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24.4 弧长和扇形面积 学案
（一）学习目标：
1.掌握弧长公式，扇形概念及公式。
2.在作图过程中感受数学结合、转化、类比的数学方法。
3.体会自主学习带来的成就感。
（二）学习重难点：
学习重点：观察图象，得出弧长和扇形面积公式
学习难点：弧长和扇形面积公式的应用
阅读课本，识记知识：
1.弧长公式（重点）
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
2.扇形面积公式（难点）
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
【例1】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝36°，连接BC．
（1）求∠B的度数；
（2）若AB＝3，求的长．
【解答】：（1）连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴OC∥AE，
∴∠CAD＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠COB＝2∠CAD＝36°×2＝72°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝（180°﹣∠COB）÷2＝（180°﹣72°）÷2＝54°；
（2）连接OE，
∵⊙O的直径AB＝3，
∴OA＝1.5，
∵∠COE＝2∠CAE＝2×36°＝72°，
∴π．
【例2】平面直角坐标系内有点，将它绕原点顺时针旋转至点，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据旋转的定义得到是以原点为圆心，圆心角为的扇形的弧长，根据弧长公式即可求解．此题考查了旋转的性质、弧长公式，由题意得到是以点原点为圆心，圆心角为的扇形的弧长，是解题的关键．
【详解】解：∵点，
∴，
由题意可知是以原点为圆心，圆心角为的扇形的弧长，
∴的长度为，
故选：D．
选择题
1．已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的侧面展开图的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆锥的侧面积公式．根据圆锥的侧面积公式，求解即可．
【详解】解：根据题意得：该圆锥的侧面展开图的面积为．
故选：C
2．如图，在圆形纸板上裁剪两个扇面．具体操作如下：作的任意一条直径，以点为圆心、长为半径作圆，与相交于点、；以点为圆心、长为半径作圆，与相交于点、；连结、、、，得到两个扇形，并裁剪下来．若的半径为，则剩余纸板（图中阴影部分图形）的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查扇形的面积；通过拼补将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键．连接，，将图中阴影部分面积拼补为扇形与扇形面积之和，进一步利用扇形的面积公式从而求出阴影部分的面积，即可求解．
【详解】解：连接，，
，的面积与弓形，的面积相等，弓形，的面积与弓形，的面积相等，
图中阴影部分的面积，
，
、是正三角形，
阴影部分的面积．
故选：B．
3．一弧长为厘米，半径为厘米，此弧与两条半径围成的扇形面积为___________平方厘米（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了扇形的扇形的面积．熟记扇形的面积公式是解题的关键．直接根据扇形的面积公式，依此进行计算．
【详解】解：由题可得：，
故选：B．
4．如图，是等腰直角三角形，，，点是斜边上一点，且，将绕点逆时针旋转，得到，交于点．其中点的运动路径为弧，则弧的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了求弧长，等腰直角三角形的性质，勾股定理．如图所示，过点C作于F，连接，先利用勾股定理得到，则，再求出，即可求出，，再根据弧长公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点C作于F，连接，
∵，，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质得，
∴弧的长度为，
故选：A．
5．一个扇形的半径为，面积是，则扇形的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了扇形的面积公式；设扇形的圆心角为，根据扇形的面积公式列式求出n的值即可．
【详解】解：设扇形的圆心角为，
由题意得：，
∴，
即扇形的圆心角为，
故选：D．
6．如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是，母线长是，制作50个这样的烟囱帽至少需要铁皮（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆锥求面积的实际应用，根据圆锥的侧面展开是一个扇形，而扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用扇形的面积等于圆锥的侧面积求出一个烟囱帽的面积，再乘以数量即可求解．解答本题的关键在于掌握圆锥与扇形相等量之间的转化．
【详解】一个圆锥的侧面积为（），
∴50个烟囱需要铁皮的面积为：．
故选：D．
7．如图，正方形的边长为6，以为直径在正方形内部画半圆，连接对角线，则阴影部分的面积是（ ）
A．9 B．6 C．3 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了求不规则图形的面积、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、圆的性质，设与半圆交于点，半圆的圆心为，连接，，证明得到弓形的面积弓形的面积，则，进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，设与半圆交于点，半圆的圆心为，连接，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
垂直平分，
，
弓形的面积弓形的面积，
，
故选：A．
8．如图，在矩形中，已知，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B 向右旋转至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转至图②位置，…，依次类推，这样连续旋转2020次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质，规律型：图形的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键．
连接，根据矩形的性质可得，从而在中，利用勾股定理可得，然后利用弧长公式分别求出顶点A前四次旋转经过的路程，再从中找到规律进行计算，即可解答．
【详解】解：连接，

