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8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
思维导图
知识点总结
1.与平面有关的基本事实及推论
(1)与平面有关的三个基本事实
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
(2)“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
2.空间点、直线、平面之间的位置关系
(1)空间中直线与直线的位置关系
(2)空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况.
(3)空间中平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.
3.基本事实4和等角定理
(1)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
(2)等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
4.异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围：.
[常用结论]
1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3；
2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.
典型例题分析
考向一 　基本事实的应用
例1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE.求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点.
证明　(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥A1B，
且EF＝A1B，
又∵A1D1∥BC，且A1D1＝BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1，
又EF∥A1B，
∴EF∥CD1，
∴EF与CD1能够确定一个平面ECD1F，
即E，C，D1，F四点共面.
(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝CD1，
∴四边形CD1FE是梯形，
∴CE与D1F必相交，设交点为P，
则P∈CE，且P∈D1F，
∵CE 平面ABCD，D1F 平面A1ADD1，
∴P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1，
又∵平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，
∴P∈AD，
∴CE，D1F，DA三线共点.
感悟提升　共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.
(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.
(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
考向二 空间两直线位置关系的判断
例2 (1)(多选)已知A，B是不在平面α内的任意两点，则(　　)
A.在平面α内存在直线与直线AB异面
B.在平面α内存在直线与直线AB相交
C.存在过直线AB的平面与平面α垂直
D.在平面α内存在直线与直线AB平行
答案　AC
解析　当AB∥α时，在平面α内不存在直线与直线AB相交，所以B不正确；
当直线AB与平面α相交时，在平面α内不存在直线与直线AB平行，所以D不正确；
当直线AB与平面α相交或平行时，在平面α内均存在直线与直线AB异面，且均存在过直线AB的平面与平面α垂直，所以A，C正确，故选AC.
(2)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为________.
答案　②④
解析　根据异面直线的定义可知，在题图②④中，直线GH，MN是异面直线.
在题图①中，由G，M均为所在棱的中点可知
GH∥MN.
在题图③中，连接GM，因为G，M均为所在棱的中点，所以GM∥HN，且GM＝HN，所以四边形GMNH为梯形，则GH与MN相交.
感悟提升　空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.异面直线的判定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.
考向三 求异面直线所成的角
例3 (1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　法一　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接C1P，BC1，
则AD1∥BC1，
所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角，
设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
则BC1＝2，PC1＝B1P＝＝，
BP＝＝，
在△BPC1中，cos∠PBC1＝＝，
所以∠PBC1＝.
法二　如图，连接BC1，A1B，A1P，PC1，则易知AD1∥BC1，所以直线PB与AD1所成的角等于直线PB与BC1所成的角，
由P为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点，知A1，P，C1三点共线，且P为A1C1的中点.易知A1B＝BC1＝A1C1，
所以△A1BC1为等边三角形 ，
所以∠A1BC1＝，
又P为A1C1的中点，
所以可得∠PBC1＝∠A1BC1＝，
故直线PB与AD1所成的角为.
(2) (1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　法一　如图，补上一相同的长方体CDEF－C1D1E1F1，连接DE1，B1E1.
易知AD1∥DE1，
则∠B1DE1为异面直线AD1与DB1所成角.
因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
AB＝BC＝1，AA1＝，
所以DE1＝＝＝2，
DB1＝＝，
B1E1＝＝＝，
在△B1DE1中，由余弦定理，
得cos∠B1DE1＝＝，
即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.
法二　如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知点O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角.
因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，
所以AD1＝＝2，
DM＝＝，
DB1＝＝，
所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝，
于是在△DMO中，由余弦定理，
得cos∠MOD＝＝，
即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.
感悟提升　综合法求异面直线所成角的步骤：
(1)作：通过作平行线得到相交直线；
(2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角)；
(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.
基础题型训练
一、单选题
1．已知，，，则与两边方向相同的等于（ ）
A．60° B．60°或120° C．120° D．以上结论都不对
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用等角定理直接求解作答.
【详解】因，，又与两边方向相同，
所以.
故选：A
2．在正方体中，异面直线与所成角的大小为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，则或其补角为所求的异面直线所成的角，利用 为等边三角形可以其大小．
【详解】如图，连接，
因为，所以异面直线与所成的角为或其补角.
