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二次函数的概念及图像性质
相关知识点：
二次函数：一般地，形如的函数，其中是自变量，分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项.
注：二次函数的二次项系数，而可以为0
二次函数的图像与性质：
二次函数的图像
图像要素 一般式： 顶点式：
图像形状 抛物线
开口方向 当时，开口向上；当时，开口向下
顶点坐标
图像
增减性 在对称轴左侧，即或时，随增大而减小 在对称轴右侧，即或时，随增大而增大
在对称轴左侧，即或时，随增大而增大 在对称轴右侧，即或时，随增大而减小
最值 当时， 当时，
当时， 当时，
注 ：二次函数与坐标轴的交点
与轴的交点：
与轴的交点：使方程成立的的值.
二次函数的解析式 ：
三种形式解析式
一般式
顶点式 （顶点坐标：）
交点式 （是抛物线与轴两交点的横坐标）
转换关系
一般式化为顶点式：配方法
一般式化为交点式的条件 ：与轴有公共点 一般式化为交点式的方法：十字相乘法
二次函数图像的平移：
二次函数的平移规律
移动方向（） 顶点式 一般式 简记
向左平移个单位 左加
向右平移个单位 右减
向上平移个单位 上加
向下平移个单位 下减
①左加右减针对的是，上加下减针对的是；②平移前后始终不变
二次函数图像的对很旋转变换：
二次函数的对称与旋转
对称轴 顶点式 一般式 简记
轴 关于谁谁不变 关于原点都要变
轴
原点
①抛物线旋转180°前后互为相反数 ②关于点对称就是关于点 成中心对称，也就是绕改点旋转180° ③关于一般点对称的问题找特殊点 ，然后按点对称求解析式 ④特殊点：顶点，与坐标轴的交点等，具体问题具体分析
例题讲解：
例题1、已知是关于的二次函数，则m= ；若函数为二次函数，则m= ；如果函数是二次函数，那么= .函数是二次函数，且其图像 开口向上，则= .
例题2、如图，抛物线①②③④对应的解析式为，将从小到大排列为 .
例题3、抛物线的对称轴是直线，则b= ，顶点坐标为 .
例题4、二次函数的顶点在轴上，则= ，若顶点在轴上，则= .
例题5、已知二次函数的图像经过点A，B，C.若点M，N，K也在二次函数的图像上，则的关系为 .
例题6、求出下列函数的解析式
①在平面直角坐标系中，抛物线过A、B、C三点.
②已知二次函数的图像以A为顶点，且 过点B.
③已知抛物线与轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是-2，那么= .
例题7、将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度后的解析式为 .
例题8、将二次函数的图像沿轴翻折之后所得图像的表达式为 .
例题9、将二次函数的图像先沿轴翻折之后，再将得到的函数图像绕顶点旋转180°之后的图像表达式为 .
例题10、抛物线先关于原点对称之后，再将得到的函数图像沿轴翻折得到的函数解析式为 .
小试牛刀
若函数是以为自变量的二次函数，则= .
若函数是关于的二次函数，且其开口向上，则= .
已知函数（为常数），当= 时，此函数为二次函数，当= 时，此函数为一次函数.
已知点A、B、C都在函数上，则的关系为 .
如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①，②，③的图像，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是 .（填序号）
已知二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是 .
将下列二次函数改写成顶点式
① ；② ；
③ ；④ .
已知二次函数，当分别取两个不同的值时，函数值相等，则当取时，的值为 .
求出下列各题的函数表达式
已知二次函数的图像经过A、B、C
已知抛物线经过点，且顶点坐标为
已知二次函数的对称轴是直线，且图像经过点A、B
设二次函数，当时取得最大值为10，并且它的图像在轴上截得的线段长为4.
巩固练习
将函数配成顶点式为 .
将函数配成顶点式为 .
将函数先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，最后将得到的函数绕顶点旋转180°得到的函数为 .
已知点A、B、C在函数，则的大小关系为 .
若函数是关于的二次函数，则= .
函数的单调递增区间为 .
二次函数与轴有 个交点，其坐标分别是 .
二次函数，当= 时取得最 （大、小）值，最值为 .
已知二次函数、、，他们的图像开口由小到大的顺序是 .
已知二次函数经过点A，B、C，求二次函数的解析式.
已知二次函数.
求证：改抛物线与轴有两个交点；
求该抛物线的顶点坐标
当时，其对应的函数值的最小值范围是，求的取值范围.

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