∵四边形是矩形，
，
，
∴第一次旋转顶点A经过的路程，
第二次旋转顶点A经过的路程，
第三次旋转顶点A经过的路程，
第四次旋转顶点A经过的路程，
…
依次类推，每四次为一个循环，
，
∴连续旋转2020次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和，
故选：D．
9．已知圆锥的高与母线夹角，则此圆锥侧面展开图的圆心角度数为（　　）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图的扇形圆心角度数，设母线长为l，圆锥侧面展开图的圆心角度数为，底面圆半径为r，先根据含30度角的直角三角形的性质得到，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等圆圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于n的方程即可．
【详解】解：设母线长为l，圆锥侧面展开图的圆心角度数为，底面圆半径为r，
∵圆锥的高与母线夹角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴此圆锥侧面展开图的圆心角度数为，
故选C．
10．如图，把一块含的直角三角板的一个锐角顶点A放在半径为2的上，边、分别与交于点、点，则位于三角板内部的弧的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，，根据圆周角定理得，根据弧长公式进行计算即可得．
本题主要考查了圆周角，圆弧长．解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理，弧长公式．
【详解】连接，，如图所示，
∵在中，，
∴，
∵的半径为2，
∴位于三角板内部的弧的长度为：．
故选：A．
填空题
11．如图，矩形中，，以为直径的半圆Ｏ与相切于点E，连接，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
【答案】
【分析】连接交于点，根据切线的性质可得，可得到四边形和四边形为矩形，再证得，可得，从而得到阴影部分的面积，即可求解．
【详解】解：连接交于点，如图，
以为直径的半圆与相切于点，
，
，
四边形为矩形，
，
四边形和四边形为矩形，
，，
在和中，
，
，
，
阴影部分的面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的性质，求不规则图形面积，全等三角形的性质与判定等等，圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点，据此作出辅助线构造全等三角形求解即可．
12．如图，把长为，宽为的矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
设圆锥的底面的半径为，，则，，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程求出r，然后计算即可．
【详解】解：设圆锥的底面的半径为，则，，
根据题意得
，整理，得，
则， 即：
故答案为：．
13．如图，是各边长都大于2的三角形，分别以它的顶点为圆心，1为半径画弧（弧的端点分别在三角形相邻两边上），则阴影部分的面积之和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了扇形的面积，三角形内角和．由题意知，三条弧的半径相同为1，圆心角的和为，然后代入扇形面积公式计算求解即可．
【详解】解：由题意知，三条弧的半径相同为1，圆心角的和为，
∴阴影部分的面积之和为，
故答案为：．
14．如图，在中，，，，将绕点O逆时针旋转得到，点Q恰好落在斜边上，则线段扫过的面积为 ；则点P经过的路径长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形，解直角三角形和扇形的面积以及弧长计算等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．先证明是等边三角形，求得，再运用勾股定理计算的长，运用扇形面积公式和弧长公式计算即可．
【详解】．∵，，，绕点O逆时针旋转得到，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
线段扫过的面积为；
点P经过的路径长为，
故答案为：，．
15．如图，若圆锥的底面圆半径为，圆锥的母线长为，且，则该圆锥侧面展开的扇形的圆心角大小是 ．

【答案】/216度
【分析】本题考查圆锥侧面积与扇形面积公式，将圆锥侧面积通过两种不同的方式表达出来，再结合即可求解．
【详解】解：由题知，
整理，可得，
，
，
解得，
圆锥侧面展开的扇形的圆心角大小是，
故答案为：．
三、解答题
16．在平面直角坐标系的位置如下图，的顶点坐标分别为．

