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24.3 正多边形和圆 学案
（一）学习目标：
1.了解正多边形和圆的关系，半径，边心距，中心等概念。
2.在作图过程中感受数学结合、转化、类比的数学方法。
3.体会自主学习带来的成就感。
（二）学习重难点：
学习重点：观察图象，得出图象特征和性质
学习难点：正多边形和圆的关系
阅读课本，识记知识：
1.正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
2.正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
【例1】 如图，是正五边形的外接圆的切线，已知点为切点，则的度数为（ ）
A．36° B．54° C．72° D．144°
【答案】C
【分析】根据题意得和，进一步得到，设,有，由于为的切线，得，则，根据圆周角定理得，那么即可．
【详解】解：连接，,和，如图，
∵为正五边形，
∴，，，
∴，
则，
∵，
∴，
设,
∵为的切线，
∴，
∵,
∴,
则,
根据圆周角定理得，
那么．
故选：C．
【点睛】本题主要考查正多边形的外接圆的性质、圆周角定理、切线性质和正多边形的性质，解题的关键是连接辅助，并利用圆周角和正多边形性质。
【例2】 如图，点是正方形和正五边形的中心，连接交于点，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆内接多边形，圆周角定理，三角形外角的性质．熟练掌握圆内接多边形，圆周角定理，三角形外角的性质是解题的关键．
如图，连接，则是正方形和正五边形的外接圆，由圆周角定理可得，，然后根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，则是正方形和正五边形的外接圆，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
选择题
1．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是( )
A．14 B．18 C．16 D．20
【答案】D
【分析】本题主要考查正多边形的有关知识．根据正多边形的中心角为计算即可．
【详解】解：∵一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，
∴该正多边形的边数为：，故D正确．
故选：D．
2．正六边形的中心角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形中心角定义．根据题意正多边形中心角即为除以正多边形边数即可选出本题答案．
【详解】解：∵是正六边形，
∴中心角为：，
故选：C．
3.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】根据圆内接正多边形的性质可得，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解．本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．
【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点，
∵，
∴，
则，
故正十二边形的面积为，
圆的面积为，
用圆内接正十二边形面积近似估计的面积可得，
故选：C．
4．如图，正方形内接于，E为的中点，直线交于点F，如果的半径为，则点O到的距离（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，正方形的性质，正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握相关性质定理，是解题的关键．连接，根据垂径定理得出，结合正方形的性质推出，根据勾股定理求出，则，进而得出，设，则，根据勾股定理可得：，，列出方程求出，即可求解．
【详解】解：连接，
∵E为的中点，
∴，
∵正方形内接于，
∴，
∴，
根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
即，
∴，
根据勾股定理可得：，
设，则，
根据勾股定理可得：，，
∴，
解得：，
即，
∴，
故选：A．
5．齐齐哈尔市龙沙公园内有一楼亭，始建于1908年，1964年7月21日，朱德委员长来齐齐哈尔市视察，登楼远眺，神清气爽，嫩江水碧波荡漾，齐齐哈尔风光尽收眼底，朱老总即兴挥毫题写了“望江楼”三个大字，后将其制成黑底金字的长匾悬挂于飞檐之下，得名“望江楼”．我国古代许多楼亭的地基都是正六边形（如图），若有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则地基的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查等多边形的性质，等边三角形的判定性质，解题的关键是掌握正多边形中心角相等；过点O作于点C，通过证明为等边三角形，得出，，根据勾股定理可得：，则，即可得出地基的面积．
【详解】解：过点O作于点C，

∵该六边形为正六边形，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，
∴地基的面积，
故选：D．
6．我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点为的中点，连结交于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设正六边形的外接圆的圆心为O，连接、、、，则，所以心O在上，由点G为的中点，得，可求得，由是等边三角形，得，则，所以，则，作交于点I，则，所以，则，，于是得，再利用，得，则，即可求得答案．
【详解】解：如图，设正六边形的外接圆的圆心为O，连接、、、．
∵，
∴，，
∴圆心在上，
∵点G为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴是等边三角形．
∴，
∵，
∴，
∴，
作交于点I，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选∶A.
【点睛】本题重点考查正多边形与圆、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
7．如图，在正六边形中，点是边的中点，是边上任意一点，若正六边形的面积是，则的值是（ ）
B．
C． D．由于点的位置不确定，所以的值不确定
【答案】A
【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积，根据正六边形的性质，得出 ，即可求解，掌握正六边形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，过点作交于点，交于点，连接，
则，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
故选：．
8．正六边形的边长与边心距的比是（ ）
A． B．1：2 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查正多边形边长的计算问题，熟练掌握多边形转化为解直角三角形是解题关键．
可设正六边形的边长为2，欲求边长、边心距之比，可通过作图形，构造直角三角形，解直角三角形即可得出．
【详解】解：如图所示，
设边长
多边形为正六边形，
，
在中，，，
即边长与边心距之比.
故选：C
9．如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（ ）
A． B．3 C．6 D．
【答案】B
【分析】连接、，由正六边形内接于，可知是等边三角形，由的周长是，可得，即可得出结果．本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接、，