因为为等边三角形，所以.故选C.
【点睛】空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.
3．异面直线上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是( )
A．20 B．9 C． D．
【答案】B
【分析】过一条直线和直线外一点可以确定唯一平面，据此即可求解．
【详解】过一条直线和直线外一点可以确定唯一平面，
故过a上任一点与直线b(或直线b上两点)可确定一个平面，∵a上有4个点，故共可确定4个平面；
过b上任一点与直线a(或直线a上两点)可确定一个平面，∵b上有5个点，故共可确定5个平面；
故共可确定9个平面．
故选：B．
4．已知、是不同的直线，、是不同的平面，下列命题中真命题为（ ）
A．若∥，则∥ B．若∥，∥，则∥
C．若∥，，则∥ D．若∥，∥，则∥
【答案】C
【分析】根据空间直线、平面的位置关系，对四个选项一一判断即可.
【详解】对于A：若∥，则∥或、异面.故A错误；
等于B：若∥，∥，则∥或、相交.故B错误；
对于C：因为∥，，所以∥（面面平行的性质定理）.故C正确；
对于D：若∥，∥，则∥或.故D错误.
故选：C
5．平面的斜线l与平面交于点A，且斜线l与平面所成的角是，则与平面内所有不过点A的直线所成的角的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据线面角中最小角定理求解．
【详解】斜线l与平面所成的角是，则直线与平面内所有直线所成角中最小角为，显然为最大角为，因此范围为，
故选：C．
6．如图，在正四棱锥中，设直线与直线、平面所成的角分别为、，二面角的大小为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】连接、交于，连，取的中点，连，根据正棱锥的性质可知，，，，再比较三个角的正弦值可得结果.
【详解】连接、交于，连，取的中点，连，如图：
因为，所以，又因为四棱锥为正四棱锥，所以，
由正四棱锥的性质可知，平面，所以，
易得，，所以，
因为，，且，所以，又都是锐角，所以，
因为，，且，所以，因为都是锐角，所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：根据正棱锥的性质，利用异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义得到这三个角是解题关键，属于中档题.
二、多选题
7．下列命题中正确的是（ ）
A．如果一个平面内有两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
B．如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C．分别在两个平行平面内的两条直线互相平行
D．过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行
【答案】BD
【分析】根据面面平行的判定定理及性质定理，即可做出判断.
【详解】对于A，一个平面内两条直线相交平行于另一个平面，这两个平面平行，故错误；
对于B，如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，满足有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，故正确；
对于C，分别在两个平行平面内的两条直线，可能平行也可能异面，故错误；
对于D，过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行，正确，否则若有两个平面与已知平面平行，则重合．
故选：BD
8．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则；
B．若，，，则；
C．若，，则；
D．若，，，则；
【答案】BC
【分析】由题意结合线线、线面、面面位置关系，逐项判断即可得解.
【详解】若，，则m可能在平面内，故A不正确；
若，，，则，故B正确；
若，，则，故C正确；
若，，，则m与n有可能平行，故D不正确；
故选：BC.
三、填空题
9．正方体中，异面直线与所成角的大小为________．
【答案】/
【分析】画图平移，将异面直线与所成角转化为平面角，
再根据解三角形得结果.
【详解】如图所示：连接，
因为，所以异面直线与所成角为,
因为为正三角形，所以，
即异面直线与所成角的大小为
故答案为：
10．如图所示，正方形的边长为，已知， 将直角沿边折起，折起后点在平面上的射影为点，则翻折后的几何体中与所成角的正切值为_____．
【答案】
【分析】连接，根据平行关系可知即为与所成角；根据线面垂直的性质和判定定理可证得，从而可求得，利用同角三角函数可求得结果.
【详解】连接，如下图所示：
四边形为正方形 ，
与所成角即为与所成角，即
点在平面上的射影为点 平面
又平面
平面， 平面
平面

即与所成角的正切值为
本题正确结果；
【点睛】本题考查异面直线所成角的求解问题，涉及到立体几何中的翻折变换问题，关键是能够通过平行关系将异面直线成角转变为相交直线所成角，从而根据垂直关系在直角三角形中来进行求解.
