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（暑假预习课）长方体与正方体知识精讲+典型例题+跟踪训练-数学苏教版六年级上册
长方体的特征知识精讲
1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同．
2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱．
3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高．
4．长方体相邻的两条棱互相垂直．
【典型例题】
例1：我们在画长方体时一般只画出三个面，这是因为长方体（　　）
A、只有三个面 B、只能看到三个面 C、最多只能看到三个面
分析：长方体的特征是：6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相同．再根据观察物体的方法，从某个角度观察一个长方体最多能看到它的3个面．由此解答．
解：根据长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围，最多能看长方体的3个面．
答：这是因为长方体最多只能看到它的3个面．
故选：C．
点评：此题主要考查长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围．
例2：用一根52cm长的铁丝，正好可以焊成一个长为6cm，宽为4cm，高为（　　）cm的长方体框架．
A、2 B、3 C、4 D、5
分析：根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等．长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，已知棱长总和是52厘米，用棱长总和÷4求得长、宽、高的和，用长、宽、高的和减去长和宽就是它的高．由此列式解答．
解：52÷4﹣（6+4），
＝13﹣10，
＝3（厘米）；
答：高为3厘米的长方体的框架．
故选：B．
点评：此题主要考查长方体的特征及棱长总和的计算方法．根据棱长总和的计算方法解决问题．
正方体的展开图知识精讲
正方体展开图形如下情况：
【典型例题】
例1：将如图折成一个正方体后，“2”这个面与（　　）相对．
A、4 B、5 C、6 D、3
分析：根据正方体的表面展开图共有11种情况，本题中涉及到的是“33”型，由此可进行折叠验证，得出结论．
解：根据正方体的表面展开图的判断方法，此题是“33”型，折叠后2和5是相对的．
故选：B．
点评：此题考查了正方体的展开图．
例2：下列图形都是由相同的小正方形组成，哪一个图形不能折成正方体？（　　）
分析：根据正方体的表面展开图共有11种情况，本题中涉及到的是“141”型，即中间四个正方形围成正方体的侧面，上、下各一个为正方体的上、下底，由此可进行选择．
解：根据正方体的表面展开图的判断方法，A、B、D都是“141”型，所以A、B、D是正方体的表面展开图．
只有C答案中间有二个，上面有一个面，下面有三个面，折在一起会有重叠的情况；
故选：C．
点评：此题考查了正方体的展开图．
长方体和正方体的表面积知识精讲
长方体表面积：六个面积之和．
公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S＝6a2．（a表示棱长）
【典型例题】
例1：如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，那么它的表面积就扩大到原来的（　　）倍．
A、2 B、4 C、6 D、8
分析：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，设原来的棱长为a，则扩大后的棱长为2a，分别代入正方体的表面积公式，即可求得面积扩大了多少．
解：设原来的棱长为a，则扩大后的棱长为2a，
原正方体的表面积＝a×a×6＝6a2，
新正方体的表面积＝2a×2a×6＝24a2，
所以24a2÷6a2＝4倍，
故选：B．
点评：此题主要考查正方体表面积的计算方法．
例2：两个表面积都是24平方厘米的正方体，拼成一个长方体．这个长方体的表面积是（　　）平方厘米．
A、48 B、44 C、40 D、16
分析：两个表面积都是24平方厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积就比原来两个正方体减少了2个面，那么长方体的表面积等于正方体10个面的面积，所以先求出正方体一个面的面积，然后即可求出长方体的表面积．
解：24÷6＝4（平方厘米），
4×10＝40（平方厘米）；
答：长方体的表面积是40平方厘米．
故选：C．
点评：此题解答关键是理解两个正方体拼成长方体后，表面积会减少2个面，由此即可解决问题．
4．长方体和正方体的体积知识精讲
长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长）
【典型例题】
例1：一个正方体的棱长扩大3倍，体积扩大（　　）倍．
