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专题24 三角函数的图象与性质（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 11
【考点1】三角函数的定义域和值域 11
【考点2】三角函数的周期性、奇偶性、对称性 16
【考点3】三角函数的单调性 23
【分层检测】 28
【基础篇】 28
【能力篇】 35
【培优篇】 39
考试要求：
1.能画出三角函数的图象.
2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.
3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式.
3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．（2024·全国·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2023·全国·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
5．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
8．（2024·全国·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
9．（2022·全国·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
三、填空题
10．（2024·全国·高考真题）函数在上的最大值是 ．
11．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
12．（2023·全国·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．

参考答案：
1．C
【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数的的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
所以在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
2．D
【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可.
【详解】解法一：令，即，可得，
令，
原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，
注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因为，则，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，
所以符合题意；
综上所述：.
解法二：令，
原题意等价于有且仅有一个零点，
因为，
则为偶函数，
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，
即，解得，
若，则，
又因为当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
即有且仅有一个零点0，所以符合题意；
故选：D.
3．C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，
而显然过与两点，
作出与的部分大致图像如下，

考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以由图可知，与的交点个数为.
故选：C.
4．B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.
【详解】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故选：B
5．D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【详解】因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则，
故选：D.
6．C
【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．
故选：C．
7．A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
8．BC
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【详解】A选项，令，解得，即为零点，
令，解得，即为零点，
显然零点不同，A选项错误；
B选项，显然，B选项正确；
C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，
的对称轴满足，
显然图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
9．AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．
10．2
【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.
【详解】，当时，，
当时，即时，.
故答案为：2
11．
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
12．
【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．
【详解】设，由可得，
由可知，或，，由图可知，
，即，．
因为，所以，即，．
所以，
所以或，
又因为，所以，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．
【考点1】三角函数的定义域和值域
一、单选题
1．（2023·陕西安康·模拟预测）已知函数，则在区间内的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江西抚州·模拟预测）关于函数有下列四个结论：
①的值域为；
②在上单调递减；
③的图象关于直线于对称；
④的最小正周期为．
上述结论中，正确命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多选题
3．（2024·湖南长沙·三模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为2
B．函数的图象关于直线对称
C．不等式的解集为
D．若在区间上单调递增，则的取值范围是
4．（23-24高一上·江苏南京·期末）古人立杆测日影以定时间，后来逐步形成了正切和余切的概念.余切函数可以用符号表示为，其中，则下列关于余切函数的说法正确的是（ ）
A．定义域为
B．在区间上单调递增
C．与正切函数有相同的对称中心
D．将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象
三、填空题
5．（2022·安徽安庆·三模）函数的值域是 .
6．（2023·辽宁沈阳·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若，则 ；若为锐角三角形，则的取值范围是 .
参考答案：
1．D
【分析】根据题意求出函数时可得，然后根据三角函数的性质求出，即可求解.
【详解】由题意知求在区间内的零点，
所以令，得，
又因为，
所以只能是，得，
在区间内，当时，有，
所以共有个零点，故D正确.
故选：D.
2．C
【分析】利用二倍角的余弦公式将函数解析式化为，令利用二次函数可求出值域，说明①正确；根据复合函数的单调性可知②正确；根据可知③不正确；根据的最小正周期是，可知④正确.
【详解】，由得，
所以，
对于①：令则，又在上单调递增，所以当时，，当时，，
所以f（x）的值域为[，2]，故①正确；
对于②：当时，，且在上单调递减，又令且单调递增，所以f（x）在[0，]上单调递减，故②正确；
对于③：因为，，而，所以f（x）的图象关于直线x＝对称不成立，故③不正确；
对于④：因为，且的最小正周期是，所以 f（x）的最小正周期为π，故④正确.
故选：C.
3．BCD
【分析】对于A，由正弦函数的性质直接求解，对于B，由，可求出对称轴方程判断，对于C，由求解即可，对于D，先由求出的递增区间，再由为函数增区间的子集可求出的取值范围.
【详解】对于A，的最大值为，故A错误；
对于B，令，得，
所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，不等式可化为，则，解得，
因此原不等式的解集为，故C正确；
对于D，由，，解得.
