆台的体积为__．
【答案】
【分析】由圆台的体积公式代入求解即可.
【详解】由题意知，，则
.
故答案为：.
11．现有一个棱长为3的正方体，如果以这个正方体的一个顶点为球心，以为半径作球面，那么该球面被这个正方体的表面所截得的所有弧长的和为__________.
【答案】
【分析】画出图形，说明截面弧长，利用弧长公式求解即可.
【详解】如图，以为球心，为半径的球面被正方体表面所截得的弧，
即分别在平面 平面 平面上，
以为圆心 3为半径的圆与所在平面形成的弧，弧，弧，
三条弧所对圆心角都是，
所以所求弧长的和为.
故答案为：

12．往一球型容器注入cm3的水，测得水面圆的直径为cm，水深为cm，若以cm3/s的速度往该容器继续注水，当再次测得水面圆的直径为cm时，则需经过______s.
【答案】
【分析】根据题意作出简图，由球截面性质：，可求得，当再次测得水面圆的直径为cm时，水面到达关于球心对称的位置所在平面，此时注入水的体积，根据注水速度即可得解.
【详解】设球半径为，如图假设水面在所在位置，则
由球截面性质：
球体积：
当再次测得水面圆的直径为cm时，水面到达关于球心对称的位置所在平面
此时注入水的体积
故经过的时间
故答案为：
【点睛】本题考查了球的截面性质和体积，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
四、解答题
13．作出圆锥的直观图.
【答案】作图见解析
【分析】根据斜二测画法，画出圆锥的直观图.
【详解】如图所示.画法如下：首先画出圆锥底面圆的直观图；建立斜二测坐标系（即夹角为），取，取，用光滑曲线连接，由此画出圆锥底面的直观图；取为圆锥的高，连接；由此画出圆锥的直观图如下图所示.
【点睛】本小题主要考查斜二测画法，属于基础题.
14．如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是与.如图所示，俯视图是一个边长为的正方形.
（1）求该几何体的表面积；
（2）求该几何体的体积.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由三视图还原该几何体为长方体，再计算长方体的表面积即可.
（2）根据柱体体积公式计算该几何体的体积 .
【详解】解：（1）由三视图还原该几何体得该几何体为长方体，如图所示.
所以长方体的表面积为：；
（2）由（1）知该几何体为长方体，故体积为：
15．如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，求的取值范围．

【答案】
【分析】设在底面的射影为，设，，然后利用二次函数的性质可得其取值范围.
【详解】由题可知点在球心与圆柱的底面平行的截面圆上，
设在底面的射影为，

则，，，
，
设，则，
，
所以
，
所以.
16．若已知一个三角形的面积为S，它的直观图面积是多少？
【答案】.
【分析】根据原图形与直观图的画法可知原面积与直观图面积之比.
【详解】原三角形面积为S＝a·h(a为三角形的底，h为三角形的高)，
画直观图后，a′＝a，h′＝h·sin 45°＝h，
S′＝a′·h′＝a·h＝×a·h＝S.
【点睛】本题主要考查了斜二测画法，直观图与原图形中长度、角度的变化，属于中档题.
提升题型训练
一、单选题
1．一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为，则该圆锥的母线长为（ ）
A．3 B． C．6 D．
【答案】C
【分析】设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，根据圆锥侧面积与圆的面积关系可得，由勾股定理可得，结合圆锥的体积公式计算即可求解.
【详解】设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，
则圆锥侧面展开的扇形面积为，底面圆面积为，
因为，所以，得，
所以圆锥的体积为，
解得，所以，即圆锥的母线长为6.
故选：C.
2．已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，球的表面积为，则该圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设外接球的半径为，圆柱底面圆的半径为，由球的表面积为，得，根据轴截面为正方形列方程解得，代圆柱的体积公式得解.
【详解】设外接球的半径为，圆柱底面圆的半径为，因为圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高，由球的表面积，得，又，得，所以圆柱的体积.
故选：C.
3．如图，一个水平放置的面积是的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，其中，则等腰梯形面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据斜二测画法的规则得出原水平放置的平面图，利用梯形的面积公式表示出直观图的面积：，即可求解.
【详解】根据斜二测画法的规则得原水平放置的平面图：
上底为，下底为，高为的直角梯形，
所以水平放置的平面图形的面积为：
则
.
故选：A
【点睛】本题考查了斜二测画法的规则，考查了基本运算能力，属于基础题
4．在三棱锥中，，二面角为直二面角，当三棱锥的体积的最大值为时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据体积最大求得底边三角形的边长，再求得底面三角形外接圆的半径，及球心到底面的距离，进而求得外接球的半径即可得到外接球的表面积.
