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2023~2024学年第二学期八年级期末教学质量检测
数学试题（LX 2024.7）
考试时间120分钟 满分150分
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
4．无论a取何值，下列分式中，总有意义的是（ ）
A． B． C． D．
5．一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
6．若一元二次方程的一个根是，则的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．不能确定
7．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分交EF于点D，若，，则边BC的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．《鹊华秋色图》是画家赵孟的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为54cm，宽为27cm的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为x cm，下列符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，△ABC绕点O顺时针旋转角度后得到△DEF，若，，则旋转角的值为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
10．如图，在正方形ABCD中，，对角线AC与BD交于点O，于点G，E为平面内一动点，且，F为AE中点，连接GF，OF．有下列说法：①；②取AG中点P，连接PF，则；③当四边形AOBE为正方形时，；④在点E运动过程中，OF的最小值为．其中正确的序号有（ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）
11．如图1，是某公园里采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，图2是该八角形空窗的示意图，则它的任意一个内角为______度．
12．化简分式：的结果是______．
13．如图，在菱形ABCD中，对角线，，过点A作于点E，则AE为______．
14．如图，为美化环境，某地准备将一片面积为的矩形空地建为一个花圃，花圃中间共设有4条等宽的水渠，将花圃分为了8个形状相同的矩形区域，在每个区域内种植花草，花草的总面积为，若测得空地的宽长为62m，则水渠的宽度为______m．
15．如图，在矩形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别在线段OD，OC上，且，，若，则DN的长为______．
三、解答题（本大题共10个小题，共90分、请写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（本小题满分7分）
先化简，再求值：，其中．
17．（本小题满分7分）
已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求n的取值范围．
18．（本小题满分7分）
如图，点O为□ABCD的对角线AC，BD的交点，经过点O的直线分别与BA的延长线和DC的延长线交于点E，F．
求证：．
19．（本小题满分8分）
解方程：（1）； （2）．
20．（本小题满分8分）
如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题：
（1）若△ABC经过平移后得到，已知点的坐标为，请作出；
（2）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到，请作出；
（3）当四边形ABCD为平行四边形时，请直接写出点D的坐标．
21．（本小题满分9分）
“城是济南城，湖是大明湖，楼是超然楼”是网友为超然楼写的广告词．随旅游旺季的到来，大明湖超然楼景区的游客人数逐月增加，4月份游客人数约为16万人次，6月份游客人数约为25万人次．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）若增长率保持不变，请求出7月份的游客人数．
22．（本小题满分10分）
【问题背景】
如图1，某小区的大门是伸缩电动门，它由若干个全等的图形组成．爱思考的小腾发现大门打开的宽度受每个图形内角（如图2中）度数的影响．
【提出问题】
大门打开的宽度是如何随着内角度数变化的？
【分析问题】
经过思考，小腾准备按照如下步骤解决问题：
①利用图形的性质，先求出特殊内角度数时伸缩门（包括安装驱动器的门柱）的长度，进而计算出大门打开的宽度；
②建立平面直角坐标系，通过列表、描点、连线的方法，用函数刻画内角度数x（°）与大门打开的宽度y（m）之间的关系．
【解决问题】
（1）小腾实地测量了相关数据，并画出了示意图，如图2，伸缩电动门中最上面一排是12个全等的图形，每个图形的边长均为0.3m，在伸缩电动门运行的过程中，这些图形始终是______；
A．矩形 B．菱形 C．梯形
（2）已知安装驱动器的门柱是宽度为0.5m的矩形，大门的总宽度为7m（门框的宽度忽略不计），小腾记录了不同内角度数对应的伸缩门的长度（m）和大门打开的宽度（m），请你通过计算帮他补全数据（结果精确到0.01m）：
内角度数x（°） 30 45 60 75 90 105 120
伸缩门的长度（m） 2.36 3.26 a 4.88 5.59 6.21
大门打开的宽度y（m） 4.64 3.74 b 2.12 1.41 0.79
①当每个图形的内角度数为60°时，表格中______，______；
②当每个图形的内角度数为120°时，大门打开的宽度约为多少米？（参考数据：，，结果精确到0.01m）
【问题总结】
如图3，小腾为了进一步研究内角度数x（°）与大门打开的宽度y（m）之间所满足的函数关系，他利用列表，描点，连线的方式画出了函数图象，通过观察图象，小腾发现：随着内角度数的增大，大门打开的宽度逐渐减小，减小的速度先较快，然后逐渐变慢．
23．（本小题满分10分）
法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，那么两个根的关系为