因为在区间上单调递增，所以，
所以，解得，故D正确.
故选：BCD
4．ACD
【分析】根据正切函数的定义域判断A，根据正切函数的单调性及复合函数的单调性判断B，根据正切函数的对称中心判断C，根据图象的平移判断D.
【详解】由正切函数的定义域可知，即，
所以余切函数定义域为，故A正确；
当时，，
因为为减函数，为增函数，
由复合函数单调性知在区间上单调递减，故B错误；
因为的对称中心为，
令，解得，
由，可知，即的对称中心为，
故余切函数与正切函数有相同的对称中心，故C正确；
的图象向右平移个单位可得，
故D正确.
故选：ACD
5．
【分析】先化简，再根据余弦函数和二次函数的性质求解即可.
【详解】
，
因为，，
令，，
所以，对称轴为，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，
，
所以函数的值域是.
故答案为：.
6．
【分析】由正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简已知等式，即可求出，结合，即可得出答案；进而可知，分别讨论或，结合题意即可求出，由正弦定理将化简为，代入即可求出答案.
【详解】因为，所以，
，
，
，由，
则，即，
代入，可得，则，且，
解得.
由，
①当时，且，若是锐角三角形，则，
所以，不成立；
②当时，且，所以，代入上式，
可得，若是锐角三角形，则，所以，即，
且
，又，
所以.
故答案为：；.
反思提升：
1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.
2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值).
【考点2】三角函数的周期性、奇偶性、对称性
一、单选题
1．（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知函数，则“，”是“为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖北黄石·三模）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数，的图象关于直线对称
B．的图象关于轴对称，不是对称图形
C．的图象关于原点对称，的图象关于点对称
D．的图象关于原点对称，的图象关于轴对称
二、多选题
4．（2024·广西钦州·三模）已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．若，则
D．将的图象往右平移1个单位长度后可以得到函数的图象
5．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，则以下结论正确的为（ ）
A．的最小正周期为
B．图象关于点对称
C．在上单调递减
D．将图象向左平移个单位后，得到的图象所对应的函数为偶函数
6．（2024·湖南衡阳·三模）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．
C．函数在上单调递增
D．方程的解为，
三、填空题
7．（2024·河北衡水·三模）已知是函数的一条对称轴，在区间内恰好存在3个对称中心，则的取值范围为 ．
8．（2024·吉林·模拟预测）已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为 ．
9．（23-24高一下·陕西·阶段练习）已知函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则 ．
参考答案：
1．D
【分析】当时，代入可得，由正弦函数性质，可验证充分性，为偶函数时，得到，可验证必要性.
【详解】函数，当时，
，
则为奇函数，所以充分性不成立，
当为偶函数时，，所以必要性不成立，
故“，”是“为偶函数”的既不充分也不必要条件．
故选：D.
2．B
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；
对B，设，函数定义域为，
且，则为偶函数，故B正确；
对C，设，函数定义域为，不关于原点对称， 则不是偶函数，故C错误；
对D，设，函数定义域为，因为，，
则，则不是偶函数，故D错误.
故选：B.
3．A
【分析】首先得到的定义域，再结合三角函数诱导公式化简证明；可先由对数运算性质变形整理，再利用函数奇偶性定义证明即可.
【详解】函数的定义域为，
且，所以为偶函数，函数图象关于轴对称，
任意，
，
则，
故是偶函数，即的图象关于轴对称.
故选：A
4．AD
【分析】对于A，利用周期公式直接计算判断，对于B，将代入函数验证，对于C，由求出，再将代入函数计算，对于D，根据三角函数图象变换规律分析判断.
【详解】对于A，的最小正周期为正确.
对于B，因为，所以的图象不关于直线对称，错误.
对于C，由，得，
所以，C错误.
对于D，将的图象往右平移1个单位长度后可以得到函数的图象，D正确.
故选：AD
5．ABD
【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A；代入验证可判断B；取可判断函数图象关于对称，可判断C；利用平移变换求出平移后的解析式，即可判断D.
