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专题23 简单的三角恒等变换（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 2
【考点突破】 3
【考点1】三角函数式的化简 3
【考点2】三角函数求值问题 4
【考点3】三角恒等变换的应用 5
【分层检测】 6
【基础篇】 6
【能力篇】 8
【培优篇】 8
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
4．（2023·北京·高考真题）设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
5．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
6．（2021·浙江·高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【考点1】三角函数式的化简
一、单选题
1．（2024·天津北辰·三模）已知函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于点对称
C．若是偶函数，则，
D．在区间上的值域为
2．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，给出的下列四个选项中，正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数在区间上是减函数
C．函数的图象关于点对称
D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到
二、多选题
3．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数则（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．将函数的图象向左平移个单位长度后所得到的图象关于轴对称
C．函数在区间上有2个零点
D．函数在区间上单调递增
4．（2024·安徽芜湖·三模）已知，下面结论正确的是（ ）
A．时，在上单调递增
B．若，且的最小值为，则
C．若在上恰有7个零点，则的取值范围是
D．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
三、填空题
5．（2024·河北沧州·模拟预测）记的内角的对边分别为，若，且，则 .
6．（2024·安徽合肥·三模）已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是 ．
反思提升：
1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征.
2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
【考点2】三角函数求值问题
一、单选题
1．（2023·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东汕头·二模）若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（23-24高三上·山西大同·期末）若，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·江苏南通·一模）下列命题中是真命题的有（ ）
A．存在，，使
B．在中，若，则是等腰三角形
C．在中，“”是“”的充要条件
D．在中，若，则的值为或
三、填空题
5．（2023·山西朔州·模拟预测）已知为锐角，且，则 .
6．（2022·全国·模拟预测）已知，，则 ．
反思提升：
1.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.
2.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.
3.给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；(2)若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.
【考点3】三角恒等变换的应用
一、单选题
1．（2023·四川凉山·二模）在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．命题，命题为等腰三角形．则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2020·广东广州·二模）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB＝6,c＝3,B＝2C,则cosC的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（21-22高一下·福建厦门·期中）已知对任意角，均有公式.设△ABC的内角A，B，C满足.面积S满足.记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列式子一定成立的是( )
A． B．
C． D．
4．（20-21高三上·福建莆田·期中）对于三角形ABC，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若sin2A＋sin2B＜sin2C，则三角形ABC是钝角三角形
B．若A＞B，则sin A＞sin B
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的三角形ABC有两个
D．若三角形ABC为斜三角形，则
三、填空题
5．（2022·浙江·模拟预测）在中，，点D，E分别在线段上，，°，则 ，的面积等于 ．
6．（21-22高一下·重庆沙坪坝·期中）锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，有，且，则的取值范围为 .
反思提升：
三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·河北承德·二模）函数的图象的对称轴方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（20-21高三·江苏南京·阶段练习）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·重庆·三模）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江西九江·二模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024·浙江·二模）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为 B．关于点中心对称
C．最大值为 D．在区间上单调递减
6．（23-24高三上·山西大同·期末）若，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·河南·模拟预测）设函数，且相邻两条对称轴之间的距离为，，，则（ ）
A．，
B．在区间上单调递增
C．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称
D．当时，函数取得最大值
三、填空题
8．（23-24高一下·河北石家庄·期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是 .
9．（2024·海南海口·模拟预测）已知，写出符合条件的一个角的值为 .
10．（2024·山西晋城·二模）已知，，则 ．
四、解答题
11．（2024·山东青岛·三模）设三角形的内角、、的对边分别为、、且．
(1)求角的大小；
(2)若，边上的高为，求三角形的周长．
12．（2023·江苏连云港·模拟预测）已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
(1)求;
(2)若,求外接圆的半径R．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·四川成都·模拟预测）设锐角的三个内角的对边分别为，且，则的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）下列代数式的值为的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
3．（2024·辽宁·二模）已知，则 ．
四、解答题
4．（2024·河北·模拟预测）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：设的内角，，的对边分别为，，，且，，______.
(1)求；
(2)求的周长.