A、3 B、9 C、27
分析：正方体的体积等于棱长的立方，它的棱长扩大几倍，则它的体积扩大棱长扩大倍数的立方倍，据此规律可得．
解：正方体的棱长扩大3倍，它的体积则扩大33＝27倍．
故选：C．
点评：此题考查正方体的体积及其棱长变化引起体积的变化．
例2：一只长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米．如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
分析：根据题意知用水的体积加铁块的体积，再减去玻璃缸的容积，就是溢出水的体积．据此解答．
解：8×6×2.8+4×4×4﹣8×6×4，
＝134.4+64﹣192，
＝6.4（立方分米），
＝6.4（升）．
答：向缸里的水溢出6.4升．
点评：本题的关键是让学生理解：溢出水的体积＝水的体积+铁块的体积﹣玻璃缸的容积，这一数量关系．
跟踪训练
一．选择题（共8小题）
1．如图，一个长方体的底面周长是56厘米，高是8厘米，它的棱长总和是（　　）厘米。
A．64 B．88 C．256 D．144
2．如图是一个正方体的展开图，如果把它再折回成正方体，那么与3号相对的面是（　　）号。
A．1 B．4 C．5 D．6
3．一个长是26厘米、宽是18.5厘米、厚0.5厘米，最有可能是（　　）
A．普通手机 B．橡皮 C．新华字典 D．数学书
4．如图是棱长为1厘米的小正方体拼成的长方体。图（　　）不是长方体的面。
A． B．
C． D．
5．一个长方体三个面的面积分别为6、12、18，这个长方体的体积是（　　）
A．36 B．42 C．54 D．72
6．一个长方体，底面是一个周长为8cm的正方形，侧面展开后也是一个正方形，这个长方体的表面积是（　　）cm2。
A．36 B．72 C．48 D．68
7．如图关于甲、乙的表面积和体积说法正确的是（　　）
A．甲、乙的表面积相等，体积也相等。
B．甲、乙的表面积相等，甲的体积大于乙的体积。
C．甲的表面积大于乙的表面积，甲的体积大于乙的体积。
D．甲的表面积小于乙的表面积，甲的体积大于乙的体积。
8．学校要粉刷教室。已知一间教室的长是10m，宽是6m，高是3.5m，门窗的面积是18m2。这间教室需要粉刷的面积是（　　）m2。
A．154 B．172 C．214
二．填空题（共8小题）
9．相交于同一顶点的3条棱的 　 　分别叫作长方体的长、宽、高，一个长方体中一共有 　 　组长、宽、高。
10．把一根长48分米的铁丝围成一个正方体框架，表面糊上一层纸，糊纸的面积是 　 　平方分米，体积是 　 　立方分米。
11．如图是一个正方体的展开图，相对两个面得数相等，那么图中的a＝　 　。
12．用一根铁丝围成一个长方体框架，同一顶点的三条棱的长度如图，若用这根铁丝围成一个正方体框架，则这个正方体的表面积是 　 　。
13．一块正方体木料的棱长为8dm，它的体积是 　 　dm3。如果将它切割成两个长方体，则表面积增加了 　 　dm2。
14．若一个长方体的底面积是25cm2，高是4cm，则这个长方体的体积是 　 　cm3。
15．一个长方体玻璃容器，从里面量长是40cm、宽是20cm、高是50cm。向容器里注水，当容器内的水第一次出现正方形面时，这时容器中的水有 　 　L。
16．把一个长方体的长、宽、高分别扩大到原来的3倍，则它的棱长总和扩大到原来的 　 　倍，体积扩大到原来的 　 　倍。
三．计算题（共2小题）
17．计算下面各立体图形的表面积和体积。
18．按要求计算。
（1）求表面积。
（2）求体积。
四．应用题（共6小题）
19．一根长2米的长方体木料锯成2段后，表面积增加了60平方厘米。这根木料的体积是多少立方厘米？
20．运动会前，学校要给长3.5m、宽2m的长方体空沙坑里铺上48cm厚的沙子。一辆运沙车，每次能运沙0.8m3，至少运几次才能铺好沙？
21．把一根长120厘米的铁丝做成一个长9厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体框架后，还剩下多少厘米？
22．用一根60分米长的铁丝围成一个最大的正方体框架，若要在这个框架的表面焊上一层铁皮，至少需要多少平方分米的铁皮？
23．冰壶被称为“冰上国际象棋”，展现的是静动之美和取与舍的智慧。冬奥会冰壶赛场每条赛道长约46m，宽5m，通常铺设约0.045m厚的冰面。冰壶赛场铺设4条冰壶赛道，共需要用冰约多少立方米？
24．给一个新修的长50米、宽24米的长方体水池注水，注水速度为每小时200立方米，要注入深1.5米的水需要多长时间？
（暑假预习课）长方体与正方体知识精讲+典型例题+跟踪训练-数学苏教版六年级上册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，一个长方体的底面周长是56厘米，高是8厘米，它的棱长总和是（　　）厘米。
A．64 B．88 C．256 D．144
【分析】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等，一个长方体的底面周长是56厘米，说明两条长和两条宽的和是56厘米，再乘2加上4条高的和就是长方体的棱长总和。