【详解】根据题意，要使三棱锥的体积的最大，且二面角为直二面角，
则为等边三角形，为等腰三角形，
设，则，解得，
设三棱锥外接球的半径为，球心到底面的距离为，底面外接圆的半径为，
则，解得，
又，所以，
则，
故选：C
5．在正三棱锥中，、分别是棱、的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取的中点，连接，，根据线面垂直的判定定理，证明平面，推出，，两两垂直，将正三棱锥补成正方体，则正方体的外接球即是正三棱锥的外接球，设外接球半径为，根据题中数据求出半径，再由球的体积公式，即可求出结果.
【详解】取的中点，连接，，
因为在正三棱锥中，底面为正三角形，各棱长都相等，
记，，
所以，，
又，平面，平面，
所以平面，
因此，
因为，、分别是棱、的中点，
所以，
又，平面，平面，
所以平面，
因此，，
又正三棱锥各侧面三角形都全等，所以，
即，，两两垂直，
将正三棱锥补成如图所示的正方体，则正方体的外接球即是正三棱锥的外接球，设外接球半径为，
又，
所以，即，
因此，正三棱锥外接球的体积是.
故选：A.
【点睛】本题主要考查求几何体外接球的体积，熟记球的体积公式，以及几何体结构特征即可，属于常考题型.
6．棱长为2的正方体截去四个小三棱锥所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )
A．4 B． C． D．8
【答案】B
【分析】由几何体的三视图，可得该几何体表示一个棱长为2的正方体被截去的小三棱锥的底面是腰长为1的等腰直角三角形，高为2，结合体积公式，即可求解.
【详解】根据给定的几何体的三视图，可得该几何体表示一个棱长为2的正方体被截去的小三棱锥的底面是腰长为1的等腰直角三角形,高为2,
则该几何体的体积.
故选：B.
【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.
二、多选题
7．我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥．已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18，则半球的说法正确的是（ ）
A．半径是3 B．体积为
C．表面积为 D．表面积为
【答案】ABC
【分析】作出正四棱锥的对角面，为半球的半个大圆的内接三角形，由图形可用球的半径表示出棱锥底面边长，高，由棱锥体积求得半球半径．然后计算半球体积，表面积，判断各选项．
【详解】如图，是正四棱锥的对角面，设球半径为，是半圆的直径，则正四棱锥底面边长为，棱锥体积为，，
半球体积为，
表面积为，
故选：ABC．
8．我们把所有棱长都相等的正棱柱(锥)叫“等长正棱柱(锥)”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱(锥)”的棱长都为1，则下列说法中正确的有（ ）
A．正方体的棱切球的半径为
B．正四面体的棱切球的表面积为
C．等长正六棱柱的棱切球的体积为
D．等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为
【答案】BCD
【分析】选项A：正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线；
选项B：把正四面体ABCD放到正方体中，则正方体的棱长即为正四面体的棱切球的直径；
选项C：等长正六棱柱的棱切球的直径为底面最长的面对角线；
选项D：棱切球被每一个面所截，截面为该面的内切圆.
【详解】正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，正方体的棱切球的半径为面对角线的一半，即为，选项A错误；
如图，四面体ABCD为棱长为1的正四面体，把正四面体ABCD放到正方体中，则正方体的棱长即为正四面体的棱切球的直径，所以正四面体的棱切球的半径为，即正四面体的棱切球的表面积为，选项B正确；
如图，等长正六棱柱的棱切球的直径为AB，即直径为2，半径为1，所以等长正六棱柱的棱切球的体积为，选项C正确；
由棱切球的定义可知，棱切球被每一个面所截，截面为该面的内切圆，
则等长正四棱锥的底面内切圆的面积为 ，
每个侧面正三角形的内切圆的半径为正三角形高的，即，所以四个侧面正三角形的内切圆的面积为，所以等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面截得的截面面积之和为，选项D正确.
故选：BCD.
三、填空题
9．已知正方形的面积为4，其直观图是四边形，则四边形的面积是____________．
【答案】
【分析】按照斜二测画法，判断出直观图是邻边分别为2和1，一个内角为的平行四边形，即可求解.
【详解】按照斜二测画法，边长为2的正方形的直观图是邻边分别为2和1，一个内角为的平行四边形，其面积为．
故答案为：
10．已知圆锥的表面积为a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为__________m．
【答案】
【分析】根据圆锥的表面积公式以及弧长公式即可求出．
【详解】设圆锥的底面半径为，直径为，母线长为，所以，
，，解得，即．
故答案为：．
11．四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为______
【答案】
【分析】由题意画出图形，补形为长方体，求其对角线长，可得四面体外接球的半径，则表面积可求．
【详解】解：如图，在四面体中，底面，，，
可得，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，，
则长方体的对角线长为，则三棱锥的外接球的半径为1．
其表面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，补形是关键，属于中档题．
12．在直三棱柱中，，，，则此直三棱柱的外接球的表面积是______．
【答案】
【分析】先求得底面外接圆的半径，再根据三棱柱外接球的半径与三棱柱高以及外接圆半径的关系，求得球的半径，可得答案.