11．下列命题正确的有______
①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内;
②若直线上有无数个点不在平面α内,则∥α;
③若直线与平面α相交,则与平面α内的任意直线都是异面直线;
④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交;
⑤若直线与平面α平行,则与平面α内的直线平行或异面;
⑥若平面α∥平面β,直线aα,直线bβ,则直线a∥b.
【答案】①⑤
【分析】由题意结合立体几何的结论和基本定理考查题中所给的说法是否正确即可.
【详解】逐一考查所给命题的真假：
①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内，题中的命题正确;
②若直线上有无数个点不在平面α内,有可能直线与平面相交，题中的命题错误；
③若直线与平面α相交,则与平面α内的任意直线是异面直线或相交直线，题中的命题错误；
④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交、平行或直线在平面内，题中的命题错误；
⑤若直线与平面α平行,则与平面α内的直线平行或异面，题中的命题正确；
⑥若平面α∥平面β,直线aα,直线bβ,则直线a∥b或a与b异面，题中的命题错误；
综上可得：正确的命题编号为①⑤.
【点睛】本题主要考查线面关系有关命题的判定，属于基础题.
12．三棱锥P－ABC中，二面角P－AB－C为120°，和均为边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC外接球的半径为______．
【答案】
【分析】作出图形，根据条件可知：球心既过的外心垂直平面的垂线上，又在过的外心垂直平面的垂线上，然后利用二面角的大小和勾股定理即可求解.
【详解】作出三棱锥P－ABC，如图所示：为的中点，分别为和的外心，过点分别作平面和平面的垂线，交点为，连接.根据题意可知：球心既过的外心垂直平面的垂线上，又在过的外心垂直平面的垂线上，所以三棱锥外接球的球心，设外接球半径，
由题意知：和均为边长为2的正三角形，所以，，所以即为二面角P－AB－C的平面角，因为二面角P－AB－C为120°，也即，因为和均为边长为2的正三角形，所以，，则，
所以，则，
在中，因为，，所以，
又因为，所以在中，，
即，所以，
故答案为：.
四、解答题
13．四条线段顺次首尾相接，所得的图形一定是平面图形吗？为什么？
【答案】不一定；理由见解析；
【分析】空间中四条线段首尾相接，可能构成空间四边形；
【详解】空间中四条线段首尾相接，可能构成空间四边形，如图所示：
14．在四面体中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：

(1)，，，四点共面；
(2)直线，，相交于一点．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据基本事实的推论证明即可；
（2）根据基本事实3证明即可.
【详解】（1）
连接，，
在三角形中，，所以，
∵，分别是边，的中点，
∴，
∴，，，，四点共面.
（2）∵，为中点，
∴与不平行，
∵平面，
∴与相交，
设，
∵，平面，
∴平面，同理平面，
∵平面平面，
∴，
∴直线，，相交于一点.
15．空间四边形中，，点分别为对角线、的中点.
（1）若直线与所成角为，求直线与所成角的大小；
（2）若直线与所成角为，求直线与所成角的大小.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】取中点为，连接，，根据题中条件，由异面直线所成角的定义，得到即是直线与所成的角，或所成角的补角，为直线与所成的角，且为等腰三角形；
（1）根据条件，得到，求出，即可得出结果；
（2）根据条件，得到或，进而可求出结果.
【详解】取中点为，连接，，
因为点分别为对角线、的中点，
所以，，且，，
则即是直线与所成的角，或所成角的补角，为直线与所成的角，
又，所以，即为等腰三角形；
（1）若直线与所成角为，即，
则，
所以直线与所成角的大小为；
（2）若直线与所成角为，
则或，
若，则，
即直线与所成角的大小为；
若，则，
即直线与所成角的大小为.
综上， 直线与所成角的大小为或.
【点睛】本题主要考查求异面直线所成的角，熟记异面直线所成角的定义即可，属于常考题型.