【详解】
，
对于A，，A正确；
对于B，因为，
所以点是函数的对称中心，B正确；
对于C，因为，
所以函数的图象关于对称，
又，所以在上不单调，C错误；
对于D，将图象向左平移个单位后，得
，
显然为偶函数，D正确.
故选：ABD
6．ABD
【分析】根据给定的函数图象，求出周期及、、，进而求出解析式，再根据正切函数的性质逐项判断即可.
【详解】对于A，由图可知，函数的最小正周期为，故A正确；
对于B，由，所以，
因为，则，则，
因为，则，所以，故B正确；
对于C，，由，得，
而，即时，没有意义，故C错误；
对于D，，则，
方程，得，
即，即，
所以或，因为，，
所以或，解得或，故D正确.
故选：ABD.
7．
【分析】根据函数的对称轴求出，求出函数在原点附近的对称中心，由题意列不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知是函数的一条对称轴，
故，解得，，因为，故，
故，令，解得，
原点附近的6个对称中心分别为，
若3个对称中心恰好是，
则，则t不存在，不合题意；
若3个对称中心恰好是，
则，则；
故当时，符合题意．
故t的取值范围为，
故答案为：
8．
【分析】
先根据题意确定，从而结合，确定，由此分类讨论，即讨论与余弦函数的零点，的位置关系，列不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知函数在区间上有且仅有一个零点，
故函数的最小正周期,
又，则，而，
当时，即时，需有，即，此时；
当时，即时，，此时函数在上无零点，不合题意；
当时，即时，需有，即，此时；
当时，即时，，此时函数在上有一零点，符合题意；
当时，即时，需有，即，此时；
综合上述，得的取值范围为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查了根据余弦型函数的零点个数，求解参数范围问题，解答的难点在于要根据，确定，由此要分类讨论该区间的两端点的位置关系，结合余弦函数的对称中心，列不等式求解参数范围.
9．2
【分析】借助正切函数的对称性与周期计算即可得.
【详解】由题意可得，即，则.
故答案为：2.
反思提升：
(1)三角函数周期的一般求法
①公式法；
②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期.
(2)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可.
(3)对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝(k∈Z)，求x即可.
(4)三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y＝Asin(ωx＋φ)中代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ(k∈Z).
【考点3】三角函数的单调性
一、单选题
1．（2024·山东泰安·模拟预测）将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，则（ ）
A． B．在上单调递增
C．在上的最小值为 D．直线是图象的一条对称轴
2．（2023·新疆乌鲁木齐·三模）设，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若单调递减，则
B．若的最小值为，则
C．若仅有两个零点，则
D．若仅有两个极值点，则
4．（2024·湖南岳阳·三模）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．的单调递减区间为
C．的图象可由函数的图象向右平移个单位得到
D．满足条件的最小正整数为2
三、填空题
5．（2023·上海普陀·一模）若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为 .
6．（23-24高三上·山东德州·阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为 .
参考答案：
1．D
【分析】由平移变换内容得可判断A；求出的增区间可判断B；依据的范围即可求出的值域即可判断C；根据对称轴方程求解的对称轴方程即可判断D.
【详解】对于选项A，由题意，可得，
故A错误；
对于选项B，令，，
所以在上单调递增，故B错误；
对于选项C，因为，所以，故，
在上的最小值为0，故C错误；
对于选项D，函数的对称轴方程为，
化简可得，取，可得，
所以是图象的一条对称轴，故D正确.
故选：D.
2．C
【分析】由得，再由指数、对数函数的单调性得出大小，得出答案.
【详解】由，且在内单调递减，
则，即，
所以，，，
所以，
故选：C
3．BD
【分析】根据余弦函数图像性质即可求解.
【详解】因为，所以，
因为单调递减，所以由余弦函数图像性质，，故A错误；
因为的最小值为，故由余弦函数图像性质，即，故B正确；
因为仅有两个零点，故由余弦函数图像性质，
即，故C错误；
因为仅有两个极值点，故由余弦函数图像性质，得，故D正确.
故选：BD.
