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25.1.1 随机事件 学案
（一）学习目标：
1.了解必然事件、随机事件、不可能事件的特点。
2.经历体验、操作、观察归纳、总结的过程，发展抽象思维能力。
3.感受数学的实用价值。
（二）学习重难点：
学习重点：随机事件的特征
学习难点：会判断现实世界中的必然、不可能和随机事件
阅读课本，识记知识：
1.确定性事件
必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件
不可能发生的事件∶有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件
2.和随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
【例1】事件“任意抛掷一枚骰子，点数为5的面朝上”是（ ）
A．确定事件 B．随机事件
C．必然事件 D．不可能事件
【答案】B
【分析】本题主要考查了事件的分类，必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，必然事件和不可能事件都叫确定事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：事件“任意抛掷一枚骰子，点数为5的面朝上”可能发生，也可能不发生，该事件是随机事件，
故选B．
【例2】 如图所示，四边形是半圆的内接四边形，是直径，，点为的中点，连接．若，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆 内接四边形对角互补、圆中弧、弦、角的关系以及等腰三角形的“三线合一”性质等知识点，连接可得，进而得，；根据得，再求出即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴
∵，
∴
∵点为的中点，
∴
∴
故选：C
选择题
1．已知和关于原点对称，则的值为（ ）
A．6 B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数求出a、b的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵和关于原点对称，
∴，
∴，
故选B．
2．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）

A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁
【答案】C
【分析】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握利用配方法解一元二次方程的步骤是解本题的关键．本题逐步分析各位同学的方程变形即可得到答案．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得：，，
∴接力中，自己负责的一步出现错误的是甲和丙，
故选：C．
3．如图所示，抛物线的顶点为，与x轴的交点A在点和之间，以下结论：①;②;③;④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据图象与x轴的交点个数，即可判断①；根据抛物线的对称性可得与x轴的另一交点在点和之间，即可判断②；根据函数的对称轴，即可判断③；将点代入即可判断④．
【详解】解：由图象可得：抛物线与x轴有两个交点，
∴有两个不同的根，
∴，故①错误；
∵抛物线的顶点为，与x轴的交点A在点和之间，
∴与x轴的另一交点在点和之间，
∴时，，故②错误；
∵抛物线的顶点为，
∴，即，故③正确；
当时，，
故④正确；
故选：B．
4．在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的新抛物线的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟记平移变换的基本法则是解答本题的关键．
根据题意将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，利用平移变换的基本法则，得到答案．
【详解】解：由题意得：
先将抛物线先向右平移个单位长度，
得到抛物线的函数解析式为：，
再将抛物线向上平移个单位长度，
最终得到的新抛物线的函数解析式为：，
故选：．
5．下列关于二次函数的图象和性质的说法中，正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标是 D．在此函数图象上
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
根据二次函数的图象与性质对每一个选项进行分析，只有选项符合题意．
【详解】解：根据题意得：
、，图像开口向下，本选项说法不正确，故不符合题意；
、，对称轴是直线，本选项说法不正确，故不符合题意；
、，，顶点坐标为，本选项说法不正确，故不符合题意；
、当时，，在此函数图象上，本选项说法正确，故符合题意．
故选：．
6．下列图案，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是中心对称图形．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、D都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
选项C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：C．
7．如图，绕点O顺时针旋转得到，若，当点C恰好在上时，则的度数是（　　）
A．30° B．40° C．45° D．55°
【答案】B
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形判定和性质．旋转，得到，根据，求出的度数，等边对等角，求出的度数，进而得到的度数，利用平角的定义，求出的度数即可．掌握旋转的性质，是解题的关键．
【详解】解：∵绕点O顺时针旋转得到，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
8．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
9．2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）如图，任意掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数大于4的可能性是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．由任意掷一枚质地均匀的骰子，共有6种等可能的结果，且掷出的点数大于4的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】：∵任意掷一枚质地均匀的骰子，共有6种等可能的结果，且掷出的点数大于4的有2种情况，
∴任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数大于4的概率是：．
故选：B．
10．如图，菱形纸片ABCD的一内角为60°，边长为2，将它绕对角线的交点O顺时针旋转90°后到的位置，则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为( )
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查菱形的性质和直角三角形的性质．根据已知可得重叠部分是个八边形，从而求得其一边长即可得到其周长．
【详解】解：
根据旋转的性质可得阴影部分为各边长相等的八边形，
旋转前后两菱形里鲁部分多边形的周长是．
故选：C．
填空题
二次函数的图象如图所示，对称轴为，则下列结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数）．其中正确的是 （填序号）．
【答案】①③
【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的图象与性质，根据图象先判断的取值，然后再根据对称轴与图象的交点情况进行等量代换和推理即可．
【详解】解： 由图象可知，图象开口向下，
∴，
抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
又对称轴为，
∴，，
∴，
∴，故①符合题意；
抛物线与x轴交于，
∴，
∴，故②不符合题意；
由二次函数的对称性可知，当时，，
则有，故③符合题意；
∵，，
∴，
又，
∴，故④不符合题意；
当时，函数值最大，，
而当时，，
∴
，故⑤不符合题意．
故答案为：①③．
12．抛物线与轴交于点、．若点的坐标为，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，求出抛物线的对称轴为直线，根据对称性即可求解.
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
根据对称性，则点，
故答案为：.
13．如图，在，，分别以三边为直径向上作三个半圆．若，，则阴影部分图形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查求不规则图形面积，涉及圆的面积、勾股定理等知识，根据题中图形，间接表示出不规则图形面积没利用三角形面积公式及圆的面积公式代值求解即可得到答案，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：在，，，，
，
，
故答案为：．
14．如图，是等腰直角三角形，是斜边，点P是内一定点，延长至点，将绕点A旋转后，与重合，如果，那么 ．
【答案】2
【分析】本题考查旋转的性质∶旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．根据旋转的性质和全等三角形的性质解答可知．
【详解】∵绕点旋转后能与重合，
，
故答案为：2．
15．如图，在矩形中，，点E在上，，点F是边上一动点，以为斜边作．若点P在矩形的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则的值是 ．
【答案】0或或4
【分析】先根据圆周角定理确定点P在以为直径的圆O上，且是与矩形的交点，先确定特殊点时的长，当F与A和B重合时，都有两个直角三角形．符合条件，即或4，再找与和相切时的长，此时与矩形边各有一个交点或三个交点，在之间运动过程中符合条件，确定的取值．
【详解】解：∵是直角三角形，且点P在矩形的边上，
∴P是以为直径的圆O与矩形的交点，
①当时，如图1，此时点P有两个，一个与D重合，一个交在边上；
②当与相切时，设与边的切点为P，如图2，
此时是直角三角形，点P只有一个，
③当与相切时，如图4，连接，此时构成三个直角三角形，
则，设，则，
∵，
∴，
∴的半径为：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴当时，这样的直角三角形恰好有两个，如图3，
④当，即F与B重合时，这样的直角三角形恰好有两个，如图5，
综上所述，则的值是：0或或4．
故答案为：0或或4．
【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形中位线定理的运用，圆的性质的运用，分类讨论思想的运用，解答时运用勾股定理求解是关键，并注意运用数形结合的思想解决问题．
三、解答题
16．解方程：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的解法．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
∴，，
解得：；
（2），
∴，
∴，
解得：．
17．解下列方程
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据题目选择合适的方法是解题的关键．
（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
．
18．如图，是的直径，弦于点，，．求的半径．