∵正六边形内接于，
∵，
是等边三角形，
∵的周长是，
，
即正六边形的边长是，
故选：B
10．如图，正六边形内接于，若的边心距，则正六边形的边长是（ ）
A． B．3 C．6 D．
【答案】A
【分析】本题考查了正多边形和圆，连接，证明是等边三角形，求出的长即可解决问题．
【详解】解：连接，如图，
∵正六边形内接于，
∴，
∴是等边三角形，
∵是的边心距，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴
解得，，
∴，
故选：A
填空题
11．如图，正五边形内接于圆，连接，交于点F，则的度数为 ．
【答案】/108度
【分析】本题考查了正多边形与圆的性质，根据正五边形的性质可知，所以四边形为平行四边形，然后根据正五边形内角和定理，求出，即可求出，根据正五边形的性质得出四边形为平行四边形是解题的关键．
【详解】解：∵五边形为正五边形，
∴
∴四边形为平行四边形，
∴
故答案为：．
12．正六边形的边心距为，则正六边形的半径为 ．
【答案】1
【分析】本题考查正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理．正确的画出图形并连接辅助线是解题关键．
如图，连接，过点O作于点H．由正六边形的性质可证明是等边三角形，即得出．再由，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可求出的长，即为这个正六边形的半径．
【详解】解：如图，连接，过点O作于点H．
∵此六边形是正六边形，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
由题意可知，
设，则，
∵在中，，
∴，
解得：或（舍），
∴，即这个正六边形的半径为1．
故答案为：1．
13．如图，分别是某圆内接正六边形、正方形的一边，若，则的长为

【答案】
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，设圆的圆心是，连接、、，求出是等边三角形，得到，求出是等腰直角三角形，得出，最后由勾股定理计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，设圆的圆心是，连接、、，

是圆内接正六边形的一边，
的度数是，
是等边三角形，
，
是圆内接正方形的一边，
的度数是，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为：．
14．剪纸是中国最古老的民间艺术之一，如图，这个剪纸图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身完全重合，则角可以为 度（写出一个即可）．
【答案】60
【分析】本题主要考查正多边形的性质，能够熟练计算正多边形的中心角是解题关键．正六边形是中心对称图形也是轴对称图形，中心角是，故而只要旋转角度是的整数倍即可．
【详解】解：正六边形的中心角是，
∴．
故答案为：60．
15．如图，在正八边形中，四边形的面积为12，则正八边形的面积为

【答案】24
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，三角形中线的性质，连接交于O，由正八边形的对称性可知点O即为正八边形外接圆的圆心，据此可得，根据三角形中线平分三角形面积可得，则．
【详解】解：如图所示，连接交于O，由正八边形的对称性可知点O即为正八边形外接圆的圆心，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：24．

三、解答题
16．如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点、在轴上，顶点在轴上，若，求中心的坐标．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形的性质，勾股定理，平面直角坐标系等知识，连接、，过点P作轴于Q，证明是等边三角形，求出，然后利用含的直角三角形的性质求出、，利用勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：连接、，过点P作轴于Q，
∵六边形是正六边形，，
∴，，，，
∴，是等边三角形，，
∴，，，
∴，
∴，
∴中心的坐标为．
17．如图，正六边形内接于．
(1)若P是上的动点，连接，，求的度数；
(2)已知的面积为，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了圆内解正六边形问题，解题的关键是掌握圆内解正六边形的性质及弦和圆周角之间的关系．
（）在取一点，连接，利用弦和圆周角的关系即可求出的值；
（）证明是等边三角形，利用三角函数求出，，再根据的面积为求出圆的半径，即可求出面积．
【详解】（1）如图所示，在取一点，连接 ，
∵六边形是正六边形，
∴ ，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴是等边三角形，
∴；
∴，，
∴，
∴，
即的半径为．
面积为：
18．如图①，，分别是半圆的直径上的点，点，在上，且四边形是正方形．

