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2024年山东省威海市中考数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）
1．一批食品，标准质量为每袋454g．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（　　）
A．+7 B．﹣5 C．﹣3 D．10
2．据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（　　）
A．1×10﹣5 B．1×10﹣6 C．1×10﹣7 D．1×10﹣8
3．下列各数中，最小的数是（　　）
A．﹣2 B．﹣（﹣2） C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A．x5+x5＝x10 B．m+n2
C．a6÷a2＝a4 D．（﹣a2）3＝﹣a5
5．下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的．其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是AO的中点．过点C作CE⊥AO交于点E，过点E作ED⊥OB，垂足为点D．在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．定义新运算：
①在平面直角坐标系中，{a，b}表示动点从原点出发，沿着x轴正方向（a≥0）或负方向（a＜0）平移|a|个单位长度，再沿着y轴正方向（b≥0）或负方向（b＜0）平移|b|个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作（﹣2，1）．
②加法运算法则：{a，b}+{c，d}＝{a+c，b+d}，其中a，b，c，d为实数．
若{3，5}+{m，n}＝{﹣1，2}，则下列结论正确的是（　　）
A．m＝2，n＝7 B．m＝﹣4，n＝﹣3 C．m＝4，n＝3 D．m＝﹣4，n＝3
8．《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？
若设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在BC上，点F在CD上，连接AE，AF，EF，EF交AC于点G．下列结论错误的是（　　）
A．若，则EF∥BD
B．若AE⊥BC，AF⊥CD，AE＝AF，则EF∥BD
C．若EF∥BD，CE＝CF，则∠EAC＝∠FAC
D．若AB＝AD，AE＝AF，则EF∥BD
10．同一条公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离y（km）与时间x（h）的函数关系．下列结论正确的是（　　）
A．甲车行驶h与乙车相遇
B．A，C两地相距220km
C．甲车的速度是70km/h
D．乙车中途休息36分钟
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果）
11．计算：　 　．
12．因式分解：（x+2）（x+4）+1＝　 　．
13．如图，在正六边形ABCDEF中，AH∥FG，BI⊥AH，垂足为点I．若∠EFG＝20°，则∠ABI＝　 　.
14．计算：　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b（a≠0）与双曲线y2（k≠0）交于点A（﹣1，m），B（2，﹣1）．则满足y1≤y2的x的取值范围 　 　．
16．将一张矩形纸片（四边形ABCD）按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点C′处，折痕为MN，点D落在点D′处，C′D′交AD于点E．若BM＝3，BC′＝4，AC′＝3，则DN＝　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（6分）某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16000千瓦 时．后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9600千瓦 时．一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦 时．求一盏A型节能灯每年的用电量．
18．（8分）为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每日锻炼，每月测试”的引体向上训练活动，设定6个及以上为合格．体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查了20名男生2至6月份的测试成绩．其中，2月份测试成绩如表1，6月份测试成绩如图1（尚不完整）．整理本学期测试数据得到表2和图2（尚不完整）．
表1：2月份测试成绩统计表
个数 0 1 3 6 8 10
人数 4 8 4 1 2 1
表2：本学期测试成绩统计表
平均数/个 众数/个 中位数/个 合格率
2月 2.6 a 1 20%
3月 3.1 3 4 25%
4月 4 4 5 35%
5月 4.55 5 5 40%
6月 b 8 6 c
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）将图1和图2中的统计图补充完整，并直接写出a，b，c的值；
（2）从多角度分析本次引体向上训练活动的效果；
（3）若将此活动在邻校八年级推广，该校八年级男生按400人计算，以随机抽查的20名男生训练成绩为样本，估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数．