16．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点．
（1）求证：AE⊥B1C；
（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；
（3）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的正切值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）由BB1⊥面ABC及线面垂直的性质可得AE⊥BB1，由AC=AB，E是BC的中点，及等腰三角形三线合一，可得AE⊥BC，结合线面垂直的判定定理可证得AE⊥面BB1C1C，进而由线面垂直的性质得到AE⊥B1C；
（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，根据异面直线夹角定义可得，∠E1A1C是异面直线A与A1C所成的角，设AC=AB=AA1=2，解三角形E1A1C可得答案．
（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC，由直三棱锥的侧面与底面垂直，结合面面垂直的性质定理，可得EP⊥平面ACC1A1，进而由二面角的定义可得∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．
【详解】
证明：（1）因为BB1⊥面ABC，AE 面ABC，所以AE⊥BB1
由AB=AC，E为BC的中点得到AE⊥BC
∵BC∩BB1=B∴AE⊥面BB1C1C
∴AE⊥B1C
解：（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，
则AE∥A1E1，
∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角．
设AC=AB=AA1=2，则由∠BAC=90°，
可得A1E1=AE=，A1C=2，E1C1=EC=BC=
∴E1C==
∵在△E1A1C中，cos∠E1A1C==
所以异面直线AE与A1C所成的角为．
（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC
又∵平面ABC⊥平面ACC1A1
∴EP⊥平面ACC1A1
而PQ⊥AG∴EQ⊥AG．
∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．
由EP=1，AP=1，PQ=，得tan∠PQE==
所以二面角C-AG-E的平面角正切值是
【点睛】本题是与二面角有关的立体几何综合题，主要考查了异面直线的夹角，线线垂直的判定，二面角等知识点，难度中档，熟练掌握线面垂直，线线垂直与面面垂直之间的转化及异面直线夹角及二面角的定义，是解答本题的关键．
提升题型训练
一、单选题
1．给出下列三个命题：
①若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点；
②若直线与平面所成角为，则经过有且只有一个平面与垂直；
③平行于同一条直线的两个平面平行.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】对于①，由直线与面平行的定义可判断；
对于②，由直线与平面所成角的定义可判断；
对于③：平行于同一条直线的两个平面可能平行，可能相交，可判断.
【详解】对于①，由直线与面平行的定义知直线与平面平行，则直线与平面无公共点，所以与平面内的任意一条直线都没有公共点，故①正确；
对于②，因为直线与平面所成角为，所以过直线上的一点做平面的垂线h，有且只有一条，直线l与直线h所构成的平面与平面垂直，并且此平面有且只有一个，所以经过有且只有一个平面与之垂直；故②正确；
对于③：平行于同一条直线的两个平面可能平行，可能相交，故③不正确，
所以正确的命题有①②，共2个，
故选：C.
2．设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断．
【详解】，，则或是异面直线，A错；
，，则或，B错；
，，则，C正确；
若，，可能有，不一定成立，D错．
故选：C．
3．给出以下结论：
（1）直线∥平面，直线b ，则a∥b； （2）若a ，b，则a、b无公共点；
（3）若a，则a∥或a与相交； （4）若a∩＝A，则a.
正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据直线与平面的位置关系逐个分析可得答案.
【详解】对于（1），当直线a∥平面，直线b 时，则或与异面，故（1）错误；
对于（2），若a ，b，则a、b无公共点或只有一个公共点，故（2）错误；
对于（3），若a，则a∥或a与相交，故（3）正确；
对于（4），若a∩＝A，则a，故（4）正确.
故选：B.
【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了空间想象能力，属于基础题.
4．如图，在长方体中，，且为的中点，则直线与所成角的大小为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取的中点，可得直线与所成角即为直线与所成的，在中由余弦定理可得答案.
【详解】取的中点，连接，所以，
直线与所成角即为直线与所成的，
所以，，
，
在中由余弦定理可得,
因为，所以.
故选：C.

5．下列命题：
①若mα，则m与α内的任何直线平行；
②若α⊥β，bα，mβ，且b⊥m，则b⊥β；
③若mα，nα，且mβ，nβ，则αβ；
④若mα，nα，且a⊥m，a⊥n，则a⊥α；
⑤若l1∩l2=P，l2∩l3=Q，l3∩l1=S(P、Q、S是不同的三点)，则l1，l2，l3共面；
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据线线、线面的位置关系，结合平面的基本性质判断①②③④的线面关系，利用反证思想，假设l1，l2，l3不共面，结合已知推得矛盾结论判断⑤即可.