(1)画出绕原点O顺时针旋转后的；
(2)并求出点A绕原点O旋转到点的过程中，线段所扫过图形的面积．（保留）
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理，求扇形面积等等：
（1）根据所给的旋转方式结合网格的特点找到A、B、C对应点的位置，再顺次连接即可；
（2）先利用勾股定理求出，由旋转的性质可得，根据线段所扫过图形的面积即为扇形的面积进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：∵，
∴，
由旋转的性质可得，
∴点A绕原点O旋转到点的过程中，线段所扫过图形的面积．
17．如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点O为原点，点，．
(1)将绕点顺时针旋转90°后得到，请在图中作出，并直接写出点的坐标；
(2)求在旋转过程中，线段扫过的图形的面积．（结果保留）
【答案】(1)见解析，
(2)
【分析】本题考查了画旋转图形，勾股定理，扇形的面积计算；
（1）根据旋转的性质找出点A、B的对应点，顺次连接即可得到，然后根据所作图形可得点的坐标；
（2）先利用勾股定理求出，再根据线段扫过的图形为扇形结合扇形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图所示：
由图得：点的坐标为；
（2）∵，
∴线段扫过的图形的面积为：．
18．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为，，．
(1)画出关于x轴对称的；
(2)画出关于原点O顺时针旋转后的；
(3)求在（2）变化中点C到经过的路径长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)点C到经过的路径长为
【分析】（1）根据轴对称的性质找出点A、B、C的对应点的位置，顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质找出点A、B、C的对应点的位置，顺次连接即可；
（3）利用弧长公式计算即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）如图，即为所求．
（3）∵，
∴点C到经过的路径长为．
【点睛】本题考查了作图—轴对称和旋转，勾股定理，弧长公式，熟练掌握轴对称和旋转的性质是解题的关键．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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24.4 弧长和扇形面积 学案
（一）学习目标：
1.掌握弧长公式，扇形概念及公式。
2.在作图过程中感受数学结合、转化、类比的数学方法。
3.体会自主学习带来的成就感。
（二）学习重难点：
学习重点：观察图象，得出弧长和扇形面积公式
学习难点：弧长和扇形面积公式的应用
阅读课本，识记知识：
1.弧长公式（重点）
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
2.扇形面积公式（难点）
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
【例1】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝36°，连接BC．
（1）求∠B的度数；
（2）若AB＝3，求的长．
【解答】：（1）连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴OC∥AE，
∴∠CAD＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠COB＝2∠CAD＝36°×2＝72°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝（180°﹣∠COB）÷2＝（180°﹣72°）÷2＝54°；
（2）连接OE，
∵⊙O的直径AB＝3，
∴OA＝1.5，
∵∠COE＝2∠CAE＝2×36°＝72°，
∴π．
【例2】平面直角坐标系内有点，将它绕原点顺时针旋转至点，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据旋转的定义得到是以原点为圆心，圆心角为的扇形的弧长，根据弧长公式即可求解．此题考查了旋转的性质、弧长公式，由题意得到是以点原点为圆心，圆心角为的扇形的弧长，是解题的关键．
【详解】解：∵点，
∴，
由题意可知是以原点为圆心，圆心角为的扇形的弧长，
∴的长度为，
故选：D．
选择题
1．已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的侧面展开图的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在圆形纸板上裁剪两个扇面．具体操作如下：作的任意一条直径，以点为圆心、长为半径作圆，与相交于点、；以点为圆心、长为半径作圆，与相交于点、；连结、、、，得到两个扇形，并裁剪下来．若的半径为，则剩余纸板（图中阴影部分图形）的面积为（　　）
A． B． C． D．
3．一弧长为厘米，半径为厘米，此弧与两条半径围成的扇形面积为___________平方厘米（　　）
A． B． C． D．
4．如图，是等腰直角三角形，，，点是斜边上一点，且，将绕点逆时针旋转，得到，交于点．其中点的运动路径为弧，则弧的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．一个扇形的半径为，面积是，则扇形的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是，母线长是，制作50个这样的烟囱帽至少需要铁皮（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，正方形的边长为6，以为直径在正方形内部画半圆，连接对角线，则阴影部分的面积是（ ）
A．9 B．6 C．3 D．12
8．如图，在矩形中，已知，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B 向右旋转至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转至图②位置，…，依次类推，这样连续旋转2020次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ）

A． B． C． D．
9．已知圆锥的高与母线夹角，则此圆锥侧面展开图的圆心角度数为（　　）
A． B． C． D．3
10．如图，把一块含的直角三角板的一个锐角顶点A放在半径为2的上，边、分别与交于点、点，则位于三角板内部的弧的长度为（ ）
A． B． C． D．
填空题
11．如图，矩形中，，以为直径的半圆Ｏ与相切于点E，连接，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
12．如图，把长为，宽为的矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 ．
13．如图，是各边长都大于2的三角形，分别以它的顶点为圆心，1为半径画弧（弧的端点分别在三角形相邻两边上），则阴影部分的面积之和为 ．
14．如图，在中，，，，将绕点O逆时针旋转得到，点Q恰好落在斜边上，则线段扫过的面积为 ；则点P经过的路径长为 ．
15．如图，若圆锥的底面圆半径为，圆锥的母线长为，且，则该圆锥侧面展开的扇形的圆心角大小是 ．

三、解答题
16．在平面直角坐标系的位置如下图，的顶点坐标分别为．

(1)画出绕原点O顺时针旋转后的；
(2)并求出点A绕原点O旋转到点的过程中，线段所扫过图形的面积．（保留）
17．如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点O为原点，点，．
(1)将绕点顺时针旋转90°后得到，请在图中作出，并直接写出点的坐标；
(2)求在旋转过程中，线段扫过的图形的面积．（结果保留）
18．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为，，．
(1)画出关于x轴对称的；
(2)画出关于原点O顺时针旋转后的；
(3)求在（2）变化中点C到经过的路径长．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
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