资源简介

1．空间几何体的结构特征
(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行．
棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形．
棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的．
这三种几何体都是多面体．
(2)圆柱、圆锥、圆台、球分别是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的，它们都称为旋转体．在研究它们的结构特征以及解决应用问题时，常需作它们的轴截面或截面．
(3)由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本几何体．
2．空间几何体的三视图与直观图
(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；
它包括正视图、侧视图、俯视图三种．画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．
注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．熟记常见几何体的三视图．画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验．
(2)斜二测画法为：
主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法．它的主要步骤：(1)画轴；(2)画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x′、y′、z′轴的线段；(3)截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．
三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化，这也是高考考查的重点；根据三视图的画法规则理解三视图中数据表示的含义，从而可以确定几何体的形状和基本量．
3．几何体的侧面积和体积的有关计算
柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式
面积 体积
圆柱 S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h
圆锥 S侧＝πrl V＝Sh＝πr2h＝πr2
圆台 S侧＝π(r1＋r2)l V＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h
直棱柱 S侧＝Ch V＝Sh
正棱锥 S侧＝Ch′ V＝Sh
正棱台 S侧＝(C＋C′)h′ V＝(S上＋S下＋)h
球 S球面＝4πR2 V＝πR3
题型一　三视图与直观图
例1　将正方体如图(1)所示截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为(　　)
答案　B
解析　还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的投影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．
跟踪演练1　若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　)
答案　B
解析　所给选项中，A、C选项的正视图、俯视图不符合，D选项的侧视图不符合，只有B选项符合．
题型二　几何体的表面积与体积
例2　如图所示，已知三棱柱ABCA′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求三棱柱ABCA′B′C′的体积．
解　连接A′B，A′C，如图所示，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．
设所求体积为V，显然三棱锥A′ABC的体积是V.
而四棱锥A′BCC′B′的体积为Sa，
故有V＋Sa＝V，即V＝Sa.
跟踪演练2　某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)
A．16＋8π B．8＋8π
C．16＋16π D．8＋16π
答案　A
解析　将三视图还原为原来的几何体，再利用体积公式求解．
原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)，其体积为V＝4×2×2＋π×22×4＝16＋8π.
题型三　转化与化归思想
例3　如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm和10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳子长度的最小值．
解　如图所示，作出圆台的侧面展开图及其所在的圆锥．
连接MB′，P、Q分别为圆台的上、下底面的圆心．
在圆台的轴截面中，
∵Rt△OPA∽Rt△OQB，
∴＝，
∴＝.∴OA＝20(cm)．
设∠BOB′＝α，
由扇形弧的长与底面圆Q的周长相等，
得2×10×π＝2×OB×π×，
即20π＝2×(20＋20)π×，∴α＝90°.
∴在Rt△B′OM中，
B′M＝＝＝50(cm)，
即所求绳长的最小值为50 cm.
跟踪演练3　圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，从A到C圆柱侧面上的最短距离为(　　)
A．10 cm B. cm
C．5 cm D．5 cm
答案　B
解析　如图所示，沿母线BC展开，曲面上从A到C的最短距离为平面上从A到C的线段的长．
∵AB＝BC＝5，∴A′B＝＝×2π×＝π.
∴A′C＝＝ ＝5＝
(cm)．
研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决．
另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决．1．3.2　球的体积和表面积
[学习目标]　1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题．
[知识链接]
1．长、宽、高分别为a、b、c的长方体的表面积S＝2(ab＋bc＋ac)，体积V＝abc.
2．棱长为a的正方体的表面积S＝6a2，体积V＝a3.
3．底面半径为r，高为h，母线长为l的圆柱侧面积S侧＝2πrh，表面积S＝2πrh＋2πr2，体积V＝πr2h.
4．底面半径为r，高为h，母线长为l的圆锥侧面积S侧＝πrl，表面积S＝πr2＋πrl，体积V＝πr2h.
[预习导引]
球的体积公式与表面积公式
(1)球的体积公式V＝πR3(其中R为球的半径)．
(2)球的表面积公式S＝4πR2.
要点一　球的表面积和体积
例1　(1)已知球的表面积为64π，求它的体积；
(2)已知球的体积为π，求它的表面积．
解　(1)设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，
所以球的体积V＝πR3＝π·(4)3＝π.
(2)设球的半径为R，则πR3＝π，解得R＝5，
所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π.
规律方法　1.已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积．
2．已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径．
跟踪演练1　一个球的表面积是16π，则它的体积是(　　)
A．64π B.
C．32π D.π
答案　D
解析　设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的半径为2，体积V＝πR3＝π.
要点二　球的截面问题
例2　平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)
A.π B．4π
C．4π D．6π
答案　B
解析　如图，设截面圆的圆心为O′，
M为截面圆上任一点，
则OO′＝，O′M＝1.
∴OM＝＝.
即球的半径为.
∴V＝π()3＝4π.
规律方法　有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决．
跟踪演练2　已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为________．
答案　1或7
解析　若两个平行截面在球心同侧，如图(1)，则两个截面间的距离为－＝1；
若两个平行截面在球心异侧，如图(2)，则两个截面间的距离为＋＝7.
要点三　球的组合体与三视图
例3　某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积．
解　由三视图可知该几何体的下部是棱长为2的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体的表面积为
S＝×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π.
该几何体的体积为
V＝23＋×π×13＝8＋.
规律方法　1.由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积和体积，关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．
2．求解表面积和体积时要避免重叠和交叉．
跟踪演练3　已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．
答案　12π
解析　由三视图知组合体为球内接正方体，正方体的棱长为2，若球半径为R，则2R＝2，∴R＝.∴S球表＝4πR2＝4π×3＝12π.
1．直径为6的球的表面积和体积分别是(　　)
A．36π，144π B．36π，36π
C．144π，36π D．144π，144π
答案　B
解析　球的半径为3，表面积S＝4π·32＝36π，体积V＝π·33＝36π.
2．若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的(　　)
A．2倍 B．4倍
C．8倍 D．16倍
答案　C
解析　设气球原来的半径为r，体积为V，则V＝πr3，当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为原来的23＝8倍．
3．两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________．
答案　
解析　设大球的半径为R，则有πR3＝2×π×13，
R3＝2，∴R＝.