【详解】①若mα，则m与α内直线可能平行或异面，错误；
②若α⊥β，bα，mβ且b⊥m，则b与β可能平行、相交(含垂直)，错误；
③若mα，nα且mβ，nβ，当相交时有αβ，否则α、β不一定平行，错误；
④若mα，nα且a⊥m，a⊥n，当相交时有a⊥α，否则a、α不一定垂直，错误；
⑤由l1∩l2=P，令l1、l2，若l1，l2，l3不共面，又l2∩l3=Q，则，而l3∩l1=S则，故应为同一个点，与P、Q、S是不同的三点矛盾，故l1，l2，l3共面，正确.
综上，真命题只有一个.
故选：B
6．如图，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB与CD所成角为，点E，F分别为BC，AD的中点，则直线AB与EF所成角为（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】A
【分析】取线段BD中点O，利用几何法确定异面直线所成的角，再分情况计算作答.
【详解】取BD中点O，连结EO、FO，在空间四边形ABCD中，AB与CD所成角为，
点E，F分别为BC，AD的中点，则，，因此是AB与CD所成角（或其补角），
是直线AB与EF所成角（或其补角），于是得或，
而AB＝CD，即有，则当时，，当时，，
所以直线AB与EF所成角为或．
故选：A
二、多选题
7．给出以下说法,其中正确的是
A．不共面的四点中,其中任意三点不共线
B．若点共面,点共面,则点共面
C．若直线共面,直线共面,则直线共面
D．过直线外一点和直线上三点的三条直线共面
【答案】AD
【解析】对于A，利用反证法说明；对于B，考虑若共线的情形；对于C，根据共面不具有传递性进行判断；对于D，根据过直线与直线外一点可确定个平面,即可判断.
【详解】在A中,假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面,
这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以A正确;
在B中,如图,
两个相交平面有三个公共点,且点共面,点共面,
但不共面,B不正确;
选项C显然不正确;
在D中,过直线与直线外一点可确定个平面,设为,
因此这三条直线都在平面内,即三条直线共面,D正确.
故选：AD.
【点睛】本题考查了确定平面的条件，需掌握课本中的定理，属于基础题.
8．如图，在长方体中，，M，N分别为棱的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．M，N，A，B四点共面 B．直线与平面相交
C．直线和所成的角为 D．平面和平面的夹角的正切值为2
【答案】BCD
【分析】A：连接，根据、、与面位置关系即可判断；B：为中点，连接，易得，根据它们与面的位置关系即可判断；C：若分别是中点，连接，易知直线和所成的角为，再证明△为等边三角形即可得大小；D：若分别是中点，求面和面的夹角即可，根据面面角的定义找到其平面角即可.
【详解】A：连接，如下图面，而面，面，
所以M，N，A，B四点不共面，错误；
B：若为中点，连接，N为棱的中点，
由长方体性质知：，显然面，
若面，而面，显然有矛盾，
所以直线与平面相交，正确；
C：若分别是中点，连接，
由长方体性质易知：，
而，故，即直线和所成的角为，
由题设，易知，即△为等边三角形，
所以为，正确；
D：若分别是中点，显然，易知共面，
所以平面和平面的夹角，即为面和面的夹角，
而面面，长方体中，，
如下图，为和面夹角的平面角，，正确.
故选：BCD
三、填空题
9．设与的两边分别平行，若，则___________.
【答案】或．
【分析】根据等角定理即可得到答案．
【详解】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补．
故答案为：或．
10．若向量，，，且共面，则____.
【答案】3
【解析】由共面条件得出方程组，由此求出的值．
【详解】解：向量，，，且共面，
所以存在两个实数x、y使得；
即，解得；
所以．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查空间向量的数量积问题，根据向量共面可假设存在两个实数x、y使得，进而列出方程组求解即可.空间向量共面，则任一向量可用其他两个或两个以上向量线性表示，要会熟练运用此结论进行解题.本题主要考查运算求解能力，属于基础题型.
11．如图，在正方体中，，中点为P，则过P A C三点的截面面积为___________.
【答案】
【分析】利用两平行直线确定一个平面的方法，作出截面图形为梯形，根据正方体棱长为1，求出梯形面积即可.
【详解】取的中点，连接，则有，
又，所以，梯形即为所求截面.
根据正方体的棱长等于1，求出梯形各边长，
，，，
所以梯形的高为，
面积
所以过、、三点的截面面积为
故答案为：.