19．（8分）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）．
课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量工具 竹竿，米尺
测量示意图
说明：AC是一根笔直的竹竿．点D是竹竿上一点，线段DE的长度是点D到地面的距离．∠α是要测量的倾斜角
测量数据
…… ……
（1）设AB＝a，BC＝b，AC＝c，CE＝d，DE＝e，CD＝f，BE＝g，AD＝h，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．
（2）根据（1）中选择的数据，写出求∠α 的一种三角函数值的推导过程．
（3）假设sinα≈0.86，cosα≈0.52，tanα≈1.66，根据（2）中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数．你选择的按键顺序为 　 　．
20．（9分）感悟 如图1，在△ABE中，点C，D在边BE上，AB＝AE，BC＝DE．求证：∠BAC＝∠EAD．
应用 （1）如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点D，点E（点D在点E的左侧），使得∠EAD＝∠BAC，且DE＝BC（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一点D，在直线BC上取一点E，使得∠CDE＝∠BAC，且DE＝AB（不写作法，保留作图痕迹）．
21．（9分）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离AB＝a﹣b（a≥b）．特别的，当a≥0时，表示数a的点与原点的距离等于a﹣0．当a＜0时，表示数a的点与原点的距离等于0﹣a．
应用 如图，在数轴上，动点A从表示﹣3的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．
（1）经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？
（2）求点A，B到原点距离之和的最小值．
22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝CD．点E是线段AB延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点F．∠FEG的平分线EH交射线AC于点H，∠H＝45°．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BE＝2，CE＝4，求AF的长．
23．（10分）如图，在菱形ABCD中，AB＝10cm，∠ABC＝60°，E为对角线AC上一动点，以DE为一边作∠DEF＝60°，EF交射线BC于点F，连接BE，DF．点E从点C出发，沿CA方向以每秒2cm的速度运动至点A处停止．设△BEF的面积为y cm2，点E的运动时间为x秒．
（1）求证：BE＝EF；
（2）求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）求x为何值时，线段DF的长度最短．
24．（12分）已知抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2．
（1）若抛物线y1＝x2+bx+c+1（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x3，0），（x4，0），且x3＜x4，试判断下列每组数据的大小（填写＜、＝或＞）：
①x1+x2　 　x3+x4；②x1﹣x3　 　x2﹣x4；③x2+x3　 　x1+x4．
（2）若x1＝1，2＜x2＜3，求b的取值范围；
（3）当0≤x≤1时，y＝x2+bx+c（b＜0）最大值与最小值的差为，求b的值．
2024年山东省威海市中考数学试题参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）
1．C
2．B
3．A
4．C
5．D
6．B
7．B
8．C
9．D
10．A
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果）
11．
12．（x+3）2
13．50°
14．﹣x﹣2
15．﹣1≤x＜0或x≥2
16．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（6分）解：设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦 时，则一盏A型节能灯每年的用电量为（2x﹣32）千瓦 时，
根据题意得：，
解得：x＝96，
经检验，x＝96是所列方程的解，且符合题意，
∴2x﹣32＝2×96﹣32＝160（千瓦 时）．
答：一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦 时．
18．（8分）解：（1）6月测试成绩中，引体向上3个的人数为20﹣4﹣1﹣6﹣4＝5（人），
补充统计图如下：
c100%＝55%，
根据表2可得a＝1，
b（4×1+5×3+1×6+6×8+4×10）＝5.65，
（2）本次引体向上训练活动的效果明显，理由如下：
从平均数和合格率看，平均数和合格率逐月增加，
从中位数看，引体向上个数逐月增加，
从众数看，引体向上的个数越来越大（答案不唯一，合理即可）；
（3）400×55%＝220（人），
答：估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数约220人．
19．（8分）解：（1）需要的数据为：AB＝a，AC＝c，DE＝e，CD＝f；