4．ABD
【分析】观察函数图象，确定函数的周期，由此可求，判断A，再结合时，函数取最大值，列方程求，根据正弦函数的单调性求的单调递减区间，判断B，根据函数图象变换结论，判断C，先求，化简不等式可得范围，解不等式确定的范围，判断D.
【详解】设函数的周期为，
观察函数图象可得，，
所以，又，
所以，A正确，
因为时，函数取最大值，，
所以，，
所以，故，
由，
可得，
所以函数的单调递减区间为，B正确，
函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，C错误，
因为，
所以，
，
所以可化为，
所以或，
由可得，，所以，
即，
取可得，取可得，
由可得，，所以，
即，
取可得，
所以满足条件的最小正整数为2，D正确，
故选：ABD.
5．
【分析】解出正切型函数单调区间，则得到的范围.
【详解】令，，解得，，
令，则其一个单调增区间为，则实数的取值范围为，
故答案为：.
6．
【分析】利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角关系式可得，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围，令，则，然后由对勾函数的单调性即可求出．
【详解】在中，由余弦定理得，
且的面积，
由，得，化简得，
又，，联立得，
解得或（舍去），
所以，
因为为锐角三角形，
所以，，所以，
所以，所以，所以，
设，其中，所以，
由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，；当时，，
所以，即的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，进而可以求解.
反思提升：
1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.
2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·山东潍坊·三模）设复数是纯虚数，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川成都·三模）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·贵州贵阳·模拟预测）直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024·天津滨海新·三模）已知函数，关于该函数有下列四个说法：
（1）函数的图象关于点中心对称
（2）函数的图象关于直线对称
（3）函数在区间内有4个零点
（4）函数在区间上单调递增
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
5．（2024·河南开封·三模）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ）
A．函数的周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间上单调递减
D．函数在区间上的最小值为
6．（2024高一上·全国·专题练习）关于函数的性质，下列叙述正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．是偶函数
C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增
7．（2024·山东·模拟预测）若，且，则（ ）
A．
B．
C．在上单调递减
D．当取得最大值时，
三、填空题
8．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ．
9．（2023·上海静安·一模）函数的定义域是 ．
10．（2024·江西·模拟预测）函数的最小正周期为 ．
四、解答题
11．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的最小正周期和对称中心；
(2)若，方程有两个实数解，求实数m的取值范围．
12．（2022·北京门头沟·一模）已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调．
(1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；
条件①：函数的图象经过点；
条件②：是的对称中心；
条件③：是的对称中心.
(2)根据（1）中确定的，求函数的值域．
参考答案：
1．C
【分析】根据题意得到，将四个选项代入检验，得到答案.
【详解】由题意得，
A选项，当时，，不合题意，A错误；
B选项，当时，，不合要求，B错误；
C选项，当时，，故C正确；
D选项，当时，，D错误.
故选：C
2．A
【分析】由函数的奇偶性排除两个选项，再根据时的函数值为正排除余下两个中的一个即得.
【详解】函数的定义域为，，
函数是奇函数，图象关于原点对称，BD不满足；
当时，，则，C不满足，A满足.
故选：A
3．B
【分析】根据倾斜角的范围，正切的性质判断“”与“”的逻辑关系即可.
【详解】因为直线，的倾斜角分别为，，
所以，
若，则，
若，则都不存在，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
4．A
【分析】根据题意，利用三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于（1），由，
所以不是函数的图象的对称中心，所以（1）错误；
对于（2）中，由，
所以不是函数的图象的对称轴，所以（2）错误；
对于（3）中，令，可得，
当时，可得；当时，可得；当时，可得；
当时，可得，所以在内，函数有4个零点，所以（3）正确；
对于（4）中，由，可得，此时函数不是单调函数，所以（4）错误.
故选：A.
5．AD
【分析】根据二倍角公式化简，即可利用平移求解，结合选项即可逐一求解.
【详解】，，
故数的周期为，A正确，
对于B. 函数，故不关于直线对称，B错误，
对C. 当则，故函数在区间不是单调递减，C错误，
对于D. 则，故当时，取最小值故D正确，
故选：AD
6．BCD
【分析】根据正切函数图象作出函数的图象，结合图象可得答案.
