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第 5课时 一次函数的应用
基础知识夯实
知识沉淀
1.用一次函数解决实际问题，要根据题目条件求出函数解析式，再根据函数的性质解决问题.
2.分段函数的应用，为我们以后解决实际问题开辟了一条坦途，要特别注意 取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际.
基础过关
河南开封的西瓜个大瓤红且甜，全国知名.某瓜农准备从某货运公司租用大小两种型号的货车运输西瓜到外地销售，已知一辆大型货车和一辆小型货车每次共运10吨；两辆大型货车和三辆小型货车每次共运 24 吨.
(1)求一辆大型货车和一辆小型货车每次各运西瓜多少吨；
(2)已知一辆大型货车运输花费为400 元/次，一辆小型货车运输花费为 300元/次，计划用20 辆货车运输，且每次运输西瓜总重量不少于96 吨，如何安排才能使每次运费最低，最低费用是多少
典型案例探究
知识点1 根据实际问题求一次函数解析式
【例题1】在弹性限度内，弹簧的长度y(单位：cm)是所挂物体质量x(单位：kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长 14.5cm ,当所挂物体的质量为 3 kg时,弹簧长16 cm.写出y与x之间的关系式.
【变式1】某汽车在加满油后开始匀速行驶.已知汽车行驶到20 km时,油箱中剩油58.4 L.行驶到 50 km时，油箱中剩油 56 L，如果油箱中剩余油量 y(单位：L)与汽车行驶路程x(单位：km)之间的关系是一次函数，请求出这个一次函数解析式，并求出自变量的取值范围.
知识点2 运用一次函数的解析式解决实际问题
【例题2】某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准.若某户居民每月应缴水费y(单位：元)与用水量x(单位：吨)的函数图象如图所示.
(1)分别写出x≤5和x>5的函数解析式；
(2)观察函数图象，利用函数解析式，回答自来水公司采取的收费标准；
(3)若某户居民六月交水费31元，则用水多少吨
【变式2】某蔬菜基地加工厂有工人100人，现对100人进行工作分工，或采摘蔬菜，或对当日采摘的蔬菜进行精加工，每人每天只能做一项工作，若采摘蔬菜，每人每天平均采摘48kg；若对当日采摘的蔬菜进行精加工，每人每天可精加工 32kg(每天精加工的蔬菜和没来得及精加工的蔬菜全部售出).已知每千克蔬菜直接出售可获利润2元，精加工后再出售，每千克可获利润4元，设每天安排x 名工人进行蔬菜精加工.
(1)求每天蔬菜精加工后再出售所得利润y(单位：元)与x(单位：人)的函数关系式；
(2)如何安排精加工人数才能使一天所获的利润最大，最大利润是多少
课后作业
A 组
1.随着“互联网+”时代的到来，利用网络呼叫专车的打车方式深受大众欢迎.据了解，在非高峰期时，某种专车所收取的费用y(单位：元)与行驶里程x(单位：km)的函数图象如图所示.请根据图象，回答下列问题：
(1)当x≥5时，求y与x之间的函数关系式；
(2)若王女士有一次在非高峰期乘坐这种专车外出，共付费47元，求王女士乘坐这种专车的行驶里程.
2.某同学带 10 元钱去文具店买铅笔，每支铅笔定价1.50元.
(1)写出剩余的钱y(单位：元)与所买铅笔x(单位：支)之间的函数关系式为 ；
(2)自变量x的取值范围是 ；
(3)在如图所示的直角坐标系中画出剩余的钱与所买铅笔支数的函数图象.
3.温度通常有两种表示方法：华氏度(单位：℉)与摄氏度(单位：℃)，已知华氏度数 y与摄氏度数x 之间是一次函数关系，下表列出了部分华氏度与摄氏度之间的对应关系：
摄氏度数x/℃ .. 0 .. 35 100
华氏度数y/℉ 32 … 95 212
(1)选用表格中给出的数据，求y关于x 的函数解析式；
(2)有一种温度计上有两个刻度，即测量某一温度时左边是摄氏度，右边是华氏度，那么在多少摄氏度时，温度计上右边华氏度的刻度正好比左边摄氏度的刻度大56
B 组
4.“五一”期间，甲、乙两家商店以同样价格销售相同的商品，两家优惠方案分别为：甲店一次性购物中超过200元后的价格部分打七折；乙店一次性购物中超过500元后的价格部分打五折，设商品原价为x元(x≥0)，购物应付金额为 y元.
(1)求在甲商店购物时y与x之间的函数关系；
(2)两种购物方式对应的函数图象如图所示，求交点C的坐标；
(3)根据图象，请直接写出“五一”期间选择哪家商店购物更优惠.
5.某商场计划销售A，B 两种型号的商品，经调查，用1 500元采购A 型商品的件数是用 600 元采购 B 型商品的件数的2倍，一件 A 型商品的进价比一件B型商品的进价多30元.