注：若选择条件①、条件②分别解答，则按第一个解答计分.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·陕西渭南·三模）若函数在内恰好存在8个，使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是
B．若，则在上单调递减
C．若在上恰有3个零点，则的取值范围为
D．函数的值域为
三、解答题
3．（2024·海南海口·二模）已知函数，等差数列的前项和为，记.
(1)求证：的图象关于点中心对称；
(2)若，，是某三角形的三个内角，求的取值范围；
(3)若，求证：.反之是否成立 并请说明理由.
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专题23 简单的三角恒等变换（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 2
【考点突破】 8
【考点1】三角函数式的化简 8
【考点2】三角函数求值问题 12
【考点3】三角恒等变换的应用 16
【分层检测】 22
【基础篇】 22
【能力篇】 29
【培优篇】 32
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
4．（2023·北京·高考真题）设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
5．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
6．（2021·浙江·高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
参考答案：
1．B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
2．B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.

3．C
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
4．(1).
(2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，.
【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．
【详解】（1）因为
所以，
因为，所以.
（2）因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以,所以,,
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
以下与条件②相同．
5．(1)；
(2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为.
【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；
（2）选择①，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；
【详解】（1）由题意得，因为为钝角，
则，则，则，解得，
因为为钝角，则.
（2）选择①，则，因为，则为锐角，则，
此时，不合题意，舍弃；
选择②，因为为三角形内角，则，
则代入得，解得，
,
则.
选择③，则有，解得，
则由正弦定理得，即，解得，
因为为三角形内角，则，
则
，
则
6．（1）；（2）.
【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
【考点1】三角函数式的化简
一、单选题
1．（2024·天津北辰·三模）已知函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于点对称
C．若是偶函数，则，
D．在区间上的值域为
2．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，给出的下列四个选项中，正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数在区间上是减函数
C．函数的图象关于点对称
D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到
二、多选题
3．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数则（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．将函数的图象向左平移个单位长度后所得到的图象关于轴对称
C．函数在区间上有2个零点
D．函数在区间上单调递增
4．（2024·安徽芜湖·三模）已知，下面结论正确的是（ ）
A．时，在上单调递增
B．若，且的最小值为，则
C．若在上恰有7个零点，则的取值范围是
D．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
三、填空题
5．（2024·河北沧州·模拟预测）记的内角的对边分别为，若，且，则 .
6．（2024·安徽合肥·三模）已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是 ．
参考答案：
1．D
【分析】A项，化简函数求出，即可得出周期；B项，计算出函数为0时自变量的取值范围，即可得出函数的对称点，即可得出结论；C项，利用偶函数即可求出的取值范围；D项，计算出时的范围，即可得出值域.
【详解】由题意，
在中，
，
A项，，A正确；
B项，令, 得,
当时,,
所以的图象关于点 对称,故B正确;
C项，是偶函数，
∴, ，
解得：, 故C正确；
D项, 当 时, ,
所以,
所以在区间上的值域为，故D错误.
故选：D.
2．B
【分析】根据三角恒等式对已知函数进行化简得，根据周期公式即可求解A，根据整体法，结合正弦函数的单调性即可求解B，代入验证即可求解C，利用函数图象的平移变换即可求解D.
【详解】
，所以函数的最小正周期是，故A错误；
当时，，
又在上单调递减，所以函数在区间上是减函数，故B正确；
因为，所以函数的图象不关于点对称，故C错误；
将的图象向右平移个单位得到，再将向下平移1个单位得到，故D错误．
故选：B．
3．ACD
【分析】利用三角恒等变换易得，采用代入检验法即可判断A项，利用平移变换，求得函数解析式，易得其为奇函数，，故而排除B项，将看成整体角，求出其范围，利用余弦函数的图象观察分析，易对C,D两项进行判断.
【详解】
对于当时，而，故A正确；
对于将向左平移个单位后可得，
为奇函数，关于原点对称，故B错；
对于当时，，
因在上仅有2个零点，故在上也仅有2个零点，故C正确；
对于当时，因在上单调递增，
故在上单调递增，故D正确.
