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物 理
第2章 机械能
2.1 功与功率
2.2 动能与动能定理
2.3 势能与机械能守恒定律
2.1 功与功率
1．功的概念
一个物体受到力的作用，并且在力的方向上产生了位移，我们就说这个力对物体做了功．
2．功的计算
力学中规定，如果力的方向与物体的运动方向一致，功就等于力的大小和位移大小的乘积．如果用F 表示力的大小，用s 表示位移的大小，那么力F对物体做的功W 就可以表示为
2.1.1 功
功是标量，单位是焦耳，简称焦，用符号 J 表示．1 N的力使物体在力的方向上发生1 m的位移，所做的功就是1 J．
在实际生活中，物体的运动方向并不总是跟力的方向相同，而是会与力成一定的角度，如图所示．
在这种情况下，我们通常把力分解成与位移方向一致的分力F1 和与位移方向垂直的分力F2，如图所示．在物体发生位移 s 的过程中，由于分力F2 与位移垂直，物体在F2 方向没有发生位移，因此F2 所做的功为0；分力F1 所做的功W 等于F1s，而F1＝ ，因此
3．正功和负功
功是标量，没有方向，但有正负，其运算遵循代数运算法则．
当 ＝0时， ＝1， ，力的方向和位移的方向相同，力对物体做正功．
当0＜ ＜90°时， ＞0，W 为正值，力对物体做正功．
当 ＝90°时， ＝0，W＝0，力和位移方向垂直，力对物体不做功．
当90°＜ ＜180°时， ＜0，W 为负值，力对物体做负功．
当 ＝180°时， ＝ 1， ，力和位移方向相反，力对物体做负功．
【例题1】物体重98 N，在与水平方向成37°向上的拉力作用下沿水平面移动10 m．已知物体与水平面间的滑动摩擦系数为0.20，拉力的大小为100 N，求：（1）作用有物体上的各力对物体做的总功；（2）合力对物体做的功．
分析：物体在地面上水平移动时，受到重力G、支持力FN 、拉力F 和摩擦力Ff 4个力的作用，如图所示．由于重力G 和支持力FN 的方向与物体的位移方向垂直，不做功，因此合力所做的功就是拉力F 和摩擦力Ff做功的代数和．
解：拉力F 做的功
摩擦力Ff 为
摩擦力做的功为
合力做的功
1．功率的概念
在物理学中，用功率来表示物体做功的快慢．一个力所做的功W 跟完成这些功所用时间 t 的比值，叫做功率．用P 表示功率，则有
功率是标量，它的单位是瓦特，简称瓦，用符号W来表示．
日常见到的各种电器都标有额定功率．额定功率就是机械在正常条件下可以长时间工作的最大功率．其实际工作时的功率往往小于额定功率．
2.1.2 功率
2．功率的计算
把 代入功率的公式，可得到 ，而 ，因此
即功率等于力和物体运动速度的乘积．
【例题2】 已知列车的总质量是500 t，额定功率600 kW，设列车在运动过程中所受阻力均为车重的0.010倍．求：（1）当列车以1.0 m/s，10 m/s的速度匀速行驶时，机车实际输出的功率是多少？（2）列车的极限速度是多少？
分析：对列车进行受力分析，其受到牵引力、阻力、重力以及支持力的作用．重力和支持力垂直于列车前进方向，不做功．由于列车匀速前进，其各力平衡．因此列车的牵引力与阻力大小相等，方向相反．由公式就可计算出机车的实际输出功率．所谓列车的极限速度，是指机车在额定功率下所能达到的最大速度vm．
解：（1）列车的牵引力为
根据公式，列车匀速前进时实际输出功率为
（2）由（1）得知列车的牵引力F＝4.9×104 N，则
2.2 动能与动能定理
演示实验2-1 动能与物体质量、速度的关系
如图所示，让小球A从光滑的导轨上滑下，撞击静止在水平面上的小球B，推动小球做功．
（1）让小球A从不同高度滑下，高度越高，其速度越快，平面上的小球B被撞击得越远，A对B做功越多．
（2）增大小球A的质量，使其从同一高度滑下．可以看出，同一高度滑下的速度一样，小球A的质量越大，小球B被撞击得越远，A对B做功越多．
1．速度
物体由于运动而具有的能量叫做动能．实验表明，物体的质量越大，速度越大，它的动能就越大．在物理学中，用Ek 表示物体的动能，则有
动能是标量，单位与功的单位相同，都是焦耳，符号为J．
2.2.1 动能
【例题3】 我国发射的第一颗人造卫星，质量为173 kg，轨道速度为7.2 km/s，则这颗卫星的动能是多少？
解：根据动能的定义，卫星的动能是
如图所示，设一个质量为m 的物体，初速度是v1，在恒定的水平力F的作用下，产生了水平位移s，物体的末速度变为v2．
在这一运动过程中，外力对物体做了功W，物体的动能发生了变化．其中，外力F 所做的功
又根据牛顿第二定律
2.2.2 动能定理