(1)求一件A，B型商品的进价分别为多少元
(2)若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中 A 型商品的件数不大于B 型的件数，已知 A 型商品的售价为 200 元/件，B型商品的售价为 180 元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少
C 组
6.为了增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自2018年1月 1 日起对本市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如下表：
每月用气量 单价/(元/m )
不超出 75 m 的部分 2.5
超出75 m 不超出125 m 的部分 a
超出 125 m 的部分 a+0.25
(1)求a 的值;
(2)若调价后每月支出的燃气费为y(单位：元)，每月的用气量为x(单位：m )，y与x之间的关系如图所示，请直接写出y与x之间的函数关系式；
(3)在(2)的条件下,若某用户 2,3 月份共用气 175m (3 月份用气量低于 2 月份用气量)，共缴费 455元，问该用户2，3月份的用气量各是多少m
第5课时 一次函数的应用
【基础知识夯实】
知识沉淀
2.自变量
基础过关
解：(1)设一辆大型货车和一辆小型货车每次各运西瓜x吨、y吨，根据题意，得 解得 答：一辆大型货车每次运西瓜6 吨，一辆小型货车每次运西瓜4 吨.
(2)设安排a辆大型货车运输，则安排(20-a)辆小型货车运输，总费用为ω，
w=400a+300(20-a)=100a+6 000,
∵6a+4(20-a)≥96,∴a≥8.
∵w随a的增大而增大，
∴当a=8时,w最小,最小值为 6800.
答：安排8辆大型货车运输，12辆小型货车，才能使每次运费最低，最低费用是 6 800元.
【典型案例探究】
例题1 y=0.5x+14.5
变式1解:y=60-0.08x,自变量的取值范围是0≤x≤750.
例题2解:(1)当x≤5时,设函数解析式为y=kx,将x=5,y=15代入,得5k=15.解得k=3.
∴当x≤5时,y=3x.
当x>5时,设函数的解析式为y=kx+b.
将x=5,y=15;x=8,y=27代入,
得 解得
∴当x>5时,y=4x-5.
(2)由(1)解析式得出x≤5 自来水公司的收费标准是每吨 3元.
x>5自来水公司的收费标准是每吨4元.
(3)若某户居民六月交水费31元，设用水 x吨，4x-5=31,解得x=9(吨).
变式2 解:(1)y=4×32x,∴y=128x.
(2)设每天全部售出后获利ω元，
则w=128x+[48(100--x)--32x]×2=48x+9 600,
由题意知,48(100-x)≥32x.解得x≤60.
∵w=48x+9 600,k=48>0,
∴w随x的增大而增大.
∴当x=60时,w有最大值,W最大 =48×60+9 600=12 480(元).
∴安排60人进行精加工，40人采摘蔬菜，一天所获利润最大，最大利润12 480元.
【课后作业】
1.解：(1)当x≥5时，设y与x之间的函数关系式是
得
即当x≥5时,y与x之间的函数关系式是y=2x-1.
(2)∵47>9,∴王女士行驶里程大于5km.
当y=47时,47=2x--1,得x=24.
答：王女士乘坐这种专车的行驶里程是24 km.
2.解:(1)y=10-1.5x(x是正整数).
(2)因为10-1.5x≥0,且x是正整数,所以x≤6且为正整数.
(3)由(2)知,x=1,2,3,4,5,6,所以图象应是6 个离散的点,分别是(1,8.5),(2,7),(3,5.5),(4,4),(5,2.5),(6,1).
3.解:(1)设y=kx+b(k≠0),把x=0,y=32.
x=35,y=95代入 y=kx+b,得 解得
∴y关于x 的函数解析式为
(2)由题意,得 解得x=30.
∴在30摄氏度时，温度计右边华氏度的刻度正好比左边摄氏度的刻度大56.
4.解:(1)当0≤x≤200时,
当x>200时,y =0.7(x--200)+200=0.7x+60.
(2)直线 BC解析式为y=0.5(x-500)+500=0.5x+250,
由 解得
∴点 C 坐标(950,725).
(3)由图象可知,0≤x≤200或x=950时,选择甲、乙两家费用一样.
200x>950时，选择乙费用优惠.
5.解：(1)设一件 B型商品的进价为x 元，则一件 A型商品的进价为(x+30)元.由题意，得
解得x=120.
经检验，x=120是分式方程的解.
答：一件B型商品的进价为120元，一件A 型商品的进价为 150 元.
(2)设商场购进 A型商品m 件，销售利润为w元.
m≤100-m,m≤50.
由题意,得w=m(200-150)+(100-m)(180-120)
=--10m+6 000.
∵--10<0,
∴m=50时,w有最小值=5 500(元).
6.解:(1)由已知,用气量 75 m 时,费用为75×2.5=187.5.
(2)当0≤x≤75时,y=2.5x.
当75y=75×2.5+2.75(x-75)=2.75x-18.75.
当x>125时,
y=325+(2.75+0.25)(x-125)=3x-50.
(3)设该用户 2 月份用气 x m ,则 3 月用气(175-x) m .
当x>125,175-x≤75时,
3x-50+2.5(175-x)=455.
解得x=135,175-135=40,满足题意.
当 752.75x-18.75+2.5(175-x)=455.
解得x=145，不满足题意，舍去.
当752.75x-18.75+2.75(175-x)-18.75=455.
此方程无解.
∴乙用户 2 月、3 月用气量分别为135 m 和40m .

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