故选：ACD．
4．CD
【分析】利用把相位看成一个整体，通过正弦函数的性质，可以做出各选项的判断.
【详解】对于A，，
当时，，
而在不单调，故A是错误的；
对于B，，由的最小值为，
则函数周期为，所以，解得，故B是错误的；
对于C，在上恰有7个零点，结合正弦曲线可知，
，解得：，故C是正确的；
对于D，由的图象向右平移个单位长度后得到：
，由它关于轴对称，可知：，
解得：，当时，，故D是正确的；
故选：CD.
5．/
【分析】根据三角恒等变换化简计算可得，由同角的平方关系可得，结合正弦定理计算即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以.又，
所以，所以.
因为，由正弦定理知，
所以，又，所以，.
故答案为：
6．
【分析】先将化简为，再根据在区间上只有一个零点和两个最大值点，结合正弦型三角函数的处理办法求出的取值范围.
【详解】
，
由，，得，
时，，最大时，也最大，
若在区间上只有一个零点和两个最大值点，
则只需，解得．
故答案为：.
反思提升：
1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征.
2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
【考点2】三角函数求值问题
一、单选题
1．（2023·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东汕头·二模）若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（23-24高三上·山西大同·期末）若，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·江苏南通·一模）下列命题中是真命题的有（ ）
A．存在，，使
B．在中，若，则是等腰三角形
C．在中，“”是“”的充要条件
D．在中，若，则的值为或
三、填空题
5．（2023·山西朔州·模拟预测）已知为锐角，且，则 .
6．（2022·全国·模拟预测）已知，，则 ．
参考答案：
1．B
【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可化简所求代数式.
【详解】原式
.
故选：B.
2．A
【分析】利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式、诱导公式化简可得的值.
【详解】由已知可得
.
故选：A.
3．BD
【分析】
根据同角的三角函数关系式，结合两角和（差）的正弦余弦公式逐一判断即可.
【详解】
由题意可得，
所以，故A错误；
，
因为，
所以，所以，故B正确；
因为，所以，
所以
，故C错误：
即，
因为，所以，
故，所以，故D正确.
故选：BD
4．AC
【分析】赋值法可以判断A选项；在中根据正弦值相等，可得两角相等或者互补可判断B选项；根据正弦定理可判断选项C；先由，求得，再由，结合大角对大边求得，最后根据求值即可判断选项D.
【详解】对于A，当时，正确；
对于B，由可得或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，错误；
对于C，(其中是外接圆的半径)，正确；
对于D，因为，，所以.
因为，所以由正弦定理得，从而.
又因为，所以，
从而，错误；
故选：AC.
【点睛】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．
5．
【分析】利用两角和的正弦公式化简得到，利用辅助角公式得到，即可求出，从而得解.
【详解】因为，
，
又，
所以，所以，即，
因为为锐角，所以，所以，所以，即.
故答案为：
6．
【分析】由诱导公式、辅助角公式、倍角公式得出，再由正弦函数的性质结合得出.
【详解】由题知，则，即，即，即，则或，．因为，所以，所以，解得．
故答案为：
反思提升：
1.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.
2.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.
3.给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；(2)若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.
【考点3】三角恒等变换的应用
一、单选题
1．（2023·四川凉山·二模）在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．命题，命题为等腰三角形．则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2020·广东广州·二模）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB＝6,c＝3,B＝2C,则cosC的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（21-22高一下·福建厦门·期中）已知对任意角，均有公式.设△ABC的内角A，B，C满足.面积S满足.记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列式子一定成立的是( )
A． B．
C． D．
4．（20-21高三上·福建莆田·期中）对于三角形ABC，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若sin2A＋sin2B＜sin2C，则三角形ABC是钝角三角形
B．若A＞B，则sin A＞sin B
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的三角形ABC有两个
D．若三角形ABC为斜三角形，则
三、填空题
5．（2022·浙江·模拟预测）在中，，点D，E分别在线段上，，°，则 ，的面积等于 ．
6．（21-22高一下·重庆沙坪坝·期中）锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，有，且，则的取值范围为 .