【解答】解：56×2+8×4
＝112+32
＝144（厘米）
答：它的棱长总和是144厘米。
故选：D。
【点评】此题主要考查长方体的特征及棱长总和的计算方法。
2．如图是一个正方体的展开图，如果把它再折回成正方体，那么与3号相对的面是（　　）号。
A．1 B．4 C．5 D．6
【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，折成正方体后，1号面与 5号相对，2号面与5号面相对，3号面与6号面相对。
【解答】解：如图：
是一个正方体的展开图，如果把它再折回成正方体，那么与3号相对的面是6号。
故选：D。
【点评】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。
3．一个长是26厘米、宽是18.5厘米、厚0.5厘米，最有可能是（　　）
A．普通手机 B．橡皮 C．新华字典 D．数学书
【分析】长方体：有8个顶点，6个面，每个面都由长方形或相对的一组正方形组成，据此根据生活情境进行选择。
【解答】解：一个长是26厘米、宽是18.5厘米、厚0.5厘米，最有可能是数学书。
故选：D。
【点评】本题考查了长方体的应用。
4．如图是棱长为1厘米的小正方体拼成的长方体。图（　　）不是长方体的面。
A． B．
C． D．
【分析】观察可知，这个长方体的长是由4个小正方体排列而成的，因此这个长方体的长是1×4＝4（厘米）；宽是由3个小正方体排列而成的，因此这个长方体的宽是1×3＝3（厘米）；这个长方体有两层，因此这个长方体的高是1×2＝2（厘米），据此即可判断。
【解答】解：分析可知，不是这个长方体六个面中的一个。
故选：D。
【点评】本题考查长方体六个面的认识。
5．一个长方体三个面的面积分别为6、12、18，这个长方体的体积是（　　）
A．36 B．42 C．54 D．72
【分析】根据题意可知，这个长方体的三个面的面积：长×宽＝6，长×高＝12，宽×高＝18，据此可以求出三个算式的积，再根据长方体的体积＝长×宽×高，即可求出这个长方体的体积。
【解答】解：6×12×18＝1296
因为36×36＝1296，所以长方体的体积是36。
故选：A。
【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
6．一个长方体，底面是一个周长为8cm的正方形，侧面展开后也是一个正方形，这个长方体的表面积是（　　）cm2。
A．36 B．72 C．48 D．68
【分析】根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等．在长方体中如果有两个相对的面是正方形，那么其它4个侧面是完全相同的长方形．由此解答。
【解答】解：一个长方体，底面周长为8厘米的正方形，侧面展开也是一个正方形，由此可知长方体的高也是8厘米。
根据正方形的周长＝边长×4，则底面边长是：8÷4＝2（厘米）
长方体的表面积是：
2×2×2+8×8
＝8+64
＝72（平方厘米）
答：这个长方体的表面积是72平方厘米。
故选：B。
【点评】此题主要考查长方体的特征和表面积的计算，明确在长方体中如果有两个相对的面是正方形，那么其它4个侧面是完全相同的长方形。
7．如图关于甲、乙的表面积和体积说法正确的是（　　）
A．甲、乙的表面积相等，体积也相等。
B．甲、乙的表面积相等，甲的体积大于乙的体积。
C．甲的表面积大于乙的表面积，甲的体积大于乙的体积。
D．甲的表面积小于乙的表面积，甲的体积大于乙的体积。
【分析】根据长方体的表面积的意义、体积的意义可知，甲的表面积小于乙的表面积，甲的体积大于乙的体积。据此解答即可。
【解答】解：由分析得：甲的表面积小于乙的表面积，甲的体积大于乙的体积。
故选：D。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义、体积的意义及应用。
8．学校要粉刷教室。已知一间教室的长是10m，宽是6m，高是3.5m，门窗的面积是18m2。这间教室需要粉刷的面积是（　　）m2。
A．154 B．172 C．214
【分析】求出教室棚顶的面积和四个侧面的面积和，再减去门窗的面积，即可求出需要粉刷的面积。
【解答】解：10×6+10×3.5×2+6×3.5×2
＝60+70+42
＝172（平方米）
172﹣18＝154（平方米）
答：这间教室需要粉刷的面积是154平方米。
故选：A。
【点评】此题考查长方体表面积计算公式的应用。掌握长方体表面积计算公式是解答的关键。长方体表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2。
二．填空题（共8小题）
9．相交于同一顶点的3条棱的 　长度　分别叫作长方体的长、宽、高，一个长方体中一共有 　4　组长、宽、高。
【分析】长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱；长方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱，三条棱分别叫作长方体的长，宽，高。