4．一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．
答案　14π
解析　长方体外接球直径长等于长方体对角线长，即2R＝＝，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.
5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．
答案　3π
解析　由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即×4π＋π＝3π.
1.球的表面积、体积公式是解决问题的重要依据，在球的轴截面图形中，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形，其量值关系是解决问题的主要方法．
2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．
一、基础达标
1．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是(　　)
A.π B.
C．4π D．32π
答案　C
解析　由题意可知，6a2＝24，∴a＝2.
设正方体外接球的半径为R，则
a＝2R，∴R＝，∴V球＝πR3＝4π.
2．一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为(　　)
A．8 B．8
C．8 D．4
答案　A
解析　∵球的半径为1，且正方体内接于球，
∴球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a，则有3a2＝4，即a2＝.
∴正方体的表面积为6a2＝6×＝8.
3．一个几何体的三视图(单位：m)如图所示，则该几何体的体积为________ m3.
答案　9π＋18
解析　将三视图还原为实物图后求解．
由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为；
上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1，
所以V＝π××2＋1×3×6＝9π＋18.
4．正方体的内切球与其外接球的体积之比为(　　)
A．1∶ B．1∶3
C．1∶3 D．1∶9
答案　C
解析　设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为a，它的外接球的半径为a，故所求的比为1∶3.
5．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为(　　)
A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2
C．4πRr D．π(R＋r)2
答案　C
解析　方法一　如图，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4r＝(R＋r)2－(R－r)2，
解得r1＝.故球的表面积为S球＝4πr＝4πRr.
方法二　如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA，OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高．由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即r＝Rr，故r1＝，故球的表面积为S球＝4πRr.
6．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为________．
答案　
解析　先求出球的半径，再根据正方体的体对角线等于球的直径求棱长．设正方体棱长为a，球半径为R，
则πR3＝π，∴R＝，∴a＝3，∴a＝.
7．盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？
解　设取出小球后，容器中水面下降h cm，
两个小球的体积为V球＝2＝(cm3)，
此体积即等于它们在容器中排开水的体积
V＝π×52×h，
所以＝π×52×h，
所以h＝，即若取出这两个小球，则水面将下降 cm.
二、能力提升
8．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为(　　)
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
答案　A
解析　利用球的截面性质结合直角三角形求解．
如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，
∴V球＝π×53＝π(cm3)．
9．一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　B
解析　由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示．由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r＝×(6＋8－10)＝2.因此选B.
10. 圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.
答案　4
解析　设球的半径为r，则圆柱形容器的高为6r，容积为πr2×6r＝6πr3，高度为8 cm的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×πr3＝4πr3，由题意得6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4(cm)．
11．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．
解　∵AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°.又球心O到截面△ABC的投影O′为截面圆的圆心，
也即是Rt△ABC的外接圆的圆心，
∴斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示)．
设O′C＝r，OC＝R，则球半径R，截面圆半径r，
在Rt△O′CO中，由题设知sin∠O′CO＝＝，
∴∠O′CO＝30°，∴＝cos 30°＝，即R＝r，(*)
又2r＝AC＝30 r＝15，代入(*)得R＝10.
∴球的表面积为S＝4πR2＝4π(10)2＝1 200π.
球的体积为V＝πR3＝π(10)3＝4 000π.
三、探究与创新
12. 如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积．(其中∠BAC＝30°)
解　如图所示，
过C作CO1⊥AB于O1.
在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，
∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R，∴S球＝4πR2，
S圆锥AO1侧＝π×R×R＝πR2，
S圆锥BO1侧＝π×R×R＝πR2，
∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧
＝πR2＋πR2＝πR2.
故旋转所得几何体的表面积为πR2.
13．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？
解　设圆锥形杯子的高为h cm，
要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须V圆锥≥V半球，
而V半球＝×πr3＝××43，
V圆锥＝Sh＝πr2h＝×42×h.
依题意：×42×h≥××43，
解得h≥8，
即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm，高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子．
又因为S圆锥侧＝πrl＝πr，
当圆锥高取最小值8时，S圆锥侧最小，
所以高为8 cm时，制造的杯子最省材料．1．3　空间几何体的表面积与体积
1．3.1　柱体、锥体、台体的表面积与体积
[学习目标]　1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体的表面积的求法.2.了解柱、锥、台体的表面积和体积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．
[知识链接]
1．棱柱的侧面形状是平行四边形；棱锥的侧面形状是三角形；棱台的侧面形状是梯形．
2．圆柱、圆锥、圆台的底面形状是圆．
3．三角形的面积S＝ah(其中a为底，h为高)，圆的面积S＝πr2(其中r为半径)，扇形的面积公式S＝lr(l为扇形的弧长，r为扇形的半径)．
4．长方体的体积V＝abc(其中a，b，c为长、宽、高)．
[预习导引]
1．多面体的表面积
多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积．
2．旋转体的表面积
名称 图形 公式
圆柱 底面积：S底＝2πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2
续表
圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πrl＋πr2
圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝πl(r＋r′) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
3.体积公式
(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.
(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.
(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝(S′＋＋S)h.
要点一　空间几何体的表面积
例1　如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．
解　以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm，下底半径是16 cm，母线DC＝＝13(cm)．
∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm2)．
规律方法　1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键．
2．棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解．
跟踪演练1　如图，已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体SABC，求它的表面积．
解　先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D.
因为BC＝a，SD＝＝ ＝a.
所以S△SBC＝BC·SD
＝a×a＝a2.
因此，四面体SABC的表面积S＝4×a2＝a2.
要点二　空间几何体的体积
例2　如图，三棱台ABCA1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1ABC，三棱锥BA1B1C，三棱锥CA1B1C1的体积之比．
解　设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.
∴VA1ABC＝S△ABC·h＝Sh，
VCA1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh.
又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，
∴VBA1B1C＝V台－VA1－ABC－VC－A1B1C1
＝Sh－－＝Sh，
∴体积比为1∶2∶4.
规律方法　求几何体体积的常用方法
跟踪演练2　如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d.