（2）过点A作AM⊥CB于点M，则∠AMB＝90°，
∵DE⊥CB，
∴DE∥AM，
∴△CDE∽△CAM，
∴，即，
∴，
∴；
（3）∵，
∴按键顺序为2ndF，sin，0， ，8，6，＝，
故答案为：①．
20．（9分）解：感悟：过点A作AH⊥BE于点H，
∵AB＝AE，BC＝DE，
∴∠BAH＝∠EAH，∠CAH＝∠DAH，
∴∠BAC＝∠DAE；
应用：（1）解：如图2：点D，E即为所求；
（2）点D，E即为所求．
21．（9分）解：（1）设经过x秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度，
则：|（﹣3+x）﹣（12﹣2x）|＝3，
解得：x＝4或x＝6，
答：经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度；
（2）设经过x秒，点A，B到原点距离之和为y，
则y＝|﹣3+x|+|12﹣2x|，
当x≤3时，y＝|﹣3+x|+|12﹣2x|＝3﹣x+12﹣2x＝﹣3x+15，
当x＝3时，y值最小，为6，
当3＜x≤6时，y＝|﹣3+x|+|12﹣2x|＝﹣3+x+12﹣2x＝﹣x+9，
当x＝6时，y值最小，为3，
当x＞6时，y＝|﹣3+x|+|12﹣2x|＝﹣3+x﹣12+2x＝3x﹣15，
当x＝6时，y有极小值，为3，
综上所述，点A，B到原点距离之和的最小值为3．
22．（10分）（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵BC＝CD，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴OC∥AF，
∵EH平分∠FEG，
∴∠FEH＝∠GEH，
∵∠GEH＝∠H+∠BAC，∠FEH＝∠F+∠BAF，
∴2∠H+2∠BAC＝∠F+∠BAF，
∴∠BAF＝2∠BAC，
∴∠F＝2∠H＝90°，
∴∠OCE＝∠F＝90°，
即OC⊥EF，
∵OC是半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即∠OCB+∠BCE＝90°，
∴∠OBC+∠BAC＝90°，
又∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠BCE＝∠EAC，
∵∠CEB＝∠CAE，
∴△BCE∽△CAE，
∴，
∴CE2＝BE AE，即16＝2AE，
解得AE＝8，
∴AB＝8﹣2＝6，
在Rt△ABC中，AB＝6，，
∴BC，AC，
∵∠F＝∠ACB＝90°，∠FAC＝∠BAC，
∴△FAC∽△CAB，
∴，
∴AF．
23．（10分）（1）证明：设CD与EF相交于点M，
∵四边形ABCD为菱形，∴BC﹣＝DC，∠BCE＝∠DCE，AB∥CD，
∵∠ABC＝60°，
∴∠DCF＝60°，
在△BCE和△DCE中，
，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CDE，BE＝DE，
∵∠DMF＝∠DEF+∠CDE＝∠DCF+∠CFE，
又∵∠DEF＝∠DCF＝60°，
∴∠CDE＝∠CFE，
∴∠CBE＝∠CFE，
∴BE＝EF；
（2）解：过点E作EN⊥BC于N，
则∠ENC＝90°，
∵BE＝EF，
∴BF＝2BN，
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
∴ВС＝АВ＝10cm，∠АСВ＝∠BСD＝60°，即∠ECN＝60°，
∵CE＝2x cm，
∴EN＝CE sin60°＝2x x（cm），CN＝CE cos60°＝2x x（cm），
∴BN＝BC﹣CN＝10﹣x（cm），
∴BF＝2（10﹣x）cm，
∴уВF ЕN2（10﹣х）хх2+10х，
∵0＜2x≤10，
∴0＜x≤5，
∴yх2+10х（0＜x≤5）；
（3）解：∵BE＝DE，BE＝EF，
∴DE＝EF，
∵∠DEF＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴DE＝DF﹣EF，
∴BE＝DF，
∴线段DF的长度最短，即BE的长度最短，当BE⊥AC时，BE取最短，如图，
∵四边形 ABCD是菱形，
∴АВ＝ВС，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AE＝AB＝AC＝10cm，
∵BE⊥AC，
∴CEAC＝5cm，
∴x，
∴当x时，线段DF的长度最短．
24．（12分）解：（1）∵y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，
∴x1+x2＝﹣b，且抛物线开口向上，
∵ 与x轴交点的坐标分别为（x3，0），（x4，0），且x1＜x4，
即y＝x2+bx+c（b＜0）向上平移1个单位，
∴x1＜x3＜x4＜x2，且x1+x4＝﹣b，
∴①x1+x2＝x1+x4；
∵x2﹣x1＞x4﹣x3
∴x2﹣x4＞x1﹣x3，即②x1﹣x5＜x2﹣x4；
∴x1+x3＞x1+x4，即③x2+x3＞x1+x4，
故答案为：＝；＜；＞；
（2）∵x1＝1，2＜x2＜3，
∴3＜x2+x1＜4
∴3＜﹣b＜4，
∴﹣4＜b＜﹣3；
（3）抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）顶点坐标为，对称轴为直线，
当x＝0时，y＝c；
当x＝1时，y＝1+b+c；
①当在 x＝0 取得最大值，在x＝1取得最小值时，有，
解得；
②当在x＝0取得最大值，在顶点取得最小值时，
有，
解得（舍去）或；
③当在x＝1取得最大值，在顶点取得最小值时，
有，
解得（舍去）或，
综上所述，b的值为或或．
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