【解答】解：相交于同一顶点的3条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高，一个长方体中一共有4组长、宽、高。
故答案为：长度，4。
【点评】本题考查了长方体的特征。
10．把一根长48分米的铁丝围成一个正方体框架，表面糊上一层纸，糊纸的面积是 　96　平方分米，体积是 　64　立方分米。
【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，那么棱长＝棱长总和÷12，据此求出棱长，再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，把数据代入公式解答。
【解答】解：48÷12＝4（分米）
4×4×6
＝16×6
＝96（平方分米）
4×4×4
＝16×4
＝64（立方分米）
答：湖纸的面积是96平方分米，体积是64立方分米。
故答案为：96，64。
【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
11．如图是一个正方体的展开图，相对两个面得数相等，那么图中的a＝　6　。
【分析】根据图示，本题的正方体展开图属于“1﹣3﹣2”型，相对两个面得数相等，折成正方体后，“2a”与“b”相对，“3a+4”与“22”相对，3a+4＝22，据此解答即可。
【解答】解：3a+4＝22
3a+4﹣4＝22﹣4
3a＝18
3a÷3＝18÷3
a＝6
答：图中的a＝6。
故答案为：6。
【点评】本题考查了正方体展开图知识，结合用字母表示数知识解答即可。
12．用一根铁丝围成一个长方体框架，同一顶点的三条棱的长度如图，若用这根铁丝围成一个正方体框架，则这个正方体的表面积是 　96cm2　。
【分析】长方体有12条棱，长宽高合计3条棱长之和的4倍即是铁丝的长度，据此计算出铁丝长度；正方体12条棱长均相等，据此求出正方体一条棱长的长度，再根据正方体表面积等于6乘棱长的平方即可求解。
【解答】解：（5+4+3）×4
＝12×4
＝48（cm）
48÷12＝4（cm）
6×4×4
＝24×4
＝96（cm2）
答：这个正方体的表面积是96cm2。
故答案为：96cm2。
【点评】本题考查了正方体表面积的计算。
13．一块正方体木料的棱长为8dm，它的体积是 　512　dm3。如果将它切割成两个长方体，则表面积增加了 　128　dm2。
【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可求出它的体积；将它切成两个长方体，增加了两个以8分米为边长的正方形的面的面积，正方形面积＝边长×边长，据此计算即可。
【解答】解：8×8×8
＝64×8
＝512（立方分米）
8×8×2
＝64×2
＝128（平方分米）
答：它的体积是512立方分米，表面增加了128平方分米。
故答案为：512；128。
【点评】此题考查正方体体积的计算。
14．若一个长方体的底面积是25cm2，高是4cm，则这个长方体的体积是 　100　cm3。
【分析】根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。
【解答】解：25×4＝100（立方厘米）
答：这个长方体的体积是100立方厘米。
故答案为：100。
【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
15．一个长方体玻璃容器，从里面量长是40cm、宽是20cm、高是50cm。向容器里注水，当容器内的水第一次出现正方形面时，这时容器中的水有 　16　L。
【分析】根据题意可知，当注入水的高等于长方体容器的宽（20厘米）时，第一次出现正方形的面，根据长方体的体积（容积）公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
【解答】解：40×20×20
＝800×20
＝16000（立方厘米）
16000立方厘米＝16升
答：这时容器中的水有16升。
故答案为：16。
【点评】此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。
16．把一个长方体的长、宽、高分别扩大到原来的3倍，则它的棱长总和扩大到原来的 　3　倍，体积扩大到原来的 　27　倍。
【分析】根据长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，再根据因数与积的变化规律，积扩大到原来的倍数等于因数扩大到原来倍数的乘积，据此解答即可。
【解答】解：设原来长为a，宽为b，高为h，则扩大后的长为3a，宽为3b，高为3h。
原来的棱长总和：（a+b+h）×4＝4（a+b+h）
现在的棱长总和：（3a+3b+3h）×4＝12（a+b+h）
棱长总和扩大倍数为：12（a+b+h）÷[4（a+b+h）]＝3
原来体积：abh
现在体积：3a×3b×3c＝27abc
体积扩大倍数为：（27abc）÷（abc）＝27
答：棱长之和扩大到原来的3倍，体积扩大27倍。
故答案为：3，27。