12．已知a、b是异面直线，M为空间一点，M a，M b．给出下列命题：①存在一个平面α，使得b α，a∥α；②存在一个平面α，使得b α，a⊥α；③存在一条直线l，使得M∈l，l⊥a，l⊥b；④存在一条直线l，使得M∈l，l与a、b都相交．其中真命题的序号是_____．（请将真命题的序号全部写上）
【答案】①③
【详解】试题分析：利用空间中线线、线面、面面间的关系求解．
解：a、b是异面直线，M为空间一点，M a，M b，知：
①由唯一性定理得存在一个平面α，使得b α，a∥α，故①正确；
②过b上一点作a的平行线a′，b和a′确定一个平面α，使得b α，a∥α，故②错误；
③由两条异面直线有且只有一条公垂直线得存在一条直线l，使得M∈l，l⊥a，l⊥b，故③正确；
④点M分别与两直线a，b构成的两个平面的交线l，使得M∈l，但l与a、b不一定都相交，故④错误．
故答案为①③．
四、解答题
13．四条线段顺次首尾相接，所得的图形一定是平面图形吗？为什么？
【答案】不一定；理由见解析；
【分析】空间中四条线段首尾相接，可能构成空间四边形；
【详解】空间中四条线段首尾相接，可能构成空间四边形，如图所示：
14．空间四边形中，分别在上，且满足，．

求证：三线共点．
【答案】证明见解析
【分析】由题意可证且，则四边形为梯形，设，可证，得证三线共点．
【详解】，，
，，
，又，，，
四边形为梯形，
设，则，而平面ABD，所以平面ABD ，
又，平面BCD，所以平面BCD，
而平面平面，，
三线共点．
15．如图，在四面体中，，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的大小．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）设是中点，通过等腰三角形的性质证得，由此证得平面，从而证得.
（Ⅱ）判断出是二面角的平面角，判断出三角形的形状，由此求得二面角的大小.
【详解】（Ⅰ）设是中点，连接，由于，所以，
由于，所以平面，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以是二面角的平面角.
依题意，，，，
，，所以三角形是等边三角形，所以，也即二面角的大小为
【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，属于基础题.
16．已知S是矩形所在平面外一点，，，与所成角大小为，与所成角大小为，，分别求直线与的距离及与的距离．
【答案】，
【分析】根据异面直线所成的角，平行线的性质得，，，，从而求得的长，再由异面直线的距离定义证得公垂线，从而得结论．
【详解】∵,，，∴，
因为与所成角大小为，而，则，
因为与所成角大小为，而，则，
，则，，，
又是矩形，
所以线段是直线与的公垂线段，线段是与的公垂线线段，
所以直线与的距离是，与的距离是．
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8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
思维导图
知识点总结
1.与平面有关的基本事实及推论
(1)与平面有关的三个基本事实
基本事实1：过 的三个点，有且只有一个平面.
基本事实2：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 过该点的公共直线.
(2)“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2：经过两条 直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条 直线，有且只有一个平面.
2.空间点、直线、平面之间的位置关系
(1)空间中直线与直线的位置关系
(2)空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面 、直线与平面 三种情况.
(3)空间中平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系有 、 两种情况.
3.基本事实4和等角定理
(1)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线 .
(2)等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 .
4.异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围： .
[常用结论]
1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3；
2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.
典型例题分析
考向一 　基本事实的应用
例1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE.求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点.
感悟提升　共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.
(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.
(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
考向二 空间两直线位置关系的判断
例2 (1)(多选)已知A，B是不在平面α内的任意两点，则(　　)
A.在平面α内存在直线与直线AB异面
B.在平面α内存在直线与直线AB相交
C.存在过直线AB的平面与平面α垂直
D.在平面α内存在直线与直线AB平行
(2)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为________.
感悟提升　空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.异面直线的判定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.
考向三 求异面直线所成的角
例3 (1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　)
A. B.
C. D.
(2) (1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
感悟提升　综合法求异面直线所成角的步骤：
(1)作：通过作平行线得到相交直线；
(2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角)；
(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.
