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2024年春高一(下)期末联合检测试卷
数 学
数学测试卷共4页，满分 150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、班级填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知复数z满足(1+i)z=2i, 则|z|=
B. 1 D. 2
2. 7.8, 7.9, 8.1, 8.1, 8.3, 8.5, 8.7, 8.9, 9.0, 9.0, 9.1, 9.1, 9.4的第60 百分位数是
A. 8.7 B. 8.9 C. 9.0 D. 9.1
3. 在△ABC中,记内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.若 则C=
A. π/6 B. π/4 C. π/3
4. 下列说法正确的是
A.若空间四点共面，则其中必有三点共线
B.若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面
C.若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面
D.若空间四点不共面，则任意三点不共线
5. 某航空公司销售一款盲盒机票，包含哈尔滨、西安、兰州、济南、延吉5个城市，甲乙两人计划“五一”小长假前分别购买上述盲盒机票一张，则两人恰好到达城市相同的概率为
A. B. c. D.
高一(下)期末联合检测试卷(数学)第1页 共8页
6. 记△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,若atanB=btanA, cosA+cosB=1,则△ABC是
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
7. 在△ABC中, AB=3, AC=4, ∠BAC=60°, 且 则
A. -2 B. -3 C. -4 D. -5
8. 已知正方体 F 为BB 的中点，过A 作平面α满足条件，D F⊥α,则α截正方体 所得截面为
A.六边形 B.五边形 C. 四边形 D.三角形
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。
9. 一个不透明袋中装有2个红球、2个白球(每个球标有不同的编号，除颜色和编号外均相同)，从中不放回依次抽取2个球，记事件A为“第一次取的球为红球”，事件B为“第二次取的球为白球”，则
A. P(A)=P(B) B. A, B为对立事件
C. A, B为相互独立事件 D.抽取的2个球中至多1个白球的概率为
10. 已知复数 在复平面内对应的点分别为Z ，Z ，则
C. 满足 的复数z 对应的点 Z 形成的图形的周长是5π
D. 满足 的复数z对应的点Z 形成的图形的面积是12π
11. 对棱相等的四面体被称为等腰四面体,现有一等腰四面体ABCD, AB=a, AD=b, AC=c,则下列说法正确的是
A.该四面体各面均是全等三角形
B.该等腰四面体的面可以是直角三角形
C. 若E为AB中点, F为CD中点, 则EF⊥AB, EF⊥CD
D.该四面体的体积为
高一(下)期末联合检测试卷(数学)第2页 共8页
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.放风筝是一项有益的运动，现对高一和高二共1500名同学进行按比例分层抽样调查，统计近两年放过风筝的人数，有如下数据：高一学生抽取有效样本40，放过风筝的人数为19；高二学生抽取有效样本60，放过风筝的人数为m，由此估计两个年级近两年放过风筝的人数约为540，则m= .
13. 已知复数z , z 分别为方程. 的两根，则
14. 已知a, b, c为单位向量, 且 则 的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
2023 年冬季“尔滨”爆火，某咨询公司开展评价统计，以网络问卷、现场扫码问卷、电话回访、短信等方式进行，得到若干游客的评价得分如下频率分布直方图：
(1)估计评分的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，中位数(精确到0.1 )；
(2) 按比例从[60,80)中抽取4人, 进行不满意情况电话回访，再从这4人中随机抽取2人发送礼物，求2 人不在同一评分区间的概率.
16. (15分)
在同一平面内， 的夹角为θ，且 当t取t 时, 取最小值，
(1) 证明A, B, C三点共线;
(2) 若 求θ.
高一(下)期末联合检测试卷(数学)第3页 共8页
17. (15分)
如图，点P为边长为1的菱形ABCD所在平面外一点，且 为正三角形， 四边形ABCD的面积为 点M , N分别为DP和AB的中点.
(1) 求证:
(2) 求证: 平面PBC⊥平面ABCD.
18. (17分)
在 中，已知点E 满足
(1) 若 求AC 的长度;
(2) 若BE=1, 求△ABC面积的取值范围.
19. (17分)
如图，三棱柱 中，A 在底面ABC内的射影为 的外心O，且 BC=a，三棱柱的侧面积为
(1) 求证:
(2)求三棱柱 的体积；
(3)分别求二面角 和二面角 的大小.
