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2023-2024学年广西示范性高中高一下学期期末考试数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.下列各对角中终边相同的是( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
2.对于，下列等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
3.在中，角对边为，且，则的形状为( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，，若，，则( )
A. B. C. D.
6.函数的值域是( )
A. B. C. D.
7.如图，的斜二测画法的直观图是腰长为的等腰直角三角形，轴经过的中点，则( )
A. B. C. D.
8.设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.下列各组向量中，能作为基底的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10.已知函数，将函数图象向右平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数满足( )
A. 是的一个对称中心 B. 在区间上单调递增
C. 是的一条对称轴 D. 在区间上单调递减
11.已知的内角、、所对的边分别为、、，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则一定是锐角三角形
C. 若，则一定为直角三角形
D. 若，则一定是等腰三角形
12.如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法错误的是( )
A. ，，，四点共面 B.
C. ，，三线共点 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量，若，则 ．
14.已知角的终边经过点，则
15.在中，内角，，的对边分别为，，，为锐角，，的面积为，则的周长的最小值为 ．
16.已知函数，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：共6小题，共70分。
17.（10分）已知，为第二象限角．
求的值；
求的值．
18.（12分）已知，．
当为何值时，与垂直？
若，且、、三点共线，求的值．
19.的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，求面积的最大值．
20.（12分）在正方体中，为棱的中点，为棱的中点．
求证：四点共面；
求异面直线与所成角的大小．
21.（12分）某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究．
小王获得了以下信息：
教学楼和体育馆之间有一条笔直的步道；
在步道上有一点，测得到教学楼顶的仰角是，到体育馆楼顶的仰角是；
从体育馆楼顶测教学楼顶的仰角是；
教学楼的高度是米．
请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度．
小李获得了以下信息：
体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是米；
大屏幕的高度是米；
当观众所站的位置到屏幕上下两端，所张的角最大时，观看屏幕的效果最佳．
请帮助小李完成任务二：求步道上观看屏幕效果最佳地点的位置．
22.（12分）如图，在正方体中，为的中点．

求证：平面；
上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
参考答案
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17.解： ， 为第二象限角，
，
则 ；
．
18.解：
，，
，
又与垂直，得，即；
，，
、、三点共线，，
则，解得：．
19.解：根据正弦定理及 ，
得 ．
， ．
， ．
由知 ，又 ，
由余弦定理得 ，
即 ，
，
，即 ，
当且仅当 时取等号．
．
的最大值为 ．
20.连接，
为棱的中点，为棱的中点，
正方体
四边形是平行四边形，，
确定一平面．
四点共面；
由得
或补角为异面直线与所成角，
在中，
异面直线与所成角为．
21.解：
由题意知，，由勾股定理得，
且可知，
，
由正弦定理可得，
则体育馆的高度为米．
设，则，，
，
当且仅当时，取到最大值，即米时，观看效果最佳．
22.解：
证明：如图，连接交于，连接．

正方体，底面为正方形，，
为的中点，又为的中点，
是的中位线，，
又平面，平面，
平面．
当点为的中点时，即满足平面平面，理由如下：
连接，，

为的中点，为的中点，，，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，
平面．
由知平面，
又，，平面，
平面平面．
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