解　在三棱锥A1－ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，
A1B＝BD＝A1D＝a，
∵VA1－ABD＝VA－A1BD，
∴×a2·a＝××a×·a·d.
∴d＝a.∴A到平面A1BD的距离为a.
要点三　与三视图有关的表面积、体积问题
例3　一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是(　　)
A．4，8 B．4，
C．4(＋1)， D．8,8
答案　B
解析　由正视图得出四棱锥的底面边长与高，进而求出侧面积与体积．
由正视图知：四棱锥的底面是边长为2的正方形，四棱锥的高为2，∴V＝×22×2＝.四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为2，高为，∴S侧＝4××2×＝4.
规律方法　1.解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据．
2．若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和．
跟踪演练3　某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．
答案　16π－16
解析　由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π－16.
1．已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线的长是2，则这个长方体的体积是(　　)
A．6 B．12
C．24 D．48
答案　D
解析　设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x、2x、3x，又对角线长为2，则x2＋(2x)2＋(3x)2＝(2)2，解得x＝2.∴三条棱长分别为2、4、6.
∴V长方体＝2×4×6＝48.
2．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于(　　)
A. B．1
C. D.
答案　D
解析　根据正方体的俯视图及侧视图特征想象出其正视图后求面积．
由于该正方体的俯视图是面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，因此该几何体的正视图是一个长为，宽为1的矩形，其面积为.
3. 一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为(　　)
A．12π B．18π
C．24π D．36π
答案　C
解析　由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r＝3，母线l＝5，∴S表＝πrl＋πr2＝24π.故选C.
4．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
答案　
解析　根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4 m，高为2 m的圆锥，下部是一个底面直径为2 m，高为4 m的圆柱．
故该几何体的体积
V＝π×22×2＋π×12×4＝(m3)．
5．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比为________．
答案　
解析　设底面半径为r，侧面积＝4π2r2，表面积为＝2πr2＋4π2r2，其比为.
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．
2．计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．
3．在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”.
一、基础达标
1．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是(　　)
A．4π B．3π
C．2π D．π
答案　C
解析　底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.
2．圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于(　　)
A．72 B．42π C．67π D．72π
答案　C
解析　S圆台表＝S圆台侧＋S上底＋S下底
＝π(3＋4)·6＋π·32＋π·42＝67π.
3．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1ACD的体积是(　　)
A. B.
C. D．1
答案　A
解析　三棱锥D1ADC的体积V＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝×＝.
4．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是(　　)
A．72 cm3 B．90 cm3
C．108 cm3 D．138 cm3
答案　B
解析　该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示．
V＝V三棱柱＋V长方体＝×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm3)．
5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是(　　)
A. B.
C. D．1
答案　B
解析　如图，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，故其体积V＝××1×1×2＝，故选B.
6．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________．
答案　2∶1
解析　S圆柱＝2·π2＋2π··a＝πa2，
S圆锥＝π2＋π··a＝πa2，
∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1.
7．如图是某几何体的三视图．
(1)画出它的直观图(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积和体积．
解　(1)这个几何体的直观图如图所示．
(2)这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱(底面半径为1，高为2)，它的上部是一个圆锥(底面半径为1，母线长为2，高为)，
所以所求表面积为S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×2＝7π，
体积为V＝π×12×2＋×π×12×＝2π＋π.
二、能力提升
8．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是(　　)
A．54 B．54π
C．58 D．58π
答案　A
解析　设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝πh1(r2＋9r2＋3r·r)，
∴πr2h1＝12.令原圆锥的高为h，由相似知识得知＝，∴h＝h1，
∴V原圆锥＝π(3r)2×h＝3πr2×h1
＝×12＝54.
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)
A. B.
C．200 D．240
答案　C
解析　先将三视图还原为空间几何体，再根据体积公式求解．由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为2，下底长为8，高为4，故面积为S＝＝20.
又棱柱的高为10，所以体积V＝Sh＝20×10＝200.
10．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
答案　12
解析　设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.
由题意，得×6××2××h＝2，
∴h＝1，
∴斜高h′＝＝2，
∴S侧＝6××2×2＝12.
11．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.
解　由已知可得该几何体是一个底面为矩形、高为4、顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥VABCD.
(1)V＝×(8×6)×4＝64.
(2)该四棱锥的两个侧面VAD，VBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为h1＝ ＝4，另两个侧面VAB，VCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h2＝ ＝5.
因此S侧＝2
＝40＋24.
三、探究与创新
12．若E，F是三棱柱ABCA1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥ABEFC的体积．
解　如图所示，
连接AB1，AC1.
∵B1E＝CF，
∴梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积．
又四棱锥ABEFC的高与四棱锥AB1EFC1的高相等，
∴VABEFC＝VAB1EFC1＝VABB1C1C.
又VAA1B1C1＝S△A1B1C1·h，
VABCA1B1C1＝S△A1B1C1·h＝m，
∴VAA1B1C1＝，
∴VABB1C1C＝VABCA1B1C1VAA1B1C1＝m，
∴VABEFC＝×m＝，
即四棱锥ABEFC的体积是.
13．有位油漆工用一把长度为50 cm，横截面半径为10 cm的圆柱形刷子给一块面积为10 m2的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少？(精确到0.01秒)
解　圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，∵圆柱的侧面积为
S侧＝2πrl＝2π×0.1×0.5＝0.1π (m2)，
且圆柱形刷子以每秒5周的速度匀速滚动，
∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5π m2.
∴油漆工完成任务所需的时间
t＝＝≈6.37(秒)．第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征
[学习目标]　1.认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.2.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
[知识链接]
(1)如图①，在直角三角形ABC中，sin B＝，cos B＝.
(2)如图②，圆内接三角形ABC，AC过圆心，则∠B＝90°.
　　　　
　　　　①　　　　　　②　　　　　　　　③
(3)如图③，在△ABC中，DE∥BC，则＝.
[预习导引]
1．旋转体
(1)圆柱
①定义：以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．
②相关概念(图1)．
③表示法：圆柱用表示它的轴的字母表示，图中圆柱表示为圆柱O′O.