而
综上即可得到
即合外力对物体做的功等于物体动能的增量，这个结论就叫做动能定理．
【例题4】 质量为3 kg的物体与水平地面之间的动摩擦因数μ 0.2，在大小为9 N的水平恒力F 作用下由静止开始运动．当物体向前运动8 m后撤去恒力F，请问物体还能滑出多远？（g＝10 m/s2）
分析：求物体还能滑出多远，即求物体末速度为0时的位移．物体的运动过程可以分为两个阶段：合外力F合＝F f 的阶段，以及撤去F 后，受力为f 的阶段．分别对这两个阶段使用动能定理，即可以求出位移．
解：在外力F 作用下，对物体运动过程使用动能定理，假设在撤去F时物体的速度为v1，位移s1＝8 m，则
撤去外力F 后，对物体运动过程使用动能定理，若物体还能向前滑出位移为s2，则
二式相加，即可得到
即
2.3 势能与机械能守恒定律
1．重力势能
我们把物体由于被举高而具有的能量叫做重力势能．
2.3.1 势能
我们知道动能是与物体质量和速度有关的能量，那么，物体的重力势能又和什么因素有关呢？
演示实验2-2 重力势能与物体质量、高度的关系
如图所示，在一个透明的玻璃容器内装上沙子，准备不同质量的铁球．将铁球从某一高度释放，观察铁球在沙子中的深度．
（1）用同一个铁球在不同高度释放，观察铁球落在沙子中的深度，可以看出铁球的释放高度越大，铁球落在沙子中的深度越大．
（2）用不同质量的铁球在同一高度释放，观察铁球落在沙子中的深度，可以看出，质量越大的铁球落在沙子中的深度越大．
实验表明，物体所处的位置越高，质量越大，其势能就越大．若物体质量为m，距地面高度为h，用Ep 表示物体在h 高度的重力势能，则有
重力势能也是标量，其单位与功的单位相同，在国际制单位中都写作J．从公式中可以看出，物体距地面越高，重力势能越大；反之，就越小．
【例题5】 某建筑工地使用的打桩机，在打桩的过程中需要将300 kg的重锤举起到20 m的高处，那么重锤此时的重力势能是多少？下落到距地面15 m的高处时其重力势能减少了多少？落到地面上之后，其重力势能是多少？
解：由公式可得，在20 m高处重锤的重力势能
落到15 m处减少的重力势能
落到地面上时，由于高度h3为0，所以重力势能
2．弹性势能
物体由于发生了弹性形变所具有的能量称为弹性势能．
如图所示，用力F 将一根弹簧从 A 拉到 B，弹簧伸长了x．在弹性限度内，力F 越大，x 越长．但是，换用不同型号的弹簧，尽管拉伸量也是 x，但是所用的力却不一样．
可见，物体的弹性势能与物体的形变程度有关，形变程度越大，弹性势能越大；同时，弹性势能也与物体自身的弹性情况有关，物体的弹性被称为劲度系数或弹性系数．
弹性势能可以写作
其中，k 为劲度系数，x 为形变量．
1．机械能的相互转化
竖直向上抛出一个小球，小球在上升过程中，重力做负功，其速度越来越小，其动能减小；而它的高度增加，其重力势能增加，说明物体的动能转化为重力势能．
动能和势能统称为机械能．通常用 E 来表示．机械能可以从一种形式转化为另一种形式．
2.3.2 机械能守恒定律
2．机械能守恒定律
演示实验2-3 动能与势能的相互转化
如图所示，把一个小球用细线悬挂起来，让小球从一定高度的A点由静止开始摆动，小球就会摆向另一端的B点．通过测量可以发现，B点与A点的高度相同．如果用尺子在P点挡住摆线，小球会摆到C点．通过测量可以发现，C点与A点、B点的高度仍然相同．
实验表明，在小球下摆的过程中，重力势能减小，动能增加，重力势能转化为动能；上摆的过程中，动能减小，重力势能增加，动能转化为重力势能，最终摆回与初始位置等高的地方．在动能与重力势能转化的过程中，他们的总量保持不变．
在只有重力（或弹力）做功的情况下，物体的动能和重力势能（弹性势能）发生互相转化，机械能的总量保持不变．这个结论叫做机械能守恒定律．
若一个质量为m的物体，从高度为h1的地方下落到高度为h2的地方，速度从v1增加到v2，如图所示．在此过程中，物体减少的重力势能等于其增加的动能，动能和重力势能之和不变．用公式可表示为
【例题6】 某人把质量为1 kg的小球从距离地面10 m的地方斜向上抛出，小球抛出时的速度大小为5 m/s，不计空气阻力，则小球落地时的速度是多少？（g取10 m/s2）
解：已知小球的质量m＝1 kg，初速度v1＝5 m/s，高度h1＝5 m，取地面为零势能面，根据机械能守恒定律，则
解得
分析：由于不计空气阻力，小球的运动过程只有重力做功，因此机械能守恒．根据机械能守恒定律即可求得小球落地速度．

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