【详解】做出函数的图象，且函数的定义域为，
由函数的图象可知，最小正周期为π，A错误；
又，所以是定义域上的偶函数，B正确；
根据函数的图象知，的图象关于直线对称，C正确；
根据的图象知，在区间上单调递增，D正确．
故选：BCD．
7．AC
【分析】根据同角关系即可求解，，即可判断AB,根据三角函数的性质即可求解CD.
【详解】由可得，所以，故，
对于A, ，故A正确，
对于B，，故B错误，
对于C，，则，由于，，
所以在上单调递减，故C正确，
对于D，，当时取最大值，
故，故D错误，
故选：AC
8．/
【分析】首先得出，结合三角函数单调性即可求解最值.
【详解】由题意，从而，
因为，所以的取值范围是，的取值范围是，
当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为.
故答案为：.
9．
【分析】由可得答案.
【详解】，则，.
故答案为：
10．
【分析】由二倍角的正弦，余弦公式化简函数解析式，利用公式求解最小正周期即可.
【详解】，
故所求函数的最小正周期．
故答案为：
11．(1)最小正周期，对称中心为
(2)
【分析】（1）先将通过和差、二倍角公式、辅助角公式化简，再套用周期和对称中心的公式即可.
（2）结合正弦函数的图像即可求得答案.
【详解】（1）
=
=
=
=
所以，最小正周期，
由，得
所以，对称中心为．
（2）因为，所以，
由正弦曲线可得．
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到和，
再根据选择的条件得到第三个方程，分析方程组即可求解；
（2）先求出所在的范围，再根据图像求出函数值域即可.
【详解】（1）因为在区间上单调，所以，
因为，且，解得；又因为是函数的对称轴，
所以；
若选条件①：因为函数的图象经过点，所以，
因为，所以， 所以，即，
当时，，满足题意，故.
若选条件②：因为是的对称中心，所以，
所以，此方程无解，故条件②无法解出满足题意得函数解析式.
若条件③：因为是的对称中心，所以，
所以，解得，所以.
（2）由（1）知，，
所以等价于，，
所以，所以，
即函数的值域为：.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
二、多选题
2．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．最小正周期为
B．是图象的一条对称轴
C．是图象的一个对称中心
D．在上单调
三、填空题
3．（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数，其中，的导函数为.若将方程的所有非负解从小到大排成一个等差数列，其公差为，则的值为 .
四、解答题
4．（22-23高一下·江西萍乡·期中）函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围，并求的值．
参考答案：
1．A
【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出，得，再整体求出时，的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.
【详解】，由得，
即，当时，，
画出图象，如下图，
由图可知，在上递减，
所以，当时，
故选：A
2．BC
【分析】利用二倍角公式化简函数，根据求出最小正周期判断A；利用余弦函数的对称轴方程和对称中心可判断BC；由余弦函数的单调性可判断D.
【详解】，
对于A：的最小正周期为，错误；
对于B：令可得，
所以的图象关于直线对称，正确；
对于C：令可得，且，
所以的图象关于点对称，正确；
对于D：因为，所以，
由在上单调递增，上单调递减可知，
在上单调递增，在单调递减，错误；
故选：BC.
3．
【分析】首先原函数求导，由可得出方程，再由方程的解组成公差为的等差数列可知周期，由周期求得，再求得公差及首项，再用等差数列得通项公式即可求得.
【详解】，因为，所以，
若，则，即，
所有非负解从小到大排成一个等差数列，其公差为，则，解得，
又因为，所以，
所以可化为，解得第一个非负解为，
由等差数列的通项公式求得，
故答案为：
4．(1)
(2)，
【分析】（1）根据三角函数的图象与性质计算即可；
（2）先根据三角函数的图像变换得，结合正弦函数的单调性、对称性可判定的取值范围与的值.