(2)圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．
②相关概念(图2)．
③表示法：圆锥用表示它的轴的字母表示，图中圆锥表示为圆锥SO.
(3)圆台
①定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．
②相关概念(图3)．
③表示法：圆台用表示轴的字母表示，图中圆台表示为圆台OO′.
(4)球
①定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．
②相关概念(图4)．
③表示法：球常用表示球心的字母表示，图中的球表示为球O.
2．简单组合体
(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的．
(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.
要点一　旋转体的结构特征
例1　判断下列各命题是否正确：
(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；
(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；
(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；
(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．
解　(1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．
(2)错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．
(3)正确．
(4)错．应为球面．
规律方法　1.圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求．
2．只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误．
跟踪演练1　下列叙述中正确的个数是(　　)
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　A
解析　①应以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可得到一个圆锥和一个圆台．
要点二　简单组合体的结构特征
例2　如图所示，已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰．分别以AB，CD，AD为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．
解　(1)以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台，如图(1)所示．
(2)以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如图(2)所示．
(3)以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥．如图(3)所示．
规律方法　1.平面图形以一边所在直线为轴旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后想象所得旋转体的结构和组成．
2．必要时作模型培养动手能力．
跟踪演练2　如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？
解　旋转后的图形如图所示．其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的．
要点三　有关几何体的计算问题
例3　如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．
解　设圆台的母线长为l cm，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.
过轴SO作截面，如图所示．
则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.
∴＝.
∴＝＝.
解得l＝9(cm)，
即圆台的母线长为9 cm.
规律方法　用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．
跟踪演练3　一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
解　如图，将圆台恢复成圆锥后作其轴截面，设圆台的高为h cm，截得该圆台的圆锥的母线为x cm，由条件可得圆台上底半径r′＝2 cm，下底半径r＝5 cm.
(1)由勾股定理得h＝＝3(cm)．
(2)设圆锥的母线长为x，由三角形相似得：＝，解得x＝20(cm)．
答：(1)圆台的高为3 cm，(2)截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
1．下列几何体是台体的是(　　)
答案　D
解析　台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行．C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确．
2．下图是由哪个平面图形旋转得到的(　　)
答案　D
解析　组合体上半部分是圆锥，下半部分是一个圆台，因此应该是由上半部分为三角形，下半部分为梯形的平面图形旋转而成的，观察四个选项得D正确．
3．下面几何体的截面一定是圆面的是(　　)
A．圆台 B．球 C．圆柱 D．棱柱
答案　B
解析　截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．
4．下列命题：①通过圆台侧面上一点，有无数条母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线相互平行．其中正确的是(　　)
A．①② B．②③
C．①③ D．②④
答案　D
解析　①③错误，②④正确．
5．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.
答案　10
解析　h＝20cos 30°＝10 (cm)．
1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．
2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．
3．处理组合体问题常采用分割思想．
4．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想．
一、基础达标
1．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是(　　)
A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．两个圆锥
答案　D
解析　连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥．
2. 如图所示是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形，若将它绕轴旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是(　　)
A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体
B．该组合体仍然关于轴对称
C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点
D．该组合体中的球和半球只有一个公共点
答案　A
3．过球面上任意两点A、B作大圆，可能的个数是(　　)
A．有且只有一个 B．一个或无穷多个
C．无数个 D．以上均不正确
答案　B
解析　当过A，B的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A，B作球的大圆有无数个；当直线AB不经过球心O时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆．
4. 在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是(　　)
A．一个棱柱中挖去一个棱柱
B．一个棱柱中挖去一个圆柱
C．一个圆柱中挖去一个棱锥
D．一个棱台中挖去一个圆柱
答案　B
解析　一个六棱柱挖去一个等高的圆柱．
5．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是(　　)
A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④
答案　C
解析　当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.
6．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________．
答案　2
解析　设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h＝.
所以由题意可知·2r·h＝r＝8，
∴r2＝8，∴h＝2.
7．如图所示，几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．
解　先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：
二、能力提升
8．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的(　　)
答案　B
解析　由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离，故正确答案为B.
9．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的截面，则截面的面积与球的一个大圆面积之比为(　　)
A．1∶4 B．1∶2 C．3∶4 D．2∶3
答案　C
10．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．0.5
答案　B
解析　如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π、8π，∴两个截面圆的半径分别为r1＝，r2＝2.
∵球心到两个截面的距离d1＝，d2＝，
∴d1－d2＝－＝1，∴R2＝9，∴R＝3.
11．在半径为13的球面上有A、B、C三点，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，则球心到经过这三个点的截面的距离为________．
答案　12
解析　由线段的长度知△ABC是以AB为斜边的直角三角形，所以其外接圆的半径r＝＝5，所以d＝＝12.
12. 一个圆锥的高为2，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长以及圆锥的轴截面的面积(如图)．
解　母线长l＝＝，
底面半径r＝2·tan 30°＝，
所以S＝×2××2＝，
即圆锥的轴截面的面积是.
三、探究与创新
13. 如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求：
(1)绳子的最短长度的平方f(x)；
(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；
(3)f(x)的最大值．
解　将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA′的长度L就是圆O的周长，
∴L＝2πr＝2π.
∴∠ASM＝×360°＝×360°＝90°.