【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接， 设的半径为，由垂径定理可得，由勾股定理可得方程，解方程即可求解，由勾股定理得到方程是解题的关键．
【详解】解：连接， 设的半径为，

∵是的直径，，
∴，
在中，，
由勾股定理，得，
即，
解得 ，
∴的半径为．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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（一）学习目标：
1.了解必然事件、随机事件、不可能事件的特点。
2.经历体验、操作、观察归纳、总结的过程，发展抽象思维能力。
3.感受数学的实用价值。
（二）学习重难点：
学习重点：随机事件的特征
学习难点：会判断现实世界中的必然、不可能和随机事件
阅读课本，识记知识：
1.确定性事件
必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件
不可能发生的事件∶有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件
2.和随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
【例1】事件“任意抛掷一枚骰子，点数为5的面朝上”是（ ）
A．确定事件 B．随机事件
C．必然事件 D．不可能事件
【答案】B
【分析】本题主要考查了事件的分类，必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，必然事件和不可能事件都叫确定事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：事件“任意抛掷一枚骰子，点数为5的面朝上”可能发生，也可能不发生，该事件是随机事件，
故选B．
【例2】 如图所示，四边形是半圆的内接四边形，是直径，，点为的中点，连接．若，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆 内接四边形对角互补、圆中弧、弦、角的关系以及等腰三角形的“三线合一”性质等知识点，连接可得，进而得，；根据得，再求出即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴
∵，
∴
∵点为的中点，
∴
∴
故选：C
选择题
1．已知和关于原点对称，则的值为（ ）
A．6 B． C．2 D．4
2．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）

A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁
3．如图所示，抛物线的顶点为，与x轴的交点A在点和之间，以下结论：①;②;③;④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的新抛物线的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．下列关于二次函数的图象和性质的说法中，正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标是 D．在此函数图象上
6．下列图案，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，绕点O顺时针旋转得到，若，当点C恰好在上时，则的度数是（　　）
A．30° B．40° C．45° D．55°
8．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
9．2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）如图，任意掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数大于4的可能性是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，菱形纸片ABCD的一内角为60°，边长为2，将它绕对角线的交点O顺时针旋转90°后到的位置，则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为( )
A．8 B． C． D．
填空题
二次函数的图象如图所示，对称轴为，则下列结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数）．其中正确的是 （填序号）．
12．抛物线与轴交于点、．若点的坐标为，则点的坐标为 ．
13．如图，在，，分别以三边为直径向上作三个半圆．若，，则阴影部分图形的面积为 ．
14．如图，是等腰直角三角形，是斜边，点P是内一定点，延长至点，将绕点A旋转后，与重合，如果，那么 ．
15．如图，在矩形中，，点E在上，，点F是边上一动点，以为斜边作．若点P在矩形的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则的值是 ．
三、解答题
16．解方程：
(1)；
(2)
17．解下列方程
(1)
(2)．
18．如图，是的直径，弦于点，，．求的半径．

（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
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