参考答案：
1．D
【分析】利用三角恒等变换公式和正弦定理，把中等式化为，从而，得或，然后结合充分条件和必要条件的定义进行判断．
【详解】根据正弦定理可得，
所以
所以，
即，
整理得，则或，
因为，，，，
则或，即或，所以由不能推出；
当为等腰三角形时，不一定为，也不一定相等，所以由不能推出，
故p是q的既不充分也不必要条件．
故选：D
2．D
【分析】由已知利用二倍角的正弦函数公式,正弦定理可得，利用两角和的正弦函数公式,正弦定理化简已知等式可得，进而根据余弦定理即可求解的值．
【详解】解：，，，
由正弦定理,可得,可得，
，设的外接圆半径为，
由正弦定理可得，
又，可得，
可得，，可得，
，则为锐角，解得．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用，需要根据题意确定合适的三角函数公式互化求解，属于中档题.
3．CD
【分析】结合已知对进行变形化简即可得的值，从而判断A；根据正弦定理和三角形面积，借助于△ABC外接圆半径R可求的范围，从而判断B；根据的值，结合△ABC外接圆半径R即可求abc的范围，从而判断C；利用三角形两边之和大于第三边可得，从而判断D﹒
【详解】∵△ABC的内角A、B、C满足，
∴，即，
∴，
由题可知，，
∴，
∴
∴，
∴有，故A错误；
设△ABC的外接圆半径为R，
由正弦定理可知，，
∴，
∴，∴，故B错误；
，故C正确；
，故D正确．
故选：CD．
4．ABD
【解析】对于A，先利用正弦定理转化为边之间的关系，再利用余弦定理可判断三角形的角的大小；对于B，由三角形中大角对大边，再结合正弦定理判断；对于C，利用余弦定理求解即可；对于D，利用三角函数恒等变换公式判断
【详解】对于A，因为sin2A＋sin2B＜sin2C，所以由正弦定理得，所以，所以为钝角，所以三角形ABC是钝角三角形，所以A正确；
对于B，因为A＞B，所以，所以由正弦定理得sin A＞sin B，所以B正确；
对于C，由余弦定理得，，所以，所以符合条件的三角形ABC有一个，所以C错误；
对于D，因为，
所以
因为，
所以，
所以，所以D正确，
故选：ABD
5． ； .
【分析】在中，利用正弦定理求得和，再利用三角形面积公式直接求出的面积.
【详解】在中，，点D，E分别在线段上，，
所以，.
因为，所以，所以，.
在中，,，,.
由正弦定理得：,即.
因为，
所以.
.
所以的面积为.
故答案为：；.
6．
【分析】先利用三角函数恒等变形求出，利用正弦定理表示出，用三角函数求出的取值范围.
【详解】因为，
所以.
因为,所以，所以.
所以.
因为为锐角三角形，所以，所以,所以.
所以，即.
因为为锐角三角形，所以，解得：
由正弦定理得：，.
所以.
因为，所以，所以.
因为，所以，
所以，所以.
即
在中，由两边之和大于第三边，所以.
综上所述：.
故答案为：
【点睛】解三角形的最值问题包括两类：
（1）利用正弦定理转化为三角函数求最值；
（2）利用余弦定理转化为基本不等式求最值．
反思提升：
三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·河北承德·二模）函数的图象的对称轴方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（20-21高三·江苏南京·阶段练习）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·重庆·三模）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江西九江·二模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024·浙江·二模）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为 B．关于点中心对称
C．最大值为 D．在区间上单调递减
6．（23-24高三上·山西大同·期末）若，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·河南·模拟预测）设函数，且相邻两条对称轴之间的距离为，，，则（ ）
A．，
B．在区间上单调递增
C．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称
D．当时，函数取得最大值
三、填空题
8．（23-24高一下·河北石家庄·期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是 .
9．（2024·海南海口·模拟预测）已知，写出符合条件的一个角的值为 .