(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝(0≤x≤4)．
f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．
(2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，
在△SAM中，
∵S△SAM＝SA·SM＝AM·SR，
∴SR＝＝(0≤x≤4)，
即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4)．
(3)∵f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)是增函数，
∴f(x)的最大值为f(4)＝32.1.2　空间几何体的三视图和直观图
1．2.1　中心投影与平行投影
1．2.2　空间几何体的三视图
[学习目标]　1.了解中心投影和平行投影.2.能画出简单空间图形的三视图.3.能识别三视图所表示的立体模型．
[知识链接]
1．棱柱的结构特征
(1)上下底面平行．(2)侧面是平行四边形．(3)侧棱相互平行．
2．棱锥的结构特征
(1)底面是多边形．(2)侧面是共顶点的三角形．
3．棱台的结构特征
(1)上下底面平行．(2)侧面是梯形．(3)侧棱延长线相交于一点．
4．圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形．
[预习导引]
1．投影
(1)投影的定义
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．
(2)投影的分类
(3)当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影都具有下述性质：
①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．
2．三视图
(1)定义：光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的正视图；光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的侧视图；光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的俯视图．几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图，三视图是正投影．
(2)基本特征：一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样．
要点一　中心投影与平行投影
例1　下列说法中：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线可能变成了相交的直线；③两条相交直线的平行投影是两条相交直线．其中正确的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　B
解析　由平行投影和中心投影的定义可知①正确；空间图形经过中心投影后，直线可能变成直线，也可能变成一个点，如当投影中心在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点，②不正确；两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线；③不正确．
规律方法　判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断．
跟踪演练1　下列命题中，正确的是(　　)
A．矩形的平行投影一定是矩形
B．梯形的平行投影一定是梯形
C．两条相交直线的投影可能平行
D．如果一条线段的平行投影仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中点
答案　D
解析　平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影改变几何图形的形状，因而A，B不正确．两条相交直线的投影不可能平行，即C不正确．两条线段平行投影的比等于这两条线段的比，因而D正确．故选D.
要点二　画空间几何体的三视图
例2　画出图中正四棱锥和圆台的三视图．(尺寸不作严格要求)
解　正四棱锥的三视图如图所示：
圆台的三视图如图所示：
规律方法　画三视图应遵循的原则和注意事项：
(1)务必做到“长对正，高平齐，宽相等”．
(2)三视图的排列方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．
(3)在三视图中，要注意实、虚线的画法．
(4)画完三视图草图后，要再对照实物图来验证其正确性．
跟踪演练2　如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．
解　物体三个视图的构成都是矩形，长方体截去一角后，截面是一个三角形，在每个视图中反映为不同的三角形，三视图如图．
要点三　由三视图还原空间几何体
例3　根据下列图中所给出的几何体的三视图，试画出它们的形状．
解　图(1)对应的几何体是一个六棱锥，图(2)对应的几何体是一个三棱柱，则所对应的空间几何体的图形分别为：
规律方法　由三视图还原空间几何体的步骤：
跟踪演练3　若将例3(1)中的三视图改为如下三视图，试分析该几何体结构特征并画出物体的实物草图．
　
解　由三视图可知该几何体为四棱锥，对应空间几何体如图：
1．下列说法正确的是(　　)
A．任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关
B．任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关
C．有的物体的三视图与物体的摆放位置无关
D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形
答案　C
解析　对于A，球的三视图与物体摆放位置无关，故A错；对于B，D，正方体的三视图与摆放位置有关，故B，D错；故选C.
2．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(　　)
A．三棱锥 B．三棱柱
C．四棱锥 D．四棱柱
答案　B
解析　如图，几何体为三棱柱．
3．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是(　　)
A．球 B．三棱锥
C．正方体 D．圆柱
答案　D
解析　不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故选D.
4．一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是________．
①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体．
答案　②⑤
解析　线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点．
5．如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的正视图是边长为4的正方形，则此正三棱柱的侧视图的面积为(　　)
A．8 B．4 C．2 D．16
答案　A
解析　由正视图可知三棱柱的高为4，底面边长为4，所以底面正三角形的高为2，所以侧视图的面积为4×2＝8.故选A.
1.理解平行投影和中心投影的概念时，可以从一束光线去照射一个物体所形成的影子，研究两者的不同之处．另外应注意平行投影的性质，尤其注意图形中的直线或线段不平行于投影线的情况．
2．空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质，由空间几何体可画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间的相互转化，可以培养我们的几何直观能力和空间想象能力．
一、基础达标
1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是(　　)
A．棱柱 B．棱台
C．圆柱 D．圆台
答案　D
解析　先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体．
由俯视图是圆环可排除A，B，由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C，故选D.
2．已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如图所示，则这个组合体的上、下两部分分别是(　　)
A．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱
B．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱
C．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱
D．上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱
答案　A
解析　由几何体的三视图可知，该组合体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱．
3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(　　)
A．①② B．①③
C．①④ D．②④
答案　D
解析　①的三个视图都是相同的，都是正方形；②的正视图与侧视图相同，都是等腰三角形，俯视图不同；③的三个视图各不相同；④的正视图与侧视图相同，都是等腰三角形，俯视图不同．故选D.
4．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(　　)
答案　D
解析　由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是D.
5．如图所示为一个几何体的三视图，则该几何体为(　　)
A．圆柱与圆台 B．四棱柱与四棱台
C．圆柱与四棱台 D．四棱柱与圆台
答案　B
6．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．
答案　2　4
解析　三棱柱的高同侧视图的高，侧视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为4.
7．如图所示的螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体，试画出它的三视图．
解　三视图如图所示．
二、能力提升
8．用□表示1个立方体，用表示2个立方体叠加，用表示3个立方体叠加，那么如图所示，由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是图中的(　　)
答案　B
9．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为(　　)
答案　C
解析　正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除B、D，侧视图中小长方形在右上方，排除A，故选C.