(1)若，则正方形的面积为　 　；
(2)如图②，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形，且其面积为16
①求的值；
②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．直接写出正方形与正方形的面积比．
【答案】(1)16
(2)①；②
【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理等知识，解题的关键是：
（1）连接，根据正方形和圆的性质得出，然后根据勾股定理求解即可；
（2）①连接，，设，分别在、中，利用勾股定理关键关于x的方程求解即可；
②连接，，，先证明共线，然后求出，最后根据正方形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：连接，

四边形是正方形，
，
解得：，
正方形的边长为4，
正方形的面积为16．
（2）解：①连接，，

四边形是正方形，且其面积为16，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，
解得（舍）
，
．
②连接，，，

，且，
，，
又，
，
共线，
，
．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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24.3 正多边形和圆 学案
（一）学习目标：
1.了解正多边形和圆的关系，半径，边心距，中心等概念。
2.在作图过程中感受数学结合、转化、类比的数学方法。
3.体会自主学习带来的成就感。
（二）学习重难点：
学习重点：观察图象，得出图象特征和性质
学习难点：正多边形和圆的关系
阅读课本，识记知识：
1.正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
2.正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
【例1】 如图，是正五边形的外接圆的切线，已知点为切点，则的度数为（ ）
A．36° B．54° C．72° D．144°
【答案】C
【分析】根据题意得和，进一步得到，设,有，由于为的切线，得，则，根据圆周角定理得，那么即可．
【详解】解：连接，,和，如图，
∵为正五边形，
∴，，，
∴，
则，
∵，
∴，
设,
∵为的切线，
∴，
∵,
∴,
则,
根据圆周角定理得，
那么．
故选：C．
【点睛】本题主要考查正多边形的外接圆的性质、圆周角定理、切线性质和正多边形的性质，解题的关键是连接辅助，并利用圆周角和正多边形性质。
【例2】 如图，点是正方形和正五边形的中心，连接交于点，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆内接多边形，圆周角定理，三角形外角的性质．熟练掌握圆内接多边形，圆周角定理，三角形外角的性质是解题的关键．
如图，连接，则是正方形和正五边形的外接圆，由圆周角定理可得，，然后根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，则是正方形和正五边形的外接圆，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
选择题
1．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是( )
A．14 B．18 C．16 D．20
2．正六边形的中心角为（ ）
A． B． C． D．
3.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为（ ）
A． B． C．3 D．
4．如图，正方形内接于，E为的中点，直线交于点F，如果的半径为，则点O到的距离（ ）
A． B． C．1 D．
5．齐齐哈尔市龙沙公园内有一楼亭，始建于1908年，1964年7月21日，朱德委员长来齐齐哈尔市视察，登楼远眺，神清气爽，嫩江水碧波荡漾，齐齐哈尔风光尽收眼底，朱老总即兴挥毫题写了“望江楼”三个大字，后将其制成黑底金字的长匾悬挂于飞檐之下，得名“望江楼”．我国古代许多楼亭的地基都是正六边形（如图），若有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则地基的面积为（ ）

A． B． C． D．
6．我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点为的中点，连结交于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在正六边形中，点是边的中点，是边上任意一点，若正六边形的面积是，则的值是（ ）
B．
C． D．由于点的位置不确定，所以的值不确定
8．正六边形的边长与边心距的比是（ ）
A． B．1：2 C． D．
9．如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（ ）
A． B．3 C．6 D．
10．如图，正六边形内接于，若的边心距，则正六边形的边长是（ ）
A． B．3 C．6 D．
填空题
11．如图，正五边形内接于圆，连接，交于点F，则的度数为 ．
12．正六边形的边心距为，则正六边形的半径为 ．
13．如图，分别是某圆内接正六边形、正方形的一边，若，则的长为

14．剪纸是中国最古老的民间艺术之一，如图，这个剪纸图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身完全重合，则角可以为 度（写出一个即可）．
15．如图，在正八边形中，四边形的面积为12，则正八边形的面积为

三、解答题
16．如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点、在轴上，顶点在轴上，若，求中心的坐标．
17．如图，正六边形内接于．
(1)若P是上的动点，连接，，求的度数；
(2)已知的面积为，求的面积．
18．如图①，，分别是半圆的直径上的点，点，在上，且四边形是正方形．

(1)若，则正方形的面积为　 　；
(2)如图②，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形，且其面积为16
①求的值；
②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．直接写出正方形与正方形的面积比．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
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