10．（2024·山西晋城·二模）已知，，则 ．
四、解答题
11．（2024·山东青岛·三模）设三角形的内角、、的对边分别为、、且．
(1)求角的大小；
(2)若，边上的高为，求三角形的周长．
12．（2023·江苏连云港·模拟预测）已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
(1)求;
(2)若,求外接圆的半径R．
参考答案：
1．C
【分析】利用三角恒等变换得，再根据正弦型函数对称性得到方程，解出即可.
【详解】，
所以，，解得，
故选：C.
2．C
【分析】先根据三角恒等变换求的值，再利用作差法比较的大小.
【详解】，
，
∵，则，
又∵，则
，则，即
∴
故选：C.
3．C
【分析】根据二倍角公式化简和同角三角函数关系求出，利用余弦二倍角公式求出答案.
【详解】因为，所以，，
因为，
所以，
所以，
解得或舍，
则
故选：C
4．A
【分析】利用两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系得到方程组，即可求出、，再求出即可.
【详解】因为，，
所以，
解得，
所以，
又，所以，所以.
故选：A
5．BC
【分析】首先化简函数的解析式，再根据三角函数的性质，判断选项.
【详解】，
，
函数的最小正周期，故A错误；
，所以函数图象关于点中心对称，故B正确；
，所以函数的最大值为，故C正确；
由，，函数在区间单调递增，
所以函数在区间上单调递增，故D错误.
故选：BC
6．BD
【分析】
根据同角的三角函数关系式，结合两角和（差）的正弦余弦公式逐一判断即可.
【详解】
由题意可得，
所以，故A错误；
，
因为，
所以，所以，故B正确；
因为，所以，
所以
，故C错误：
即，
因为，所以，
故，所以，故D正确.
故选：BD
7．CD
【分析】先把化成的形式，结合两对称轴之间的距离为，求出周期，进而确定的值，在根据三角函数的性质进行判断.
【详解】因为，因为相邻两条对称轴之间的距离为，所以其最小正周期为，所以；
又，所以，即，所以，故A错误；
对于B，令，得，所以的单调递增区间为，显然不是其子集，故B错误；
对于C，平移后得到图象的函数解析式为，为偶函数，故其图象关于轴对称，故C正确；
对于D，因为，当，即时取得最大值，故D正确.
故选:CD
8．等腰三角形或直角三角形.
【分析】利用两角和差的正弦公式化简已知条件，再结合角的范围即可求解.
【详解】由得，
则，
所以，所以，
所以或，
因为，，所以或，
所以的形状为等腰三角形或直角三角形.
故答案为：等腰三角形或直角三角形.
9．（答案不唯一）
【分析】根据题目条件得到和，从而求出，进而求出角的值.
【详解】，
故，
，即，
故，
故，即，
则，
则，
可取.
故答案为：
10．
【分析】由切化弦可得，结合两角和差公式分析求解.
【详解】因为，即，可得，
又因为，可得，
所以.
故答案为：.
11．(1)
(2)
【分析】（1）利用内角和为化简，利用二倍角公式化简，再利用辅助角公式化简即可求得；
（2）由面积公式和余弦定理，联立方程组求解三角形即可.
【详解】（1）因为，，为的内角，所以，
因为，所以可化为：，
即，即，
因为，解得：，即．
（2）由三角形面积公式得，代入得：，
所以，由余弦定理得：，
解得：或舍去，即，
所以的周长为.
12．(1)
(2)
【分析】(1)将写为代入化简可得,根据,即可得;
(2) 由正、余弦定理可将化简为,进一步化简可得,结合,再根据正弦定理即可得外接圆半径.
【详解】（1）解:因为,
所以
,
所以,因为,
所以,所以,又,
所以;
（2）因为,
所以在中,由正、余弦定理得:
,
所以,故,
由正弦定理得,
所以外接圆半径为.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·四川成都·模拟预测）设锐角的三个内角的对边分别为，且，则的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）下列代数式的值为的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
3．（2024·辽宁·二模）已知，则 ．
四、解答题
4．（2024·河北·模拟预测）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：设的内角，，的对边分别为，，，且，，______.
(1)求；
(2)求的周长.
注：若选择条件①、条件②分别解答，则按第一个解答计分.