10．由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则该几何体由________块小正方体木块搭成．
答案　7
解析　小木块的排列方式如图所示．由图知，几何体由7块小正方体木块搭成．
11．已知一个几何体的三视图如图，试根据三视图想象物体的原形，并试着画出实物草图．
解　由三视图知，该物体下部为长方体、上部为一个与长方体等高的圆柱，且圆柱的底面相切于长方体的上底面，由此可画出实物草图如图．
三、探究与创新
12．如图所示是一些立体图形的视图，但观察的方向不同，试说明其可能是哪一种几何体的视图，并画出立体图形的草图．
解　从柱、锥、台、球和三视图各方面综合考虑．
(1)是一个圆，可能为球的正视图、侧视图、俯视图，也可能是圆柱的俯视图，其直观图如下图中①所示．
(2)是一个三角形，可能是棱锥的俯视图、圆锥的正视图、侧视图，也可能是三棱柱的俯视图，其直观图如下图中②所示．
(3)是一个矩形，可能为四棱柱的正视图、侧视图、俯视图，也可能是圆柱的正视图、侧视图，其直观图如下图中③所示．
13．一个物体由几块相同的正方体组成，其三视图如图所示，试据图回答下列问题：
(1)该物体有多少层？
(2)该物体的最高部分位于哪里？
(3)该物体一共由几个小正方体构成？
解　(1)该物体一共有两层，从正视图和侧视图都可以看出来．
(2)该物体最高部分位于左侧第一排和第二排．
(3)从侧视图及俯视图可以看出，该物体前后一共三排，第一排左侧2个，右侧1个；第二排左侧2个，右侧没有；第三排左侧1个，右侧1个．该物体一共由7个小正方体构成．1.2.3　空间几何体的直观图
[学习目标]　1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.2.用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图．
[知识链接]
1．一般地，在一个几何体的三视图中，侧视图与正视图高一样；俯视图与正视图长一样；侧视图与俯视图宽一样．
2．画三视图是用平行投影的方法画出来的．
3．梯形的面积S＝(a＋b)h(其中a、b为两底长，h为高)．
[预习导引]
1．直观图的概念
(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．
(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．
2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
3．立体图形直观图的画法
画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．
要点一　画水平放置的平面图形的直观图
例1　画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．
解　画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
　　　
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．
规律方法　1.本题巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”、“画图”简便易行．
2．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成．
跟踪演练1　用斜二测画法画如图所示边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．
解　(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．
(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
在x′轴上取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2 cm，在y′轴上取O′A′＝OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．
要点二　由直观图还原平面图形
例2　如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为(　　)
A.a2 B．2a2
C．a2 D．2a2
答案　B
解析　由直观图还原出原图，如图，所以S＝a·2a＝2a2.
规律方法　由直观图还原平面图形关键有两点：
(1)平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴的线段扩大为原来的2倍；
(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．
跟踪演练2　一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形O′A′B′C′的面积为，则原梯形的面积为(　　)
A．2 B.
C．2 D．4
答案　D
解析　如图，由斜二测画法原理知，原梯形与直观图中的梯形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，
原梯形的高OC是直观图中O′C′长度的2倍，O′C′的长度是直观图中梯形的高的倍，
由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的2倍，故其面积是梯形O′A′B′C′面积的2倍，梯形O′A′B′C′的面积为，所以原梯形的面积是4.
要点三　空间几何体的直观图
例3　如图所示，由下列几何体的三视图画出直观图．
解　(1)画轴．画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示．
(2)画底面．按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.
(3)画侧棱．过点A、B、C、D、E分别作z′轴的平行线，
并在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′都等于正视图的高．
(4)成图，顺次连接A′、B′、C′、D′、E′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示．
规律方法　1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可．
2．直观图画法口诀可以总结为：“一斜、二半、三不变”．
跟踪演练3　由如图所示几何体的三视图画出直观图．
解　(1)画轴．如图，画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC.
(3)画侧棱．过A，B，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′，BB′，CC′，且AA′＝BB′＝CC′.
(4)成图，顺次连接A′，B′，C′，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图．
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是(　　)
A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点
答案　B
解析　根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直．
2．关于用斜二测画法得直观图，下列说法正确的是(　　)
A．等腰三角形的直观图仍为等腰三角形
B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图可能不是梯形
D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
答案　B
3. 如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为(　　)
A．平行四边形
B．梯形
C．菱形
D．矩形
答案　D
解析　因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形．
4. 如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．
答案　10
解析　由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.
5. 如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________．
答案　6
解析　由直观图可知其对应的平面图形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，
∴S△AOB＝OA·OB＝6.
1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形．两者之间关系为：＝.
2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．
一、基础达标
1．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′等于(　　)
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
答案　C
解析　在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.
2. 如图所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图中△ABC是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．任意三角形
答案　B
解析　∵A′B′∥y′，所以由斜二测画法可知在原图形中BA⊥AC，故△ABC是直角三角形．
3．如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是(　　)
答案　C
解析　根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直．
4. 如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是(　　)
A．AB B．AD
C．BC D．AC
答案　D
解析　还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长．
5．下列说法正确的个数是(　　)
①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③最长的线段在直观图中对应的线段仍最长；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　A
解析　①②③错误，④正确．
6. 水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
答案　
解析　将直观图△A′B′C′复原，其平面图形为Rt△ABC，且AC＝3，BC＝4，故斜边AB＝5，所以AB边上的中线长为.
7．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．
解　(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图(1)所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(2)所示．
(2)如图(2)所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝OD；过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝EC.
(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．
二、能力提升
8．如图，在斜二测画法下，两个边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是(　　)
答案　C
9. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，原平面图形的面积为________．
答案　2＋
解析　过A作AE⊥BC，垂足为E，
又∵DC⊥BC且AD∥BC，∴ADCE是矩形，∴EC＝AD＝1，由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1知BE＝，∴原平面图形是梯形且上下两底边长分别为1和1＋，高为2，
∴原平面图形的面积为××2＝2＋.
10. 在如图直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标系中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________ cm2.
答案　矩形　8
解析　由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，
∴四边形OABC的面积S＝2×4＝8 cm2.
11．用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCDA′B′C′D′的直观图．
解　画法：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝2 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.
(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正方体的直观图，如图②.
三、探究与创新
12．用斜二测画法画出正六棱柱(底面为正六边形，侧面为矩形的棱柱)的直观图(尺寸自定)．
解　(1)画轴．画Ox轴，Oy轴，Oz轴，使∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图(1)．
(2)画底面．以O为中心，在xOy平面内，画出正六边形的直观图ABCDEF.
(3)画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点，分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝EE′＝FF′，使它们都等于侧棱的长．
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，A′，并擦去辅助线，遮挡住的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图，如图(2)．
13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．
解　四边形ABCD的真实图形如图所示，
∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，
∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，
∴在原四边形ABCD中，
DA⊥AC，AC⊥BC，
∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝，
∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2.章末检测
一、选择题
1．一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是(　　)
答案　B
解析　该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的投影距左右两边距离相等，因此选B.