【详解】（1）由图可知，，
∵，
∴，∴，
又，
∴，，∴，
由可得，
∴；
（2）将向右平移个单位得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，则，
易知函数在上单调递增，在上单调递减，
又，，，∴；
由对称性可知，
∴，∴，
∴．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·江西·模拟预测）如图，将边长为1的正以边为轴逆时针翻转弧度得到，其中，构成一个三棱锥．若该三棱锥的外接球半径不超过，则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
2．（2023·海南·模拟预测）已知符号函数，
函数则下列说法正确的是（ ）
A．的解集为
B．函数在上的周期为
C．函数的图象关于点对称
D．方程的所有实根之和为
三、填空题
3．（2024·上海杨浦·二模）已知实数满足：①；②存在实数，使得，，是等差数列，，，也是等差数列.则实数的取值范围是 .
参考答案：
1．C
【分析】作辅助线，则即为三棱锥的外接球球心，翻折的角即为的大小，设，结合题意分析可知，结合题意分析求解即可.
【详解】取线段的中点，线段上靠近点的三等分点，的中点，
连接，则为正的外心，，可知为线段的中垂线，
在平面内过作的垂线交于，连接，

则即为三棱锥的外接球球心，翻折的角即为的大小．
设，则，，，，，
可得，
化简得，
又因为，即，解得，
结合，可得，则，所以．
故选：C．
【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法
1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；
2.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解．
2．AC
【分析】利用新定义及三角函数的性质一一判定即可.
【详解】根据定义可知，故的解集为，A正确；
所以，
而，显然，不是函数的一个周期，故B错误；
由题意可得，即函数的图象关于点对称，故C正确；
由上可知，故，
即函数的图象也关于点对称且最大值为2，易知在上单调递增，
且，
所以由零点存在性定理知在内方程存在一根，
由函数的对称性可知有3个根，
且该3根之和为，
故D错误.

故选：AC
【点睛】本题关键在于函数的对称性，二级结论如下：若函数满足函数关于中心对称，此外D项需要判定函数的单调性及零点存在位置，注意不能忽略.
3．
【分析】设等差数列的公差为，根据给定条件，结合三角恒等变换化简得，由正切函数性质可得随增大而增大，再由的临界值点得，代入利用二倍角的余弦求解即得.
【详解】设等差数列的公差为，，依题意，，
于是，整理得，
即，因此，
即有，则随增大而增大，而
当，时，到达时是临界值点，此时，
代入得，即，整理得，
而，解得，则，即，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换化简所列式子，借助函数单调性分析的临界值点是解决本问题的关键.
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专题24 三角函数的图象与性质（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 5
【考点1】三角函数的定义域和值域 5
【考点2】三角函数的周期性、奇偶性、对称性 6
【考点3】三角函数的单调性 8
【分层检测】 10
【基础篇】 10
【能力篇】 12
【培优篇】 13
考试要求：
1.能画出三角函数的图象.
2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.
3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式.
3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．（2024·全国·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2023·全国·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
5．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
8．（2024·全国·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
9．（2022·全国·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
三、填空题
10．（2024·全国·高考真题）函数在上的最大值是 ．
11．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
12．（2023·全国·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．

【考点1】三角函数的定义域和值域
一、单选题
1．（2023·陕西安康·模拟预测）已知函数，则在区间内的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江西抚州·模拟预测）关于函数有下列四个结论：
①的值域为；
②在上单调递减；
③的图象关于直线于对称；
④的最小正周期为．
上述结论中，正确命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多选题
3．（2024·湖南长沙·三模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为2
B．函数的图象关于直线对称
C．不等式的解集为
D．若在区间上单调递增，则的取值范围是
4．（23-24高一上·江苏南京·期末）古人立杆测日影以定时间，后来逐步形成了正切和余切的概念.余切函数可以用符号表示为，其中，则下列关于余切函数的说法正确的是（ ）
A．定义域为
B．在区间上单调递增
C．与正切函数有相同的对称中心
D．将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象
三、填空题
5．（2022·安徽安庆·三模）函数的值域是 .
6．（2023·辽宁沈阳·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若，则 ；若为锐角三角形，则的取值范围是 .
反思提升：
1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.
2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值).