【点评】此题主要考查长方体的棱长总和公式、体积公式的灵活运用，因数与积的变化规律及应用。
三．计算题（共2小题）
17．计算下面各立体图形的表面积和体积。
【分析】①正方体表面积S＝6a2，正方体体积V＝a3，代入数值计算即可；
②长方体表面积S＝2（ab+ah+bh），长方体体积V＝abh，代入数值计算即可。
【解答】解：①表面积：6×6×6＝216（cm2）
体积：6×6×6＝216（cm3）
②表面积：（3×3+3×7+3×7）×2＝102（dm2）
体积：3×3×7＝63（dm3）
【点评】熟练运用长方体和正方体的表面积与体积公式是解答本题的关键。
18．按要求计算。
（1）求表面积。
（2）求体积。
【分析】（1）长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，代入数值即可解答；
（2）长方体的体积＝底面积×高，代入数值即可解答。
【解答】解：（1）（4×3×4×4）+4×4×2
＝192+32
＝224（cm2）
答：组成的长方体的表面积是224cm2。
（2）15×8＝120（cm3）
答：长方体的体积是120cm3。
【点评】此题考查了长方体的表面积和体积，要求学生掌握。
四．应用题（共6小题）
19．一根长2米的长方体木料锯成2段后，表面积增加了60平方厘米。这根木料的体积是多少立方厘米？
【分析】根据题意可知，把这根长方体木料横截成2段，表面积增加2个截面的面积，据此可以求出一个截面的面积，然后根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。
【解答】解：2米＝200厘米
60÷2×200
＝30×200
＝6000（立方厘米）
答：这根木料的体积是6000立方厘米。
【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
20．运动会前，学校要给长3.5m、宽2m的长方体空沙坑里铺上48cm厚的沙子。一辆运沙车，每次能运沙0.8m3，至少运几次才能铺好沙？
【分析】利用长方体体积公式：V＝abh计算沙子的体积，再除以0.8立方米即可。注意单位要统一。
【解答】解：48厘米＝0.48米
3.5×2×0.48÷0.8
＝3.36÷0.8
＝4（次）……0.16（立方米）
4+1＝5（次）
答：至少运5次才能铺好沙。
【点评】本题主要考查长方体体积公式的应用，关键注意“进一法”的应用。
21．把一根长120厘米的铁丝做成一个长9厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体框架后，还剩下多少厘米？
【分析】根据长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，代入数据求出棱长总和，再用120去减即可。
【解答】解：120﹣（9+4+6）×4
＝120﹣76
＝44（厘米）
答：还剩44厘米。
【点评】此题主要考查长方体的特征以及棱长总和的计算方法，直接根据公式解答即可。
22．用一根60分米长的铁丝围成一个最大的正方体框架，若要在这个框架的表面焊上一层铁皮，至少需要多少平方分米的铁皮？
【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，那么棱长＝棱长总和÷12，据此求出棱长，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答。
【解答】解：60÷12＝5（分米）
5×5×6
＝25×6
＝150（平方分米）
答：至少需要150平方分米的铁皮。
【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
23．冰壶被称为“冰上国际象棋”，展现的是静动之美和取与舍的智慧。冬奥会冰壶赛场每条赛道长约46m，宽5m，通常铺设约0.045m厚的冰面。冰壶赛场铺设4条冰壶赛道，共需要用冰约多少立方米？
【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
【解答】解：46×5×0.045×4
＝230×0.045×4
＝10.35×4
＝41.4（立方米）
答：共需要用冰约41.4立方米。
【点评】此题用考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
24．给一个新修的长50米、宽24米的长方体水池注水，注水速度为每小时200立方米，要注入深1.5米的水需要多长时间？
【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出需要注入水的体积，然后用需要注入水的体积除以每小时注入水的体积即可。
【解答】解：50×24×1.5÷200
＝1200×1.5÷200
＝1800÷200
＝9（小时）
答：要注入深1.5米的水需要9小时。
【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
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