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常德市城区及周边学校教学联盟2024年上学期期末考试试卷
七年级数学（问卷）
时量：120分钟满分：120分钟
一、选择题（本题共10个小题，每题3分，满分30分）
1.如图所示的图案分别是三菱、大众、奥迪、奔驰汽车的车标，其中可以看成是由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.已知是方程的一个解，那么a的值为（ ）
A.1 B. C.2 D.
4.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知方程组，则的值是（ ）
A.2 B. C.0 D.
6.如图，已知，，垂足分别是C，D，其中，，，那么点C到AB的距离是（ ）
A.3 B.4 C.4.8 D.2.4
7.如图，下列条件中不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
8.如图直线，，交于点O，平分，且，.则的度数是（ ）
A.55° B.20° C.35° D.45°
9.如图，将绕点A逆时针旋转一定的角度，得到，且.若，，则的大小是（ ）
A.60° B.65° C.75° D.95°
10.“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等.若按同样的要求重新填数如图2所示，则的值是（ ）
图1 图2
A. B.6 C. D.3
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分）
11.计算=______.
12.已知方程组，则_____.
13.已知，，则______.
14.若分解因式，则______.
15.已知：，则的值为______.
16.对甲、乙两名同学近六次数学测试成绩进行统计分析，已知甲测试成绩的方差是2.3，乙的成绩比甲的成绩更稳定，则乙测试成绩的方差可能是______（写出一个即可）.
17.某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则______.
18.已知直线，点P、Q分别在AB、CD上，，如图所示，射线PB按顺时针方向绕P点以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向绕Q点每秒1°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转.若射线QC先转42秒，射线PB才开始转动，在CQ到达DQ前，当射线PB旋转的时间为__________秒时，.
三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分）
19.因式分解.（1） （2）
20.先化简，再求值：.其中.
21.如图，AE平分，.
（1）判断与是否平行，并说明理由.
（2）若，，，求的度数.
22.如图①，和的顶点都在正方形网格中正方形格子的顶点上，我们把这样的三角形叫做“格点三角形”.
（1）在图①的正方形网格中，格点和格点关于某条直线成轴对称，请画出图1中的对称轴.
（2）请你利用轴对称的原理在图②中画出一个与图①位置不同且与成轴对称的格点.
（3）请图③中画出绕C点顺时针旋转90°的格点，
（4）在图④中找出点P（P不与C点重合），使格点三角形面积等于的面积，满足这样条件的点P共________个.
23.雷锋精神是我们中华民族宝贵的精神财富，它激励着一代又一代的青少年健康成长，促进了社会文明的进步.为进一步弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的雷锋精神，倡导志愿服务理念，树立“学雷锋”的意识，某校组织了“学习雷锋精神，爱心捐款活动”.活动结束后，学生会随机抽取了部分学生的捐款金额进行统计，并用得到的数据绘制了如下统计图（不完整）.
请根据相关信息，解答下列问题，
（1）所抽取学生的人数为______；在扇形统计图中，捐款金额为40元所对的扇形的圆心角的度数为______，并补全条形统计图.
（2）所抽取学生的捐款金额的中位数是______元，并求出所抽取学生的平均捐款金额.
（3）若该校共有2400名学生参与捐款，请你估计该校学生捐款金额不少于30元的人数.
24.某校准备组织七年级340名学生参加春游活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆需租金4000元，大客车每辆需租金8000元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金.
25.完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题.
例如：若，，求的值.
解：∵，，
∴，，
∴，
∴.
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1）若，，求的值
（2）如图，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和为24，求的面积.
（3）若，求的值.
26.已知，点P是平面内一点，过点P作射线PN、PM，PM与AB相交于点B.
图1 图2 图3
（1）如图1，若点P为直线CD上一点，，，求的度数.
（2）如图2，若点P为直线AB、CD之间区域的一点，射线PN交CD于点E，和的角平分线交于点F.请说明.
（3）如图3，若点P、H是直线CD上的点，射线PN交直线AB于点G，连接HB并延长交的角平分线于点Q，设.当时，请直接用含的代数式表示.
常德市城区及周边学校教学联盟
2024年上学期期末考试七年级数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
选项 C D B C A D A A C A
二、填空题
11. 12.0 13.18 14.
8 16.（答案不唯一，大于0小于2.3） 17.10°
18.14或63.6或134
三、解答题
19.（1）
……...........................................................................................（1分）
….........................................................................................（3分）
（2）
……..............................................................................（4分）
=..............................................................................................（6分）
20.解：∴
.........................................................（2分）
.......................................................................................................（4分）
当时
原式
..................................................................................................................（6分）
21.（1）解：，理由如下：
∵AE平分，
∴，..............................................................................................（1分）
∵，
∴，..............................................................................................（3分）
∴.............................................................................................................（4分）
（2）解：设，则，
∵AE平分，
∴，
∵，
∴，.............................................................................................（5分）
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，..........................................................................................................（6分）
∴......................................................................................................（8分）
22.（1）图略.....................................................................................................（2分）
（2）图略...........................................................................................................（4分）
（3）图略...........................................................................................................（6分）
（4）3个............................................................................................................（8分）
23.（1）40；36°；..............................................................................................（2分）
捐款金额为10元的人数为............................................（3分）
补全条形统计图如下，
.........................................................（4分）
（2）20；............................................................................................................（6分）
（元），
∴所抽取学生的平均捐款金额为23元................................................................（7分）
（3），
（人）.
答：估计该校学生捐款金额不少于30元的人数为840............................................（9分）
24.（1）解：设小客车能坐a名学生，大客车能坐b名学生，
由题意得，........................................................................................（2分）
解得，
答：每辆小客车和每辆大客车各能坐20名学生，45名学生；...............................（3分）
（2）解：①由题意得，，...............................................................（4分）
∴，
∵x，y都是整数，
∴一定是整数，
∴y一定是4的倍数，
∴或，.........................................................................................................（7分）
∴一共有2种租车方案：方案一，租用小客车17辆，大客车0辆；方案二：租用小客车8辆，大客车4辆；
②解：方案一的费用为元，
方案二的费用为元，.................................................（8分）
∵，
∴最省钱的方案是8辆小客车，4辆大客车，租金为64000元................................（9分）
解：（1）∵，，
∴，.
∴，
∴...................................................................................................................（3分）
（2）设，，
∴，.
∴，
∴.
∴，
∴.............................................................................（6分）
（3）∵，，
∴，.
∴....................................................................（10分）
（法二：换元法，略）
26.（1）解：∵，∴，∵，∴.
∵，，∴...............（3分）
（2）证明：过点F作，过点P作，
∴，，
∵，∴，，∴，.
∵BF平分，∴，同理可得：.
设，，
∴，，
，，
∴，，
∴，
∵，∴，
∴...........................................................................（7分）
（3）解：或.（答对1个给2分）.......................（10分）
当点H在点P的左侧时，如图，
∵，∴，
∵，，∴，
∴，
∵PQ平分，∴，∴，
∵，∴；
当点H在点P的右侧时，如图，
∵，∴，
∵，，∴，
∴，
∵PQ平分，
∴，
∴，
∵，
∴
；
综上所述，或.

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