【详解】如图所示，
设的外接圆的半径为，则，
解得．
设直三棱柱的外接球的球半径为，所以，
所以该直三棱柱外接球的表面积是,
故答案为：
四、解答题
13．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上 下底面积之比是1：16，圆台的母线长为15，求圆锥的母线长.
【答案】20
【分析】由题意可知圆台的上半径r=1，圆台底面半径R=4，结合相似三角形即可得出结果.
【详解】根据圆锥截面图，设圆台的上半径r=1，则下圆台底面半径R=4.由相似三角形可得母线长.
解：由题意圆台的上 下底面积之比是1：16，
设圆台的上半径r=1，则下圆台底面半径R=4.
设母线长为x.
由相似三角形可得：
解得：x=20.
故得圆锥的母线长为20.
14．在三棱锥中，，，，，侧棱SB与底面ABC垂直，求三棱锥的外接球半径.
【答案】
【分析】通过补形构造长方体，可知长方体的棱长为 2，2， 计算对角线得到直径即可.
【详解】∵，，，∴，
∴，又侧棱SB与底面ABC垂直，
∴可以将三棱锥放置在如图所示的长方体中，三棱锥的外接球的直径即为长方体的体对角线.

设外接球的半径为R，则，
∴.
15．在如图所示几何体中，平面平面，，，，，．若该几何体左视图（侧视图）的面积为．
（1）画出该几何体的主视图（正视图）并求其面积；
（2）求出多面体的体积．
【答案】（1）主视图（正视图）见解析，；（2）.
【分析】（1）根据侧视图计算出的边上的高，进而可作出几何体的主视图，利用梯形的面积公式可求得几何体的主视图的面积；
（2）分别取、的中点、，连接、，推导出平面，计算出和梯形的面积，利用锥体的体积公式可求得多面体的体积.
【详解】（1）在几何体中，平面平面，
设的边上的高为，则该几何体的侧视图的面积为，得，
又因为，所以，该几何体的主视图（正视图）如下图所示：
由图可知，该几何体的主视图为直角梯形，其面积为；
（2）分别取、的中点、，连接、，如下图所示：
，为的中点，所以，，
由（1）可知，，，
由勾股定理可得，所以，为等边三角形，
为的中点，，且.
，，，，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
、平面，，，
，平面，
，，
所以，梯形的面积为，
因此，.
【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：
（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；
（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
16．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于441 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．
【答案】高为cm，母线长21cm，两底面半径分边为和cm.
【分析】设圆台上、下底面半径分别为x cm和3x cm，延长AA1交OO1的延长线于点S，得到∠ASO＝45°，从而可得A1O1＝x，OO1＝2x，再由梯形面积公式求解x，从而可得解.
【详解】圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm和3x cm，延长AA1交OO1的延长线于点S.
在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SA1O1＝∠SAO＝45°，
所以SO＝AO＝3x，SO1＝A1O1＝x，所以OO1＝2x，
又 (6x＋2x)·2x＝441，解得x＝，
所以圆台的高OO1＝ (cm)，母线长l＝OO1＝21(cm)，
两底面半径分别为cm和cm.
【点睛】本题主要考查了圆台的几何特征，属于基础题.
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8.1 基本立体图形及几何体的表面积与体积
思维导图
知识点总结
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相 且 多边形 互相 且
侧棱 相交于 ，但不一定相等 延长线交于
侧面形状 梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等， 于底面 相交于 延长线交于
轴截面 等腰梯形 圆面
侧面展开图 扇环
2.直观图的斜二测画法
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为 ，z′轴与x′轴、y′轴所在平面 .
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别 坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的 .
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝ S圆锥侧＝ S圆台侧＝
4.简单几何体的表面积和体积
几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝
球 S＝ V＝
[常用结论]
1.正方体与球的内切、外接常用结论：正方体的棱长为a，球的半径为R，
(1)若球为正方体的外接球，则2R＝a；
(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；
(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
2.长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，其外接球的半径为R，则2R＝.
3.正四面体的外接球的半径R＝a，内切球的半径r＝a，其半径R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长).
4.直观图与原平面图形面积间的关系S直观图＝S原图形.
典型例题分析
考向一 　基本立体图形和直观图
角度1　结构特征
例1 给出下列四个命题，正确的是(　　)
A.有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱
B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体
D.底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱
感悟提升　空间几何体结构特征的判断技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.
(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.