2．下列说法中正确的是(　　)
A．有两个面平行，其余各面都是三角形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台
C．有一个面是多边形，其余各面都是五边形的几何体叫棱锥
D．棱台各侧棱的延长线交于一点
答案　D
解析　A不正确，棱柱的各个侧面为四边形；B不正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥而得到的，其侧棱的延长线必交于一点，故D正确．C不正确，不符合棱锥的定义．
3．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是(　　)
A．(1)(2) B．(2)(3)
C．(3)(4) D．(1)(4)
答案　D
解析　正方体的三视图都相同都是正方形，球的三视图都相同都为圆面．
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是(　　)
答案　D
解析　先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原为空间几何体．由俯视图是圆环可排除A，B，C，进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项D.
5. 如图所示的正方体中，M、N分别是AA1、CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是(　　)
答案　D
解析　四边形D1MBN在上下底面的正投影为A；在前后面上的正投影为B；在左右面上的正投影为C；故答案为D.
6．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为(　　)
A. B．4π C．2π D.
答案　D
解析　正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点，
所以球的半径r＝ ＝1，
球的体积V＝r3＝.故选D.
7. 如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积为(　　)
A．6 B．3
C．6 D．12
答案　D
解析　由斜二测画法规则可知，△OAB为直角三角形，且两直角边长分别为4和6，故面积为12.
8．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为(　　)
A．21＋ B．18＋
C．21 D．18
答案　A
解析　由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示．
因此该几何体的表面积为6×(4－)＋2××()2＝21＋.故选A.
9．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是(　　)
A．108 cm3 B．100 cm3 C．92 cm3 D．84 cm3
答案　B
解析　此几何体为一个长方体ABCDA1B1C1D1被截去了一个三棱锥ADEF，如图所示，
其中这个长方体的长、宽、高分别为6、3、6，故其体积为6×3×6＝108(cm3)．三棱锥的三条棱AE、AF、AD的长分别为4、4、3，故其体积为××4＝8(cm3)，所以所求几何体的体积为108－8＝100(cm3)．
10．已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　利用三棱锥的体积变换求解．由于三棱锥S－ABC与三棱锥O－ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S－ABC的高是三棱锥O－ABC高的2倍，所以三棱锥S－ABC的体积也是三棱锥O－ABC体积的2倍．
在三棱锥O－ABC中，其棱长都是1，如图所示，
S△ABC＝×AB2＝，
高OD＝ ＝，
∴VS－ABC＝2VOABC＝2×××＝.
二、填空题
11．底面直径和高都是4 cm的圆柱的侧面积为________cm2.
答案　16π
解析　∵圆柱的底面半径为r＝×4＝2(cm)．
∴S侧＝2π×2×4＝16π(cm2)．
12．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．
答案　
解析　设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，
由＝，得＝，则＝.
由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，
即r1h1＝r2h2，所以＝＝＝.
13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)
A．12 B．18
C．24 D．30
答案　C
解析　由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示．在图(1)中，V棱柱ABC－A1B1C1＝S△ABC·AA1＝×4×3×5＝30，V棱锥P－A1B1C1＝S△A1B1C1·PB1＝××4×3×3＝6.故几何体ABC－PA1C1的体积为30－6＝24.故选C.
14．已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．
答案　24π
解析　V四棱锥OABCD＝××h＝，得h＝，
∴OA2＝h2＋2＝＋＝6.
∴S球＝4πOA2＝24π.
三、解答题
15．如图所示，四棱锥VABCD的底面为边长等于2 cm的正方形，顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长VC＝4 cm，求这个正四棱锥的体积．
解　如图，连接AC、BD相交于点O，连接VO，
∵AB＝BC＝2 cm，
在正方形ABCD中，
求得CO＝ cm，
又在直角三角形VOC中，
求得VO＝ cm，
∴VVABCD＝SABCD·VO＝×4×＝(cm3)．
故这个正四棱锥的体积为 cm3.
16．如图，正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：
(1)三棱锥A′BC′D的表面积与正方体表面积的比值；
(2)三棱锥A′BC′D的体积．
解　(1)∵ABCDA′B′C′D′是正方体，
∴六个面都是正方形，
∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝a，
∴S三棱锥A′－BC′D＝4××(a)2＝2a2，S正方体＝6a2，
∴＝.
(2)显然，三棱锥A′ABD、C′BCD、DA′D′C′、BA′B′C′是完全一样的，
∴V三棱锥A′BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′ABD
＝a3－4××a2×a＝a3.
17．如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm与2 cm，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm的正方形．
(1)求该几何体的全面积；
(2)求该几何体的外接球的体积．
解　(1)由题意可知，该几何体是长方体，
底面是正方形，边长是4，高是2，
因此该几何体的全面积是：2×4×4＋4×4×2＝64(cm2)，即几何体的全面积是64 cm2.
(2)由长方体与球的性质可得，长方体的体对角线是球的直径，记长方体的体对角线为d，球的半径是r，
d＝＝＝6(cm)，
所以球的半径为r＝3(cm)．
因此球的体积V＝πr3＝×27π＝36π(cm3)，
所以外接球的体积是36π cm3.
18. 如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．
试求：(1)AD的长；
(2)容器的容积．
解　(1)设圆台上、下底面半径分别为r、R，AD＝x，
则OD＝72－x，由题意得
，∴.即AD应取36 cm.
(2)∵2πr＝·OD＝·36，∴r＝6 cm，
圆台的高h＝＝＝6.
∴V＝πh(R2＋Rr＋r2)＝π·6·(122＋12×6＋62)＝504π(cm3)．
即容器的容积为504πcm3.1．1　空间几何体的结构
第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征
[学习目标]　1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型．
[知识链接]
观察下列图片，你知道这些图片所表示的物体在几何中分别叫什么名称吗？
答　(1)、(8)为圆柱；(2)为长方体；(3)、(6)为圆锥；(4)、(10)为圆台；(5)、(7)、(9)为棱柱；(11)、(12)为球；(13)、(16)为棱台；(14)、(15)为棱锥．
[预习导引]
1．空间几何体
(1)概念：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体．
(2)多面体与旋转体
多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体(如图)，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．
2．几种常见的多面体
多面体 定义 图形及表示 相关概念
棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 如图可记作：棱柱ABCDEFA′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相平行的面. 侧面：其余各面． 侧棱：相邻侧面的公共边． 顶点：侧面与底面的公共顶点.
棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 如图可记作，棱锥SABCD 底面(底)：多边形面． 侧面：有公共顶点的各个三角形面． 侧棱：相邻侧面的公共边． 顶点：各侧面的公共顶点．
棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台. 如图可记作：棱台ABCDA′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面． 下底面：原棱锥的底面． 侧面：其余各面. 侧棱：相邻侧面的公共边． 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点.
要点一　棱柱的结构特征
例1　下列关于棱柱的说法：
(1)所有的面都是平行四边形；
(2)每一个面都不会是三角形；
(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；
(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．
其中正确的序号是________．
答案　(3)(4)
解析　(1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；
(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；
(3)正确，由棱柱的定义易知；
(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是(3)(4)．
规律方法　棱柱的结构特征：
(1)两个面互相平行；
(2)其余各面是四边形；
(3)相邻两个四边形的公共边互相平行．
求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．
跟踪演练1　下列关于棱柱的说法错误的是(　　)
A．所有的棱柱两个底面都平行
B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行
C．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
D．棱柱至少有五个面
答案　C
解析　对于A、B、D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误．
要点二　棱锥、棱台的结构特征
例2　下列关于棱锥、棱台的说法：
(1)棱台的侧面一定不会是平行四边形；
(2)棱锥的侧面只能是三角形；
(3)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
(4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确说法的序号是________．
答案　(1)(2)(3)
解析　(1)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
(2)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；
(3)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
(4)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
规律方法　判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法：
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法：
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
跟踪演练2　棱台不具有的性质是(　　)
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱长都相等 D．侧棱延长后相交于一点
答案　C
解析　由棱台的概念(棱台的产生过程)可知A，B，D都是棱台具有的性质，而侧棱长不一定相等．
要点三　多面体的表面展开图
例3　画出如图所示的几何体的表面展开图．
解　表面展开图如图所示：
规律方法　多面体表面展开图问题的解题策略：
(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．
(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．
跟踪演练3　一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________
答案　60°
解析　将平面图形翻折，折成空间图形，如图．
1．三棱锥的四个面中可以作为底面的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案　D
解析　由于三棱锥的每一个面均可作为底面，应选D.
2．棱柱的侧面都是(　　)
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．矩形
答案　B
解析　由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是四边形．
3．如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是(　　)
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②
答案　C
解析　可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．
4．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台(仅填相应序号)．
答案　①③④　⑥　⑤
解析　结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．
5. 如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是________．
答案　四棱柱
解析　由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱．
1．棱柱、棱锥、棱台的关系
在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)．
2．(1)各种棱柱之间的关系
①棱柱的分类
棱柱
②常见的几种四棱柱之间的转化关系
(2)棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：
名称 底面 侧面 侧棱 高 平行于底面的截面
棱柱 斜棱柱 平行且全等的两个多边形 平行四边形 平行且相等 与底面全等
直棱柱 平行且全等的两个多边形 矩形 平行、相等且垂直于底面 等于侧棱 与底面全等
正棱柱 平行且全等的两个正多边形 全等的矩形 平行、相等且垂直于底面 等于侧棱 与底面全等
棱锥 正棱锥 一个正多边形 全等的等腰三角形 有一个公共顶点且相等 过底面中心 与底面相似
其他棱锥 一个多边形 三角形 有一个公共顶点 与底面相似
棱台 正棱台 平行且相似的两个正多边形 全等的等腰梯形 相等且延长后交于一点 与底面相似
其他棱台 平行且相似的两个多边形 梯形 延长后交于一点 与底面相似
一、基础达标
1．在棱柱中满足(　　)
A．只有两个面平行
B．所有面都平行
C．所有面都是平行四边形
D．两底面平行，且各侧棱也相互平行
答案　D
解析　由棱柱的定义可得只有D成立．
2．四棱柱有几条侧棱，几个顶点(　　)
A．四条侧棱、四个顶点 B．八条侧棱、四个顶点
C．四条侧棱、八个顶点 D．六条侧棱、八个顶点
答案　C
解析　四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得)．
3．下列说法中，正确的是(　　)
A．有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱台的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
答案　A
4．观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是(　　)
A．①是棱柱 B．②不是棱锥
C．③不是棱锥 D．④是棱台
答案　B
解析　结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误．
5．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(　　)
答案　A
解析　两个不能并列相邻，B、D错误；两个不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定．
6．下列说法正确的有________．
①棱柱的侧面都是平行四边形；
②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；
③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；
④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；
⑤多面体至少有四个面．
答案　①②④⑤
解析　棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①对．
棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②对．
棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错④对．⑤显然对．
因而正确的有①②④⑤.
7. 如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、几条棱？
解　这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体．
有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．
二、能力提升
8．在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有(　　)
A．20 B．15 C．12 D．10
答案　D
解析　正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，5个平面共可得到10条对角线，故选D.
9．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________．(写出所有正确结论的编号)
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．
答案　①③④⑤
解析　在正方体ABCD－A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是：①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A－A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如A－CB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A－A1DC，
所以填①③④⑤
10．如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.
答案　
解析　由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm，故两点之间的距离是 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.
11. 如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A、B、C重合，重合后记为点P.
问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？
(3)每个面的三角形面积为多少？
解　(1)如图，折起后的几何体是三棱锥．
(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形．
(3)S△PEF＝a2，
S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2，
S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－a2－a2－a2＝a2.
三、探究与创新
12．长方体ABCDA1B1C1D1(如图所示)中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值．
解　把长方体的部分面展开，如图所示．
对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为、、，由此可见乙是最短线路，所以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到E，再在长方形BCC1B1内由E到C1，也可以先在长方形AA1D1D内由A到F，再在长方形DCC1D1内由F到C1，其最短路程为.
13．如图所示：已知三棱台ABCA′B′C′.
(1)把它分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示；
(2)把它分成三个三棱锥并用字母表示．
解　(1)如下图(1)所示，三棱柱是棱柱A′B′C′AB″C″，多面体是B′C′BCC″B″.
(2)如下图(2)所示：三个三棱锥分别是A′ABC，B′A′BC，C′A′B′C.

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