高一(下)期末联合检测试卷(数学)第4页 共8页
2024年春高一(下)期末联合检测试卷
数学 参考答案
一、 选择题
1~8 CBCD ABBC
第7题提示： F=4×3×cos60°-3×2-4×1+2×1×cos60°=-3
第8题提示：如图，在正方体中， 在矩形D DBB 中, 做EF⊥D F,过O 作OO //EF,则有( 所以D F⊥平面A OC ，即平面α截正方体的截面为四边形.
二、选择题
9. AD 10. BD 11. ACD
第11题提示：显然该四面体各个面的三边长均为a，b，c的全等三角形，A 正确；若∠ABC为直角, 则∠BCD,∠ADC,∠BAD均为直角,可知A，B，C，D在同一平面上，显然不可能，B错误；将四面体补全为长方体, 可知, EF⊥AB,EF⊥CD, C正确;
设长方体的长宽高为x，y，z，则有 解得黑霉所以四面体的体
积 D 正确.
三、填空题
12. 17 13. -2
高一(下)期末联合检测试卷(数学)第5页 共8页
第14题提示：由 可知， a,b夹角为 |3a-c|+|b-c|≥|3a-c+c-b|=|3a-b|, 等号成立时,3a-c与c-b同向, |3a-c|+|b-c|的最小值为 如图所示.
四、解答题
15. (13分)
解: (1) 平均数为65×0.05+75×0.15+85×0.55+95×0.25=85 ……3分
设中位数为x，则有 …7分
(2)按比例, 从[60,70)范围内抽取1人,记为a, 从[70,80)范围内抽取3人, 记为b ,b ,b ,从这4人中抽取2人共 个基本事件， ……10分其中2人不在同一评分区间有3个基本事件，从而概率为 ……13分
(另解：写出样本空间为：{(a,b ),(a,b ),(a,b ),(b ,b ),(b ,b ),(b ,b )},符合条件的样本点为：(a,b ),(a,b ),(a,b ).从而概率为
16. (15分)
解: 有 所以A,B,C三点共线; …6分
(2) 设 则 …8分
从而 +1 …11分
因为5+ 0
当 时 取最小值， …13分
有 解得 从而 …15分
17. (15分)
证明:(1)取PC中点E,连接ME, BE, 因为M为DP中点, N为AB 中点,所以 且 又因为 且 所以ME∥BN且ME=BN,
高一(下)期末联合检测试卷(数学)第6页 共8页
所以四边形BEMN 为平行四边形， ……3分
所以MN∥BE,
因为MN 平面PBC, BE 平面PBC,
所以MN//平面PBC; ……6分
(2) 因为 因为AC>BD, 所以, 解得 因为 所以△BCD≌△BCP,过P作PQ⊥BC于点Q, 连接DQ, 所以DQ⊥BC,所以 所以PQ⊥DQ, 又PQ⊥BC, BC∩DQ=Q, 所以PQ⊥平面ABCD,因为PQ 平面PBC,
所以平面PBC⊥平面ABCD. ……15分
18. (17分)
解: (1) 记∠AEB=α,∠AEC=β, 则有cosα+cosβ=0, ……1分艮 解得 分在△ABE中, 解得 ……5分联立方程组则有 解得 所以
…8分
在△ABE中, 故AB=2sin∠AEB,AE=2sinB , ……10分而
故
……14分而 故 ……17分
19. (17 分)
解:(1) 连结OA, 交BC于点D, D为BC中点,因为O为A 在平面ABC 内的射影，所以A O⊥BC, 又AB=AC,所以AO⊥BC, 所以BC⊥平面A OA,因为AA 平面A OA,所以
(2)连结BO, CO,由O为△ABC的外心,所以AO=BO=CO,又A O⊥平面ABC, A O为公共边,所以. 所以 由
所以.A A=AB=AC, ……7分
所以四边形A ABB , A ACC 均为菱形,
由(1) 知四边形 BCC B 为矩形, 令
菱形A ABB 的面积为 矩形BCC B 的面积为ab,
从而有 ……9分
整理有 所以 所以 从而三棱柱 的体积为
(3) 取A A中点 E , 连结A B, BE, CE,
由△A AB,△A AC 是等边三角形,
所以BE⊥AA , CE⊥AA ,
所以∠BEC为平面ABB A 与平面ACC A 所成的二面角,
又 所以∠EBC为平面ABB A 与平面 所成二面角， …15分
由
所以△BCE为等边三角形,所以∠EBC=∠BEC=60°,所以二面角 和二面角 均为60°.
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