基础题型训练
一、单选题
1．已知，，，则与两边方向相同的等于（ ）
A．60° B．60°或120° C．120° D．以上结论都不对
2．在正方体中，异面直线与所成角的大小为
A． B． C． D．
3．异面直线上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是( )
A．20 B．9 C． D．
4．已知、是不同的直线，、是不同的平面，下列命题中真命题为（ ）
A．若∥，则∥ B．若∥，∥，则∥
C．若∥，，则∥ D．若∥，∥，则∥
5．平面的斜线l与平面交于点A，且斜线l与平面所成的角是，则与平面内所有不过点A的直线所成的角的范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在正四棱锥中，设直线与直线、平面所成的角分别为、，二面角的大小为，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．下列命题中正确的是（ ）
A．如果一个平面内有两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
B．如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C．分别在两个平行平面内的两条直线互相平行
D．过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行
8．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则；
B．若，，，则；
C．若，，则；
D．若，，，则；
三、填空题
9．正方体中，异面直线与所成角的大小为________．
10．如图所示，正方形的边长为，已知， 将直角沿边折起，折起后点在平面上的射影为点，则翻折后的几何体中与所成角的正切值为_____．
11．下列命题正确的有______
①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内;
②若直线上有无数个点不在平面α内,则∥α;
③若直线与平面α相交,则与平面α内的任意直线都是异面直线;
④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交;
⑤若直线与平面α平行,则与平面α内的直线平行或异面;
⑥若平面α∥平面β,直线aα,直线bβ,则直线a∥b.
12．三棱锥P－ABC中，二面角P－AB－C为120°，和均为边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC外接球的半径为______．
四、解答题
13．四条线段顺次首尾相接，所得的图形一定是平面图形吗？为什么？
14．在四面体中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：

(1)，，，四点共面；
(2)直线，，相交于一点．
15．空间四边形中，，点分别为对角线、的中点.
（1）若直线与所成角为，求直线与所成角的大小；
（2）若直线与所成角为，求直线与所成角的大小.
16．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点．
（1）求证：AE⊥B1C；
（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；
（3）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的正切值．
提升题型训练
一、单选题
1．给出下列三个命题：
①若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点；
②若直线与平面所成角为，则经过有且只有一个平面与垂直；
③平行于同一条直线的两个平面平行.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
3．给出以下结论：
（1）直线∥平面，直线b ，则a∥b； （2）若a ，b，则a、b无公共点；
（3）若a，则a∥或a与相交； （4）若a∩＝A，则a.
正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在长方体中，，且为的中点，则直线与所成角的大小为（ ）

A． B． C． D．
5．下列命题：
①若mα，则m与α内的任何直线平行；
②若α⊥β，bα，mβ，且b⊥m，则b⊥β；
③若mα，nα，且mβ，nβ，则αβ；
④若mα，nα，且a⊥m，a⊥n，则a⊥α；
⑤若l1∩l2=P，l2∩l3=Q，l3∩l1=S(P、Q、S是不同的三点)，则l1，l2，l3共面；
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．如图，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB与CD所成角为，点E，F分别为BC，AD的中点，则直线AB与EF所成角为（ ）
A．或 B． C． D．或
二、多选题
7．给出以下说法,其中正确的是
A．不共面的四点中,其中任意三点不共线
B．若点共面,点共面,则点共面
C．若直线共面,直线共面,则直线共面
D．过直线外一点和直线上三点的三条直线共面
8．如图，在长方体中，，M，N分别为棱的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．M，N，A，B四点共面 B．直线与平面相交
C．直线和所成的角为 D．平面和平面的夹角的正切值为2
三、填空题
9．设与的两边分别平行，若，则___________.
10．若向量，，，且共面，则____.
11．如图，在正方体中，，中点为P，则过P A C三点的截面面积为___________.
12．已知a、b是异面直线，M为空间一点，M a，M b．给出下列命题：①存在一个平面α，使得b α，a∥α；②存在一个平面α，使得b α，a⊥α；③存在一条直线l，使得M∈l，l⊥a，l⊥b；④存在一条直线l，使得M∈l，l与a、b都相交．其中真命题的序号是_____．（请将真命题的序号全部写上）
四、解答题
13．四条线段顺次首尾相接，所得的图形一定是平面图形吗？为什么？
14．空间四边形中，分别在上，且满足，．

求证：三线共点．
15．如图，在四面体中，，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的大小．
16．已知S是矩形所在平面外一点，，，与所成角大小为，与所成角大小为，，分别求直线与的距离及与的距离．
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