，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”．
小明在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究．
定义：
倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”．
（1）请你判断：方程是______（填“倍根方程”或“方根方程”）；
（2）若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值；
（3）根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？
24．（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且，．点D为OA的中点，连接CD，DE为的平分线，交BC于点E．
（1）求点B和点E的坐标；
（2）点P为射线DE上一动点，点Q为平面内任意一点，
①连接BD，CP，若，请求出点P的坐标；
②是否存在P，Q两点，使得四边形OBPQ为矩形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（本小题满分12分）
如图1，正方形ABCD的边BE与正方形BEFG的边AB重合，直线AG交直线FE于点H，连接EC．
（1）图1中线段AG与CE的数量关系是______，与的关系是______；
（2）如图2，正方形BEFG绕点B顺时针旋转角度，当点H与点A重合时，（1）中的结论依然成立的，请予以证明；不成立的，请写出它们新的关系，并说明理由；
（3）如图3，若，，连接AC，正方形BEFG绕点B顺时针旋转角度，当点F落在对角线AC上时，请直接写出此时△AGF的面积．
初二年级期中检测数学试题
参考答案（2024.07）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A D C A B D C B
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）
题号 11 12 13 14 15
答案 135 2
三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（满分共7分）
解：（1）
当x=2时，
原式
17．（满分共7分）
解：方法一：
∵
∴
∵原方程有两个不相等的实数根
∴
即
方法二：
∵原方程有两个不相等的实数根
∴
18．（满分共7分）
证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴ABCD，BO＝DO
∴∠EBO＝∠FDO
在△EBO与△FDO中，
∴△EBO≌△FDO（ASA）
∴BE=DF
（方法不唯一）
19．（满分共8分）
解：（1）
经检验，是原方程的根
（2）
（方法不唯一）
20．（满分共8分）
（1）如图所示△A1B1C1即为所求（作图2分，文字说明1分）；
（2）如图所示△A2B2C2即为所求（作图2分，文字说明1分）；
（3）（-5，3）
21．（满分共9分）
解：
（1）设月平均增长率为x
由题意可得
解得（不合题意，舍去）
答：这两个月平均增长率为25%．
（2）（万人）
答：7月份的游客人数为31.25万人．
22．（满分共10分）
（1）B．
（2）①4．1，2．9（每空2分）
②连接AC、BD相交于点O，
∵AB=AD=0．3m，∠DAB=120°，
∴∠ADB=（180°-∠DAB）=（180°-120°）=30°
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD
∴∠AOD=90°
∵∠ADB=30°
∴AO=AD=0.15m
在Rt△AOD中，∠AOD=90°
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD=2DO=
∴伸缩门的长度为（m）
∴大门打开的宽度为（m）
23．（满分共10分）
解：（1）倍根方程
（2）设这个方程的两个根分别为m与2m，
由题意得
∴m+2m=6，
解得m=2
∴两个根分别为x=2或x=4
将x=2代入得
c=8
答：c的值是8
（3）设这个方程的两个根分别为与，
当时，
由题意得
解得：m=0（舍去），或m=2
则有，
当时，
由题意得
解得：m=0（舍去），或
则有，
答：方程的两个根是，或，
24．（满分共12分）
解：（1）∵四边形OABC为矩形
∴BCOA，ABOC
∴∠CED＝∠ADE
∵OA=6，OC=4
∴BC=6，AB=4
∴B（6，4）
∵DE为∠ADC的平分线
∴∠CDE＝∠ADE
∴∠CED＝∠CDE
∴CE＝CD
∵点D为OA的中点
∴OD＝＝3
∴D（3，0）
由勾股定理可得CD＝5
∴CE＝5
∴E（5，4）
（2）①方法一：
∵四边形OABC为矩形，点D为OA的中点
∴
∵
∴
延长ED，交y轴于点M
∵D（3，0），E（5，4）
∴
∴M（）
∴CM＝10
∵
∴
∴
∴P
方法二：
∵C（0，4），D（3，0）
∴
∵
∴过点B作BPCD，交DE于点P
∴
∴设
将B（6，4）代入，
∴b=12
∴
∵D（3，0），E（5，4）
∴
解得
∴P
②存在
方法一：
∵点P为射线DE上一动点
∴设P（x，2x-6）
又∵O（0，0），B（6，4）
∴
要使四边形OBPQ为矩形
则△OBP为直角三角形，∠OBP＝90°
∴
解得
∴P
方法二：
要使四边形OBPQ为矩形
则△OBP为直角三角形，∠OBP＝90°
∴OB⊥BP
∴
∵O（0，0），B（6，4）
∴
∴
∵B（6，4）
∴
解得
∴P
25．（满分共12分）
（1）AG=CE（或AG与CE相等）；∠AGF+∠BEC=90°（或∠AGF与∠BEC互余）
（2）AG=CE依然成立，∠BEC与∠AGF的关系为：∠BEC-∠AGF=90°
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形
∴GB=BE，AB=BC，∠GBE=90°=∠ABC
∴∠GBA=∠EBC
∴△AGB≌△CEB
∴AG=CE，∠AGB=∠CEB
∵四边形BEFG是正方形
∴∠BGF=90°
∴∠AGF=∠AGB-∠BGF=∠CEB-90
即∠BEC-∠AGF=90°
（3）△AGF的面积是8

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