角度2　直观图
例2如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是(　　)
A.2＋ B.
C. D.1＋
感悟提升　1.在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”
2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原平面图形面积的关系：
S直观图＝S原图形.
角度3　展开图
例3(1) (2023·福州检测)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，F是线段A1B1上的动点，则AF＋FC1的最小值为________.
(2)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________.
感悟提升　几何体的表面展开图可以有不同的形状，应多实践、观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状.
考向二 面积与体积
角度1　侧面积与表面积
例4(2023·长沙质检)如图，一种棱台形状的无盖容器(无上底面A1B1C1D1)模型其上、下底面均为正方形，面积分别为4 cm2，9 cm2，且A1A＝B1B＝C1C＝D1D.若该容器模型的体积为 cm3，则该容器模型的表面积为________.
角度2　体积
例5 (1)(2023·肇庆质检)如图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2 cm、底面边长为1 cm的正三棱锥，后段是高为0.6 cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为(　　)
A.0.25 cm3 B.0.65 cm3
C.0.15 cm3 D.0.45 cm3
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺的问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)(　　)
A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3
C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3
(3)(2023·潍坊模拟)《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF与平面ABCD平行，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是(　　)
A.4立方丈 B.5立方丈
C.6立方丈 D.8立方丈
(3)(2020·新高考Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________.
感悟提升　1.空间几何体表面积的求法
(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.
2.求空间几何体的体积的常用方法
(1)公式法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解；
(2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体；
(3)等体积法：通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积.
基础题型训练
一、单选题
1．半径为1的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，是水平放置的的直观图，轴，轴，，，则中，（ ）
A． B． C． D．
3．用斜二测画法画水平放置的的直观图如图所示，则在的三边及中线AD中，最长的线段是（ ）
A．AB B．AD C．BC D．AC
4．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是（ ）
A． B．
C． D．
5．若一个圆锥的高为3，母线与底面所成角为60°，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．3π B．3π C．6π D．6π
6．已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为6，在该圆柱内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则a的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题
7．下列关于圆柱的说法中正确的是（ ）
A．圆柱的所有母线长都相等
B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D．一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转所形成的几何体是圆柱
8．下列命题正确的是（ ）
A．长方体是直四棱柱，直四棱柱是长方体
B．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
三、填空题
9．半径为的球的表面积为___________.
10．已知圆台的上、下底面半径分别为2和5，圆台的高为3，则此圆台的体积为__．
11．现有一个棱长为3的正方体，如果以这个正方体的一个顶点为球心，以为半径作球面，那么该球面被这个正方体的表面所截得的所有弧长的和为__________.
12．往一球型容器注入cm3的水，测得水面圆的直径为cm，水深为cm，若以cm3/s的速度往该容器继续注水，当再次测得水面圆的直径为cm时，则需经过______s.
四、解答题
13．作出圆锥的直观图.
14．如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是与.如图所示，俯视图是一个边长为的正方形.
（1）求该几何体的表面积；
（2）求该几何体的体积.
15．如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，求的取值范围．

16．若已知一个三角形的面积为S，它的直观图面积是多少？
提升题型训练
一、单选题
1．一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为，则该圆锥的母线长为（ ）
A．3 B． C．6 D．
2．已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，球的表面积为，则该圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一个水平放置的面积是的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，其中，则等腰梯形面积为（ ）
A． B． C． D．
4．在三棱锥中，，二面角为直二面角，当三棱锥的体积的最大值为时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．在正三棱锥中，、分别是棱、的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
6．棱长为2的正方体截去四个小三棱锥所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )
A．4 B． C． D．8
二、多选题
7．我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥．已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18，则半球的说法正确的是（ ）
A．半径是3 B．体积为
C．表面积为 D．表面积为
8．我们把所有棱长都相等的正棱柱(锥)叫“等长正棱柱(锥)”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱(锥)”的棱长都为1，则下列说法中正确的有（ ）
A．正方体的棱切球的半径为
B．正四面体的棱切球的表面积为
C．等长正六棱柱的棱切球的体积为
D．等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为
三、填空题
9．已知正方形的面积为4，其直观图是四边形，则四边形的面积是____________．
10．已知圆锥的表面积为a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为__________m．
11．四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为______
12．在直三棱柱中，，，，则此直三棱柱的外接球的表面积是______．
四、解答题
13．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上 下底面积之比是1：16，圆台的母线长为15，求圆锥的母线长.
14．在三棱锥中，，，，，侧棱SB与底面ABC垂直，求三棱锥的外接球半径.
15．在如图所示几何体中，平面平面，，，，，．若该几何体左视图（侧视图）的面积为．
（1）画出该几何体的主视图（正视图）并求其面积；
（2）求出多面体的体积．
16．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于441 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．
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