【考点2】三角函数的周期性、奇偶性、对称性
一、单选题
1．（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知函数，则“，”是“为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖北黄石·三模）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数，的图象关于直线对称
B．的图象关于轴对称，不是对称图形
C．的图象关于原点对称，的图象关于点对称
D．的图象关于原点对称，的图象关于轴对称
二、多选题
4．（2024·广西钦州·三模）已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．若，则
D．将的图象往右平移1个单位长度后可以得到函数的图象
5．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，则以下结论正确的为（ ）
A．的最小正周期为
B．图象关于点对称
C．在上单调递减
D．将图象向左平移个单位后，得到的图象所对应的函数为偶函数
6．（2024·湖南衡阳·三模）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．
C．函数在上单调递增
D．方程的解为，
三、填空题
7．（2024·河北衡水·三模）已知是函数的一条对称轴，在区间内恰好存在3个对称中心，则的取值范围为 ．
8．（2024·吉林·模拟预测）已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为 ．
9．（23-24高一下·陕西·阶段练习）已知函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则 ．
反思提升：
(1)三角函数周期的一般求法
①公式法；
②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期.
(2)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可.
(3)对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝(k∈Z)，求x即可.
(4)三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y＝Asin(ωx＋φ)中代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ(k∈Z).
【考点3】三角函数的单调性
一、单选题
1．（2024·山东泰安·模拟预测）将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，则（ ）
A． B．在上单调递增
C．在上的最小值为 D．直线是图象的一条对称轴
2．（2023·新疆乌鲁木齐·三模）设，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若单调递减，则
B．若的最小值为，则
C．若仅有两个零点，则
D．若仅有两个极值点，则
4．（2024·湖南岳阳·三模）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．的单调递减区间为
C．的图象可由函数的图象向右平移个单位得到
D．满足条件的最小正整数为2
三、填空题
5．（2023·上海普陀·一模）若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为 .
6．（23-24高三上·山东德州·阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为 .
反思提升：
1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.
2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·山东潍坊·三模）设复数是纯虚数，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川成都·三模）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·贵州贵阳·模拟预测）直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024·天津滨海新·三模）已知函数，关于该函数有下列四个说法：
（1）函数的图象关于点中心对称
（2）函数的图象关于直线对称
（3）函数在区间内有4个零点
（4）函数在区间上单调递增
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
5．（2024·河南开封·三模）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ）
A．函数的周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间上单调递减
D．函数在区间上的最小值为
6．（2024高一上·全国·专题练习）关于函数的性质，下列叙述正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．是偶函数
C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增
7．（2024·山东·模拟预测）若，且，则（ ）
A．
B．
C．在上单调递减
D．当取得最大值时，
三、填空题
8．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ．
9．（2023·上海静安·一模）函数的定义域是 ．
10．（2024·江西·模拟预测）函数的最小正周期为 ．
四、解答题
11．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的最小正周期和对称中心；
(2)若，方程有两个实数解，求实数m的取值范围．
12．（2022·北京门头沟·一模）已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调．
(1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；
条件①：函数的图象经过点；
条件②：是的对称中心；
条件③：是的对称中心.
(2)根据（1）中确定的，求函数的值域．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
二、多选题
2．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．最小正周期为
B．是图象的一条对称轴
C．是图象的一个对称中心
D．在上单调
三、填空题
3．（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数，其中，的导函数为.若将方程的所有非负解从小到大排成一个等差数列，其公差为，则的值为 .
四、解答题
4．（22-23高一下·江西萍乡·期中）函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围，并求的值．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·江西·模拟预测）如图，将边长为1的正以边为轴逆时针翻转弧度得到，其中，构成一个三棱锥．若该三棱锥的外接球半径不超过，则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
2．（2023·海南·模拟预测）已知符号函数，
函数则下列说法正确的是（ ）
A．的解集为
B．函数在上的周期为
C．函数的图象关于点对称
D．方程的所有实根之和为
三、填空题
3．（2024·上海杨浦·二模）已知实数满足：①；②存在实数，使得，，是等差数列，，，也是等差数列.则实数的取值范围是 .
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