参考答案：
1．C
【分析】根据正弦定理，转化为三角函数，化简后换元，根据二次函数的单调性求范围即可.
【详解】在中，由可得，
由正弦定理得：
又为锐角三角形，所以，解得，
令，则，
因为在时单调递增，
所以，则.
故选：C
2．BCD
【分析】利用二倍角的余弦公式可判断A选项；利用切化弦以及二倍角的正弦公式可判断B选项；利用二倍角的正弦公式可判断CD选项.
【详解】对于A选项，；
对于B选项，；
对于C选项，；
对于D选项，
.
故选：BCD.
3．
【分析】利用余弦的和角公式，同角三角形函数的和积关系及二倍角公式先得，再将三倍角化为二倍角推导计算得即可.
【详解】由，得即，
两边平方得，得，
所以．
故答案为：．
4．(1)
(2)
【分析】（1）由三角形中，代入已知化简得出，即可计算得出答案；
（2）若选①：由余弦定理结合（1）与已知得出，再由①角化边得出，两式联立解出与，即可得出答案；
若选②：由②结合余弦定理得出，即可结合已知与（1）化解得出的值，再由余弦定理求出的值，即可得出答案.
【详解】（1）在中，，
，
，
，
则，
化简得.
在中，，
.
又，
.
（2）由余弦定理，得，即.
若选①，
，即，且，
，，
此时的周长为.
若选②，
，
，即，
又，
，
此时的周长为．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·陕西渭南·三模）若函数在内恰好存在8个，使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是
B．若，则在上单调递减
C．若在上恰有3个零点，则的取值范围为
D．函数的值域为
三、解答题
3．（2024·海南海口·二模）已知函数，等差数列的前项和为，记.
(1)求证：的图象关于点中心对称；
(2)若，，是某三角形的三个内角，求的取值范围；
(3)若，求证：.反之是否成立 并请说明理由.
参考答案：
1．D
【分析】化简函数式为，题意说明，得，由正弦函数图象与直线的交点个数得的范围．
【详解】由题意可得：
，
由可得，
因为，，则，
由题意可得，解得，
所以的取值范围为．
故选：D．
【点睛】易错点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
2．AC
【分析】化简，根据的值域可判断A；求出的范围，根据的单调性可判断B；在上恰有3个零点得，求出的范围可判断C；求出，利用三角函数的值域可判断D．
【详解】
，
选项A：因为，所以，的最小值为，故A正确；
选项B：当时，，由得，
所以在上单调递增，故B错误；
选项C：由得，若在上恰有3个零点，
则，得，故C正确；
选项D：因为，所以，
所以，解得，故D错误．
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于化简，再将正弦型函数的性质转化为正弦函数的性质进行求解.
3．(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析，反之不成立，理由见解析.
【分析】（1）设出的图象任意一点的坐标，计算判断点也在的图象上即可.
（2）利用三角形内角和为和等差中项性质求解出和 ，再根据定义展开，根据三角函数恒等变换展开化简即可求出的取值范围.
（3）根据等差数列性质可得，将该关系式代入计算即可，当时，利用等差数列性质，构造函数并结合零点存在性定理推理即得..
【详解】（1）设的图象上任意一点，则，
点关于点的对称点为，
因为，
因此点在的图象上，
所以的图象关于点中心对称.
（2）若，，是某三角形的三个内角，则，又是等差数列，则，
因此
，
不妨设，则，即有，，
所以.
（3）由是等差数列，且，得，
即，因此当时，，，
.
所以成立.
反之不成立.
考虑存在等差数列，满足，则，
显然当时，，，于是，
下面证明，存在，可以使得，且，
不妨设，由，得，
，即，
设，其中，显然，，
则存在，使得，即存在，使得， ，
但此时，所以反之不成立.
【点睛】方法点睛：
常见函数的累加求值：①若函数呈周期性变化，或者函数的部分呈周期性变化，因此在累加求值的过程中，先找到函数的周期性，再计算出一个周期中的取值情况，最后整体计算；②若无周期变化，该函数还可能呈首尾相加取定值，可先判断是否存在该规律，再进行整体计算.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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